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2.2.1对数与对数运算hjh



2.2.1对数与对数运算

指数函数的图象和性质
a>1 y 图

y=ax (a>1) y=ax (0<a<1)

0<a<1 y



y=1
(0, 1)

(0, 1) o
x

/>
y=1

o
(1) 定义域: R 性 质

x

(2) 值

域: (0, +∞)
(4) 在 R 上是减函数.

(3) 过点(0, 1), 即 x=0 时, y=1. (4) 在 R 上是增函数.

1对数的概念

问题提出

1.截止到1999年底,我国人口约13 亿.如果今后能将人口年平均增长率控 制在1%,那么经过20年后,我国人口 数最多为多少(精确到亿)?到哪一 年我国的人口数将达到18亿? 13× (1+1%)x=18,求x=?
这是已知底数和幂的值,求指数! 你能看得出来吗?怎样求呢?

定义: 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1?
的x次幂等于N, 就是 a ? N ,那么数 x叫做
x

以a为底 N的对数,记作 loga N ? x
a叫做对数的底数,N叫做真数。

a ? N ? x ? loga N (a ? 0, 且a ? 1)
x

底数 指数 幂 对数 底数 真数

例如:
102

4 2 ? 16

4

1 2

10?2

? log 16 ? 2 ? 100 ? log 100 ? 2 1 ? log 2 ? 2 ?2 ? 0.01 ? log 0.01 ? ?2
4
10
4

10

探究:
⑴负数与零没有对数(∵在指数式中 N > 0 ) ⑵ loga 1 ? 0(a ? 0且a ? 1) ( 1的对数为0)

loga a ? 1(a ? 0且a ? 1) (同底数的对数为1)
1

0 a ? 1 ? loga 1 ? 0 a ? 0 对任意 且 a ? 1 都有

a ? a ? loga a ? 1
⑶对数恒等式 如果把 a ? N 中的 x写成 loga N
x

则有

a

log a N

?N

⑷常用对数: 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 为了简便,N的常用对数 log10 N 简记作lgN。 例如: log10 5 简记作lg5; ⑸自然对数:

在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 为底的对数,以e为底的对数叫自然对数。
为了简便,N的自然对数 loge N 简记作lnN。 例如: loge 3 简记作ln3 ; (6)底数a的取值范围:(0,1) ? (1, ??) 真数N的取值范围 : (0, ??)

理论迁移

例1.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:

(1) 54=625 ;

1 (2) 2-6= ; 64

1 (3) ( )m=5.73 ; (4)log 1 16 =-4; 2 3
(5) lg0.01=-2; (6) ln10=2.303.

例2.求下列各式中x的值:
2 (1)log64x= ? ; 3

(2) logx8=6 ;

(3)lg100=x;

(4)-lne2=x .

例题讲解
例3 计算

(1) log 9 27

(2) log 3

5

4

625 (3) log ?2? 3 ? 2 ? 3

?

?

练习 P64

练习: (1)以下四个数中,存在对数的数是(
(A)-1

B )

(B)1

(C)0

(D)- 1/2 )

(2)在对数式logaN=b中,a的取值范围是( C
(A)a>0

(B)0<a<1

(C)a>0且a≠1

(D)a>1

log32/5 32/5 (3)log3x=2/5则x=__________; 3x=2/5则x=________ 0 1 (4)当a>0时a≠1时,loga1=_______ ;logaa=_____

小结
定义:一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1? 的b次幂等于N, 就是

a ?N
b

,那么数 b叫做

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

a ? N ? x ? loga N (a ? 0, 且a ? 1)
x

底数 指数 幂 对数 底数 真数

作业: 课本 P74 第1、2题

式子
名 称

ax=N
a------幂的底数 x -----幂的指数 N-----幂值

logaN=x
a------对数的底数 x-----以a为底的N的对数

N-----真数
m? n

运 算 性 质

a ?a ? a
m n m

loga m n ? loga m ? loga n m loga ? loga m ? loga n n loga m n ? n loga m

a m?n ?a n a m n mn (a ) ? a

高考总复习(广东专版)

第二章

函数与基本初等函数

1.对数的概念及运算性质 (1)对数的概念

如果 ab = N(a>0 , a≠1) ,那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数,


logaN=b(a>0,a≠1) .
以10为底的对数叫做常用对数,记作 lgN .对无理数e

=2.71828?为底的对数叫做自然对数,记作 lnN .

高考总复习(广东专版)

第二章

函数与基本初等函数

(2)对数的性质

① 零与负数 没有对数;②loga1= 0 ;③logaa= 1 .
(3)对数的运算法则 ①logaMN= logaM+logaN;②loga = logaM-logaN ; ③logaMn= n·logaM(n∈R) .其中a>0,a≠1,M>0, N>0.

(4)对数换底公式
logaN= (N>0,a>0且a≠1,m>0且m≠1)

2对数与对数运算

a ?a ? a
m n

m?n

(m , n ? R)

复 习 : 指 数 运 算 法 则

(a ) ? a
m n n

mn

(m , n ? R)
n

(ab) ? a ? b ( n ? R )
n

?a ? a ? a
m n m

m? n

(m, n ? R)
n

推 导 一

设M ? a , N ? a , m? n ? MN ? a , loga M ? m,
loga N ? n, ? loga MN ? m ? n,

loga MN ? loga M ? loga N.

?a ? a ? a
m n m

m?n

( m , n ? R)
n

推 导 二

设M ? a , N ? a , M m?n ? ? a , loga M ? m , N loga N ? n,
M ? loga ? m ? n, N M ? log a ? log a M ? log a N . N

? (a ) ? a
m n m

mn

( m , n ? R)

推 导 三

设M ? a , n mn ? loga M ? m , M ? a ,
? loga M ? mn,
n

loga M ? n loga M .
n

如果 a > 0,a ? 1,M > 0,N > 0, 积 那么: 、

商 、 幂 的 对 数 运 算 法 则

log a ( MN ) ? log a M ? log a N M log a ? log a M ? log a N N n log a M ? nlog a M ( n ? R)

(1) (2) ( 3)

上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数 式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形; 然后再根据对数定义将指数式化成对数式。

log a (MN) ? log a M ? log a N (1) M log a ? log a M ? log a N ( 2) N n log a M ? nlog a M( n ? R) ( 3)
①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”……

②有时逆向运用公式
③真数的取值范围必须是 (0,??) ④对公式容易错误记忆,要特别注意:
loga (MN ) ? loga M ? loga N , loga (M ? N ) ? loga M ? loga N

讲解范例 例1 用

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:

x2 y xy (1)loga ; (2) loga 3 z z xy 解(1) log a ? log a ( xy ) ? log a z z ? loga x ? loga y ? loga z

解(2) log a

x

2 3

y z

?

log a ( x y ) ? log a z
2
1 2 1 3

1 2

1 3

? loga x 2 ? loga y ? loga z

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

讲解范例 例2 计算 (1) log2 (25 ? 47 ) 解 : log (25 ? 47 ) 2 (2) lg 5 100
5

? log2 25? log2 47 ? log2 25 ? log2 214
=5+14=19

1 2 ? lg10 解 : lg 100 5 2 ? lg10 5 2 ? 5

其他重要公式1:

log am
证明:设

n N ? log a N m
n

logam N n ? p,

由对数的定义可以得: ∴

N ? (a ) ,
n m p
m p n

N ?a
n

mp

?N ?a
n

m ? log a N ? p n

即证得

log a m

n N ? log a N m

其他重要公式2(换底公式):

log c b log a b ? log c a
证明:设

(a, c ? (0,1) ? (1, ??), b ? 0)

loga b ? p

由对数的定义可以得:
p

b?a ,
p

? logc b ? logc a , ? logc b ? p logc a,
logc b ? p? 即证得 logc a

这个公式叫做换底公式

logc b loga b ? logc a

其他重要公式3:

1 log a b ? logb a

a, b ? (0,1) ? (1, ??)

logc b 证明:由换底公式 loga b ? logc a logb b 令c=b: loga b ? logb a 1 ? logb b ? 1, ? loga b ? log a b
还可以变形,得

?loga b ? logb a ? 1

其他重要公式4:

loga b ? logb c ? loga c
log b c 证明:由换底公式 loga b ? logc a

a, b ? (0,1) ? (1, ??)

logc a ? loga b ? logc b

(1)log a ( MN ) ? M (2)log a ? N n (3)log a M ?

(1)log a ( M +N ) ? (2)log( ? a M -N)

(4)logam N ?
n

换底公式(5)loga N ?

(6) loga b ? logb a ?

(7) loga b ? logb c ?

练习:P68

例3.计算下列各式的 值

(1)25
(3) log

1 log 5 27 ? 2 log125 8 3
5 3

(2)16

1 log 6 4

? 49
3

1 log 7 8
25

125 (log 2 3 ? log 4 9 ? log 23 3 ? ?+log 225 3 )

(4) lg( 3 ? 5 ? 3 ? 5 )

例4.若x,y,z都是正数,3x=4y=6z,
1 1 1 求证: ? ? z x 2y

例5.已知loga 2 ? m, loga 3 ? n, 求a

2 m? n

例5 20世纪30年代,里克特制订了一种 表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪 衡量地震能量的等级,地震能量越大,测震 仪记录的地震曲线的振幅就越. 这就是我们 常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA- lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅,A0是 “标准地震”的振幅(使用标准振幅是为了 修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此 时标准地震的振幅是0.001,计算这次地震 的震级(精确到0.1); 4.3

20世纪30年代,里克特制订了一种表明 地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡 量地震能量的等级,地震能量越大,测震 仪记录的地震曲线的振幅就越. 这就是我 们常说的里氏震级M,其计算公式为M=lgA -lgA0. 其中A是被测地震的最大振幅,A0 是“标准地震”的振幅(使用标准振幅是 为了修正测震仪距实际震中的距离造成的 偏差). (2)5级地震给人的震感已比较明显,计算 7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振 幅的多少倍(精确到1). 398

解: (1)

20 M ? lg 20 ? lg 0.001? lg 0.001 ? lg 20000? lg 2 ? lg 104 ? 4.3

因此,这是一次约为里氏4.3级的地震。

(2)由 M ? lg A ? lgA0 可得 A A M ? lg ? ? 10M ? A ?A 0 ?10M A0 A0 7.6 A ? A ? 10 ; 当 M= 5 当M=7.6时,地震的最大 振幅为 1 0 时,地震的最大振幅为 A2 ?A0 ?105. 所以,两次地震的最 大振幅之比是

A1 A0 ?107.6 2.6 ? ? 10 ? 398. 5 A 2 A0 ?10

例6 科学研究表明,宇宙射线在大气中能够产生放射 性碳14。碳14的衰变极有规律,其精确性可以称为自然 界的“标准时钟”。动植物在生长过程中衰变的碳14, 可以通过与大气的相互作用得到补充,所以活着的动植 物每克组织中碳14含量保持不变。死亡后的动植物,停 止了与外界环境的相互作用,机体中的碳14按确定的规 律衰减,我们已经知道其“半衰期”为5730年。 湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占 原始含量的76.7%,试推算马王堆古墓的年代。

解:我们先推算生物死亡t年后每克组织中的碳14含量。 设生物体死亡时,体内每克组织中碳14的含量为1,1年 后的 残留量为x,由于死亡机体中原有的碳14确定的规律 衰减,所以生物体的死亡年数t与其体内每克组织的碳14 含量P有如下关系:

死亡年数t 碳14含量P

1 x

2

3

? ?

t

?
t

x

2

x

3

x

?
t

因此,生物死亡 t年后体内碳 14的含量P ? x .

由于大约每过5730年,死亡生物体的碳14含量衰减为原来的 1 一半,所以 ? x 5730 2 1 5730 1 1 ? ? 于是,x ? 5730 ? ? ? 2 ?2? t ? 1 ? 5730 这样生物死亡 t年后体内碳 14含量P ? ? ? ?2?
?1? 由对数与指数的关系, 指数式P ? ? ? ?2?
t 5730

可写成对数式 t ? log
5730

1 2

P

湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳14的残余量约占 原始含量的 76.7%,即P=0.767,那么 t ? log 0.767
5730

由计算器可得

t≈2193

1 2

所以,马王堆古墓是近2200年前的遗址。



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