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2013 年自主招生专题第三讲:函数与方程


2013 年自主招生专题第三讲:函数与方程

第一部分 概述
函数是自主招生的一个非常重要内容! ? 就近几年来, 本人作了一个统计, 复旦和交大自主招生中有关函数的内容大约占 20% —30%。 ? 其中,热点问题是:方程的根的问题、函数的最值问题( 值域) 、函数的性质(如周期、有界性等) 、函数的迭代、 简单的函数方程、方程的不动点问题、 函数的图像及解析式等。而其中特别提醒同学 们注意的是,方程的根的问题是考得最多的一个问题。

第二部分:知识补充:
一.函数零点的定义: 对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数 y=f(x)的零点。 结论: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续 不断的一条曲线,并且有 f(a)· f(b)<0,那么,函 数 y=f(x)在区间(a,b) 内有零点,即存在 c∈(a,b),使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根。 函数 y=f(x)零点的判断方法: 1、方程法:解方程 f(x)=0,得函数 y=f(x)的零点。 2、图象法:画出函数 y=f(x)的图象,其图象与 x 轴交点的横坐标就是 y=f(x)的零点。 3、定理法:函数在区间[a,b]上图象是一条连续不断的曲线,并且有 f(a) 〃f(b)<0。

例 1: 若函数 f(x)=x2+(k-2)x+2k-1 的两个零点中,一个在 0 和 1 之间,另一个

在 1 和 2 之间,求 k 的取值范围。

二.反函数的反解:y=f(x+1)的反函数

第1页

三. 函数的对称性
定理 1:如果函数 y= f(x) x∈R)满足 f(a+x)= f(b-x) ( ,那么 y= f(x)的图像关于直线 x ? 的对称。

a ?b 2

定理 2.若函数 y=f (x) 定义域为 R,则函数 y=f (a+x) 与 y=f (b-x)两函数的图象关于直线 x= 对称。

b?a 2

定理 3.函数 y = f (x)的图像关于点 A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a-x) = 2b

四. 函数的周期性 抽象函数周期————“六部曲”
探究一. T=a(周一)
定义: 设函数 y=f(x)的定义域为 D, 若存在常数 a≠0, 使得对一切 x∈D, x+a∈D 时都有 f(x+a)=f(x), 且 则称 y=f(x)为 D 上的周期函数,非零常数 a 叫这个函数的周期。

探究二. T=2a(周二)
若函数 y=f(x)满足 f ( x ? a) ? -f ( x) 或 f ( x ? a) ?

1 1 ( f ( x) ? 0) 或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) f ( x)

则 f (x ) 的周期 T=2a; 俗称半周期) (a 例。若函数 y=f(x)满足 f(x+2)=-f(x),则 f(x)周期为————————。T=4

探究三:T=3a(周三)
若函数 y=f(x)满足 f ( x) ? 1 ? 证明:

1 ( f ( x) ? 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; f ( x ? a)

探究四: T=4a(周四)
若函数 y=f(x)对任意实数 x ,都有 f(x+a)= 证明:

1 ? f ( x) ,则 4a 是 f(x)的一个周期. 1 ? f ( x)

探究五:T=5a(周五)
若函数 y=f(x)满足 f(x)+f(x+a)+ +f(x+2a)f(x+3a) +f(x+4a) =f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a), 则 f (x ) 的周期 T=5a;

探究六:T=6a(周六)
若函数 y=f(x)满足 f ( x ? 2a) ? f ( x ? a) ? f ( x) ,则 f (x ) 的周期 T=6a.

证明:

第2页

五.三次方程的韦达定理

推广到一元 n 次方程的韦达定理:

第三部分:典型例题
例 1: 定义在 R 上的函数满足:f (10 ? x) 为偶函数, f (20 ? x) ? f (20 ? x) , f (x) 为 且 则 ( )

A.奇函数且周期函数 B.奇函数且非周期函数 A.偶函数且周期函数 A.偶函数且非周 期函数 答案:A 例2.求函数y = |x + 2 |+ |x -1| + |x| 的递增区间 这道题,只要利用绝对值的几何意义,画数轴就能轻松得出答案 例3.求关于x的方程 x ? 11 ? 6 x ? 2 ? x ? 27 ? 10 x ? 2 ? 1 的实根的个数 这道题,先将原方程变形为 | x ? 2 ? 3| ? | x ? 2 ? 5|? 1 ,然后还是利用绝对值的几何 意义,即可得出原方程根的个数为0。



4.(2007

年 北 京 大 学 ) 设 函 数 f ( x) ? x 2 ? 53x ? 196? | x 2 ? 53x ? 1 9 | 6 求 ,

f (1) ? f (2) ? ? ? f (50) .

答案:660 例 5.(2008 年 复 旦 大 学 ) 设 x1 , x2 , x3 是 x 3 ? x ? 2 ? 0 的 三 个 根 , 则 行 列 式
x1 x2 x3 x2 x3 x1 x3 x1 = x2

.

答案:0

第3页

例 6.(2008 年上海交大)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,且 f ( x) ? x 没有实根,试判断
f ( f ( x)) ? x 是否有实根?说明理由.

答案:没有 例 7.. Let N={0,1,2, ? ..}.Determine all functions
f: N → N,such that

xf ( y) ? yf ( x) ? ( x ? y) f ( x 2 ? y 2 )
Chinese.)

for all x and y in N (Note: The answer can be in

原 题 : 设 N={0,1,2,…..} , 求 所 有 的 f: N→N , 使 得 对 任 意 x, y ? N , 均 有

xf ( y) ? yf ( x) ? ( x ? y) f ( x 2 ? y 2 )
提示:设有 f ( x) ? f ( y ) , 则 f ( x) ?
xf ( x) ? y( f ( x) xf ( y) ? yf ( x) xf ( y) ? yf ( y) ? ? f (x 2 ? y 2 ) ? ? f ( y) x? y x ? y) x? y

即 0 ? f ( x 2 ? y 2 ) ? f ( x) ? f ( y) ? f ( x) ,因为 x, y ? N 易得: f ( x) ? c
c?N

例8.若 log4 ( x ? 2 y) ? log4 ( x ? 2 y) ? 1 ,则|x|-|y|的最小值是
?x ? 2 y ? 0 ? x ? 2 | y |? 0 ? ?? 2 ?x ? 2 y ? 0 2 ?( x ? 2 y )(x ? 2 y ) ? 4 ? x ? 4 y ? 4 解: ?



由对称性只考虑y≥0,因为x>0,所以只须求x?y的最小值。 令x?y=u代入x2?4y2=4中有3y2?2uy+(4?u2)=0 ∵y∈R ∴⊿≥0 ? u ? 3
x? 4 3 3, y ? 3 3 时,u= 3 ,故|x|?|y|的最小值是 3
f ( x) ? sin(πx) ? cos(πx) ? 2 1 5 ( ?x? ) 4 4 ,则f(x)的最小值为 x

∴当

例9. 已知函数

4 5 5



第4页

f ( x) ?

解:实际上

π 2 sin( πx ? ) ? 2 1 5 π 1 5 4 ( ?x? ) g ( x) ? 2 sin( πx ? )( ? x ? ) 4 4 ,设 x 4 4 4 ,则g(x)

3 1 3 3 5 x? [ , ] [ , ] 4 对称, ≥0, g(x)在 4 4 上是增函数, 4 4 上是减函数, 在 且y=g(x)的图像关于直线

1 3 3 5 x1 ? [ , ] x2 ? [ , ] 4 4 ,存在 4 4 ,使g(x2)=g(x1)。于是 则对任意

f ( x1 ) ?

g ( x1 ) ? 2 g ( x2 ) ? 2 g ( x2 ) ? 2 ? ? ? f ( x2 ) x1 x1 x2

3 5 [ , ] ,而f(x)在 4 4 上是减函数,所以

1 5 5 4 5 4 5 [ , ] f ( x) ? f ( ) ? 4 5 ,即f(x)在 4 4 上的最小值是 5 。

例10.方程(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005的实数解的个数为 1 x2005



解:(x2006+1)(1+x2+x4+…+x2004)=2006x2005?(x+ 1 x
2005

)(1+x2+x4+…+x2004)=2006

?x+x3+x5+…+x2005+



1 x
2003



1 x
2001

1 +…+ =2006,故x>0,否则左边<0. x

1 1 1 ?2006=x+ +x3+ 3+…+x2005+ 2005≥2×1003=2006. x x x 等号当且仅当x=1时成立. 所以x=1是原方程的全部解.因此原方程的实数解个数为1.
| x| ? kx2 x 的方程 x ? 4 例11.若关于 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为( 3 1 ( ,1) B. 4 1 ( , ??) C. 4

)

A. (0,1)

D. (1, ??)

1 m?n 例12、已知 ( x ? 2x ? m)(x ? 2 x ? n) ? 0 的4个根组成首项为 4 的等差数列,求 .
2 2

第5页

例 13, 1. (2007 北大)解方程组

例14.已知函数 f ( x) ?

2x , f (1) ? 1 ax ? b

1 2 1 f( )? 。 令 x1 ? 2 3 2

xn?1 ? f ( xn )

(1)求数列 ?xn ? 的通项公式 (2)证明: x1 x2 ? xn >
1 2e

1 2 2x 2 xn 解:由 f (1) ? 1,f ( ) ? 得a ? b ? 1,f ( x) ? 于是x n?1 ? ?0 2 3 x ?1 xn ? 1

?

? 1 1? 1 2n ?1 ? 1 ? ? ? 1? 得 xn ? xn ?1 2 ? xn 1 ? 2n ?1 ?

(2)当 x ? 0 时, ln( x ? 1) ? x ,因此

ln

1 1 1 1 ? ? 1? ? 1? ? ? ln ? ? ? ln ? ln ?1 ? ? ? ln ?1 ? ? ? ?ln ?1+ n-1 ? x1 x2 xn ? 1? ? 2? ? 2 ?
1 1 1 ? ? n ?1 ? ln 2 ? 1 ? ln 2e ,即 ln ? ln 2e 2 2 x1 x2 ? xn

? ln 2 ?

故 x1 x2 ? xn ?

1 2e

1 2 4 8 2n ?1 (I)先求出 x1 ? ,x2 ? ,x3 ? ,x4 ? ,猜想 xn ? n ?1 。用数学归纳法证明。 2 3 5 9 2 ?1

第6页

当 n = 1 显 然 成 立 ; 假 设 n = k 显 然 成 立 , 即 xk ?

2k ?1 ,则 2k ?1 ? 1

xk ?1 ? f ( xk ) ?

2 xk 2k ,得证。 ? k xk ? 1 2 ? 1
1 ? 2e 。事实上, x1 x2 ? xn ?1

(II) 我们证明

1 1 1 1 ? 2(1 ? )(1 ? )?(1 ? n ) 。我们注意到 x1 x2 ? xn?1 2 4 2

1? 2a ? (1? a)2, , 2n a ? (1? a)2 ,于是 ? 1?
n

1 1 n?1 1 n 1 n ? 2(1 ? n )2 ??? 2?1 ? 2(1 ? n )2 ?1 ? 2(1 ? n ) 2 ? 2e x1 x2 ? xn?1 2 2 2

例15.设 f ( x) ? x ln x . (1)求 f ?( x) ;

? (2)设 0 ? a ? b, 求常数 c ,使得 b ? a a

1

b

| ln x ? c | dx

取得最小值;

(3)记(2)中的最小值为 Ma , b ,证明 Ma, b ? ln 2 .

1 f ?( x) ? ln x ? x ? ? ln x ? 1 x 15.(1) ;
(2)若 c ? ln a, 则 | ln x ? c |? ln x ? c, 显然,当 c ? ln a,ln x ? c 取最小; 若 c ? ln b, 则 | ln x ? c |? c ? ln x, 当 c ? ln b, c ? ln x 取最小. 故 ln a ? c ? ln b.
ec b 1 b 1 | ln x ? c | dx ? [? (ln x ? c)dx ? ? c (c ? ln x)dx] ?a a e b?a b?a ec b 1 ? {? [(ln x ? 1) ? (c ? 1)]dx ? ? c [(c ? 1) ? (ln x ? 1)]dx} e b?a a

由(1)知 ?

ec

a

[(ln x ? 1) ? (c ? 1)]dx ? x ln x |e ?(c ? 1)(ec ? a) a
c

第7页

?

b

ec

[(c ? 1) ? (ln x ? 1)]dx ? (c ? 1)(ec ? a) ? x ln x |bc e

1 b 1 c ?a | ln x ? c | dx ? b ? a (?a ln a ? b ln b ? 2e ? a ? b ? ac ? bc)?(?) 所以, b ? a
c 记 g (c) ? ?2e ? (a ? b)c ? a ln a ? b ln b ? a ? b,

c? c ? 则令 g (c) ? ?2e ? a ? b ? 0 ,得 c?

a?b 2



1 b a?b | ln x ? C | dx 2 时, b ? a ?a 取最小值. c? 1 a?b a?b Ma, b ? [?a ln a ? b ln b ? (a ? b)ln ] ? ln 2 (?) 式右边, b?a 2 2 代入 a?b ? a ln a ? b ln b ? (b ? a)ln 2 ? (a ? b) ? ln(a ? b) ? a ln a ? b ln b ? 2b ln 2 2

(3)将

等价于

(a ? b)ln

b a ? a ln(a ? b) ? a ln a ? b ln(a ? b) ? b ln b ? 2b ln 2 ? a ln(1 ? ) ? b ln( ? 1) ? 2b ln 2. a b

a a b 0 ? a ? b, ? 1 ? 2 b ln(1 ? ) ? b ln 2. a ln(1 ? ) ? b ln 2 b b a 由于 时, 所以下面只须证明 即可. b a b a a ln(1 ? ) ? b ln 2 ? ln(1 ? ) ? ln 2. ? t ? (0,1) a b a 又 令b , a b 1 1 1 ln(1 ? ) ? t ln(1 ? ) ? ln(1 ? )t ln(1 ? )t a t t ,注意到函数 t 是单调递增的,且 t ? 1. 则b 1 1 ln(1 ? )t ? ln(1 ? )1 ? ln 2 t 1 所以 .得证.

第四部分:巩固练习
1.(2006 年复旦)设 f (x) 是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数,且是偶函数. 已知当 x ? ?2,3? 时,

f ( x) ? x ,则当 x ? ?? 2,0? 时, f (x) 的解析式为
2. (2006 年复旦) 函数 y ? 2x ? 1 ? 2x 的最值为 .

.

3.(2006 年复旦)已知函数 f (x) 的定义域为 ?0,1? ,则函数 g ( x) ? f ( x ? c) ? f ( x ? c) 在 0 ? c ?

1 时 2

第8页

的定义域为

.
a b c

4.(2002 上海交大保送生)若 3 ? 4 ? 6 ,则 5. (2010 华科)记函数 f (x) 的反函数为 f
?1

1 1 1 ? ? ? a 2b c

. .

x ( x) ,已知 f ( x 3 ) ? log2 ,则 f ?1 (2) ?

6.(2011 华约)已知 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? 2 x ? 1 ,点 P(?1,1) ,切线过 P 而切点不是 P ,则该切线斜率 为 .
2

? 7. (2002 上海交大保送生)函数 y ? ? log3x
是 .

? ax ? a

? 在 ? ?,1 ? 3 上单调递增,则实数 a 的取值范围

?

?

8. (2011 年清华保送) f ( x) ? max x ? 6 , x ,则 f (x) min ? 9. (2008 上海交大)函数 y ?

?

?

.

x ?1 的最大值为 x2 ? 8

.

10. (2000 上海交大保送生)设 f (x) 的原函数是 x ? 1 ,则 11. (2012 北约)求函数 y ? x ? 2 ? x ? 1 ? x 的递增区间 12. ( 2007 北 大 ) 已 知 函 数 .

?

1

0

f (2 x)dx ?
.

.

f ( x) ? x 2 ? 53 x ? 196 ? x 2 ? 53 x ? 196

, 求

f (1) ? f (2) ? ? ? f (50)

13. ( 2004 上 海 交 大 ) 已 知 f1 ( x) ?

1? x , 对 于 一 切 正 整 数 n , 都 有 f n?1 ( x) ? f1 ? f n ( x)? , 且 x ?1
.
2

f 3 ( x) ? f 6 ( x) ,求 f 28 ( x) ?

14.(2001 上海交大)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 , x ? ?t , t ? 1? 的最小值为 g (t ) ,试写出 g (t ) 的解 析式 . .

15.(2004 同济)试求 f ( x) ? 4 ? 2 x 2 ? x 1 ? x 2 的最大值与最小值

16.(2004 复旦)若存在 M ,使任意 t ? D ( D 为函数 f (x) 的定义域) ,都有 f ( x) ? M ,则称函数

f (x) 有界. 问函数 f ( x) ?

1 1 ? 1? sin 在 x ? ? 0, ? 上是否有界? x x ? 2?

.

17.(2006 复旦)设函数 y ? f (x) 对于一切实数 x 均满足 f ?5 ? x ? ? f ?5 ? x ? ,且方程 f ( x) ? 0 恰好 有 6 个不同的实根,则这 6 个实根的和为 18.(2006 复旦)方程 f ? x ? ? 2 x ? 2 .

x?2

x ?1

x?3
.

2 x ? 1 2 x ? 3 ? 0 的实根的个数为 3x ? 3 3x ? 2 3x ? 5

第9页

x1
19. 2008 复旦) x1 , x2 , x3 是方程 x ? x ? 2 ? 0 的三个根, ( 设 则行列式 x 2
3

x2 x3 x1
.

x3 x1 ? x2
.

x3
20.(2004 复旦) x 8 ? 1 ? x 4 ? 2x 2 ? 1 x 4 ? ax2 ? 1 ,则 a ? 21. (2002 上海交大)方程 a ? x ?
2 2

?

??

?

2 ? x , 1 ? a ? 2 ,则方程有

?

?

个实数解

22. ( 2005 复 旦 ) 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) ?x ? 1? 满 足 f ?x ? ? 2 f ?

? x?2002 ? ? ? ? 4 0 1 5 x ,则 ? x ?1 ?

f ?2 0 0 ? ? 4

.
x log a

23.(2003 复旦)解方程 x

?

x2 ,得 x ? a2
x x x

.

24.(2000 上海交大)方程 3 ? 16 ? 2 ? 81 ? 5 ? 36 的解 x ?

.

25. (2000 上海交大) 方程 7 x 2 ? ?k ? 13?x ? k 2 ? k ? 2 ? 0 的两根分别在区间 ?0,1? 和 ?1,2? 内, k 的 则 取值范围 .

26. (2011 年卓越联盟)若关于 x 的方程

x x?4

? kx 2 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为
.

.

27.(2011 北大)过 f ( x) ? ax ? sin x 上两点 A, B 的切线互相垂直,求实数 a ?

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