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河南省郑州市2013届高三第一次预测(模拟)考试数学文试题



河南省郑州市 2013 年高中毕业年级第一次质量预测 文科数学

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、若集合 A ? {0,1,2, x} , B ? {1, x }, A ? B ? A ,则满足条件的实数 x 的个数有
2

/>A.个

B 2个

C. 3 个
10 z

D 4个

2、若复数 z ? 2 ? i ,则 z ? A. 2 ? i

等于 C. 4 ? 2i
S4 a3
7 2

B. 2 ? i

D. 6 ? 3i 的值为

3、设数列{ an }的前 n 项和 S n ? 2n -1,则
15 4 15 2 7 4

A、

B、

C、

D、

4、执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为 A. 5 B. 9 C. 14
3

D. 41

5、 直线 y ? kx ? 1 与曲线 y ? x ? ax ? b 相切于点 A(1,3) , 2a ? b 的 则 值等于 A. 2 B. ? 1 C. D. ? 2 6、图中阴影部分的面积 S 是 h 的函数( 0 ? h ? H ),则该函数的大致图 象是

7、一数学兴趣小组利用几何概型的相关知识做实验计算圆周率,他们向一个边长为 1 米的 正方形区域均匀撒豆,测得正方形区域有豆 5120 颗,正方形内节圆区域有豆 4009 颗,则他 们所没得圆周率为(保留两位有效数字) A、3.13 B、3.14 C、3.15 D、3.16 8. 已知双曲线 y ? x ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 3 ,则双曲线的渐近线方程为 2 2
a b
2 2
1 2
2 2

A. y ? ?

x

B. y ? ? 2 x

C. y ? ?2 x

D. y ? ?

x

9、 《莱因德纸草书》 (Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一,书中有一道这样的 题目: 100 个面包分 5 份给 5 个人, 把 使每人所得成等差数列, 且使较大的三份之和的 较小的两份之和,问最小的 1 份为
1 7



10、过抛物线 y2=8x 的焦点 F 作倾斜角为 135°的直线交抛物线于 A,B 两点,则弦 AB 的 长为 A、4 B、8 C、12 D、16

11.在三棱锥 A ? BCD 中, 侧棱 AB, AC , AD 两两垂直,?ABC , ?ACD, ?ADB 的面积分别 为
2 3 6 ,则该三棱锥外接球的表面积为 , , 2 2 2

A. 2?

B. 6?

C. 4 6?

D. 24?

12. 设函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,把 f (x) 的图象按向量 a ? (m,0)(m ? 0) 平移后的图象 恰好为函数 y ? f ' ( x) 的图象,则 m 的最小值为 A.
?
4

B .

?
3

C.

?
2

D.

2? 3

第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第13题一第21题为必考题,每个试题考生都必须 作答,第22 -24题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 已知 a ? (1,2), b ? ( x,6) ,且 a // b ,则 a ? b =_______
?2 x ? y ? 2 ? ?x ? 2 y ? 2 14.满足约束条件 ? 的目标函数 z=x+y 的最大值为______. ?x ? 0 ?y ? 0 ?

15. —个几何体的三视图如图所示(单位: m )则该几何体 的体积为______ m 3 .

16 对实数 a 和 b,定义运算
设函数 f ( x ) ? ( x ? 2 x)
2

(x-3) x ? R) ( ,若函数 y=f(x)-k 的图象与 x 轴恰有两个公共点,

则实数 k 的取值范围是_____

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, 2b cos c ? 2a ? c.
(I)求B;

(II)若 b=2, ?ABC 的面积为 3 ,试判断△ABC 的形状.

18. (本小题满分 12 分) 某高校组织自主招生考试,共有 2000 名优秀学生参加笔试,成 绩均介于 195 分到 275 分之间,从中随机抽取 50 名同学的成绩进 行统计,将统计结果按如下方式分成八组:第一组 ?195,205? ,第二组
[ 205,215) , …, 第八组 ?265,275? .如图是按上述分组方法得到的频

率分布直方图,且笔试成绩在 260 分(含 260 分)以上的同学进入面试. (I )估计所有参加笔试的 2000 名学生中,参加 面试的学生人数; (II)面试时,每位考生抽取三个问题,若三个问 题全答错,则不能取得该校的自主招生 资格;若三个 问题均回答正确且笔试成绩在 270 分以上,则获 A 类资格;其它情况下获 B 类资格.现已知某中学有三人获得面试资格,且仅有一人笔试成绩为 270 分以上,在回答两 个面试问题时,两人对每一个问题正确回答的概率均为 类资格的概率。
1 2

,求恰有一位同学获得该高校 B

19. (本小题满分 12 分)

如图, ?ABC 是等腰直角三角形, ?ACB ? 90?, AC ? 2a, D, E 分别为 AC, AB 的中点, 沿 DE 将 ?ADE 折起,得到如图 所示的四棱锥 A? ? BCDE. (I)在棱 A? B 上找一点 F ,使 EF // 平面 A?CD ? (II )求四棱锥 A? ? BCDF 体积的最大值.

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 点 A 在 椭 圆 C 上 , 2 a b
2 2

???? ? AF1 ? F1 F2 =0, 3 | AF2 | . | F1 A |? ?5 AF2 ? F1 A, | F1 F2 |? 2 ,过点 F2 且与坐标轴不垂直的

直线交椭圆于 P, Q 两点.
( I ) 求椭圆 C 的方程; ( I I ) 线段 OF2 上是否存在点 M (m,0) ,使得 QP ? MP ? PQ ? MQ ? 若存在,求出实数 m

的取值范围;若不存在,说明理由.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) 的导函数是 y ' ?
1 1? x

,函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ?

ax 1? x

(a ? R)

(I)当 a=1,-1<x<1 时,求函数 f(x)的最大值; (II)求函数 f (x) 的单调区间。

选修部分(三选一)
22. (本小题满分 10 分)选修 4—1 :几何证明选讲 如图: AB 是 ?O 的直径, 是 AB 延长线上的一点, G GCD 是 ?O 的割线, 过点 G 作 AG 的垂线, 交直线 AC 于点 F , 交直线 AD 于点 F , 过点 G 作 ?O 的切线,切点为 H . 求证: C ,.D, E , F 四点共圆; (I) (II)若 GH ? 6, GE ? 4 ,求 EF 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4 4:坐标系与参数方程


已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为

(? 为参数) ,在极坐标系

(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直 线的方程为 ? sin(? ?
?
4 ) ? 2 2.

( I ) 求曲线 C 在极坐标系中的方程;

(II)求直线被曲线 C 截得的弦长.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | x ? 2a | .
( I ) 当 a ? 1 时,求 f ( x ) ? 3 的解集;

( I I ) 当 x ? [1,2] 时, f ( x) ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.

河南郑州 2013 年高中毕业年级第一次质量预测 文科数学
一、选择题 CCADC 二、填空题 13. 3 5 ; 三、解答题 17.解:⑴由正弦定理得 2 sin B cos C ? 2 sin A ? sin C ,――――2 分 在 ?ABC 中 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? sin C cos B ,
? sin C (2 cos B ? 1) ? 0 ,又? 0 ? C ? ? , sin C ? 0 ,

参考答案

BAAAD

DB
4 3

14.



15. 6 ? ? ;

16、 ?? 1,0?

? cos B ?

1 2 1 2

,注意到 0 ? B ? ? ,? B ?
ac sin B ?
2 2

?
3

.―――――6 分

⑵? S ?ABC ?

3,? ac ? 4 ,――――8 分
2 2 2 2

由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac ? (a ? c ) ? 3ac ,
? ( a ? c ) ? b ? 3ac ? 16 ,
2 2

? a ? c ? 4 ,――――10 分

又 ac ? 4 ,所以 a ? c ? 2 , 故 ?ABC 是等边三角形. ――――12 分

18.解:⑴设第 i (i ? 1, 2,? ,8) 组的频率为 f i , 则由频率分布直方图知
f 7 ? 1 ? (0.004 ? 0.01 ? 0.01 ? 0.02 ? 0.02 ? 0.016 ? 0.008) ? 10=0.12.

所以成绩在 260 分以上的同学的概率 p ?

f7 2

? f8 ? 0.14 ,

故这 2000 名同学中,取得面试资格的约为 280 人. ――――-6 分 ⑵不妨设两位同学为 M , N ,且 M 的成绩在 270 分以上, 则 对 于 M , 答 题 的 可 能 有 M 11 , M 10 , M 01 , M 00 , 对 于 N , 答 题 的 可 能 有
N11 , N10 , N 01 , N 00 ,

其中角标中的 1 表示正确,0 表示错误,如 N10 表示 N 同学第一题正确,第二

题错误, 将两位同学的答题情况列表如下:

M 11

M 10

M 01

M 00

N11

AB

BB

BB

CB

N10

AB

BB

BB

CB

N 01

AB

BB

BB

CB

N 00

AC

BC

BC

CC

表中 AB 表示 M 获 A 类资格, N 获 B 类资格;BC 表示 M 获 B 类资格, N 没 有获得资格.所以恰有一位同学获该高校 B 类资格的概率为 19.解:⑴ F 为棱 A?B 的中点.证明如下: 取 A?C 的中点 G ,连结 DG, EF , GF ,则由中位线定理得
DE // BC , DE ? 1 2 BC ,且 GF // BC , GF ? 1 2 BC. 8 16 ? 1 2

.――――12 分

所以 DE // GF , DE ? GF ,从而四边形 DEFG 是平行四边形, EF // DG. 又 EF ? 平面 A?CD , DG ? 平面 A?CD , 故 F 为棱 A?B 的中点时, EF / / 平面A?CD .――――6 分 ⑵在平面 A?CD 内作 A?H ? CD 于点 H ,
DE ? A?D ? ? DE ? CD ? ? DE ? 平面A?CD ? A?H ? DE , A?D ? CD ? D ? ?

又 DE ? CD ? D, A?H ? 底面 BCDE ,即 A?H 就是四棱锥 A? ? BCDE 的高. ? 由 A?H ? AD 知,点 H 和 D 重合时, 四棱锥 A? ? BCDE 的体积取最大 值.――――10 分 此时 V四棱锥A? ? BCDE ?
1 3 S梯形BCDE ? AD ? 1 3 1 2 3 5
3

?

1 2

?a ? 2a ?a ? a ?

1 2

a ,

3

故四棱锥 A? ? BCDE 体积的最大值为 20.解: ⑴由题意 ?AF1 F2 ? 90? , cos ?F1 AF2 ?

a . ―――――12 分



注意到 | F1 F2 |? 2 ,所以 | AF1 |?
2 2 2

???? ?

????

???? ? ???? ???? ? 5 ,| AF2 |? , 2a ?| AF1 | ? | AF2 |? 4 , 2 2 3

所以 a ? 2, c ? 1, b ? a ? c ? 3 ,
x
2

即所求椭圆方程为

?

y

2

? 1 .――――4 分

4

3

⑵存在这样的点 M 符合题意.――――-5 分 设 线 段 PQ 的 中 点 为 N , P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ), N ( x0 , y0 ) , 直 线 PQ 的 斜 率 为
k ( k ? 0) ,

注意到 F2 (1, 0) ,则直线 PQ 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,
?x y ? ? 1, ? 2 2 2 2 由? 4 消 y 得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 , 3 ? y ? k ( x ? 1), ?
2 2

所以 x1 ? x2 ?

8k
2

2

4k ? 3

,故 x0 ?

x1 ? x2 2 4k
2 2

?

4k
2

2

4k ? 3 3k



又点 N 在直线 PQ 上,所以 N (
??? ???? ? ??? ???? ? ?

4k ? 3
???? ?

,?

4k ? 3
2

) ,―――――8 分

由 QP ? MP ? PQ ? MQ 可得 PQ ? ( MQ ? MP ) ? 2 PQ ? MN ? 0 ,
0? 3k
2 4k ? 3 ? ? 1 ,――――10 分 2 4k k

??? ?

????

??? ???? ? ?

即 PQ ? MN ,所以 k MN ?
m?
2

4k ? 3
2

整理得 m ?

k
2

4k ? 3

?

1 4? 3 k
2

1 ? (0, ) , 4

所以在线段 OF2 上存在点 M (m,0) 符合题意,其中 m ? (0, ) .――――12 分
4

1

21


1




1 (1 ? x )
2





a ?1





f ( x ) ? ln( ? x ) ? 1

x 1? x



f ?( x ) ?

1? x

?

?

x ( x ? 3) (1 ? x )(1 ? x )
2

,―――1 分

当 ? 1 ? x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , 所以函数 f (x) 在 (?1,0) 上为增函数,在 (0,1) 上为减函数,―――3 分

即 f max ( x) ? f (0) ? 0 ,所以当且仅当 x ? 0 时,函数 f (x) 的最大值为 0 .―― -5 分 ⑵由题意,函数的定义域为 (?1,1) ? (1,??) , f ?( x) ? 分 当 a ? 0 时,注意到
1 1? x ? 0, a (1 ? x )
2

1 1? x

?

a (1 ? x)
2

,―――6

? 0 ,所以 f ?( x ) ? 0 ,

即函数 f ( x) 的增区间为 (?1,1), (1,??) ,无减区间;
1 1? x a (1 ? x )
2

―――8 分

当 a ? 0 时, f ?( x) ?

?

?

x ? (2 ? a) x ? 1 ? a
2

(1 ? x )(1 ? x )

2



由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? (2 ? a ) x ? 1 ? a ? 0 ,
2

此方程的两根 x1 ?

a?2? 2

a ? 8a
2

, x2 ?

a?2? 2
2

a ? 8a
2



其中 ? 1 ? x1 ? 1 ? x2 ,注意到 (1 ? x)(1 ? x) ? 0 , 所以 f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? x1或x ? x2 ,
f ?( x) ? 0 ? x1 ? x ? 1或1 ? x ? x2 ,

即函数 f ( x) 的增区间为 (?1, x1 ), ( x2 ,??) , 减区间为 ( x1 ,1), (1, x2 ) , ―― -11 分 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的增区间为 (?1,1), (1,??) ,无减区间; 当 a ? 0 时 , 函 数 f ( x) 的 增 区 间 为 (?1, x1 ), ( x2 ,??) , 减 区 间 为
( x1 ,1), (1, x2 ) ,
a?2? 2 a ? 8a
2

其中 x1 ?

, x2 ?

a?2? 2

a ? 8a
2

.―-12 分

22. 证明:⑴连接 DB , ? AB 是⊙ O 的直径, 0 ??ADB ? 90 ,
在Rt ?ABD与Rt ?AFG中,?ABD ? ?AFE ,

A

O D H

又? ?ABD ? ?ACD
?ACD ? ?AFE ? C , D, E , F 四点共圆.――――5 分
F

C E

B G


C、D、F、E 四点共圆 ? GE ? GF ? GC ? GD ? 2 ? ? GH ? GE ? GF 2 GH 切 ? O于点H ? GH ? GC ? GD ? 又因为 GH ? 6, GE ? 4 ,所以 GF ? 9, EF ? GF ? GE ? 5 . ―――10 分

23.解:⑴曲线 C 的普通方程为 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4 , 即 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 ,化为极坐标方程是 ? ? 4 cos ? .――――5 分 ⑵? 直线的直角坐标方程为 x ? y ? 4 ? 0 ,
? x ? y ? 4 x ? 0, 由? 得直线与曲线 C 的交点坐标为 (2, 2), (4, 0) , x ? y ? 4, ?
2 2

所以弦长 OA ? 2 2 .――――10 分 24.解:⑴原不等式可化为 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 , 依题意,当 x ? 2 时, 3 x ? 3 ? 3, 则 x ? 2, 无解, 当
1 2 ? x ? 2 时, x +1 ? 3, 则 x ? 2, 所以 1 2 1 2 ? x ? 2, 1 2

当 x<

时, 3-3x ? 3, 则 x ? 0, 所以 0 ? x <



综上所述:原不等式的解集为 ? 0, 2? . ――――5 分 ⑵原不等式可化为 x ? 2a ? 3 ? 2 x ? 1 , 因为 x ? ?1, 2? ,所以 x ? 2a ? 4-2x , 即 2 x ? 4 ? 2a ? x ? 4 ? 2 x , 故 3 x ? 4 ? 2a ? 4 ? x 对 x ? ?1, 2? 恒成立, 当 1 ? x ? 2 时, 3 x ? 4 的最大值 2 , 4 ? x 的最小值为 2, 所以为 a 的取值范围为 1.――――10 分

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