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第二章2.1.1椭圆的标准方程



第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

2.1

椭圆

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

2.1.1

椭圆及其标准方程

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

学 习 目 标

重点是理解椭圆的定义,

掌握椭圆的 标准方程,难点是推导椭圆的标准方 程.

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

基础知识梳理
两个定点F1、F2的距离 1.椭圆的定义:把平面内与____________________ 的和等于常数(大于|F1F2|)的点 的轨迹叫做椭 ________________________________

这两个定点 叫做椭圆的焦点,两焦点的距离 圆.____________
叫做椭圆的焦距. x2 y2 ? 2 ? 1, 2 2.焦点在x轴上的椭圆标准方程为______________ a b
y2 x2 ? 2 ? 1. 2 焦点在y轴上的椭圆标准方程为_______________ a b

a>b>0 其中,a与b的关系为________. 3.椭圆的标准方程中,a、b、c之间的关系是 a2=b2+c2 _______.

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

课堂互动讲练
题型一 利用椭圆的定义解题
例1 已知△ABC的顶点B、C在椭圆
x2 ? y2 ? 1 3

上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另

外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是
( ) A.2 3 C.4 3 B.6 D.12

【分析】作出草图,利用椭圆的定义求解. 第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程 【解析】 设椭圆的另一焦点为F, 则由椭圆的定义知 |BA|+|BF|=2a,又|AC|+|CF|=2a, 所以△ABC的

周长=|BA|+|BF|+|CF|+|AC|=4a= 4 3 , 故选C.
【答案】C

【点评】注意数形结合的思想,利用椭圆定义解题.

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

变式训练
x2 2 1.椭圆 ? y ? 1 的焦点为F1、F2,过F1作垂直 4

于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则 |PF2|等于( A. C.
3 2

) B. 3 D.4

7 2

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

解析: 选C.∵a2=4,b2=1,∴c2=3.

∴F1( ? 3 ,0),设P(? 3 ,y0). 1 ∴ 3 2 2 ? y0 ? 1, y0 ? 4 4
1 ∴|PF1|= 2

,
1 2 7 2

又∵|PF1|+|PF2|=2a=4.∴ PF2 ? 4 ? ? 故选C.

,

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

题型二 椭圆标准方程的求法
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程:

(1)两个焦点的坐标分别为(-4,0)和

(4,0),且椭圆经过点(5,0);
(2)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2) 和(1,0).

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

【分析】求椭圆的标准方程时,要先判断 焦点的位置,确定出适合题意的椭圆标准 方程的形式,最后由条件确定出a和b即可.

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

【解】(1)由于椭圆的焦点在x轴上, ∴设它的标准方程为 ∴2a ? (5 ? 4)2 ? (5 ? 4)2 ? 10 , ∴a=5.又c=4, ∴b2=a2-c2=25-16=9.
x2 y2 故所求椭圆的方程为 25 ? 9 ? 1
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0). a 2 b2

.

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

(2)由于椭圆的焦点在y轴上, ∴设它的标准方程为
4 0 ? ? 1, 2 2 a b
y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b

.

由于椭圆经过点(0,2)和(1,0),


0 1 ? 2 ?1 2 a b

?

a2=4 b2=1

y2 ? x 2 ? 1. 故所求椭圆的方程为 4

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

变式训练
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(-3,0)、(3,0), 椭圆上任意一点P到两焦点距离的和等于10; (2)两个焦点的坐标分别为(0,-2)、(0,2),并
3 5 且椭圆经过点 ( ? , ). 2 2

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

解:(1)∵椭圆的焦点在x轴上,

∴设它的标准方程为
y2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a2 b

∵c=3,2a=10,∴b2=a2-c2=16, 所以所求的椭圆方程为
x2 y2 ? ? 1. 25 16

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

(2)∵椭圆的焦点在y轴上,

∴设所求椭圆的
由椭圆定义知 3 5 3 2 5 2 2 2a ? (? )2 ? ( ? 2) ? (? ) ? ( ? 2) ? 2 10 2 2 2 2 即a=10,又c=2,∴b2=a2-c2=6, 所以所求椭圆方程为
y 2 x2 ? ?1 10 6

y 2 x2 标准方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0), a b

.

题型三 与椭圆有关的轨迹问题
第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

例3 如图所示,圆x2+y2=1
上任意的一点P,过点P 作x轴的 垂线段PP′,P′为垂足. M为直线PP′上一点,

且|P′M|=λ|PP′|
(λ为大于零的常数).当点P在圆上运动时,点M的 轨迹是什么?

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

【分析】解答本题可先由相关点法求出M 点的轨迹方程,再对方程中的参数λ的取 值进行讨论以确定点M的轨迹类型.

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

【解】设M(x,y),P(x0,y0),

∵PP′⊥x轴,且|P′M|=λ|PP′|,
∴x=x0,y=λy0, 即x0=x, y0 ?.
1

? ∵点P(x0,y0)在圆x2+y2=1上,
2 2 x ? y ∴ 0 0 ? 1.

y

∴ x ?
2

y2

?

2

?1

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

①当λ2=1即λ=1时,点M的轨迹方程为x2+y2=1,是 圆心在原点,以1为半径的圆. ②当0<λ2<1即0<λ<1时,点M的轨迹是焦点 在x轴上的椭圆. ③当λ2>1,即λ>1时,点M的轨迹是焦点在y轴 上的椭圆. 综上可知,点M的轨迹为: 当0<λ<1时,是焦点在x轴上的椭圆. 当λ=1时,是圆心在原点以1为半径的圆. 当λ>1时,是焦点在y轴上的椭圆.

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

【点评】解答与椭圆相关的求轨迹问题的

一般思路是

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

变式训练
3.已知F1、F2为两定点,|F1F2|=8,动点M满 足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是( A.椭圆 B.直线 )

C.圆
答案:D

D.线段

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

规律方法总结
1.平面内一动点P到两定点F1、F2的距离和,

与两定点F1、F2之间的距离有且只有两种情
况:|PF1|+|PF2|>|F1F2|,|PF1|+|PF2|=|F1F2|. 当|PF1|+|PF2|>|F1F2|时,动点P的轨迹为椭 圆;当|PF1|+|PF2|=|F1F2|时,动点P的轨迹 为线段F1F2.

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

2.求椭圆的标准方程常用待定系数法.一般是先确 定焦点所在的坐标轴,然后再求a2、b2的值.

方程mx2+ny2=1(m、n均为正数且m≠n)表示的曲
线为椭圆,它包含焦点在x轴上或在y轴上两种情形. 方程可变为:
1 1 ? m n
1 1 ? m n

x2 y2 ? 1 1 m n

? 1.



时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;



时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.

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随堂即时巩固

第 二 章 圆 锥 曲 线 与 方 程

课时活页训练



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