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直线与圆、圆与圆的位置关系



直线与圆、圆与圆的位置关系
时间:45 分钟 分值:100 分

一、选择题(每小题 6 分,共 48 分) 1.若直线(1+a)x+y+1=0 与圆 x2+y2-2x=0 相切,则 a 的值 为( ) A.1,-1 C.1 【答案】 D 【解析】 将圆 x2+y2-2x=0 的方程化为标准式(x-1)2+y2=1, ∴其圆心为(1,0),半径为 1. 若直线(1+a)x+y+1=0 与该圆相切,则圆心到直线的距离 d 等 于圆的半径 r. ∴ |1+a+1| =1,∴a=-1. ?1+a?2+1 ) B.2,-2 D.-1

2. x2+y2=1 与直线 y=kx+2 没有公共点的充要条件是( 圆 A.k∈(- 2, 2) B.k∈(-∞,- 2)∪( 2,+∞) C.k∈(- 3, 3) D.k∈(-∞,- 3)∪( 3,+∞) 【答案】 C

【解析】 圆 x2+y2=1 的圆心为 O(0,0),则 O 到直线 y-kx-2 =0 的距离为 2 . 1+k2
?

由于直线和圆没有公共点,因此?

2 ? 2?>1, ? 1+k ?

∴1+k2<4,∴- 3<k< 3. 3.(2012· 青岛市质检)圆 x2+y2-2x-2y+1=0 上的点到直线 x -y=2 的距离的最大值是( A.2 2 C.2+ 2 【答案】 B 【解析】 圆心 C(1,1)到直线 x-y-2=0 距离 d= 2, ∴所求最 大值为 d+r= 2+1. 4.(2012· 北京延庆县模考)已知圆 C:(x-a)2+(y-2)2=4 及直线 l:x-y+3=0,当直线 l 被 C 截得的弦长为 2 3时,a 等于( A. 2 C.± 2-1 【答案】 C 【解析】 圆心 C(a,2)到直线 l 距离 d= 半径 R=2, 由题意得:22=( 3)2+?
?|a+1|?2 ? ,∴a=-1± 2. 2 ? ?

) B.1+ 2 D.1+2 2

)

B.2- 3 D. 2+1

|a-2+3| |a+1| = ,⊙C 2 2

5.(2011· 福州市期末)定义:平面内横坐标为整数的点称为“左 整点”.过函数 y= 9-x2图像上任意两个“左整点”作直线,则倾 斜角大于 45° 的直线条数为( A.10 C.12 【答案】 B 【解析】 依据“左整点”的定义知,函数 y= 9-x2的图像上 ) B.11 D.13

共有七个左整点,如图过两个左整点作直线,倾斜角大于 45° 的直线 有:AC,AB,BG,CF,CG,DE,DF,DG,EF,EG,FG 共 11 条,故选 B.

x2 y2 6.(2011· 江西南昌调研)设圆 C 的圆心在双曲线a2- 2 =1(a>0) 的右焦点上,且与此双曲线的渐近线相切,若圆 C 被直线 l:x- 3y =0 截得的弦长等于 2,则 a=( A. 14 C. 2 【答案】 C 2 【解析】 由条件知,圆心 C( a2+2,0),C 到渐近线 y= a x 2?a2+2? 的距离为 d= = 2为⊙C 的半径,又截得弦长为 2,∴圆心 2+a2 a2+2 C 到直线 l: x- 3y=0 的距离 2 =1, 2=2, ∴a ∵a>0, ∴a= 2. 7.(2011· 广东理,2)已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2 =1}, B={(x, y)|x, 为实数, y=x}, A∩B 的元素个数为( y 且 则 A.0 C.2 【答案】 C 【解析】 本题考查集合的概念、集合交集的基本运算.可采用 B.1 D.3 ) ) B. 6 D.2

数形结合方法直接求解.集合 A 中点的集合是单位圆,B 中点的集合 是直线 y=x,A∩B 中元素个数,即判断直线 y=x 与单位圆有几个公 共点,显然有 2 个公共点,故 A∩B 中有 2 个元素.选 C. 8.(2012· 泰安质检)如果直线 y=kx+1 与圆 x2+y2+kx+my-4 =0 交于 M、N 两点,且 M、N 关于直线 x+y=0 对称,则不等式组

?kx-y+1≥0 ? ?kx-my≤0 ?y≥0 ?
1 A.4 C.1

表示的平面区域的面积是(

)

1 B.2 D.2

【答案】 A 【解析】 ∵直线 y=kx+1 与圆的两交点 M、N 关于直线 x+y =0 对称,∴圆心在直线 x+y=0 上,且两直线 y=kx+1 与 x+y=0

?k=1 垂直,∴? k ? m? ?-2+?- 2 ?=0 ? ?



? ?k=1 ? ? ? ∴ ,∴不等式组化为?x+y≤0 ? ?m=-1 ? ?y≥0
1 1 如图,故其面积 S=2|OA|·B=4. y

x-y+1≥0 ,表示的平面区域

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分)

9.(2010· 四川,14)直线 x-2y+5=0 与圆 x2+y2=8 相交于 A、 B 两点,则|AB|=________. 【答案】 2 3 【解析】 圆心到直线的距离 d= 弦长|AB|=2 R2-d2=2 8-5=2 3. 10.已知圆 O:x2+y2=5 和点 A(1,2),则过 A 且与圆 O 相切的 直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________. 【答案】 25 4 5 = 5,半径 R=2 2,所以 5

【解析】 本题考查直线和圆的位置关系、点到直线的距离公式 以及运算能力. 由题意知切线的斜率存在,设为 k, 切线方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y+2-k=0, 由点到直线的距离公式,得 |2-k| = 5, k2+1

1 1 5 解得 k=-2,∴切线方程为-2x-y+2=0, 5 令 x=0,y=2,令 y=0,x=5, 1 5 25 ∴三角形面积为 S=2×2×5= 4 . m 11.(2011· 江苏,14)设集合 A={(x,y)| 2 ≤(x-2)2+y2≤m2,x, y∈R},B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若 A∩B≠?,则 实数 m 的取值范围是________. 1 【答案】 [2,2+ 2] 【解析】 ①若 m<0,则符合题的条件是:直线 x+y=2m+1

与 圆 (x - 2)2 + y2 = m2 有 交 点 , 从 而 ≤m≤

|2-2m-1| 2- 2 ≤|m| , 解 得 2 2

2+ 2 与 ②若 m=0, 代入验证, 可知不符合题意; 2 , m<0 矛盾;

m 1 ③若 m>0,则由 m2≥ 2 ,推出 m≥2,由直线的位置分析,随着 m 的 |2-2m| 增大,直线 l1 和 l2 往右上方平移,直至大圆与 l1 相切为止,则 2 =m(m>1),所以 2m-2= 2m, 2 1 所以 m= =2+ 2.所以2≤m≤2+ 2. 2- 2 1 综上,m 的取值范围为[2,2+ 2]. 三、解答题(共 34 分) 12.(10 分)已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25 和直线 l: (2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R). (1)证明:无论 m 取何实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线 l 被圆 C 截得的线段的最短长度以及此时直线 l 的方程. 【解析】 (1)将直线 l 变形,得 m(2x+y-7)+(x+y-4)=0. 对任意实数 m,方程成立,
?2x+y-7=0, ?x=3, ? ? ∴? 解得? ? ? ?x+y-4=0. ?y=1.

∴对任意实数 m,直线 l 恒过定点 A(3,1). 又∵|AC|= 5<5,∴A 在圆 C 内. ∴对任意实数 m,直线 l 与圆恒相交于两点. 1 (2)kAC=-2,由平面几何定理得 kl=2, 由点斜式得 y-1=2(x-3),即 2x-y-5=0 为被圆截得的线段

最短时的直线方程. 此时最短弦长为 2 25-5=4 5. 13.(12 分)(2011· 广东理,19)设圆 C 与两圆(x+ 5)2+y2=4,(x - 5)2+y2=4 中的一个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程; 3 5 4 5 (2)已知点 M( 5 , 5 ),F( 5,0),且 P 为 L 上动点.求||MP| -|FP||的最大值及此时点 P 的坐标. 【解析】 (1)两圆半径都为 2,设圆 C 的半径为 R,两圆心为 F1(- 5,0),F2( 5,0), 由题意得|CF1|-2=|CF2|+2=R 或|CF2|-2=|CF1|+2=R, 则||CF1|-|CF2||=4<2 5=|F1F2|, 可知圆心 C 的轨迹是以原点为中心,以 F1,F2 为焦点且焦点在 x2 y2 x 轴上的双曲线,设方程为a2-b2=1(a>0,b>0),则 2a=4,a=2,c = 5,b2=c2-a2=1,b=1, x2 2 ∴轨迹 L 的方程为 4 -y =1. x2 2 (2)过点 M,F 的直线 l 的方程为 y=-2(x- 5),将其代入 4 -y 6 5 14 5 6 5 =1 中,解得 x1= 5 ,x2= 15 ,故直线 l 与 L 的交点为 T1( 5 , 2 5 14 5 2 5 - 5 ),T2( 15 , 15 ),因为 T1 在线段 MF 外,T2 在线段 MF 上, 故|MT1|-|FT1|=|MF|=2, ||MT2|-|FT2||<|MF|=2, 若点 P 不在 MF 上, 则||MP|-|FP||< |MF|=2, 综上所述, ||MP|-|FP||只在点 T1 处取得最大值. 即||MP|

6 5 2 5 -|FP||的最大值为 2,此时点 P 的坐标为( 5 ,- 5 ). 14.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1:(x+3)2+(y -1)2=4 和圆 C2:(x-4)2+(y-5)2=4 (1)若直线 l 过点 A(4,0),且被圆 C1 截得的弦长为 2 3,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直 的直线 l1 和 l2,它们分别与圆 C1 和圆 C2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得 的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,试求所有满足条件的点 P 的坐标.

【解析】 (1)由于直线 x=4 与圆 C1 不相交,所以直线 l 的斜率 存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-4),圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 |1-k?-3-4?| d,因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3,所以 d= ,4 1+k2 =( 3)2+d2, 7 ∴k(24k+7)=0,即 k=0 或 k=-24, 所以直线 l 的方程为 y=0 或 7x+24y-28=0 (2)设点 P(a, b)满足条件, 不妨设直线 l1 的方程为 y-b=k(x-a), 1 k≠0, 则直线 l2 的方程为 y-b=-k (x-a), 因为 C1 和 C2 的半径相等, 及直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l2 被圆 C2 截得的弦长相等,所以 圆 C1 的圆心到直线 l1 的距离和圆 C2 的圆心到直线 l2 的距离相等,即

|1-k?-3-a?-b| = 1+k2

1 ? ? ?5+ ?4-a?-b? k ? ? 1 1+k2

整理得:|1+3k+ak-b|=|5k+4-a-bk|, ∴1+3k+ak-b=5k+4-a-bk 或 1+3k+ak-b=-5k-4+a+bk, 即(a+b-2)k=b-a+3 或(a-b+8)k=a+b-5.
?a+b-2=0 ? 因为 k 的取值有无穷多个,所以? , ? ?b-a+3=0 ? ?a-b+8=0 或? , ?a+b-5=0 ?

?a=5 ? 2 解得? 1 ?b=-2 ?

?a=-3 ? 2 或? 13 ?b= 2 ?

1? ?5 ? 3 13? 这样点 P 只可能是点 P1?2,-2?或点 P2?-2, 2 ?. ? ? ? ? 经检验点 P1 和 P2 满足题目条件.



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