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任意角讲练结合



任意角讲练结合

教材 数学必修4(新课标人教版高中新教材) 课题 任意角 教学目标
方法.
(1)理解任意角以及象限角的概念. (2) 掌握所有与α角的终边相同的角(包括α角)的表示 (3) 树立运动变化观点,深刻理解推广后的角的概念.

教学模式
讲练结合

? 教学主题
<

br />通过对任意角概念的学习,体验角的概 念的扩展的必要性,促使学生 对数学知识形 成延续性的认识,并学会用运动变化的观点 认识事物.
? 教学程序

会建立直角坐标系讨论任意角,能判断 象限角,会书写终边相同角集 合,掌握区间 角的集合的书写.

教学过程
? 问题一: 初中角的概念是如何定义的呢? ? 问题二: 常见的角度有哪些?角的取值范围是从多少度到多少 度?

角的定义(初中):
定义: 从一点出发的两条射 线所组成的图形
? 角的范围: 0

~

360

?

角分类:锐角、直角、钝角、平角、周角. z

2016/6/14 小田 @ www.iloveppt.org

思考:

你的手表慢了 5 分钟,你是怎样将它校准的? 分针应该旋转多少度?
假如你的手表快了1.25小时,你应当如何将 它校准? 当时间校准后,分针旋转了多少度?

跳水运动员向内、向外转体两周半,这是多
大角度?

体操中有转体 两周或转体两 周半,如何度 量这些角度呢?

2016/6/14

这些例子不仅不在0°~360°范围内,而 且有方向,如何解决这一问题?

有必要将角的概念及范围推 广 关键是用运动的观点来看待角的变化.

1.1.1 任意角

终边

B
顶 点 o

?

A

始边

定义:平面内一条射线绕着端点从一个 位置旋转到另一个位置所形成的 图形。
? 角的表示: ?AOB, ?? 简记:

角的构成要素
B

方向 始边

终边

O

A

顶点

一条射线由原来位置OA,绕着它的端点O
B

(1)按逆时针方向旋转 转到OB形成的角, 规定为正角.
O

?
A

(2)按顺时针方向旋转所 形成的角规定为负角. (3)射线没作任何旋转时, 规定为零角.
B

O

A

?

提问:如何画出210°,-150°,660°的角?

6.已知角?在0? ~ 360?内,并且?的终边与? 50?角 的终边关于 x轴对称,则 ? ? _______ .

解析:由题,可知? 50?角的终边关于 x轴对称的最小正角为 50?。 设? 为与50?角的终边相同的角, 则? ? k ? 360? ? 50 ( ? k ? Z) . 又?在0? ~ 360?内,则? ? 50?.
全优第3页能力提高

象限角:

终边落在第几象限就是第几象限角
y 终边

x
o 始边

? ?Ⅰ
?? Ⅱ
? ?Ⅲ
终 边

终边

终 边

??



1)置角的顶点于原点 2)始边重合于X轴的正半轴

练习:课本:P5 3(1)(2),1
思考:90°是第一象限角?为什么? ?角的终边在坐标轴上的角(角的终边不在 任何象限的角), 轴线角:如果角的终边落在坐标轴上,就说 该角不属于任何象限,习惯上称其为轴线 角. 思考:小于90°的角是锐角吗?为什么?

思考:锐角与第一象限的角是什么关系? 钝角与第二象限的角是什么关系? 直角与轴线角是什么关系? 锐角一定是第一象限的角,第一象限角不 一定是锐角. 钝角一定是第二象限的角,第二象限角不 一定是钝角.

直角一定是轴线角,轴线角不一定是直角.

思考:第二象限的角一定比第一象限 的角大吗? 象限角只能反映角的终边所在象限,

不能反映角的大小.

1.已知A={第一象限角},B={锐角},C= {小于90°的角},那么A,B,C的关系是( ) A.B=A∩C B.B∪C=C C.A?C D.A=B=C

解析:∵A={第一象限角},B={锐角}, C={小于90°的角}, ∴B∪C={小于90°的角}=C, 即B?C,B?A. 【答案】B
全优第83页

? 思考:一个角的角度一旦确定,其终边位 置可否确定?

?思考:一个角的终边确定,其角度可否确 定下来?

【例】 在坐标系中画出下列各角, 观察它们的终边具有什么关系? 任意两角的关系是什么呢? -32°,328°,-392°
y
328°

o -32° -392°

x

-32°,328°,-392°

思考:它们的终边 具有什么关系呢?

解答:各角的终边相同

思考:终边相同的角间具有什么关系呢? 如何表示与∠α终边相同的角呢? 解: 328°=-32°+360° -392°= -32°- 360°

思考:所有与-32°角终边相同的角,连同-32°
角在内,可构成一个集合S,你能用描述 法表示集合S吗?

S= β β=-32 +k ?360 ,k ? Z
o o

?

?

终边相同的角 所有与 ? 终边相同的角,连同 ? 在内都可以
写成 式 .

? ? ? ? k ? 360 (k 是整数)的形
0

?? | ? ? ? ? k ? 360 , k ? Z?
?

练习:课本5页 2

【例1】在 0? ?~360? ? 间,找出与 ? 950? 08? 角终边相同的 角,并判定它们是第几象限角.

0

360

? 950?08? ? 129?52? ? 3 ? 360?
所以与?950 08?角终边相同的角是129 52? ,
?
?

它是第二象限角.

练习:课本5页 4(2)(3)

例2 写出终边在y轴上的角的集合。

解: 0o~360o内,终边在y轴上的角有900,2700
S1={β| β=900+k?3600,k∈Z} ={β| β= 900+(2k)?1800, k∈Z} S2={β| β=2700+k?3600,k∈Z}

={β| β= 900+1800+2k?1800, k∈Z}
={β| β= 900+(2k+1)1800 ,k∈Z}

所以, 终边在y轴上的角的集合: S=S1∪S2={β|β=900+k?1800 ,k∈Z}

例题补充:终边在x轴上的角的集合?

?? ? =k ? 180 , k ? Z ?
?

例2:写出终边在Y轴上的角的集合: 思路一:分正负半轴两种情况分析。 思路二:Y轴可以看成是X轴按逆时针 旋转90°得到。

{? ? ? 90? ? k ?180?,k ? Z}

终边在坐标轴上角的取值
900+K*3600 y

1800

+K*3600

o

x 00 +K*3600 或3600+K*3600

2700 +K*3600
思考:如何表示象限角?

象限角的表示:

?1).第一象限角 0? ? ? ? 90? ? ? ? ? S ? ? | k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k?Z ? ?2).第二象限角 90? ? ? ? 180? ? ? ? ? ? ? S ? ? | k ? 360 ? 90 ? ? ? k ? 360 ? 180 , k ? Z ? 角 ?3).第三象限角 180? ? ? ? 270? ? S ? ? | k ? 360? ? 180? ? ? ? k ? 360? ? 270? , k ? Z ? ?4).第四象限角 270? ? ? ? 360? ? ? S ? ? | k ? 360? ? 270? ? ? ? k ? 360? ? 360? , k ? Z ? ?

?

?

?

? ? ?

?

?

【例3】 写出终边在直线 y ? x 上的角的集合 0 0 ? 360 ? ? ? 720 S,并把S中适合不等式 的元素 写出来. 解:终边在射线 y = x 正方向上的角的集合是 0 0 ? | ? ? 45 ? k ? 360 , k ? Z} A={ 终边在终边在射线 y= x负方向上的角的集合是

B={ ? | ? ? 225 ? k ? 360 , k ? Z }
0 0

所以终边在y=x上的角的集合是
S ? ?? | ? ? 2250 ? k ? 3600 , k ? Z ?
0

? ?? | ? ? 450 ? k ?1800 , k ? Z ?
? S中适合 ?3600 ? ? ? 7200 的元素是

? ?? | ? ? 45 ? k ? 360 , k ? Z ?
0

45°-2×180°= -315°
45°+0×180°= 45°

45°-1×180°= -135°
45°+1×180°= 225°

45°+2×180°= 405°

45°+3×180°= 585°

练习:课本5页 5(2)

8.写出在过点 (2,2)的直线上的角的集合, 该集合中 介于 ? 180?到180?之间的角有哪些?

解: ∵ 过点(2,2)的直线是第一、三象限 的平分线, 可见所求角的集合是 S ? {? | ? ? k ? 360? ? 45?,k ? Z } ? {? | ? ? k ? 360? ? 225?,k ? Z }, 即S ? {? | ? ? k ?180? ? 45?,k ? Z }. 该集合中介于- 180?到180?之间的角有- 135?, 45?。
全优第3页能力提高

S={β|β=450+k?1800 ,k∈Z}
练习: 写出终边在如 图位置的角的集 合:zx、xk

y=x

练习:课本10页 5

2.下列表示中不正确的是( ) A.终边在坐标轴上的角的集合是{α|α=k· 90°,k∈Z} B.与-50°的终边相同的角的集合是 {α|α=k· 360°+310°, k∈Z} C.终边在第二、四象限的角平分线上的角的集合是 {α|α=k· 360°-45°,k∈Z} D.终边在直线y=x上的角的集合是 {α|α=k· 180°+45°,k∈Z}

答案:C

全优第83页

4.若?是第四象限的角,则 180? - ?是
全优第83页 第 ______象限的角。

解析: ∵?是第四象限的角, ? -?是第一象限角, 则由任意角的定义知, 180? - ?是第三象限角。

5.如果θ为小于360°的正角,且这个角θ的4倍角 即4θ与这个角的终边重合,求θ的值.

【解析】由题意得4θ=θ+k· 360°(k∈Z), 即 θ= k · 120°, 而θ为小于360°的正角, 所以θ的值为120°或240°.
全优第83页

全优第2页典例剖析

【解析】 (1)因为终边为 OA 的角的集合为{α|α=k·360°-30°,k∈Z}, 终边为 OB 的角的集合为{β|β=k·360°-45°,k∈Z}, 故终边落在阴影部分的角的集合是 {α|k·360°-45°≤α<k·360°-30°,k∈Z}.

全优第3页变式训练

3. 如图所示的阴影部分是 45°角(终边为 OA)与 300°角(终边为 OB)的终边所夹的区域, 试写出阴影区域内的角的集合(虚线表示不 含边界).

【解析】阴影区域内的角的集合是 S={α|k·360°-60°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}.



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