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【优化方案】2014届高考数学8.3 抛物线 课时闯关(含答案解析)



一、选择题 1.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为( ) 1 A. B.1 2 C.2 D.4 p 解析:选 C.由抛物线的标准方程得准线方程为 x=- .由 x2+y2-6x-7=0 得(x-3)2+ 2 2 y =16. p ∵准线与圆相切,∴3+ =4,∴p=2. 2 2.(2012· 高考四川卷)已知抛物线关于 x

轴对称,它的顶点在坐标原点 O,并且经过点 M(2,y0).若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3,则|OM|=( ) A.2 2 B.2 3 C.4 D.2 5 2 解析:选 B.由题意设抛物线方程为 y =2px(p>0), p p 则 M 到焦点的距离为 xM+ =2+ =3,∴p=2, 2 2 2 2 ∴y =4x.∴y0=4×2,∴y0=± 2, 2 2 ∴|OM|= 4+y0= 4+8=2 3. 3.(2013· 四川成都模拟)设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,过点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点.若线段 AB 的中点 E 到 y 轴的距离为 3,则弦 AB 的长为( ) A.5 B.8 C.10 D.12 解析:选 C.设 A(x1,y1),B(x2,y2), |AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+4, x1+x2 又 E 到 y 轴距离为 3,∴ =3. 2 ∴|AB|=10. 4.(2011· 高考课标全国卷)已知直线 l 过抛物线 C 的焦点,且与 C 的对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 解析:选 C.不妨设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),由于 l 垂直于对称轴且过焦点, p 故直线 l 的方程为 x= .代入 y2=2px 得 y=± p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故 p=6,所以抛 2 1 物线的准线方程为 x=-3,故 S△ABP= ×6×12=36. 2 5. (2011· 高考四川卷)在抛物线 y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为 x1=-4,2=2 的两点, x 过这两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2+5y2=36 相切, 则抛物线顶点的坐标为( ) A.(-2,-9) B.(0,-5) C.(2,-9) D.(1,-6) 解析:选 A.当 x1=-4 时,y1=11-4a;当 x2=2 时,y2=2a-1,所以割线的斜率 k= 11-4a-2a+1 =a-2.设直线与抛物线的切点横坐标为 x0, -4-2 由 y′=2x+a 得切线斜率为 2x0+a, ∴2x0+a=a-2,∴x0=-1. ∴直线与抛物线的切点坐标为(-1,-a-4),切线方程为 y+a+4=(a-2)(x+1),即(a -2)x-y-6=0.

圆 5x2+5y2=36 的圆心到切线的距离 d=

6 6 6 .由题意得 = ,即 2 2 5 ?a-2? +1 ?a-2? +1

(a-2)2+1=5.又 a≠0, ∴a=4,此时,y=x2+4x-5=(x+2)2-9. 顶点坐标为(-2,-9). 二、填空题 6.(2012· 高考重庆卷)过抛物线 y2=2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A,B 两点,若|AB| 25 = ,|AF|<|BF|,则|AF|=__________. 12 1 1 解析:由于 y2=2x 的焦点坐标为?2,0?,设 AB 所在直线的方程为 y=k?x-2?,A(x1, ? ? ? ? y1),B(x2,y2),x1<x2, 1 1 将 y=k?x-2?代入 y2=2x,得 k2?x-2?2=2x, ? ? ? ? k2 1 ∴k2x2-(k2+2)x+ =0.∴x1x2= . 4 4 25 13 而 x1+x2+p=x1+x2+1= ,∴x1+x2= . 12 12 1 3 ∴x1= ,x2= . 3 4 p 1 1 5 ∴|AF|=x1+ = + = . 2 3 2 6 5 答案: 6 7.已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,C 上的点 M 在 C 的准线上的射影为 M′,若 → → 1 → → MM′· = |MM′|· |,则点 M 的横坐标为________. MF |MF 2

解析:如图所示, → → → → ∵MM′· =|MM′||MF|cos∠M′MF MF 1 → → = |MM′||MF|, 2 1 ∴cos∠M′MF= .∴∠M′MF=60° . 2 又∵|M′M|=|MF|,故△MM′F 为正三角形. 设 M(x,y),则 M′(-1,y),F(1,0), ∴|M′F|= ?-1-1?2+y2=|MM′|=x+1, 整理得 y2=x2+2x-3, 将 y2=4x 代入 y2=x2+2x-3 得 x2-2x-3=0, 即 x=3 或-1(舍). 答案:3 8.(2011· 高考重庆卷)设圆 C 位于抛物线 y2=2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边 界)内,则圆 C 的半径能取到的最大值为__________.

解析:如图所示,若圆 C 的半径取到最大值,必须为圆与抛物线及直线 x=3 同时相切, 设圆心的坐标为(a,0)(a<3),则圆的方程为(x-a)2+y2=(3-a)2,与抛物线方程 y2=2x 联立 得 x2+(2-2a)x+6a-9=0,由判别式 Δ=(2-2a)2-4(6a-9)=0,得 a=4- 6, 故此时半径为 3-(4- 6)= 6-1. 答案: 6-1 三、解答题 9.(2013· 东北三校调研)点 M(5,3)到抛物线 y=ax2 的准线的距离为 6,试求抛物线的方 程. 1 1 1 解:当抛物线开口向上时,准线为 y=- ,点 M 到它的距离为 +3=6,a= ,抛 4a 4a 12 1 物线的方程为 y= x2. 12 1 1 1 当抛物线开口向下时,准线为 y=- ,M 到它的距离为- -3=6,a=- .抛物线 4a 4a 36 1 的方程为 y=- x2. 36 1 1 所以,抛物线的方程为 y= x2 或 y=- x2. 12 36 10.设抛物线 y2=4ax(a>0)的焦点为 A,以 B(a+4,0)点为圆心,|BA|为半径,在 x 轴上 方画半圆,设抛物线与半圆相交于不同两点 M、N,点 P 是 MN 的中点.求|AM|+|AN|的值. 解:设 M、N、P 在抛物线的准线上射影分别为 M′、N′、P′, 则由抛物线定义得 |AM|+|AN|=|MM′|+|NN′|=xM+xN+2a. 又圆的方程为[x-(a+4)]2+y2=16, 将 y2=4ax 代入得 x2-2(4-a)x+a2+8a=0, ∴xM+xN=2(4-a),所以|AM|+|AN|=8.

11.(探究选做)如图,设抛物线方程为 x2=2py(p>0),M 为直线 y=-2p 上任意一点, 过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B. (1)求证:A,M,B 三点的横坐标成等差数列; (2)已知当 M 点的坐标为(2,-2p)时,|AB|=4 10.求此时抛物线的方程. x2 x2 1 2 解:(1)证明:由题意设 A(x1, ),B(x2, ),x1<x2, 2p 2p x2 x x1 x2 M(x0,-2p).由 x2=2py 得 y= ,则 y′= ,所以 kMA= ,kMB= .因此直线 MA 的 2p p p p x1 方程为 y+2p= (x-x0). p x2 直线 MB 的方程为 y+2p= (x-x0). p

x2 x1 1 所以 +2p= (x1-x0),① 2p p x2 x2 2 +2p= (x2-x0),② 2p p x1+x2 由①-②得 =x1+x2-x0, 2 x1+x2 因此 x0= ,即 2x0=x1+x2. 2 所以 A,M,B 三点的横坐标成等差数列. (2)由(1)知,当 x0=2 时,将其代入①、②并整理得 x2-4x1-4p2=0,x2-4x2-4p2=0, 1 2 所以 x1、x2 是方程 x2-4x-4p2=0 的两根, 因此 x1+x2=4,x1x2=-4p2, x2 x2 2 1 - 2p 2p x1+x2 x0 2 又 kAB= = = ,所以 kAB= . 2p p p x2-x1 由弦长公式得|AB|= 1+k2 · ?x1+x2?2-4x1x2 AB 4 = 1+ 2· 16+16p2. p 又|AB|=4 10, 所以 p=1 或 p=2. 因此所求抛物线方程为 x2=2y 或 x2=4y.



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