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辽宁省大连市第二十高级中学届高三数学最后一模(月)试题文-课件



2016 高考模拟高三数学试卷(文科)
考试时间:120 分钟 试题分数:150 分 参考公式:锥体体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3
2

球的表面积公式: S ? 4?R ,其中 R 为半径. 第 I 卷(选择题 共 60 分) 选择题: 本大题共 12 小题,每题 5 分,共 6

0 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} ,集合 B = {x | 0 < x < 3} ,则集合 A ? B = (A) {x | 0 ? x ? 2} (C) {x | 0 ? x ? 3} 2.已知 (B) {x | ?1 ? x ? 2} (D) {x | ?1 ? x ? 3}

1 ? 2i ,则 | a ? bi |? ? 1 ? i ( i 为虚数单位, a, b ? R ) a ? bi
(B) 1 (C) 2 (D)

(A)

1 3 ? i 2 2

10 2

3. 命题“ ? x ? 0, ln x ? x ? 1 ”的否定是 (A) ? x0 ? 0 , ln x0 ? x0 ? 1 (C) ? x0 ? 0 , ln x0 ? x0 ? 1 4. 下列函数中既是奇函数又是增函数的为 (A) y ? tan x( x ? k? ? (B) ? x0 ? 0 , ln x0 ? x0 ? 1 (D) ? x0 ? 0 , ln x0 ? x0 ? 1

?
2

, k ? Z ) (B) y ? 2 x ? 2? x

(C) y ? x 3 ? x

(D) y ? x 2

1

5.已知 ? ? (0, ? ),sin ? ? cos ? ? (A) ?1

2 ,则 tan ? ?
(B)

1

(C) ?1 或 1

(D)

2 2

6.执行如右图所示的程序框图,

开始 输入 n, a1, a2 ,...,an

1

s ? 0, i ? 1
i?n


i ? i ?1

(i ? 1) ? s ? a

若输入的 n ? 2, a1 ? 1, a2 ? 3 ,则输出的 s 的值为 (A) 1 (C) 3 (B) 2 (D) 4

7.如图,古代数学家通过在一个正方形道具内撒豆子 估计圆周率的值,假设在正方形内总共随机撒了 N 粒豆子,数出落在正方形内切圆内的豆子为 M 粒, 则估计圆周率的值为

M (A) N 4M (C) N

2M (B) N 8M (D) N

(第 6 题图)

8.已知不重合直线 m, n ,不重合平面 ? , ? , 则下列是 m / /? 的充分条件的是 (A) m / / n, n / /? (B) m / / ? , ? / / ? (C) n ? ? , m ? n (第 7 题图) (D) ? ? ? ? l , m ? ? , m / / l

9. 要得到函数 y ? cos(2 x ? (A)向左平移

?
4

) 的图象,可由 y ? sin 2 x 函数
(B)向右平移

3? 个长度单位 8 3? (C)向左平移 个长度单位 4

3? 个长度单位 8 3? (D) 向右平移 个长度单位 4

x2 10.双曲线 ? y 2 ? 1 上一点 P 到该双曲线两条渐近线距离之积为 4
(A)

5 4
2

(B)

4 5

(C)

2 5 5

(D)

5 2

11.已知抛物线 y ? 4 x 上一动点 P ,定点 M (4, 0) ,则 | PM | 的最小值为 (A) 2 3 (B) 4
3

(C) 12

(D) 16

12.过点 (1,1) 作函数 f ( x) ? x ? x 的切线的条数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)
2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 AB ? (2,1), AC ? (?3, 2) ,则 AB ? BC ? ________.

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

? x? y ?5? 0 ? 14.若 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2x ? y 的取值范 ?x ? 2 y ?1 ? 0 ?
围为____________. 15. 如图,在小正方形边长为 1 的网格中画出了某多面体的三视 图,则该多面体的外接球表面积为 16.已知四边形 ABCD 中,AB ? 4, CD ? . (第 15 题图)

则 BC ? ________. 3, ?A ? 60? , ?B ? ?D ? 90? ,

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知公差不为 0 的等差数列 ?an ? (n ? N *) , a1 ? 4 ,其前 n 项和为 Sn ,且 S1、S2 、 S4 是某等 比数列的第一、三、五项. (Ⅰ)求该等比数列的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 (n ? N *) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . Sn ? 1

18.(本小题满分 12 分) 某手机厂商推出一款 6 吋大屏手机,现对 500 名该手机使用者( 200 名女性, 300 名男性)进
3

行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下: 女性用户: 分值区间 频数 男性用户: 分值区间 频数

[50,60)
20

[60,70)
40

[70,80)
80

[80,90)
50

[90,100]
10

[50,60)
45

[60,70)
75

[70,80)
90

[80,90)
60

[90,100]
30

(Ⅰ)完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不要求计算具 体值,给出结论即可) ;
0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 O
频率 组距

50 60 70 80 90 100 女性用户

评分

0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 O

频率 组距

50 60 70 80 90 100 男性用户

评分

(Ⅱ)如果评分不低于 70 分,就表示该用户对手机“认可” ,否则就表示“不认可” ,完成下 列 2 ? 2 列联表,并回答是否有 95 % 的把握认为性别和对手机的“认可”有关; 女性用户 “认可”手机 “不认可”手机 合计 附: 男性用户 合计

? =
2

n?

n 1- n2 ? n1 + n 2 n
2 1

2 +

n

1

2 nP 2? ? ? 2k?

1 2

0.05 3.841

0.01 6.635

n+

k 1

+

(Ⅲ)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户,在这 20 名用户中,从评 分不低于 80 分的用户中任意取 2 名用户,求两名用户评分都小于 90 分的概率.

P

19.(本小题满分 12 分) 已 知 四 棱 锥

E

P?

A

B 中 C ,D
4

A

D C

B

PA ? PC ? PD ? AD ? 2 AB ? 2BC ? 2 , BC / / AD , ?ABC ? 60? .
(Ⅰ)求证:面 PAD ? 底面 ABCD ; (Ⅱ)在棱 PD 上找一点 E ,使得 PB / / 面 ACE ,并求此时三棱锥 P ? ACE 的体积.

(第 19 题图)

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 左右焦点为 F1 , F2 ,定点 A(a, b) , C 上一动点 P 到 F1 距 a 2 b2

离的最小值为 1 ,且 | PA | ? | PF2 | 的最小值为 ( 3 ? 2)a . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)过点 F2 作直线与 C 交于 M , N 两点,求 ?F 1MN 面积的最大值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? a( x ? x) ( a ? R ).
2

(Ⅰ)当 a ? ?1 时, A 为函数 f ( x ) 图象上一点, f ( x ) 在 A 处的切线为 l ,求 l 倾斜角最小时

A 点的横坐标;
(Ⅱ)当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,求实数 a 的取值范围.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则 按所做的第一题记分.作答时请写清题号. 22. (本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲
O

A E M
5

F C B G

D

如图,已知圆 O 和圆 M 交于 A, B 两点, AD 为圆 M 的直径,直线 BD 交圆 O 于 C ,点 G 为 弧 BD 的中点,连结 AG 分别交圆 O 、直线 BD 于 E , F ,连结 CE . (Ⅰ)求证: AG ? EF ? CE ? GD ;

GF EF 2 ? (Ⅱ)求证: . AG CE 2

(第 22 题图)

23. (本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 直 线 l : x ? y ? 3 ? 0, 曲 线 l1 : ?

? x ? t cos? ( t 为参数, t ? 0 , y ? t sin ? ?

0 ?? ?

? x ? cos ? 3? ) ,曲线 C : ? ( ? 为参数).以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立 4 ? y ? 1 ? sin ?

极坐标系. (Ⅰ)求 l 和 C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知 l1 与 l 交于 A 点, l1 与 C 交于 B 点,求

| OA | 的最小值. | OB |

24. (本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ? 2 ? | x ? a | (a ? R)
2

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 4 的解集; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 3a 恒成立,求实数 a 的取值范围.

6

2016 高考模拟高三数学试卷(文科)参考答案 一.选择题 ADBCA BCDAB AB 二.填空题 13. ?9 三.解答题
2 17.解: (Ⅰ)设 ?an ? 公差为 d ,则 S1S4 ? (S2 )2 ,可得 4a1 ? 6a1d ? 4a12 ? 4a1d ? d 2 ,因为

14. [7, ??)

15. 24?

16. 2 3

公差不为 0 ,化简得 d ? 2a1 ? 8 .??????????????2 分 所以 S1 ? 4, S2 ? 16 ,设等比数列公比为 q ,所以 q 2 ? 4 ,所以 q ? ?2 . 所以等比数列的通项公式为 4 ? (?2)n?1 .??????????6 分 (Ⅱ)因为 Sn ? 4n2 ,所以

bn ?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ( ? ) ,????????????? Sn ? 1 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

?9 分 所以

Tn ?

1 1 1 1 1 1 n (1 ? ? ? ? ??? ? ? )? . (n ? N *) .???????????12 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

分 18. (Ⅰ)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图:
0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 O
频率 组距

0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 50 60 70 80 90 100 评分 O

频率 组距

50 60 70 80 90 100

评分

由图可得女性用户的波动小,男性用户的波动大. ??????????????4 分 (Ⅱ) 2 ? 2 列联表如下图: 女性用户 “认可”手机 “不认可”手机 合计 140 60 200 男性用户 180 120 300 合计 320 180 500

7

?2 ?

500(140 ?120 ? 180 ? 60)2 ? 5.208 ? 3.841 ,所以有 95 % 的把握认为性别和对手机的 200 ? 300 ? 320 ?180

“认可”有关. ??????????????8 分 (Ⅲ)运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户,评分不低于 80 分有 6 人,其中评分小于 90 分的人数为 4 ,记为 A, B, C , D ,评分不小于 90 分的人数为 2 ,记为,从 6 人人任取 2 人, 基本事件空间为 ? ? {( AB),( AC ),( AD),( Aa),( Ab),( BC),( BD),( Ba),( Bb),(CD),

(Ca),(Cb),( Da),( Db),(ab)} ,共有 15 个元素.
其中把“两名用户评分都小于 90 分”记作 M , 则 M ? {( AB),( AC ),( AD),( BC),( BD),(CD)} ,共有 6 个元素.

6 2 ? .??????12 分 15 5 ? ABC 19. (Ⅰ)如图,由题可得 为等边三角形, BC / / AD 可得
所以两名用户评分都小于 90 分的概率为

P E

?CAD ? 60? ,由余弦定理可得 CD2 ? 1 ? 4 ? 2 ? 3 ,所以 CD ? 3 ,
所以 ?CAD 为直角三角形, ?ACD ? 90 .???????2 分
o
A O C

D

取 AD 中点 O ,连接 PO, CO ,因为 PA ? PD ,所以 PO ? AD .

B

又因为 OA ? OC ,所以 ?PAO ? ?PCO ,所以 PO ? CO .??????????????4 分 又因为 CO ? AD ? O , CO, AD ? 底面 ABCD ,所以 PO ? 底面 ABCD . 又因为 PO ? 面 PAD ,所以面 PAD ? 底面 ABCD .?????6 分 (Ⅱ) E 点满足 PE : ED ? 1: 2 ,??????????????7 分 证明如下:连接 BD 交 BD 于 F ,连接 EF . 因为 BC / / AD , AD ? 2 BC ,所以 BF : FD ? 1: 2 , 又 PE : ED ? 1: 2 ,所以 PB / / EF . 又 因 为 EF ? 面 ACE , PB ? 面 ACE , 所 以 PB / / 面 ACE .?????????9 分 此时 VE ? ACD ? 所以 VP ? ACE

P E

A F

O C

D

B

2 VP ? ACD , 3 1 1 1 1 1 ? VP ? ACD ? ? ? ?1? 3 ? 3 ? .??????????????12 分 3 3 3 2 6

P 为左 20.解: (Ⅰ)因为 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2a,| PF 2 | ? | PF 1 |? 2c ,所以 | PF 1 |? a ? c ? 1 ,在
顶点时取到. ??????????????2 分
8

点 A(a, b) 在椭圆外,所以

| PA | ? | PF2 |?| PA | ? | PF1 | ?2a ? ( a ? c) 2 ? b 2 ? 2a ? ( 3 ? 2) a ,
化简得 a ? 2c ,??????????????4 分 所以 a ? 2, c ? 1, b ? 3 .??????????????5 分

(Ⅱ)椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,由题可设直线 MN 方程为 my ? x ? 1 ,联立可得 4 3

(3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 ,显然 ? ? 0, m ? R .??????????????7 分
设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,则 ?F 1MN 的面积

1 12 m2 ? 1 ,????????9 分 S ? ? 2? | y1 ? y2 |? 2 3m2 ? 4
设 m2 ? 1 ? t ? 1,则 S ?

1 1 12 t 12 ) , g '(t ) ? 3 ? 2 ? 0(t ? 1) , ,设 g (t ) ?3t ? (t ?1 ? 2 t t 3t ? 1 3t ? 1 t

3 所以 g (t ) ? 3t ? (t ? 1) 为增函数,所以 g (t ) 最小值为 g (1) ,所以 ?F 1MN 的面积最大值为 ,
当 t ? 1, m ? 0 时取到. ??????????????12 分 21. (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f '( x ) ?

1 t

1 1 2 ? 2 x ? 1 ? 2 2 ? 1 ? 0(x ? 0) ,当 ? 2 x 即 x ? 时取 x x 2

等号.所以 l 倾斜角最小时 A 点的横坐标为

2 .??????????????4 分 2

(Ⅱ) f '( x) ?

1 ?2ax 2 ? ax ? 1 2 ? 2ax ? a ? ,设 g ( x) ? ?2ax ? ax ? 1( x ? 0) , x x

(1)当 a ? 0 时, f ( x ) 在 x ? 1 时为增函数,所以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,舍;???????5 分 (2)当 a ? 0 时, g ( x) 开口向上,对称轴为 x ?

1 , g (1) ? 1 ? a ? 0 , f ( x ) 所以在 x ? 1 时 4

为增函数,所以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,舍;????????????6 分
9

(3)当 a ? 0 时,二次函数 g ( x) 开口向下,且 g (0) ? 1 ? 0 ,所以 g ( x) 在 x ? 0 时有一个零 点 x0 ,在 (0, x0 ) 时 g ( x) ? 0 ,在 ( x0 , ??) 时 g ( x) ? 0 , ①当 g (1) ? 1? a ? 0 即 a ? 1 时, g ( x) 在 (1, ??) 小于零,所以 f ( x ) 在 x ? 1 时为减函数,所 以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,符合题意;??????????????9 分 ②当 g (1) ? 1? a ? 0 即 a ? 1 时, g ( x) 在 (1, x0 ) 大于零,所以 f ( x ) 在 (1, x0 ) 时为增函数,所 以 f ( x) ? f (1) ? 0 ,舍. 综上实数 a 的取值范围为 [1, ??) .??????????????12 分 22. 连接 AB ,证明全等,过程略. 23. (Ⅰ) l 的极坐标方程为 ? cos? ? ? sin ? ? 3 ? 0 , C 的一般方程为 x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,所 以极坐标方程为 ? ? 2sin ? .??????????????4 分 (Ⅱ)l1 的极坐标方程为 ? ? ? , 所以 | OA |? 6分

3 ,| OB |? 2sin ? .???????? cos ? ? sin ?

| OA | 3 3 3 ? ? ? ? 3 2 ? 3 ,?????9 分 ? | OB | sin 2? ? cos 2? ? 1 2 ? 1 2 sin(2? ? ) ? 1 4 ? ? 3? 当 2? ? ? , ? ? 时取到等号. ??????????????10 分 4 2 8
所以

? 2 x ? 1, x ? 1 ? 24. (Ⅰ) a ? 1 时, f ( x ) ? x ? 2 ? | x ? 1|? ? 3, ?2 ? x ? 1 , ??2 x ? 1, x ? ?2 ?
当 x ? 1 时,f ( x) ? 4 解得 x ? 解得 x ? ?

3 ; 当 ?2 ? x ? 1 时,f ( x) ? 4 解得空集; 当 x ? ?2 时,f ( x) ? 4 2

5 . 2 5 2 3 2

综上:不等式 f ( x) ? 4 的解集为 (??, ? ) ? ( , ??) .??????????????5 分

10

? 2x ? 2 ? a2 , x ? a2 ? 2 2 2 (Ⅱ) f ( x) ? x ? 2 ? | x ? a |? ? a ? 2, ?2 ? x ? a , ??2 x ? 2 ? a 2 , x ? ?2 ?
所 以 f ( x ) 在 ?2 ? x ? a
2

时 取 到 最 小 值 2?a

2

, 所 以 2 ? a ? 3a , 解 得
2

a ? (??,1] ? [2, ??) .???????????10 分

11



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