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2014年高考数学第一轮复习:正弦定理、余弦定理



2014 年高考数学第一轮复习:正弦定理、余弦定理
一、考试要求:了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理;掌握正弦定理、余弦定理,并 能解决一些简单的三角形度量问题 二、知识梳理: 1. 正弦定理: ____________________.[来源:学优高考网 GkStK] 强调几个问题: (1)正弦定理适合于任何三角形; (2)可以证明 的外接圆半径)(3)每个等式可

视为一个方程:知三求一; ; (4)公式的变形:① a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, c ? 2R sin C ;

a ? __ R ( R 为 ?ABC sin A

sin A ?


a b c ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2 R ;③ sin A : sin B : sin C ? a : b : c .

(5)三角形面积公式: S ?ABC ? ____ ____=______ ___=_____ ___. (6)正弦定理的应用范围: ①已知两角和任一边,求其它两边和一角。 ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角。 2. 余弦定理: a ? _____________________; b
2 2

? ____________________;

c ? _____________________.
2

强调几个问题:(1)熟悉定理的结构,注意“平方” “夹角” “余弦”等;(2)知三求一;(3) 当夹角为 90 时,即三角形为直角三角形时即为勾股定理(特例) ; (4)变形: cos A ?
?

b2 ? c2 ? a2 a2 ? c2 ? b2 a2 ? b2 ? c2 cos B ? cos C ? . 2bc 2ac 2ac

(5)余弦定理的应用范围:①已知三边,求三个角;②已知两边和它们的夹角,求第三边和其 他两个角. 3. 解斜三角形(1).两角和任意一边,求其它两边和一角;(2).两边和其中一边对角,求 另一边的对角,进而可求其它的边和角。 (见图示)已知 a, b 和 A, 用正弦定理求 B 时的各 种情况: ①若 A 为锐角时:

无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA [来源:学优高考网] ? bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ? ?a ? b 一解(锐角) ?
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b 仅有一个解 H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

②若 A 为直角或钝角时: ?

?a ? b 无解 ?a ? b 一解(锐角)

三、基础检测:1. 在

中,

,则

等于(



A.

B.

C.

D.

2. 若 A.等边三角形 C.等腰直角三角形







B.有一内角是 30° D.有一内角是 30°的等腰三角形

3. 在



面积

,则 BC 长为(



A.

B.75

C.51

D.49

4.在 A.15°

中,已知角 B.75° C.105°

则角 A 的值是( D.75°或 15°



5.

中,sinB=

1 3 , sin C ? ,则 a:b:c 为( 2 2



A.1: 3 :2 B.1:1: 3 C.1:2: 3 D.2:1: 3 或 1:1: 3

6.如图,在△ ABC 中, D 是边 AC 上的点,且 AB ? CD, 2 AB ? 3BD, BC ? 2 BD ,则

sin C 的值为
3 A. 3 3 6 6 B. 6 C. 3 D. 6

7.若

的三个内角

成等差数列,且最大边为最小边的 2 倍,则三内角之

比为________。

8. 在

中,

的值为______。[来

源:高[考∴试﹤题∴库]

9.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC= 2 3 ,点 D 在 BC 边上,∠ADC=45°,则 AD 的长度等于 ______。

10.在 ?ABC 中。若 b=5,

?B ?

?
4 ,tanA=2,则 sinA=_______;a=__________。

11.已知 ?ABC 的一个内角为 120o,并且三边长构成公差为 4 的等差数列,则 ?ABC 的面 积为_______________. 12.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c

sin( A ?
(1)若

?
6

) ? 2 cos A,
求 A 的值;

1 cos A ? , b ? 3c 3 (2)若 ,求 sin C 的值.

cos A-2 cos C 2c-a = cos B b . 13.在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 sin C (I)求 sin A 的值; 1 (II)若 cosB= 4 ,b=2, ?ABC 的面积 S。

14. 设 ?ABC 的内角 A.B.C 所对的边分别为 a.b.c ,已知 a ? 1.b ? 2.cos C ? (Ⅰ)求 ?ABC 的周长 (Ⅱ)求 cos ? A ? C ? 的值

1 . 4



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