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圆锥曲线的解题技巧和方法



圆锥曲线的解题技巧 一、考查目标:
1、熟练掌握三大曲线的定义和性质; 2、能够处理圆锥曲线的相关轨迹问题; 3、能够处理圆锥曲线的相关定值、最值问题。

二、相关知识考查:
1、准确理解基本概念(如直线的倾斜角、斜率、距离等,也要注意斜率的存在与否) 2、熟练掌握基本公式(如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分 点的坐标公

式、到角公式、夹角公式等) 3、熟练掌握求直线方程的方法(如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存 在的各种情况等等) 4、在解决直线与圆的位置关系问题中,要善于运用圆的几何性质以减少运算 5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算 7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法(如:定义法、直接法、相关点法、参 数法、交轨法、几何法、待定系数法等) 8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法,能应用直线与圆锥曲线的位置关 系解决一些常见问题

三、常规七大题型:
(1)中点弦问题
具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法) :设曲线上两点为 ( x1 , y1 ) ,

( x 2 , y 2 ) ,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意
斜率不存在的请款讨论) ,消去四个参数。 如: (1)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线相交于 A 、 B ,设弦 AB 中点为 M(x0,y0) ,则有 a2 b2

x0 y 0 ? k ? 0。 a2 b2
(2)

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有 a2 b2

x0 y 0 ? k ?0 a2 b2
(3)y2=2px(p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.

典型例题

给定双曲线 x ?
2

y2 过A (2, 1) 的直线与双曲线交于两点 P1 ? 1。 2

及 P2 ,

求线段 P1 P2 的中点 P 的轨迹方程。

(2)焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点 F1 、 F2 构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭 桥。 典型例题 设 P(x,y) 为 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 上 任 一 点 , F1 ( ?c,0) , F2 (c,0) 为 焦 点 , a 2 b2

?PF1 F2 ? ? , ?PF2 F1 ? ? 。
(1)求证离心率 e ?

sin(? ? ? ) ; sin ? ? sin ?
3

(2)求 | PF1 | ? PF2 | 的最值。
3

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判 别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观 性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。 典型例题
抛物线方程y 2 ? p( x ? 1) ( p ? 0) ,直线x ? y ? t与x轴的交点在抛物线准线的右边。

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A、B,且 OA⊥OB,求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。

(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题
圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函 数,三角函数,均值不等式)求最值。 (1) ,可以设法得到关于 a 的不等式,通过解不等式求出 a 的范围,即: “求范围,找不 等式” 。或者将 a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出 a 的范围;对于(2)首

先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即: “最值问题,函数思 想” 。 最值问题的处理思路: 1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关 键是由方程求 x、y 的范围; 2、数形结合,用化曲为直的转化思想; 3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值; 4、借助均值不等式求最值。

典型例题 已知抛物线 y2=2px(p>0),过 M(a,0)且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、B, |AB|≤2p (1) 求 a 的取值范围; (2) 若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N, 求△NAB 面积的最大值。

(5)求曲线的方程问题
1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 典型例题 已知直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0)和 点 B(0,8)关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程。

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x2+y2=1, 动 点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 ? ( ? >0), 求动点 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线。 N M

O

Q

(6) 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线, 求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。 (当然也可以利用韦达定理并结合判别式来 解决) 典型例题 已知椭圆 C 的方程

x2 y2 ? ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 4 3

y ? 4 x ? m ,椭圆 C 上有不同两点关于直线对称

(7)两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用 k 1 ·k 2 ? 运算来处理。 典型例题 已知直线 l 的斜率为 k ,且过点 P ( ?2,0) ,抛物线 C: y ? 4( x ? 1) , 直线 l 与
2

y1 ·y 2 ? ?1 来处理或用向量的坐标 x1 ·x 2

抛物线 C 有两个不同的交点(如图) 。 (1)求 k 的取值范围; (2)直线 l 的倾斜角 ? 为何值时,A、B 与抛物线 C 的焦点连线互相垂直。

四、解题的技巧方面:
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用 几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。 下面举例说明:

(1)充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代 数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。 典型例题 设直线 3x ? 4 y ? m ? 0 与圆 x ? y ? x ? 2 y ? 0 相交于 P、Q 两点,O 为
2 2

坐标原点,若 OP?OQ ,求 m 的值。

(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中 点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点 O,焦点在 y 轴上的椭圆与直线 y ? x ? 1 相交于 P、Q 两点, 且 OP?OQ , | PQ| ?

10 ,求此椭圆方程。 2

(3) 充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。 典型例题 求经过两已知圆 C1 :x ? y ? 4 x ? 2 y ? 0 和 C2 :x ? y ? 2 y ? 4 ? 0 的
2 2 2 2

交点,且圆心在直线 l : 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 上的圆的方程。

(4)充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、 余弦, 利用正、 余弦的有界性, 可以解决相关的求最值的问题. 这 也是我们常说的三角代换法。 典型例题 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一动点,A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四 a 2 b2

边形 OAPB 面积的最大值及此时点 P 的坐标。

(5)线段长的几种简便计算方法
① 充分利用现成结果,减少运算过程 一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是:把直线方程 y ? kx ? b 代入圆锥 曲线方程中,得到型如 ax ? bx ? c ? 0 的方程,方程的两根设为 x A , x B ,判别式为△,
2

则 | AB| ? 过程。 例

△ ,若直接用结论,能减少配方、开方等运算 1 ? k 2 ·| x A ? x B | ? 1 ? k 2· |a|

求直线 x ? y ? 1 ? 0 被椭圆 x ? 4 y ? 16 所截得的线段 AB 的长。
2 2

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时, 由于圆锥曲线的定义都涉及焦点, 结合图形运用圆锥曲线 的定义,可回避复杂运算。 例

F1 、 F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,AB 是经过 F1 的弦,若 | AB| ? 8 ,求值 25 9

| F2 A | ? | F2 B |

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 点 A(3,2)为定点,点 F 是抛物线 y ? 4 x 的焦点,点 P 在抛物线 y ? 4 x 上
2 2

移动,若 | PA|?| PF | 取得最小值,求点 P 的坐标。



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