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湖南省岳阳县一中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题



湖南省岳阳县一中 2015-2016 学年度高一上期期考试题 数学 时量:120 分钟 命题:张华武 总分:150 分 审题:周军才

一、本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1 ( . ) B. ?2,3,4? 函 数 C. ?2,4? 的 定 D. x 1 ? x ? 4 义 域 设

集 合

A ? ?0

,

?

1 ? B ,?

2 x ? ,?

4x ? 则 , ,

1 A? B ?

4

A. ?1,2,3,4? 2 ( ) .

?

?


y ? log3 ? 2x ?1?

A. ?1, ?? ?

B. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

C. ?1, ?? ?

D. ?

?1 ? , ?? ? ?2 ?

3 . 某 几 何 体 的 三 视 图 , 如 图 所 示 , 则 这 个 几 何 体 是 ( ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 4 . 下 列 函 数 中 , 既 是 偶 函 数 又 在 区 间 (0,+ ( ) A. y ? ∞) 上 单 调 递 减 的 是

1 x
x ?1

B. y ? e x

C. y ? ? x2 ? 1

D. y ? lg | x | ( )

5. 函数 f ( x) ? a A. (1,5) 6 . 两 圆 ( ) A.相交

且 a ? 1) 的图像过一个定点, 则这个定点坐标是 ? 4( a ? 0 , B. (5,1) C. (1,4) 和 D. (4,1)

C1 : x 2 ? y 2 ? 1 ? 0

C2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 5 ? 0 的 位 置 关 系 是

B.外离

C.外切

D.内切

7.如图,在长方体 ABCD-A′B′C′D′中,AB=6,AA′ =BC=4,则 A′D 与 BC 所成的角等于 D? C? ( )
A?
B?

A.30°

B.45°
A

D B

C

C.60°

D.90° 是两个不同的平面,下列命题中正确的是

8.设 l 为直线,α ,β ( ) A.若 l∥α ,l∥β ,则 α ∥β C.若 l⊥α ,l⊥β ,则 α ∥β

B.若 α ⊥β ,l∥α ,则 l⊥β D.若 l⊥α ,l∥β ,则 α ∥β

9.水平放置的△ABC 的直观图如图,其中 B?O? ? C ?O? ? 1 , A?O? ? ( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.三边中只有两边相等的等腰三角形 D.三边互不相等的三角形 10.一条直线经过点 A? 2, ?3? ,并且它的倾斜角是直线 y ? 的 ( ) A. y ? 3 ? 点 斜 式

3 ,则原△ABC 是一个 2

3 x 的倾斜角的两倍,则这条直线 3
方 程 是

2 3 ? x ? 2? 3

B. y ? 3 ?

2 3 ? x ? 2? 3

C. y ? 3 ? 3 ? x ? 2?
2 2 2

D. y ? 3 ? 3 ? x ? 2?

11.若圆 ( x ? 3) ? ( y ? 5) ? r 上有且只有两个点到直线 4 x ? 3 y ? 17 的距离等于 1,则半 径 ( ) A. (1, 3) B. (1, 2) C. (0, 2) D. (2, 3)

r













12.设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在闭区间 [a , b] ? D ,使得函数 f ( x) 满足:① f ( x) 在

[a , b] 上是单调函数; ② f ( x) 在 [a , b] 上的值域是 [2a , 2b] , 则称区间 [a , b] 是函数 f ( x) 的

“ (

和 )



















错 .

误 .





2 A.函数 f ( x) ? x ( x ? 0 )存在“和谐区间”

B.函数 f ( x) ? 2 ( x ? R )不存在“和谐区间”
x

C.函数 f ( x ) ?

4x ( x ? 0 )存在“和谐区间” x ?1
2

D.函数 f ( x) ? log2 x ( x ? 0 )不存在“和谐区间” 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在横线上. 13.已知两个球的表面积之比为 1 : 9 ,则这两个球的半径之比为 14. lg .

1 ? lg 25 ? log 2 4 = 4



15.已知点 A? ?2,0? , B ? 0, 2? ,若点 C 是圆 x2 ? 2 x ? y 2 ? 0 上的动点,则 △ABC 面积的最 小值为 .

? log3 x , 0 ? x ? 3 ? 16 . 已 知 函 数 f ? x ? ? ? 1 2 10 ,若存在实数 a 、 b 、 c 、 d ,满足 x ? x ? 8, x ? 3 ?3 3 ?

f ? a? ? f? ? b?
是 .

?f ? c

? f ? d ? , 其 中 d ? c ? b ? a0? , 则 abcd 的 取 值 范 围

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知函数 f ? x ? 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? x ? x ? 2? . (1)画出函数 f ? x ? 的图象; (2)写 出 函数的解析式. . .

18. (本小题满分 12 分) 已知全集 U ? R , A ? x 3 x ? 7 ? 8 ? 2 x , B ? x x ? m ? 1 . (1)求 CU A ; (2)若 A ? B ,求实数 m 的取值范围.

?

?

?

?

19.(本小题满分 12 分) 已知三角形三个顶点是 A(?5, 0) , B(4, ?4) , C (0, 2) . (1)求 BC 边上的中线所在直线方程; (2)求 BC 边上的高 AE 所在直线方程.

20.(本小题满分 12 分) 如 图 , 在 三 棱 锥 P ? A B C中 , D , E , F 分 别 为 棱 PC, AC, AB 的 中 点 . 已 知
PA ? AC , AB ? BC , PA ? 6, AB ? BC ? 8, DF ? 5 .
P

(1) 求证:直线 PA / / 平面 DEF ; (2) 求证:平面 BDE ? 平面 ABC ; (3) 求直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值.
A F B (第 16题) E C D

21. (本小题满分 12 分) 已知圆 C 的方程为: x
2

? y 2 ? 2x ? 4 y ? k ? 0, (k ? R) .

(1)求圆心 C 的坐标及实数 k 的取值范围;

(2)是否存在实数 k ,使直线 l : x ? 2 y ? 4 ? 0 与圆 C 相交于 M、N 两点,且 OM ? ON (O 为坐标原点) .若存在,求出 k 的值,若不存在说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) 对一切 x, y ?R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . (1)判断 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)证明 f ( x ) 在 R 上是减函数;
x 2 x ? f 4 x ? k ? 0 在 x ??0,1? 上有解, (3)若关于 x 的不等式 f 4 ? 3? 求实数 k 的取值

?

?

?

?

范围.

岳阳县一中 2015 年下学期高一期末考试 数学参考答案 一、选择题 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 A 6 D 7 B 8 C 9 A 10 D 11 A 12 B

12. 【解析】 试题分析:根据“和谐区间”的定义,我们只要寻找到符合条件的区间 [a , b] 即可,对函数
x ,“和谐区间” [a , b] ? [0, 2] ,函数 f ( x) ? 2 是增函数,若存在“和 f ( x) ? x 2 ( x ? 0 )

谐 区 间 ” [a , b] , 则 ?

? 2a ? 2a ? x , 因 为 方 程 2 ? 2x 有 两 个 不 等 实 根 x ? 1 和 x ? 2 , 故 b ? ? 2 ? 2b

a ? 1,b ? 2,即区间 [1, 2] 是函数 f ( x) ? 2x 的“和谐区间”,B 错误,选 B,根据选择题的特
征,下面 C,D 显然应该是正确的(事实上, 函数 f ( x ) ?

4x ( x ? 0 )的“和谐区间”为 x ?1
2

[0,1] , f ( x) ? log2 x 在 其定义域内 是单调增函 数,若有 “ 和谐区间” [a , b] , 则方 程

log2 x ? 2x 有两个不等实根,但此方程无实根,因此函数 f ( x) ? log2 x 不存在“和谐区
间”) . 考点:新定义的理解,函数的单调性,方程的解. 二、填空题 13. 1:3 ;14. 0 ;15. 3 ? 2 ;16. ? 21,24? .

16. 【解析】如下图所示,
y x=5

1 O a 1 b 3 c 4 6 d x

由图形易知 0 ? a ? 1 , 1 ? b ? 3 ,则 f ? a ? ? log3 a ? ? log3 a , f ?b ? ? log3 b ? log3 b ,
2 ? ab ? 1 , 令 x ? ?? log3 a ? log3 b , ? f ? a ? ? f ?b? ,

3 1 2 10 x ? 8 的图象的对称轴为直线 x ? 5 ,由图象知, 解得 x ? 4 或 x ? 6 ,而二次函数 y ? x ? 3 3 1 10 3 ? c ? 5 , d ? 5 ,点 ? c, f ? c ?? 和点 ? d , f ? d ? ? 均在二次函数 y ? x 2 ? x ? 8 的图象上, 3 3 c?d 1 2 10 ? 5 , ? d ? 10 ? c , 由 于 f ? 3? ? ? 3 ? ? 3 ? 8 ? , 1 当 1? x ? 3 时 , 故有 2 3 3

1 3

1 0

2 x ?8 ? 0, 0 x2 4 ? 0? , 即 x ?1

f ? x ? ? log3 x ? log3 x ,?0 ? log3 x ? 1 ,?1 ? b ? 3 ,?0 ? f ? b ? ? 1,? f ?b? ? f ? c ? , ? 0 ? f ? c ? ? 1,
由于函数 f ? x ? 在 ? 3,5? 上单调递减,且 f ? 3? ? 1 , f ? 4? ? 0 ,

? 3 ? c ? 4 ,?abcd ? 1? cd ? cd ? c ?10 ? c ? ? ?c2 ?10c

f(x) = x?(x 2) ? c ? 4 ,? 21 ? ? ? c ? 5 ? ? 25 ? 24 ,即 21 ? abcd ? 24 . ? ? ? c ? 5 ? ? 25 ,? 3
2 2

7

g(x) = x?(x + 2)

6

三、解答题 17. (教材 P39T6 改编)

5

4

3

解:(1) 如图??????5 分

2

? ? x ? x ? 2? , x ? 0 (2) f ? x ? ? ? ??????10 分 x x ? 2 , x ? 0 ? ? ? ?
12 10 8 6

1

4

2

O
1

2

4

6

8

10

18.答案: (1)CUA={x| x ? 3}; (2)?m | m ? 4} . 解析: (1)∵A={x| 3x-7 ? 8-2x}={x| x ? 3} 又全集 U=R ∴CUA={x| x ? 3} ?????????6 分

2

3

4

5

6

(2)∵B={x| x ? m ? 1 },且 A ? B , ∴ m ? 1 ? 3 ,∴ m ? 4 , 实数 m 的取值范围是 ?m | m ? 4} ?????????12 分 19. (教材 P101T1 改编) 答案: (1) x ? 7 y ? 5 ? 0 (2) 2 x ? 3 y ? 10 ? 0 解析: (1) ? B(4, ?4), C (0, 2) ? BC 的中点 D(2, ?1) ? k AD ? ?

1 7

1 ? BC 边上的中线所在的直线方程为 y ? ? ( x ? 5) , 7
即 x ? 7 y ? 5 ? 0 ??????????????????6 分

3 2 (2) ? k BC ? ? ,? k AE ? , 2 3
? BC 边上的高所在的直线的方程为 y ?

2 ( x ? 5) 3

即 2 x ? 3 y ? 10 ? 0 ??????????????????12 分

20. (2014 江苏卷改编) (1) 由于D, E分别是PC, AC的中点,则有PA//DE,

又PA ? 平面DEF , DE ? 平面DEF ,
所以PA//平面DEF ??????????4 分

(2)由?1? 知PA / / DE, 又PA ? AC, 所以PE ? AC, 又F是AB的中点,

所以DE ?

1 1 PA ? 3,EF ? BC ? 4,又DF ? 5,所以DE 2 ? EF 2 ? DF 2 , 2 2

所以DE ? EF , 又EF ? AC ? E, 所以DE ? 平面ABC, 又DE ? 平面BDE, 所以平面BDE ? 平面ABC.??????????8 分
(3)由? 2? 知DE ? 平面ABC, 又DE ? 平面PAC, 所以平面PAC ? 平面ABC ,

平面PAC ? 平面ABC ? AC, 又BE ? AC, BE ? 平面ABC,
所以BE ? 平面PAC.
连接 PE ,则 ?BPE 即为所求。 经计算 BE ? 4 2, PB ? 10 ,故 sin ?BPE ?

2 2 . ??????????12 分 5
8 5

21.答案:(1) 圆心坐标 ? ?1, 2? , k ? 5 ;(2) k ?
2 2

解析:(1)圆 C 的方程可化为: ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 5 ? k , 所以圆心 C 的坐标为 ? ?1, 2? 由 5 ? k ? 0 得 k ? 5 .??????????????????5 分 (2)若 k 存在,联立 ?

? ?

x ? 2y ? 4 ? 0
2 2

? ?? x ? 1? ? ? y ? 2 ?

? 5?k

,消去 x ,整理得

5 y2 ?16 y ? 8 ? k ? 0, 令M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ? ,
? ? 162 ? 20(8 ? K ) ? 0 ,所以 k ?

26 ??????????????????8 分 5

y1 ? y2 ?

1 16 8? k , y1 y2 ? , 因为 x1 ? 2 y1 ? 4 , x2 ? 2 y2 ? 4 , x1x2 ? (4K ? 16) 5 5 5

因为 OM ? ON ,所以 kOM ? kON ? ?1 ,故有 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,代入有 k ?

8 , 5

因为 k ?

8 8 满足 ? ? 0 ,所以存在 k ? ,满足题中条件.???????12 分 5 5

22.答案: (1) f ( x) 是奇函数(2)略(3) ? ??, 2? 解析: (1)∵ f ( x) 对一切 x, y ?R 都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) , 令 x ? y ? 0 ,得: f (0) ? f (0) ? f (0) ,∴ f (0) ? 0 , 令 y ? ? x ,得: f (0) ? f ( x) ? f ( ? x) , ∴ f (? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数.??? ?????????3 分 (2)∵ f ( x) 对一切 x, y ?R 都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) , 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 令 x2 ? x1 ,则 x2 ? x1 ? 0 ,且 f ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? 0 , 由(1)知, f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) . ∴ f ( x) 在 R 上是减函数. ?????????????????? 7 分
x 2 x ? f 4 x ? k ? 0 在 x ? [0,1] 上有解, (3)若关于 x 的不等式 f 4 ? 3?

?

?

?

?

x 即 f (4 ? 3? 2x ) ? f (k ? 4x ) 在 x ? [0,1] 上有解,又 f ( x) 是 R 上的减函数,

2 ? k ? 4 在 x ? [0,1] 上有解, 所以关于 x 的不等式 4 ? 3?
x x x

4 ? 3?2 在 x ? [0,1] 上有解,即 k ? (2? 即关于 x 的不等式 k ? 2? 4x ? 3? 2x )max
x x

设 g ? x ? ? 2? 4 ? 3? 2 , x ??0,1?, 令t =2x , 则g (t ) ? 2t 2 ? 3t, t ?[1, 2] ,
x x
2 则 g (t ) ? 2(t ? ) ?

3 4

9 , t ? [1, 2] , 8

所以 g (t )max ? g (2) ? 2,? k ? 2, 故 实数 k 的取值范围是 ? ??, 2? .?????? ?????????12 分



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