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新课程高中数学训练题组(必修4)含答案



新课程高中数学训练题组《必修 4》

《必修 4》第一章 三角函数(上)
[基础训练 A 组]
一、选择题

1.设 α 角属于第二象限,且 cos
A.第一象限

α
2

= ? cos

α
2

,则

α
2

角属于( C.第三象限
0

) D.第四象限

B.第二象限
0

2.给出下列各函数值:① sin(?1000 ) ;② cos(?2200 ) ;③ tan(?10) ;④ 的是( A.①
2

sin

7π cos π 10 .其中符号为负 17 π tan 9
D.④

) B.②
0

C.③

3. sin 120 等于( A. ±
3 2

) B. 3 2 C. ? 3 2 D.

1 2

4 ,并且 α 是第二象限的角,那么 tan α 的值等于( ) 5 3 4 4 3 A. ? B. ? C. D. 4 3 3 4 5.若 α 是第四象限的角,则 π ? α 是( ) A.第一象限的角 B.第二象限的角 C.第三象限的角 D.第四象限的角 ) 6. sin 2 cos 3 tan 4 的值( A.小于 0 B.大于 0 C.等于 0 D.不存在 二、填空题 1.设 θ 分别是第二、三、四象限角,则点 P (sin θ , cos θ ) 分别在第___、___、___象限. 17π 2.设 MP 和 OM 分别是角 的正弦线和余弦线,则给出的以下不等式:① MP < OM < 0 ; 18 ② OM < 0 < MP ; ③ OM < MP < 0 ;④ MP < 0 < OM ,其中正确的是______________________。 3.若角 α 与角 β 的终边关于 y 轴对称,则 α 与 β 的关系是___________。
4.已知 sin α = 4.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 5.与 ? 2002 终边相同的最小正角是_______________。
0
2



三、解答题
7 1 1.已知 tan α , 是关于 x 的方程 x2 ? kx + k 2 ? 3 = 0 的两个实根,且 3π < α < π ,求 cosα + sin α 的值. 2 tan α

2.已知 tan x = 2 ,求

cos x + sin x 的值。 cos x ? sin x

0 1 cos( 360 0 ? x ) 3.化简: sin( 540 ? x ) ? ? sin( ? x ) tan( 900 0 ? x ) tan( 450 0 ? x ) tan( 810 0 ? x )

4.已知 sin x + cos x = m, ( m ≤
3 3

2 , 且 m ≠ 1) ,
4 4

(2) sin x + cos x 的值。 求(1) sin x + cos x ;

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新课程高中数学训练题组《必修 4》

《必修 4》第一章 三角函数(上)
[综合训练 B 组]
一、选择题 A. 4 3 2.函数 y = 1.若角 600 的终边上有一点 (? 4, a ) ,则 a 的值是(
0

) C. ± 4 3 D. 3

B. ? 4 3

A. {? 1,0,1,3}

cos x sin x tan x 的值域是( + + sin x cos x tan x
B. {? 1,0,3}

) C. {? 1,3} D. {? 1,1} )

3.若 α 为第二象限角,那么 sin 2α , cos A. 0 个
4.已知 sin α

α ,
2

1 , cos 2α

1 cos

α
2

中,其值必为正的有(

= m, ( m < 1) , π < α < π ,那么 tan α = (
2
B. ?
m 1 ? m2
sin α 1 ? sin α
2

B. 1 个

C. 2 个
).
m 1 ? m2
2

D. 3 个

A.

m 1 ? m2

C. ±
+

2 D. ± 1? m

m

5.若角 α 的终边落在直线 x + y = 0 上,则 A. 2
6.已知 tan α

1 ? cos α 的值等于( cos α

). D. 0

=

B. ?2 C. ?2 或 2 3π 3 ,π < α < ,那么 cos α ? sin α 的值是( 2 B. ? 1 +
2 3

).

A. ? 1 +

3 2 二、填空题

C. 1 ?
2

3

D. 1 +
2

3

1.若 cos α = ?

3 ,且 α 的终边过点 P ( x,2) ,则 α 是第_____象限角, x =_____。 2 2.若角 α 与角 β 的终边互为反向延长线,则 α 与 β 的关系是___________。
象限的角。
0

3.设 α 1 = 7.412, α 2 = ?9.99 ,则 α 1 , α 2 分别是第 4.与 ? 2002 终边相同的最大负角是_______________。

5.化简: m tan 0 0 + x cos 90 0 ? p sin 180 0 ? q cos 270 0 ? r sin 360 0 =____________。 三、解答题 1.已知 ? 90 0 < α < 90 0 ,?90 0 < β < 90 0 , 求 α ?

β
2

的范围。

2.已知 f ( x) = ?

?cos πx, x < 1 1 4 求 f ( ) + f ( ) 的值。 3 3 ? f ( x ? 1) ? 1, x > 1,
2 2 1 2 2 sin x + cos 2 x 的值。 (2)求 2 sin x ? sin x cos x + cos x 的值。 3 4

3.已知 tan x = 2 , (1)求

4.求证: 2(1 ? sin α )(1 + cos α ) = (1 ? sin α + cos α ) 2

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新课程高中数学训练题组《必修 4》

《必修 4》第一章 三角函数(上)
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.化简 sin 600 的值是( A. 0.5 2.若 0 < a < 1 , A. 1 3.若 α ∈ ? 0 , π ? ? 3
A. sin α ? ,则 3 ? ?
0

) B. ?0.5 C.
3 2

D. ? )

3 2

π
2

< x < π ,则
B. ? 1
log 3 sin α

x (a ? x) 2 cos x 1 ? a 的值是( ? + x?a cos x a x ? 1

C. 3 )

D. ? 3

等于(

1 1 C. ? sin α D. ? sin α cos α 4.如果 1 弧度的圆心角所对的弦长为 2 ,那么这个圆心角所对的弧长为( ) A. 1 B. sin 0.5 C. 2 sin 0.5 D. tan 0.5
B.

5.已知 sin α > sin β ,那么下列命题成立的是(
A.若 α , β 是第一象限角,则 cos α > cos β C.若 α , β 是第三象限角,则 cos α > cos β
6.若 θ 为锐角且 cos θ
?1

sin 0 . 5


B.若 α , β 是第二象限角,则 tan α > tan β
?1

D.若 α , β 是第四象限角,则 tan α > tan β


A. 2 2 二、填空题

? cos θ = ?2 ,则 cos θ + cos θ 的值为( B. 6 C. 6

D. 4

1.已知角 α 的终边与函数 5 x + 12 y = 0, ( x ≤ 0) 决定的函数图象重合, cosα + 2.若 α 是第三象限的角, β 是第二象限的角,则

α ?β
2

1 1 的值为_____. ? tan α sin α

是第

象限的角.

3.在半径为 30m 的圆形广场中央上空,设置一个照明光源,射向地面的光呈圆锥形,且其轴截面顶角为

1200 ,若要光源恰好照亮整个广场,则其高应为_______ m (精确到 0.1m ) 4.如果 tan α sin α < 0, 且 0 < sin α + cos α < 1, 那么 α 的终边在第
5.若集合 A = ? x | kπ +

象限。

? ?

π

? ≤ x ≤ kπ + π , k ∈ Z ? , B = { x | ?2 ≤ x ≤ 2} ,则 A ∩ B =_______________。 3 ?

三、解答题 1. α 的终边上的点 P 与 A( a, b) 关于 x 轴对称 ( a ≠ 0, b ≠ 0) , β 的终边上的点 Q 与 A 关于直线 y = x 角 角 sin α tan α 1 对称,求 之值. + + cos β tan β cos α sin β

2.一个扇形 OAB 的周长为 20 ,求扇形的半径,圆心角各取何值时,此扇形的面积最大?

3.求

1 ? sin 6 α ? cos6 α 的值。 1 ? sin 4 α ? cos 4 α
a2 ?1 b2 ?1

4.已知 sin θ = a sin ? , tan θ = b tan ? , 其中 θ 为锐角,求证: cos θ =

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新课程高中数学训练题组《必修 4》

《必修 4》第一章 三角函数(下)
[基础训练 A 组]
一、选择题 1.函数 y = sin(2 x + ? )(0 ≤ ? ≤ π ) 是 R 上的偶函数,则 ? 的值是( A. 0 2.将函数 y = sin( x ? ) D. π

π B.
3

π 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再将所得的图象向 )
) D. y = sin(2 x ? ) D. (

4

π C.

2

π 左平移 个单位,得到的图象对应的僻析式是(
3

1 π 1 π 1 A. y = sin x B. y = sin( x ? ) C. y = sin( x ? ) 2 2 2 2 6 3.若点 P (sin α ? cos α , tan α ) 在第一象限,则在 [0, 2π ) 内 α 的取值范围是(

π
6

)

5π A. ( , ) ∪ (π , ) 2 4 4 4.若 π < α < π , 则(
4 2

π 3π

5π B. ( , ) ∪ (π , ) 4 2 4


π π

5π 3π C. ( , )∪( , ) 2 4 4 2

π 3π

π 3π
2 , 4

)∪(

3π ,π ) 4

A. sinα > cosα > tanα B. cosα > tanα > sinα C. sinα > tanα > cosα D. tan > sin > cos α α α 2 π ) 5.函数 y = 3 cos( x ? ) 的最小正周期是( 5 6 5π 2π A. B. C. 2π D. 5π 5 2 2π 2π 6. 在函数 y = sin x , y = sin x , y = sin(2x + ) , y = cos(2 x + ) 中,最小正周期为 π 的函数的个数为( ) 3 3 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 二、填空题 1.关于 x 的函数 f ( x ) = cos( x + α ) 有以下命题: ①对任意 α , f ( x ) 都是非奇非偶函数;②不存在 α , 使 f ( x ) 既是奇函数,又是偶函数;③存在 α ,使 f ( x ) 是偶函数;④对任意 α , f ( x ) 都不是奇函数.其 ,因为当 α = 时,该命题的结论不成立. 中一个假命题的序号是 2 + cos x 2.函数 y = 的最大值为________. 2 ? cos x

3 3 的 x 的集合为_________________________________。 4.满足 sin x = 2
5.若 f ( x ) = 2 sin ?x (0 < ? < 1) 在区间 [0,

3.若函数 f ( x ) = 2 tan( kx +

π 的最小正周期 T 满足 1 < T < 2 ,则自然数 k 的值为______. )

π

3

] 上的最大值是 2 ,则? =________。

三、解答题

1.画出函数 y = 1 ? sin x, x ∈ [0,2π ]的图象。

2.比较大小(1) sin 110 0 , sin 150 0 ; (2) tan 220 0 , tan 200 0

3.⑴求函数 y = log2

1 ?1 的定义域;⑵设 f ( x) = sin(cos x), (0 ≤ x ≤ π ) ,求 f ( x) 的最大值与最小值。 sin x

4.若 y = cos 2 x + 2 p sin x + q 有最大值 9 和最小值 6 ,求实数 p, q 的值。
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新课程高中数学训练题组《必修 4》

《必修 4》第一章 三角函数(下)
[综合训练 B 组]
一、选择题

1 x 的解的个数是( ) 4 A. 5 B. 6 C. 7 2.在 (0,2π ) 内,使 sin x > cos x 成立的 x 取值范围为( π π 5π C. ( , ) A. ( π , π ) ∪ (π , 5π ) B. ( , π )
1.方程 sin π x =
4 2 4

D. 8 )

4

4

3.已知函数 f ( x ) = sin(2 x + ? ) 的图象关于直线 x = A.

π
8

4

π 5π 3π D. ( , π ) ∪ ( , ) 4 4 2


对称,则 ? 可能是( D.

3π 2 4 4 4 4.已知 ?ABC 是锐角三角形, P = sin A + sin B, Q = cos A + cos B, 则( ) A. P < Q B. P > Q C. P = Q D. P 与 Q 的大小不能确定 5.如果函数 f ( x ) = sin(π x + θ )(0 < θ < 2π ) 的最小正周期是 T ,且当 x = 2 时取得最大值,那么( A. T = 2, θ = π B. T = 1, θ = π C. T = 2, θ = π D. T = 1, θ = π
B.

π

?

π

C.

π



2

2

6. y = sin x ? sin x 的值域是( A. [?1,0] B. [0,1]

) C. [?1,1] D. [?2,0]

二、填空题
2a ? 3 , x 是第二、三象限的角,则 a 的取值范围___________。 4?a π 2π ? ? 2.函数 y = f (cos x) 的定义域为 ?2kπ ? ,2kπ + (k ∈ Z ) , 6 3 ? ? ? 则函数 y = f (x ) 的定义域为__________________________. x π 3.函数 y = ? cos( ? ) 的单调递增区间是___________________________. 2 3
1.已知 cos x = 4.设? > 0 ,若函数 f ( x ) = 2 sin ? x 在 [ ?

π π

5.函数 y = lg sin(cos x) 的定义域为______________________________。 三、解答题
2

, ] 上单调递增,则? 的取值范围是________。 3 4

1.⑴求函数 y = 2 + log1 x + tanx 的定义域; ⑵设 g(x) = cos(sin x),(0 ≤ x ≤ π ) ,求 gx)的最大值与最小值。 (

2.比较大小:⑴ 2

tan

π
3

,2

tan

2π 3

;⑵ sin 1, cos 1 。

3.判断函数 f ( x ) =

1 + sin x ? cos x 的奇偶性。 1 + sin x + cos x

4.设关于 x 的函数 y = 2 cos 2 x ? 2a cos x ? (2a + 1) 的最小值为 f ( a ) ,试确定满足 1 f ( a ) = 的 a 的值,并对此时的 a 值求 y 的最大值。 2
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新课程高中数学训练题组《必修 4》

《必修 4》第一章 三角函数(下)
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.函数 f ( x) = lg(sin 2 x ? cos 2 x) 的定义城是( )

? 3π π ? A. ? x 2kπ ? < x < 2 kπ + , k ∈ Z ? 4 4 ? ? ? π π ? C. ? x kπ ? < x < kπ + , k ∈ Z ? 4 4 ? ?

? π 5π ? B. ? x 2kπ + < x < 2kπ + ,k ∈Z? 4 4 ? ? ? π 3π ? D. ? x kπ + < x < kπ + ,k ∈ Z? 4 4 ? ?

2.已知函数 f ( x ) = 2 sin(ω x + ? ) 对任意 x 都有 f ( A. 2 或 0 B. ?2 或 2 C. 0

π
6

+ x) = f (

π

? x ), 则 f ( ) 等于( 6 6
D. ?2 或 0

π



π ? 15π 3π 3. f ( x ) 是定义域为 R ,最小正周期为 设 的函数,若 f ( x ) = ? cos x , ( ? 2 ≤ x < 0) , 则 f (? ( ) 等于 ? 2 4 ? sin x , (0 ≤ x < π ) ? B. 2 C. 0 D. ? 2 A. 1 2 2



4.已知 A1 , A2 ,… An 为凸多边形的内角,且 lg sin A1 + lg sin A2 + ..... + lg sin An = 0 ,则这个多边形是( A.正六边形
2

)

B.梯形 B. 0

C.矩形 )

D.含锐角菱形

5.函数 y = cos x + 3 cos x + 2 的最小值为( A. 2

C. 1 D. 6 2π 6. 曲线 y = A sin ω x + a ( A > 0, ω > 0) 在区间 [0, ] 上截直线 y = 2 及 y = ?1 所得的弦长相等且不为 0 ,

ω

则下列对 A, a 的描述正确的是( A. a = 1 , A > 3 2 2 二、填空题

) C. a = 1, A ≥ 1 D. a = 1, A ≤ 1

B. a = 1 , A ≤ 3 2 2

1.已知函数 y = 2a + bsinx 的最大值为 3 ,最小值为 1 ,则函数 y = ?4a sin

π 7π ? 时,函数 y = 3 ? sin x ? 2 cos 2 x 的最小值是_______,最大值是________。 2.当 x ∈ ? , ?6 6 ? ? ?
3.函数 f ( x ) = ( ) co s x 在 [ ?π , π ] 上的单调减区间为_________。 4.若函数 f ( x ) = a sin 2 x + b tan x + 1 ,且 f (?3) = 5, 则 f (π + 3) = ___________。

b x 的最小正周期为__,值域为_ 2

1 3

5.已知函数 y= f (x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍,横坐标扩大到原来的 2 倍,然后把所得 的图象沿 x 轴向左平移 三、解答题 1.求 ? 使函数 y = 3 cos(3 x ? ? ) ? sin(3 x ? ? ) 是奇函数。 2.已知函数 y = cos 2 x + a sin x ? a 2 + 2a + 5 有最大值 2 ,试求实数 a 的值。 3.求函数 y = sin x ? cos x + sin x cos x, x ∈ [0, π ] 的最大值和最小值。 4.已知定义在区间 [ ? π , 2 π ] 上的函数 y = f ( x) 的图象关于 ? 3 ?π π 2 直线 x = ? π 对称,当 x ∈[ ? , π ] 时,函数 f ( x) = A sin(ωx + ? ) 6 6 3 π π (A > 0 , ω > 0 , ? <? < ) ,其图象如图所示. 2 2 2 2 的解. (1)求函数 y = f (x) 在 [ ? π , π ] 的表达式;(2)求方程 f ( x) = 3 2
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? ?

π
2

,这样得到的曲线和 y = 2 sin x 的图象相同,则已知函数 y= f (x)的解析式为__ y

x=?

π

o

π
6

2π 3

x

6

新课程高中数学训练题组《必修 4》

《必修 4》第二章 平面向量
[基础训练 A 组]
一、选择题 1.化简 AC ? BD + CD ? AB 得( A. AB A. a0 = b0 B. DA B. a ? b = 1 0 0 ) C. BC C. | a0 | + | b0 |= 2 D. 0 ) D. | a0 + b0 |= 2

2.设 a0 , b0 分别是与 a, b 向的单位向量,则下列结论中正确的是(

3.已知下列命题中:⑴若 k ∈ R ,且 kb = 0 ,则 k = 0 或 b = 0 ;⑵若 a ? b = 0 ,则 a = 0 或 b = 0 ;⑶若不 平行的两个非零向量 a, b ,满足 | a |=| b | ,则 ( a + b) ? ( a ? b) = 0 ;⑷若 a 与 b 平行,则 a ib =| a | ? | b | 其中 真命题的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4.下列命题中正确的是( ) A.若 a?b=0,则 a=0 或 b=0 C.若 a∥b,则 a 在 b 上的投影为|a| A. ?3 A. 4 2 ,0 二、填空题 B. ?1 B. 4, 4 2 B.若 a?b=0,则 a∥b D.若 a⊥b,则 a?b=(a?b)2 ) D. 3 ) D. 4, 0

5.已知平面向量 a = (3,1) , b = ( x, ?3) ,且 a ⊥ b ,则 x = ( C. 1 C. 16, 0

6.已知向量 a = (cos θ , sin θ ) ,向量 b = ( 3 ,?1) 则 | 2a ? b | 的最大值,最小值分别是(

1.若 OA = ( 2,8) , OB = (?7,2) ,则

1 AB =_________ 3

2.平面向量 a, b 中,若 a = (4, ?3) , b =1,且 a ? b = 5 ,则向量 b =____。 3.若 a = 3 , b = 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b =
0



4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点 所构成的图形是___________。 5.已知 a = ( 2,1) 与 b = (1,2) ,要使 a + tb 最小,则实数 t 的值为___________。 三、解答题 D 1.如图, 平行四边形 ABCD 中, E , F 分别是 BC , DC 的中点, G 为交点, 若 AB = a , AD = b ,试以 a , b 为基底表示 DE 、 BF 、 CG . A 2.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |= 4, ( a + 2b).( a ? 3b) = ?72 ,求向量 a 的模。 F G B E C

3.已知点 B (2, ?1) ,且原点 O 分 AB 的比为 ?3 ,又 b = (1, 3) ,求 b 在 AB 上的投影。









4.已知 a = (1, 2) , b = ( ?3,2) ,当 k 为何值时, ⑴ k a + b 与 a ? 3b 垂直?⑵ k a + b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?
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新课程高中数学训练题组《必修 4》

《必修 4》第二章 平面向量
[综合训练 B 组]
一、选择题 1.下列命题中正确的是( A. OA ? OB = AB A. (3,1) A. ( ?3,6) ) B. AB + BA = 0 B. (1, ?1)
o

C. 0 ? AB = 0 C. (3,1) 或 (1, ?1) C. (6,?3)

D. AB + BC + CD = AD )

2.设点 A(2, 0) , B (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB = 2 AP ,则点 P 的坐标为( D.无数多个 ) ) D. ? D. ( ?6,3) 3.若平面向量 b 与向量 a = (1,?2) 的夹角是 180 ,且 | b |= 3 5 ,则 b = ( B. (3,?6) 4.向量 a = (2,3) , b = ( ?1, 2) ,若 ma + b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于( A. ?2 B. 2 C.

1 2

1 2
)

5.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ⊥ a , (b ? 2a ) ⊥ b ,则 a 与 b 的夹角是( A.

π
6

3 3 1 6.设 a = ( ,sin α ) , b = (cos α , ) ,且 a // b ,则锐角 α 为( 2 3 0 0 0 A. 30 B. 60 C. 75

B.

π

C.

2π 3

D. )

5π 6

D. 45

0

二、填空题 1.若 | a |= 1,| b |= 2, c = a + b ,且 c ⊥ a ,则向量 a 与 b 的夹角为
→ → →


→ →

2.已知向量 a = (1, 2) , b = (?2,3) , c = (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。 3.若 a = 1 , b = 2 , a 与 b 的夹角为 60 ,若 (3a + 5b) ⊥ ( ma ? b) ,则 m 的值为
0







4.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB + CD = __________。 5.若 a = ( 2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。 三、解答题 1.求与向量 a = (1, 2) , b = (2,1) 夹角相等的单位向量 c 的坐标.
→ → → →

2.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

3.设非零向量 a , b , c , d ,满足 d = ( a ic )b ? ( a ib )c ,求证: a ⊥ d

4.已知 a = (cos α ,sin α ) , b = (cos β ,sin β ) ,其中 0 < α < β < π . (1)求证: a+b 与 a?b 互相垂直;(2)若 k a + b 与 a ? k b 的长度相等,求 β ? α 的值( k 为非零的常数).

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新课程高中数学训练题组《必修 4》

《必修 4》第二章 平面向量
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.若三点 A(2,3), B (3, a ), C (4, b) 共线,则有( A. a = 3, b = ?5 B. a ? b + 1 = 0 ) C. 2a ? b = 3 D. a ? 2b = 0

θ 2.设 0 ≤ θ < 2π ,已知两个向量 OP = (cos , sinθ ) , OP2 = (2 + sin θ , 2 ? cos θ ) ,则向量 P1 P2 长度的 1 最大值是( )
A. 2 3.下列命题正确的是( A.单位向量都相等 B. 3 ) C. 3 2 D. 2 3

B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量 D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 = 1
0

C. | a + b | =| a ? b | ,则 a ? b = 0

4.已知 a , b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a + 3b = ( A. 7 B. 10 C. 13 5.已知向量 a , b 满足 a = 1, b = 4, 且 a ? b = 2 , 则 a 与 b 的夹角为( A.

) D. 4 ) D.

π
6

4 3 6.若平面向量 b 与向量 a = (2,1) 平行,且 | b |= 2 5 ,则 b = ( ) A. ( 4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3)


B.

π

C.

π

π
2

D. ( 4,2) 或 (?4,?2)

二、填空题 1.已知向量 a = (cos θ ,sin θ ) ,向量 b = ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是 2.若 A(1, 2), B (2, 3), C ( ?2, 5) ,试判断则△ABC 的形状_________. 3.若 a = (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。 4.若向量 | a |= 1,| b |= 2,| a ? b |= 2, 则 | a + b |= 。 5.平面向量 a, b 中,已知 a = (4, ?3) , b = 1 ,且 a ib = 5 ,则向量 b = ______。 三、解答题 1.已知 a , b , c 是三个向量,试判断下列各命题的真假. ⑴若 a ? b = a ? c 且 a ≠ 0 ,则 b = c ⑵向量 a 在 b 的方向上的投影是模等于 a cosθ ( θ 是 a 与 b 的夹角),方向与 a 在 b 相同或相反的一个向量.

2.证明:对于任意的 a, b, c, d ∈ R ,恒有不等式 ( ac + bd ) 2 ≤ ( a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 )

3.平面向量 a = ( 3, ?1), b = ( 1 , 3 ) ,若存在不同时为 0 的实数 k 和 t ,使 x = a + (t 2 ? 3)b , y = ? ka + tb , 且

x ⊥ y ,试求函数关系式 k = f (t ) 。
4.如图,在直角△ABC 中,已知 BC = a ,若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点, 问 PQ与BC 的夹角 θ 取何值时 BP ? CQ 的值最大?并求出这个最大值。

2 2

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新课程高中数学训练题组《必修 4》

《必修 4》第三章 三角恒等变换
[基础训练 A 组]
一、选择题 1.已知 x ∈ ( ? A.
7 24

π
2

, 0) , cos x =

4 ,则 tan 2 x = ( 5
7 24

) C. ) C. π D. 2π
24 7

B. ?

D. ?

2.函数 y = 3sin x + 4 cos x + 5 的最小正周期是( A.

24 7

π
5

2 3.在△ABC 中, cos A cos B > sin A sin B ,则△ABC 为(
A.锐角三角形 B.直角三角形

B.

π

) C.钝角三角形 D.无法判定 0 0 0 0 ) 4.设 a = sin14 + cos14 , b = sin16 + cos16 , c = 6 ,则 a, b, c 大小关系( 2 A. a < b < c B. b < a < c C. c < b < a D. a < c < b

5.函数 y = A.周期为

π
4

的奇函数

2 sin(2 x ? π ) cos[2( x + π )] 是( π
B.周期为

) C.周期为 ) C.

的偶函数

π
2

的奇函数

4

D.周期为

π
2

的偶函数

6.已知 cos 2θ = A.

2 ,则 sin 4 θ + cos 4 θ 的值为( 3

13 18 二、填空题
0

B.
0

11 18
0 0

7 9

D. ?1

1.求值: tan 20 + tan 40 + 3 tan 20 tan 40 = _____________。 1 + tan α 1 2.若 。 = 2008, 则 + tan 2α = 1 ? tan α cos 2α 3.函数 f ( x ) = cos 2 x ? 2 3 sin x cos x 的最小正周期是___________。 4.已知 sin

θ
2

+ cos

θ
2

=

2 3 , 那么 sin θ 的值为 3

, cos 2θ 的值为

。 。

5. ?ABC 的三个内角为 A , B , C ,当 A 为

时, cos A + 2 cos

B+C 取得最大值,且这个最大值为 2

三、解答题 1.已知 sin α + sin β + sin γ = 0, cos α + cos β + cos γ = 0, 求 cos( β ? γ ) 的值.

2.若 sin α + sin β =

2 求 cos α + cos β 的取值范围。 , 2

3.求值:

1 + cos 20 0 ? sin 10 0 (tan ? 1 5 0 ? tan 5 0 ) 2 sin 20 0

4.已知函数 y = sin

x x + 3 cos , x ∈ R. 2 2 ⑴求 y 取最大值时相应的 x 的集合;
⑵该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y = sinx(x ∈ R) 的图象.

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新课程高中数学训练题组《必修 4》

《必修 4》第三章 三角恒等变换
[综合训练 B 组]
一、选择题 1.设 a = 1 cos 6 ? 3 sin 6 , b = 2 tan 13 , c = 1 ? cos 50 , 则有( 2 2 1 + tan 2 13 2 A. a > b > c B. a < b < c C. a < c < b 1 ? tan 2 2 x 2.函数 y = 的最小正周期是( ) 1 + tan 2 2 x π π A. B. C. π 4 2 3. sin163 sin 223 + sin 253 sin 313 = ( ) 1 3 1 A. ? B. C. ? 2 2 2 π 3 则 sin 2 x 的值为( 4.已知 sin( ? x ) = , ) 4 5 16 14 19 A. B. C. 25 25 25 1 ,则 cos 2α = ( 5.若 α ∈ (0, π ) ,且 cos α + sin α = ? ) 3
A. 17
9
4 2

) D. b < c < a

D. 2π

D.

3 2

D.

7 25

B. ± 17
9

C. ? 1 7
9

D.

17 3

6.函数 y = sin x + cos x 的最小正周期为( A.


C. π D. 2π

π
4

B.

π
2

二、填空题
1.已知在 ?ABC 中, 3sin A + 4 cos B = 6, 4sin B + 3cos A = 1, 则角 C 的大小为
2.计算: sin 65o + sin 15 o sin 10
o o o



2x 2x π + cos( + ) 的图象中相邻两对称轴的距离是 3 3 6 1 4.函数 f ( x ) = cos x ? cos 2 x ( x ∈ R ) 的最大值等于 . 2
3.函数 y = sin

sin 25 - cos 15 cos 80 o

的值为_______. .

5.已知 f ( x ) = A sin(ωx + ? ) 在同一个周期内,当 x = π 时, f ( x ) 取得最大值为 2 ,当 x = 0 时, f ( x ) 3 取得最小值为 ? 2 ,则函数 f ( x ) 的一个表达式为______________. 三、解答题

1. 求值:⑴ sin 6 sin 42 sin 66 sin 78 ;⑵ sin 20 + cos 50 + sin 20 cos 50 。
0 0 0 0 2 0 2 0 0 0

2.已知 A + B =

π
4

,求证: (1 + tan A)(1 + tan B ) = 2

3.求值: log 2 cos

π
9

+ log 2 cos

2π 4π 。 + log 2 cos 9 9

4.已知函数 f ( x ) = a (cos 2 x + sin x cos x) + b ⑴当 a > 0 时,求 f ( x ) 的单调递增区间;⑵当 a < 0 且 x ∈ [0,

π
2

] 时, f ( x ) 的值域是 [3, 4], 求 a, b 的值.

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新课程高中数学训练题组《必修 4》

《必修 4》第三章 三角恒等变换
[提高训练 C 组]
一、选择题 1.求值 A. 1 2.函数 y = 2 sin(
A . ?3
cos 20 0 cos 35 0 1 ? sin 20 0 =(

) C. 2
+ x )( x ∈ R ) 的最小值等于( C . ?1

B. 2

D. 3 )
D. ? 5

π
3

? x ) ? cos(

π
6
2

B . ?2

3.函数 y = sin x cos x + 3 cos x ? 3 的图象的一个对称中心是(



π A. ( 2 π , ? 3 ) B. ( 5 π , ? 3 ) C. ( ? 2 π , 3 ) D. ( , ? 3) 3 3 2 6 2 3 2 0 2 4.△ABC 中, ∠C = 90 ,则函数 y = sin A + 2sin B 的值的情况( ) A.有最大值,无最小值 B.无最大值,有最小值 C. 有最大值且有最小值 D. 无最大值且无最小值
5. (1 + tan 210 )(1 + tan 220 )(1 + tan 230 )(1 + tan 240 ) 的值是(
A. 16 6.当 0 < x < A. 4 B. 8 C. 4
2

)
D. 2

π 时,函数 f ( x) =
4

B. 1 2

cos x 的最小值是( cos x sin x ? sin 2 x
C. 2


D. 1 4

二、填空题

3 ; ②若 α , β 是第一象限角, α > β , cosα < cos β ; 且 则 2 2 π π π ③函数 y = sin( x + ) 是偶函数;④函数 y = sin 2 x 的图象向左平移 个单位,得到函数 y = sin(2x + ) 的 3 2 4 4 图象.其中正确命题的序号是____________. (把正确命题的序号都填上) x 1 2.函数 y = tan ? 的最小正周期是___________________。 2 sin x 1 1 3.已知 sin α + cos β = , sin β ? cos α = ,则 sin(α ? β ) =__________。 3 2 ? π ? 上的最小值为 4.函数 y = sin x + 3 cos x 在区间 0, .
1. 给出下列命题: ①存在实数 x , sin x + cos x = 使
? ? 2? ?

5.函数 y = ( a cos x + b sin x) cos x 有最大值 2 ,最小值 ?1 ,则实数 a = ____, b = ___。 三、解答题 1.已知函数 f ( x ) = sin( x + θ ) + cos( x + θ ) 的定义域为 R ,

⑴当 θ = 0 时,求 f ( x ) 的单调区间;⑵若 θ ∈ (0, π ) ,且 sin x ≠ 0 ,当 θ 为何值时, f ( x ) 为偶函数.
2.已知△ABC 的内角 B 满足 2 cos 2 B ? 8 cos B + 5 = 0, ,若 BC = a , CA = b 且 a , b 满足: a ib = ?9 ,

a = 3, b = 5 , θ 为 a , b 的夹角.求 sin( B + θ ) 。
3.已知 0 < x < π , sin( π ? x ) = 5 , 求 4 4 13

cos 2 x cos(

π
4

的值。

+ x)

4.已知函数 f ( x ) = a sin x ? cos x ? 3 a cos 2 x +

(1)写出函数的单调递减区间;(2)设 x ∈ [0, ] , f ( x ) 的最小值是 ? 2 ,最大值是 3 ,求实数 a, b 的值. 2
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π

3 a + b ( a > 0) 2

新课程高中数学训练题组《必修 4》 新课程高中数学训练题组《必修 4》参考答案 《必修 4》第一章 三角函数(上)[基础训练 A 组]
一、选择题 1.C

, ( k ∈ Z ), 2 当 k = 2n, ( n ∈ Z ) 时, α 在第一象限;当 k = 2n + 1, ( n ∈ Z ) 时, α 在第三象限; 2 4 2
而 co s
α
2 = ? co s
0

2 kπ +

π

< α < 2 k π + π , ( k ∈ Z ), k π +
2

π

<

α

< kπ +

π

α
2

? co s

α
2
0

α 在第三象限; ≤ 0 ,∴
2

2

2.C

sin(?1000 ) = sin 80 > 0 ; cos(?22000 ) = cos(?400 ) = cos 400 > 0 tan(?10) = tan(3π ? 10) < 0 ;
sin 7π 7π cos π ? sin 10 10 , sin 7 π > 0, tan 17 π < 0 = 17 π 17 π 10 9 tan tan 9 9

3.B 4.A 5.C

s in 2 1 2 0 0 = s i n 1 2 0 0 =

s in α =

6.A π < 2 < π , sin 2 > 0; π < 3 < π , cos 3 < 0; π < 4 < 3π , tan 4 > 0; sin 2 cos 3 tan 4 < 0 2 2 2 二、填空题 1.四、三、二 当 θ 是第二象限角时, sin θ > 0, cos θ < 0 ;当 θ 是第三象限角时, sin θ < 0, cos θ < 0 ; 当 θ 是第四象限角时, sin θ < 0, cos θ > 0 ; 17 π 17 π 2.② sin = M P > 0, cos = OM < 0 18 18 3. α + β = 2kπ + π α 与 β + π 关于 x 轴对称 1 l 4. 2 S = (8 ? 2 r ) r = 4, r 2 ? 4 r + 4 = 0, r = 2, l = 4, α = = 2 2 r 0 0 0 0 0 0 5. 158 ?2002 = ?2160 + 158 , (2160 = 360 × 6) 三、解答题 7 1 1 1. 解:∵ tan α ? = k 2 ? 3 = 1,∴ k = ± 2 ,而 3π < α < π ,则 tan α + = k = 2, 2 tan α tan α 得 tan α = 1 ,则 sin α = cos α = ? 2 ,∴ cos α + sin α = ? 2 。 2

π ? α = ?α + π ,若 α 是第四象限的角,则 ?α 是第一象限的角,再逆时针旋转1800

4 3 s in α 4 , c o s α = ? , ta n α = = ? 5 5 cos α 3

3 2

2.解:

cos x + sin x 1 + tan x 1 + 2 = = = ?3 cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 2 sin x 1 sin(1800 ? x) 1 cos x 3.解:原式 = = ? tan x ? tan x(? ) = sin x ? ? 0 0 tan x tan(? x) tan(90 ? x) tan(90 ? x) sin(? x) ? tan x
2

m2 ? 1 4.解:由 sin x + cos x = m, 得 1 + 2sin x cos x = m , 即 sin x cos x = , 2 m 2 ? 1 3m ? m3 3 3 (1) sin x + cos x = (sin x + cos x)(1 ? sin x cos x) = m(1 ? )= 2 2 2 4 2 m ? 1 2 ? m + 2m + 1 4 4 2 2 (2) sin x + cos x = 1 ? 2sin x cos x = 1 ? 2( ) = 2 2

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新课程高中数学训练题组《必修 4》 《必修 4》第一章 三角函数(上) [综合训练 B 组]
一、选择题 1.B

a , a = ?4 tan 6000 = ?4 tan 600 = ?4 3 ?4 2.C 当 x 是第一象限角时, y = 3 ;当 x 是第二象限角时, y = ?1 ; 当 x 是第三象限角时, y = ?1 ;当 x 是第四象限角时, y = ?1 tan 6000 =
2 kπ + kπ +

3.A

π
2

< α < 2kπ + π , (k ∈ Z ), 4kπ + π < 2α < 4kπ + 2π , (k ∈ Z ),

π

4

<

α
2

< kπ +

π
2

, (k ∈ Z ), 2α 在第三、或四象限, sin 2α < 0 ,

cos 2α 可正可负;
4.B

α

5.D

sin α m =? cos α 1 ? m2 sin α sin α 1 ? cos 2 α sin α + = + , cos α cos α cos α 1 ? sin 2 α sin α sin α 当 α 是第二象限角时, + = ? tan α + tan α = 0 ; cos α cos α cos α = ? 1 ? m 2 , tan α =
当 α 是第四象限角时,

2

在第一、或三象限, cos

α
2

可正可负

sin α sin α + = tan α ? tan α = 0 cos α cos α

6.B

α=

4π 1 3 ?1 + 3 , cos α ? sin α = ? + = 3 2 2 2 cos α = ?

二、填空题 1.二, ?2 3

3 < 0 ,则 α 是第二、或三象限角,而 Py = 2 > 0 2 1 2 3 得 α 是第二象限角,则 sin α = , tan α = = ? , x = ?2 3 2 x 3 2. β = α + (2k + 1)π
0 < 7.412 ? 2π <

3.一、二 4. ?202
0

π

2 0 ?2002 = ?5 × 3600 + (?2020 )

, 得 α1 是第一象限角;

π

2

< ?9.99 + 4π < π , 得 α 2 是第二象限角

5. 0 tan 00 = 0, cos 900 = 0,sin1800 = 0, cos 2700 = 0,sin 3600 = 0 三、解答题

2 2 2 2 1 π 1 4 1 1 1 4 2.解:∵ f ( ) = cos = , f ( ) = f ( ) ? 1 = ? ∴ f ( )+ f ( ) =0 3 3 2 3 3 2 3 3 2 2 1 2 1 sin x + cos 2 x tan 2 x + 2 2 1 2 3 4 3 4= 7 3.解: (1) sin x + cos x = = 2 2 2 3 4 sin x + cos x tan x + 1 12 2 2 2sin x ? sin x cos x + cos x 2 tan 2 x ? tan x + 1 7 2 2 (2) 2 sin x ? sin x cos x + cos x = = = sin 2 x + cos 2 x tan x + 1 5 2 4.证明:右边 = (1 ? sin α + cos α ) = 2 ? 2sin α + 2cos α ? 2sin α cos α = 2(1 ? sin α + cos α ? sin α cos α ) = 2(1 ? sin α )(1 + cos α ) ∴ 2(1 ? sin α )(1 + cos α ) = (1 ? sin α + cos α ) 2
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1.解: ?900 < ?β < 900 , ?450 < ?

β

< 450 , ?900 < α < 900 , ∵α ?

β

= α + (?

β

) , ?1350 < α ?

β

< 1350

新课程高中数学训练题组《必修 4》 《必修 4》第一章 三角函数(上) [提高训练 C 组]
一、选择题 1.D 2.A
sin 6 0 0 0 = sin 2 4 0 0 = sin (1 8 0 0 + 6 0 0 ) = ? sin 6 0 0 = ? 3 2

cos x < 0,1 ? a x > 0, x ? a > 0,
α

x (a ? x)2 cos x 1 ? a ? + x = 1 ? ( ? 1) + ( ? 1) = 1 x?a cos x a ?1

3.B

log 3 sin α < 0, 3 log3 sin = 3? log3 sin α = 3

log3

1 sin α

=

1 sin α

4.A 作出图形得

1 1 1 = sin 0.5, r = ,l = α ?r = r sin 0.5 sin 0.5
?1 2 ?1 2 ?1

5.D 画出单位圆中的三角函数线 6.A (cos θ + cos θ ) = (cos θ ? cos θ ) + 4 = 8, cos θ + cos θ = 2 2 二、填空题 1. ? 7 7 在角 α 的终边上取点 P ( ? 12, 5), r = 1 3, cos α = ? 12 , tan α = ? 5 , sin α = 5 13 13 12 13 2.一、或三

3π π , ( k1 ∈ Z ), 2 k 2π + < 2α < 2 k 2π + π , ( k 2 ∈ Z ), 2 2 π α ?β π ( k 1 ? k 2 )π + < < ( k 1 ? k 2 )π + 2 k1π + π < α < 2 k1π +
4 2 2

h 3. 17.3 = tan 30 0 , h = 10 3 30 sin 2 α 4.二 tan α sin α = < 0, cos α < 0, sin α > 0 cos α
5. [ ?2, 0] ∪ [ 三、解答题

π

3

, 2]

π 2π π ? ? A = ? x | kπ + ≤ x ≤ kπ + π , k ∈ Z ? = ... ∪ [? , 0] ∪ [ , π ] ∪ ... 3 3 3 ? ?
?b
2 2

a +b a +b a b a Q(b, a ), sin β = , cos β = , tan β = b a 2 + b2 a 2 + b2 sin α tan α 1 b2 a 2 + b 2 ∴ + + = ?1 ? 2 + =0。 cos β tan β cos α sin β a a2 2. 解:设扇形的半径为 r ,则 1 S = (20 ? 2r )r = ? r 2 + 10r 2 l 当 r = 5 时, S 取最大值,此时 l = 10, α = = 2 r 6 6 2 2 1 ? sin α ? cos α 1 ? (sin α + cos α )(sin4 α ? sin 2 α cos2 α + cos4 α ) 1? (1? 3sin2 α cos2 α ) 3 = = = 3.解: 1 ? sin4 α ? cos4 α 1 ? (1 ? 2sin2 α cos2 α ) 1? (1? 2sin2 α cos2 α ) 2 sin θ a sin ? 4.证明:由 sin θ = a sin ? , tan θ = b tan ? , 得 = , 即 a cos ? = b cos θ tan θ b tan ? 2 2 2 2 而 a sin ? = sin θ ,得 a = b cos θ + sin θ ,即 a 2 = b 2 cos 2 θ + 1 ? cos 2 θ ,
2 2

1.解: P ( a, ?b), sin α =

, cos α =

a

, tan α = ?

b a

a2 ?1 a2 ?1 得 cos θ = 2 , 而 θ 为锐角,∴ cos θ = b ?1 b2 ? 1
2

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新课程高中数学训练题组《必修 4》 《必修 4》第一章 三角函数(下) [基础训练 A 组]
一、选择题 1.C 当 ? = 2.C

π 时, π y = sin(2 x + ) = cos 2 x ,而 y = cos 2 x 是偶函数
2 2

3.B

π 1 π 1 π π 1 π y = sin( x ? ) → y = sin( x ? ) → y = sin[ ( x + ) ? ] → y = sin( x ? ) 3 2 3 2 3 3 2 6 5π ?π <α < ?sin α ? cos α > 0 ? 4 π π 5π ? 4 ?? ? α ∈ ( , ) ∪ (π , ) ? 4 2 4 ? tan α > 0 ?0 < α < π , 或 π < α < 5π
? ? 2 4

tan α > 1, cos α < sin α < 1, tan α > sin α > cos α 5.D T = 2π = 5π 6.C 由 y = sin x 的图象知,它是非周期函数
4.D

2 5 二、填空题 1.① 0 此时 f ( x ) = cos x 为偶函数

2. 3

y (2 ? cos x ) = 2 + cos x , cos x =
T =

2y ? 2 2y ? 2 1 ? ?1 ≤ ≤ 1, ≤ y ≤ 3 y +1 y +1 3

3. 2, 或3 5.

π
k

,1 <

π
k

< 2,

π
2

< k < π , 而 k ∈ N ? k = 2, 或 3

3 4

x ∈ [0,

π
3

], 0 ≤ x ≤

π
3

,0 ≤ ωx ≤

ωπ
3

<

π
3

, f ( x ) max

π π 4. ? x | x = 2kπ + , 或 2kπ + , k ∈ Z ? ? ? 3 3 ? ? ωπ ωπ 2 ωπ π 3 = 2 sin = 2 , sin = , = ,ω = 3 3 2 3 4 4

三、解答题

1.解:将函数 y = sin x, x ∈ [ 0, 2π ] 的图象关于 x 轴对称,得函数 y = ? sin x, x ∈ [ 0, 2π ] 的图象,再将函数

y = ? sin x, x ∈ [ 0, 2π ] 的图象向上平移一个单位即可。

2.解: (1) sin1100 = sin 700 ,sin1500 = sin 300 , 而 sin 700 > sin 300 ,∴ sin1100 > sin1500 (2) tan 2200 = tan 400 , tan 2000 = tan 200 , 而 tan 400 > tan 200 ,∴ tan 2200 > tan 2000 3.解:⑴ log2

1 1 1 1 π 5π ?1 ≥ 0,log2 ≥ 1, ≥ 2,0 < sin x ≤ , 2kπ < x ≤ 2kπ + , 或 2kπ + ≤ x < 2kπ +π , k ∈Z sin x sin x sin x 2 6 6 π 5π (2kπ , 2kπ + ] ∪ [2kπ + , 2kπ ), ( k ∈ Z ) 为所求。 6 6 ⑵ 当0 ≤ x ≤ π 时, ?1 ≤ cos x ≤ 1 ,而 [ ?11] 是 f (t ) = sin t 的递增区间 , 当 cos x = ?1 时, f ( x) min = sin( ?1) = ? sin1 ; 当 cos x = 1 时, f ( x) max = sin1 。

4.解:令 sin x = t , t ∈ [ ?1,1] , y = 1 ? sin 2 x + 2 p sin x + q

y = ?(sin x ? p ) 2 + p 2 + q + 1 = ?(t ? p ) 2 + p 2 + q + 1 , y = ?(t ? p ) 2 + p 2 + q + 1 对称轴为 t = p 当 p < ?1 时, [ ?1,1] 是函数 y 的递减区间, ymax = y |t =?1 = ?2 p + q = 9 3 15 ymin = y |t =1 = 2 p + q = 6 ,得 p = ? , q = ,与 p < ?1 矛盾; 4 2 当 p > 1 时, [ ?1,1] 是函数 y 的递增区间, ymax = y |t =1 = 2 p + q = 9 3 15 ymin = y |t =?1 = ?2 p + q = 6 ,得 p = , q = ,与 p > 1 矛盾; 4 2 2 当 ?1 ≤ p ≤ 1 时, ymax = y |t = p = p + q + 1 = 9 ,再当 p ≥ 0 ,
ymin = y |t =?1 = ?2 p + q = 6 ,得 p = 3 ? 1, q = 4 + 2 3 ;
当 p < 0 , ymin = y |t =1 = 2 p + q = 6 ,得 p = ? 3 + 1, q = 4 + 2 3 ,
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∴ p = ±( 3 ? 1), q = 4 + 2 3

新课程高中数学训练题组《必修 4》 《必修 4》第一章 三角函数(下) [综合训练 B 组]
一、选择题 1.C 分别作出函数 y1 = s in π x , y 2 = 1 x 的图象,左边三个交点,右边三个交点,再加上原点,共计 7 个 2.C 在同一坐标系中分别作出函数 y1 = sin x, y2 = cos x, x ∈ (0, 2π ) 的图象, 观察: 刚刚开始即 x ∈ (0, π ) 4 π 5 π 时,sin x > cos x ; 5π 时,cos x > sin x ; 到了中间即 x ∈ ( , 最后阶段即 x ∈ ( ) , 2 π ) 时,cos x > sin x
3.C 4.B 5.A
4

对称轴经过最高点或最低点, f ( π ) = ± 1, sin(2 × π + ? ) = ± 1 ? 2 × π + ? = k π + π , ? = kπ + π , k ∈ Z 4 8 8 8 2 π π π ∴sin A + sin B > cos A + cos B, P > Q
A+ B >

4

4

4

T=



2

,A>

2

? B ? sin A > cos B ; B >

2

? A ? sin B > cos A

π

= 2, f (2) = sin(2π + θ ) = 1,θ 可以等于

π
2

6.D

?0,sin x ≥ 0 y = sin x ? sin x = ? ? ?2 ≤ y ≤ 0 ?2sin x,sin x < 0

二、填空题
1. ( ? 1, )

3 2

2. [ ? 1 , 1]
2

3. [ 4 k π + 2 π , 4 k π + 8π ], k ∈ Z
3 3

? 2a ? 3 ? 4 ? a < 0 2a ? 3 3 ? ?1 < cos x < 0, ?1 < < 0, ? ,?1 < a < 2a ? 3 4 ? a 2 ? > ?1 ? 4 ? a ? π 2π 1 2kπ ? ≤ x ≤ 2kπ + ,? ≤ cos x ≤ 1 6 3 2

函数 y = co s( x ? π ) 递减时, 2 k π ≤ x ? π ≤ 2 k π + π
2 3 2 3

3 4. [ , 2] 2
大的,即 [ ?

π π π π 则 π π 是函数的关于原点对称的递增区间中范围最 令? ≤ ωx ≤ ,? ≤x≤ , [? , ] 2 2 2ω 2ω 2ω 2ω

π π

, ] ? [? , ] ,则 ? 4 ≤ 2 ω ? ? 3 4 2ω 2ω π ? π
? ? ?

π

π



π

?

5. (2kπ ?

π

2 三、解答题

, 2kπ + ), (k ∈ Z ) 2

π

3

≥ ?

3 ≤ω ≤ 2 2



sin(cos x) > 0,而?1≤ cos x ≤1,∴0 < cos x ≤ 1, 2kπ ? π < x < 2kπ + π , k ∈ Z
2 2

? ?2 + log 1 x ≥ 0 ?0 < x ≤ 4 π π ? 2 1.解: 1) ? ?? ( π ,得 0 < x < ,或 π ≤ x ≤ 4 ,∴ x ∈ (0, ) ∪ [π , 4] 2 2 ? tan x ≥ 0 ? kπ ≤ x < kπ + 2 ? ? (2) 当0 ≤ x ≤ π 时, 0 ≤ sin x ≤ 1 ,而 [0, 是 f (t ) = cos t 的递减区间 1] 当 sin x = 1 时, f ( x ) min = cos1 ; 当 sin x = 0 时, f ( x ) max = cos 0 = 1 。
2.解: (1)∵ tan 3.解:当 x =

π
3

> tan

π
2

时, f ( ) = 1 有意义;而当 x = ?

π

π 2π tan tan 2π π π ,∴ 2 3 > 2 3 ; (2)∵ < 1 < ,∴ sin1 > cos1 3 4 2

π

2

2

时, f ( ?

π

2

) 无意义, ∴ f ( x) 为非奇非偶函数。 a , 2

4.解:令 cos x = t , t ∈ [ ?1,1] ,则 y = 2t ? 2at ? (2a + 1) ,对称轴 t =
2

a 1 < ?1 ,即 a < ?2 时, [?1,1] 是函数 y 的递增区间, ymin = 1 ≠ ; 2 2 a 1 1 当 > 1 ,即 a > 2 时, [ ?1,1] 是函数 y 的递减区间, ymin = ?4a + 1 = , 得 a = ,与 a > 2 矛盾; 2 2 8 2 a a 1 当 ?1 ≤ ≤ 1 ,即 ?2 ≤ a ≤ 2 时, ymin = ? ? 2a ? 1 = , a 2 + 4a + 3 = 0 得 a = ?1, 或 a = ?3 , 2 2 2 ∴ a = ?1 ,此时 ymax = ?4a + 1 = 5 。

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新课程高中数学训练题组《必修 4》 《必修 4》第一章 三角函数(下) [提高训练 C 组]
一、选择题 1.D 3.B 4.C
sin 2 x ? cos 2 x > 0, ? cos 2 x > 0, cos 2 x < 0, 2kπ +

π

2 15π 15π 3π 3π 3π 2 f (? ) = f (? + × 3) = f ( ) = sin = 4 4 2 4 4 2

< 2 x < 2 kπ +

3π 2

2.B

对称轴 x = π , f ( π ) = ±2
6 6

sin A1 sin A2 ...sin An = 1, 而0 < sin Ai ≤ 1 ? sin Ai = 1, Ai = 900
2 2 + ( ?1) 1 1 3 图象的上下部分的分界线为 y = = , 得a = , 且2 A > 3, A > 2 2 2 2
? 2a + b = 3 ? a = 1 ? 2π ? ?? ,T = = 4π , ?4 ≤ y ≤ 4 ? b ? 2a ? b = 1 ? b = 1 ? ? 2

5.B 令 cos x = t, t ∈[?1,1],则 y = t 2 + 3t + 2 ,对称轴 t = ? 3 , [ ?1,1] 是函数 y 的递增区间,当 t = ?1 时 ymin = 0 ;
6.A

二、填空题 1. 4π, [ ?4, 4]

2. 7 , 2
8

2 ? π 7π ? 1 1 1 x ∈ ? , ? , ? ≤ sin x ≤ 1, y = 2sin x ?sin x +1, 当 sin x = 时, ymin = 7 ;当 sin x = 1, 或 ? 时, ymax = 2 ; 4 2 6 6 ? 2 8 ? π 3. [ ? π , , , π ] 令 u = cos x ,必须找 u 的增区间,画出 u = cos x 的图象即可 0] [

4. ?3

2

显然 T = π , f (π + 3) = f (3) ,令 F ( x ) = f ( x ) ? 1 = a sin 2 x + tan x 为奇函数

2

F (?3) = f (?3) ? 1 = 4, F (3) = f (3) ? 1 = ?4, f (3) = ?3
右移 个单位 横坐标缩到原来的2倍 纵坐标缩到原来的4倍 2 5. y = 1 sin(2x ? π ) y = 2sin x ????? y = 2sin(x ? π ) ??????? y =2sin(2x?π) ??????? y = 1 sin(2x ? π ) → → → 2 2 2 2 2 2 三、解答题 π π 1.解: y = 2[sin π cos(3x ? ?) ? cos π sin(3x ? ?)] = 2sin(π + ? ? 3x) ,为奇函数,则 ? + = kπ , ? = kπ ? , k ∈ Z 。 3 3 3 3 3 2 2 2 2 a, 2.解: y = ?sin x + a sin x ? a + 2a + 6, 令sin x = t, t ∈[?1,1], y = ?t + at ? a + 2a + 6 ,对称轴为 t =

π

2

当 a<?1,即 a<?2时, [? ,1 是函数 y 的递减区间, ymax =?a2 +a +5 = 2,得 a 2 ? a ? 3 = 0, a = 1 ± 13 , 与 a < ?2 矛盾; 1]
2

2 a ,即 a > 2 时, [?1 是函数 y 的递增区间, 当 >1 ,1] ymax =?a2 + 3a + 5 = 2 得 a 2 ? 3a ? 3 = 0, a = 3 ± 21 , 而a > 2, 即a = 3 + 21 ; 2 2 2 当 ?1 ≤ a ≤ 1 ,即 ?2 ≤ a ≤ 2 时, y = f ( a) = ? 3 a2 + 2a + 6 = 2 得 3a2 ? 8a ?16 = 0, a = 4, 或 ? 4 ,而-2 ≤ a ≤ 2,即a = ? 4 ,∴ a = ? 4 , 或 3 + 21
2
max

2

4

3

3

3

2

2 3.解:令 sin x ? cos x = t , t = 2 sin( x ? π ), ? π ≤ x ? π ≤ 3π , ? 2 ≤ sin( x ? π ) ≤ 1 得 t∈?1 2], sin x cos x = 1 ? t , [ , 2 4 4 4 4 2 4

y =t+

4.解:⑴ x ∈ [ ? π , 2 π ] ,A = 1, T = 2π ? π , T = 2π , ω = 1 且 f ( x ) = sin( x + ? ) 过 ( 2π ,0) , 2π +? = π ,? = π , f (x) = sin(x + π ) 则

1? t2 1 1 = ? t2 + t + 2 2 2
6 3

对称轴 t = 1 ,当 t = 1 时, ymax = 1 ;当 t = ?1 时, ymin = ?1 。
4 3 6
3

π 当 ?π ≤ x < ? π 时, ? π ≤ ?x ? π ≤ 2π , f (?x ? π ) = sin(?x ? π + π ) ,而函数 y= f (x)的图象关于直线 x =? 对称,则 f (x) = f (?x?π) 6 3 6 6 3 3 3 3 3 π π 2π ? sin( x + ), x ∈ [? , ] π π π ? 3 6 3 即 f ( x ) = sin( ? x ? + ) = ? sin x , ?π ≤ x < ? ∴ f ( x) = ? ? 3 3 6 π ? ? sin x, x ∈ [?π , ? ) ? 6 ? π π 3π π 5π (2)当 ? π ≤ x ≤ 2π 时, π ≤ x + π ≤ π , f ( x) = sin( x + π ) = 2 , x + = ,或 , x = ? ,或 3 4 4 12 12 6 3 6 3 3 2
当 ?π ≤ x < ?

3

3

3

π

3π π 5π 为所求。 ∴ x = ? , ? , ? ,或 4 4 12 12

π

时, f ( x) = ? sin x = 2 ,sin x = ? 2 , 6 2 2

x=?

π
4

,或 ?

3π 4

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新课程高中数学训练题组《必修 4》 《必修 4》第二章 平面向量 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.D

AD ? BD ? AB = AD + DB ? AB = AB ? AB = 0 2.C 因为是单位向量, | a0 |= 1,| b0 |= 1
2 2 2 2

3.C (1)是对的; (2)仅得 a ⊥ b ; (3) ( a + b ) ? ( a ? b ) = a ? b = a ? b (4)平行时分 0 和 180 两种, a ib = a ? b cos θ = ± a ? b
0 0

=0

4.D

若 AB = DC ,则 A, B, C , D 四点构成平行四边形; a + b < a + b ; 若 a // b ,则 a 在 b 上的投影
0 0

为 a 或 ? a ,平行时分 0 和 180 两种 5.C 6.D

a ⊥ b ? a ? b = 0, ( a ? b ) 2 = 0

3 x + 1× (?3) = 0, x = 1

2a ? b = (2 cos θ ? 3, 2sin θ + 1),| 2a ? b |= (2 cos θ ? 3) 2 + (2sin θ + 1) 2
= 8 + 4sin θ ? 4 3 cos θ = 8 + 8sin(θ + ) ,最大值为 4 ,最小值为 0 3

π

二、填空题 1. ( ?3, ?2) 2. ( , ? )

AB = OB ? OA = (?9, ?6)

4 5

3 5

a = 5, cos < a , b >=

1 4 3 = 1, a , b 方向相同, b = a = ( , ? ) 5 5 5 a b

a ib

3. 7 4.圆 5. ?

1 a ? b = (a ? b ) 2 = a 2 ? 2ab + b 2 = 9 ? 2 × 2 × 3 × + 4 = 7 2 以共同的始点为圆心,以单位 1 为半径的圆
4 5 4 a + tb = (a + tb ) 2 = a 2 + 2tab + t 2b 2 = 5t 2 + 8t + 5 ,当 t = ? 时即可 5

三、解答题

1 1 b ?b = a ? b 2 2 1 1 BF = AF ? AB = AD + DF ? AB = b + a ? a = b ? a 2 2 1 1 1 G 是△ CBD 的重心, CG = CA = ? AC = ? (a + b ) 3 3 3 2 2 2.解: ( a + 2b)i( a ? 3b) = a ? a ib ? 6b = ?72
1.解: DE = AE ? AD = AB + BE ? AD = a +

a ? a b cos 600 ? 6 b = ?72, a ? 2 a ? 24 = 0,
2 2

2

( a ? 4)( a + 2) = 0, a = 4

3.解:设 A( x, y ) ,

AO = ?3 ,得 AO = ?3OB ,即 (? x, ? y ) = ?3(2, ?1), x = 6, y = ?3 OB b ? AB 5 得 A(6, ?3) , AB = ( ?4, 2), AB = 20 , b cos θ = = 10 AB
a ? 3b = (1, 2) ? 3(?3, 2) = (10, ?4) 1 3

4.解: k a + b = k (1, 2) + ( ?3, 2) = ( k ? 3, 2k + 2) ;

(1) ( ka + b ) ⊥ ( a ? 3b ) ,得 (k a + b )i ( a ? 3b ) = 10( k ? 3) ? 4(2k + 2) = 2k ? 38 = 0, k = 19 (2) ( ka + b ) // ( a ? 3b ) ,得 ?4( k ? 3) = 10(2k + 2), k = ? , 此时 k a + b = ( ?

10 4 1 , ) = ? (10, ?4) ,所以方向相反。 3 3 3
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新课程高中数学训练题组《必修 4》 《必修 4》第二章 平面向量 [综合训练 B 组]
一、选择题 1.D 起点相同的向量相减,则取终点,并指向被减向量, OA ? OB = BA ;

AB, BA 是一对相反向量,它们的和应该为零向量, AB + BA = 0
2.C 设 P ( x, y ) ,由 AB = 2 AP 得 AB = 2 AP ,或 AB = ?2 AP , AB = (2, 2), AP = ( x ? 2, y ) , 即 (2, 2) = 2( x ? 2, y ), x = 3, y = 1, P (3,1) ; (2, 2) = ?2( x ? 2, y ), x = 1, y = ?1, P (1, ?1) 3.A 设 b = ka = ( k , ?2k ), k < 0 ,而 | b |= 3 5 ,则 5k 2 = 3 5, k = ?3, b = ( ?3, 6)

4.D ma + b = (2m,3m) + (?1, 2) = (2m ?1,3m + 2) , a ? 2b = (2,3) ? (?2,4) = (4, ?1) ,则 ?2m +1 =12m +8, m = ?

1 2

5.B

1 2 a 1 a 2 ? 2a ib = 0, b 2 ? 2a ib = 0, a 2 = b 2 , a = b , cos θ = =2 2 = 2 a b a a ib
3 1 × = sin α cos α , sin 2α = 1, 2α = 900 , α = 450 2 3
0

6.D

二、填空题 1. 120

(a + b )ia = 0, a + a ib = 0, cos θ =
2


a ib a b

=

?a 2

1 = ? ,或画图来做 2 a b

2. (2, ?1) 设 c = xa + yb ,则 ( x,2x) + (?2 y,3y) = (x ? 2 y,2x + 3y) = (4,1) , x ? 2 y = 4,2 x + 3 y = 1, x = 2, y = ?1 3.

23 (3a + 5b) ? (ma ? b) = 3ma 2 + (5m ? 3)a ? b ? 5b 2 = 0 , 3m + (5m ? 3) × 2 × cos600 ? 5 × 4 = 0,8m = 23 8 4. 2 AB ? CB + CD = AB + BC + CD = AC + CD = AD = 2
5.

65 5

a cos θ =

a ib b

=

13 65
2 ? ?x = ? 2 或? ? 2 ? ?y = ? 2 ? 2 2 2 2

三、解答题

? ?x = x + 2 y = 2x + y ? ? 1.解:设 c = ( x, y ) ,则 cos < a , c >= cos < b , c >, 得 ? 2 ,即 ? 2 ?x + y = 1 ?y = ? ? 2 2 2 2 c =( , ) 或 (? ,? ) 2 2 2 2
2.证明:记 AB = a , AD = b , 则 AC = a + b , DB = a ? b ,
2 2
2 2 2

AC + DB = (a + b )2 + (a ? b )2 = 2a 2 + 2b 2

∴ AC + DB = 2 a + 2 b
2

3.证明:∵ a ? d = a ? [(a ? c )b ? (a ? b )c ] = (a ? c )(a ? b ) ? (a ? b )c ? a = (a ? c )(a ? b ) ? (a ? c )(a ? b ) = 0 ∴ a ⊥ d 4.(1)证明:∵(a + b ) ? (a ? b ) = a 2 ? b 2 = (cos2 α + sin2 α ) ? (cos2 β + sin2 β ) = 0 ∴ a + b 与 a ? b 互相垂直 (2) ka+ b = ( k cos α + cos β , k sin α + sin β ) ; a ? k b = (cos α ? k cos β , sin α ? k sin β )
→ →





k a + b = k 2 + 1 + 2k cos( β ? α ) , a ? kb = k 2 + 1 ? 2k cos( β ? α )
而 k + 1 + 2k cos( β ? α ) =
2





k 2 + 1 + 2k cos( β ? α ) , cos( β ? α ) = 0 , β ? α =
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π
2

新课程高中数学训练题组《必修 4》 《必修 4》第二章 平面向量 [提高训练 C 组]
一、选择题 1.C 2.C 3.C

AB = (1, a ? 3), AC = (2, b ? 3), AB // AC ? b ? 3 = 2a ? 6, 2a ? b = 3

PP = (2 + sinθ ? cosθ ,2 ? cosθ ? sinθ ), PP2 = 2(2 ? cosθ )2 + 2sin 2 θ = 10 ? 8cosθ ≤ 18 = 3 2 1 2 1
单位向量仅仅长度相等而已,方向也许不同;当 b = 0 时, a 与 c 可以为任意向量;

| a + b | =| a ? b | ,即对角线相等,此时为矩形,邻边垂直;还要考虑夹角
4.C 5.C

a + 3b = a 2 + 6a ib + 9b 2 = 1 + 6 cos 600 + 9 = 13
cos θ = a ?b a b = 2 1 π = ,θ = 4 2 3
2

6.D 设 b = ka = (2k , k ), ,而 | b |= 2 5 ,则 5k = 2 5, k = ±, b = (4, 2), 或(?4, ?2) 二、填空题 1. 4

2a ? b = (2 cos θ ? 3, 2sin θ + 1), 2a ? b = 8 + 8sin(θ ? ) ≤ 16 = 4 3





π

2.直角三角形 3. (

AB = (1,1), AC = (?3,3), ABi AC = 0, AB ⊥ AC

2 2 2 2 2 , ), 或(? ,? ) 设所求的向量为 ( x, y ), 2 x ? 2 y = 0, x 2 + y 2 = 1, x = y = ± 2 2 2 2 2 4. 6 由平行四边形中对角线的平方和等于四边的平方和得

a + b + a ? b = 2 a + 2 b ? a + b = 2 a + 2 b ? a ? b = 2 + 2× 4 ? 4 = 6
2 2

2

2

2

2

2

2

5. ( , ? ) 三、解答题

4 5

3 5

设 b = ( x, y ), 4 x ? 3 y = 5, x + y = 1, x =
2 2

4 3 ,y=? 5 5

1.解: 若 a ? b = a ? c 且 a ≠ 0 ,则 b = c ,这是一个假命题,,因为 a ? b = a ? c , a ? (b ? c ) = 0 ,仅得 a ⊥ (b ? c) (1) (2)向量 a 在 b 的方向上的投影是模等于 a cos θ ( θ 是 a 与 b 的夹角),方向与 a 在 b 相同或相反的一 个向量.这是一个假命题,因为向量 a 在 b 的方向上的投影是个数量,而非向量。 2.证明:设 x = (a, b), y = (c, d ) ,则 x ? y = ac + bd , x = a + b , y = c + d 而 x ? y = x y cos θ ,
2 2 2 2

x ? y = x y cos θ ≤ x y ,即 x ? y ≤ x y ,得 ac + bd ≤ a2 + b2 c2 + d 2 ∴(ac + bd)2 ≤ (a2 + b2 )(c2 + d 2 ) 1 3 ) 得 a ? b = 0, a = 2, b = 1 , [a + (t 2 ? 3)b ] ? (? ka + tb ) = 0, 2 2 1 1 ? ka 2 + ta ? b ? k (t 2 ? 3)a ? b + t (t 2 ? 3)b 2 = 0 , ?4k + t 3 ? 3t = 0, k = (t 3 ? 3t ), f (t ) = (t 3 ? 3t ) 4 4 4. 解:∵ AB ⊥ AC ,∴ AB ? AC = 0. ∵ AP = ? AQ, BP = AP ? AB, CQ = AQ ? AC ,
3.解:由 a = ( 3, ?1), b = ( ,

∴ BP ? CQ = ( AP ? AB ) ? ( AQ ? AC ) = AP ? AQ ? AP ? AC ? AB ? AQ + AB ? AC
2 = ? a 2 ? AP ? AC + AB ? AP = ? a 2 ? AP ? ( AB ? AC ) = ? a +

1 PQ ? BC 2

= ?a 2 +

1 PQ ? BC = ?a 2 + a 2 cos θ . 2

故当 cos θ = 1,即θ = 0( PQ与BC方向相同)时, BP ? CQ最大.其最大值为0.

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新课程高中数学训练题组《必修 4》 《必修 4》第三章 三角恒等变换 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.D

4 3 3 2 tan x 24 , 0) , cos x = ,sin x = ? , tan x = ? , tan 2 x = =? 2 2 5 5 4 1 ? tan x 7 2π = 2π 2.D y = 5sin( x + ? ) + 5, T = 1 3.C cos A cos B ? sin A sin B = cos( A + B ) > 0, ? cos C > 0, cos C < 0, C 为钝角 x ∈ (?
4.D

π

a = 2 sin 590 , b = 2 sin 610 , c = 2 sin 600 2 2π π 5.C y = ? 2 sin 2 x cos 2 x = ? sin 4 x ,为奇函数, T = = 2 4 2 1 2 1 11 4 4 2 2 2 2 2 2 6.B sin θ + cos θ = (sin θ + cos θ ) ? 2sin θ cos θ = 1 ? sin 2θ = 1 ? (1 ? cos 2θ ) = 2 2 18
二、填空题

tan200 + tan400 1. 3 tan60 = tan(20 + 40 ) = = 3 , 3 ? 3 tan 200 tan 400 = tan 200 + tan 400 0 0 1? tan20 tan40 1 1 sin 2α 1 + sin 2α (cosα + sin α )2 cosα + sin α 1+ tan α 2. 2008 = = = = 2008 + tan 2α = + = cos2α cos2α cos2α cos 2α cos2 α ? sin2 α cosα ? sin α 1? tan α π 2π 3. π f ( x) = cos 2 x ? 3 sin 2 x = 2 cos(2 x + ) , T = =π 3 2 1 7 θ θ 4 1 7 4. , (sin + cos ) 2 = 1 + sin θ = ,sin θ = , cos 2θ = 1 ? 2sin 2 θ = 3 9 2 2 3 3 9 3 A A B +C A A A 0 5. 60 , cos A + 2cos = cos A + 2sin = 1? 2sin2 + 2sin = ?2sin 2 + 2 sin ? 1 2 2 2 2 2 2 2 A 1 3 A 1 B+C 3 0 = ?2(sin ? ) 2 + 当 sin = ,即 A = 60 时,得 (cos A + 2 cos ) max = 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0

三、解答题 1.解: sin β + sin γ = ? sin α , cos β + cos γ = ? cos α , (sin β + sin γ ) 2 + (cos β + cos γ ) 2 = 1,

1 2 + 2 cos( β ? γ ) = 1, cos( β ? γ ) = ? 。 2
2.解:令 cos α + cos β = t ,则 (sin α + sin β ) + (cos α + cos β ) = t +
2 2 2

1 , 2

1 3 3 1 7 14 14 2 + 2 cos(α ? β ) = t 2 + , 2 cos(α ? β ) = t 2 ? , ?2 ≤ t 2 ? ≤ 2, ? ≤ t 2 ≤ , ? ≤t ≤ 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 cos 10 cos 5 sin 5 cos10 cos10 ? 2sin 200 3.解:原式 = ? sin100 ( ? )= ? 2 cos100 = 4sin100 cos100 sin 50 cos 50 2sin100 2sin100 cos100 ? 2sin(300 ? 100 ) cos100 ? 2 sin 300 cos100 + 2 cos 300 sin100 3 = cos 300 = = = 0 0 2 sin10 2sin10 2 x x x π 4.解: y = sin + 3 cos = 2sin( + ) 2 2 2 3 x π π π π ? ? (1)当 + = 2kπ + ,即 x = 4kπ + , k ∈Z 时, y 取得最大值, ?x | x = 4kπ + , k ∈Z?为所求 2 3 2 3 3 ? ? π x π 右移 3 个单位 x 横坐标缩小到原来的2倍 纵坐标缩小到原来的2倍 (2)y = 2sin( + ) ????? y = 2sin ??????? y = 2sin x ??????? y = sin x → → → 2 3 2

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新课程高中数学训练题组《必修 4》 《必修 4》第三章 三角恒等变换 [综合训练 B 组]
一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.D 5.A

a = sin 300 cos 6 ? cos 300 sin 6 = sin 240 , b = sin 260 , c = sin 250 , 1 ? tan 2 2 x 2π π
y= 1 + tan 2 2 x = cos 4 x , T = 4 = 2

sin17 (? sin 43 ) + (? sin 73 )(? sin 47 ) = cos17 cos 43 ? sin17 sin 43 = cos 600 π π 7 2 π
sin 2 x = cos( 2 ? 2 x ) = cos 2( 4 ? x ) = 1 ? 2 sin ( 4 ? x) = 25

17 1 4 2 (cosα + sin α )2 = ,sin α cosα = ? ,而sin α > 0,cosα < 0 , cosα ? sinα = ? (cosα + sinα) ? 4sinα cosα = ? 3 9 9 1 17 cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α = (cos α + sin α )(cos α ? sin α ) = ? × ( ? ) 3 3 1 3 1 3 1 3 6.B y = (sin 2 x ) 2 + cos 2 x = (sin 2 x ) 2 ? sin 2 x + 1 = (sin 2 x ? ) 2 + = cos 2 2 x + = (1 + cos 4 x ) +
2 4 4 4 8 4

二、填空题 1. π
6

(3sin A + 4 cos B) 2 + (4sin B + 3cos A) 2 = 37, 25 + 24 sin( A + B) = 37
s in ( A + B ) = 1 1 ,事实上 A 为钝角, π , s in C = ∴C = 2 2 6

2. 2 + 3 3.

3π 2

sin (8 0 0 ? 1 5 0 ) + sin 1 5 0 sin 1 0 0 sin 8 0 0 co s 1 5 0 co s 1 5 0 = = = 2+ 0 0 0 0 0 0 sin (1 5 + 1 0 ) ? co s 1 5 co s 8 0 s in 1 5 co s 1 0 sin 1 5 0

3

y = sin

2x 2x π 2x π 2x π 2x π + cos cos ? sin sin = cos cos + sin sin = cos( 2 x ? π ), T = 2π = 3π , 3 3 6 3 6 3 6 3 6 2 3 6
3

相邻两对称轴的距离是周期的一半 3 1 1 3 4. f ( x ) = ? cos 2 x + cos x + , 当 cos x = 时 , f ( x ) m ax = 4 2 2 4 π T π 2π 2π π 5. f ( x ) = 2 sin(3 x ? ) A = 2, = , T = = , ω = 3, sin ? = ? 1, 可 取 ? = ? ω 2 2 3 3 2 三、解答题
0 0 0 0 0 1.解:⑴原式 = sin 6 0 cos 12 0 cos 24 0 cos 48 0 = sin 6 cos 6 cos12 cos 24 cos 48 0

cos 6 1 1 1 1 0 0 0 0 0 s in 4 8 c o s 4 8 s in 9 6 0 cos 60 s in 2 4 c o s 2 4 c o s 4 8 1 8 16 16 4 = = = = = 0 0 0 0 cos 6 co s 6 cos 6 cos 6 16

1 s in 1 2 0 c o s 1 2 0 c o s 2 4 0 co s 4 8 0 = 2 cos 6 0

0 0 ⑵原式 = 1? cos40 + 1+ cos100 + 1 (sin700 ? sin300 ) = 1+ 1 (cos1000 ? cos400 ) + 1 sin700 ? 1 = 3 ?sin700 sin300 + 1 sin700 = 3 2 2 2 2 2 4 4 2 4 2.证明:∵ A + B = π ,∴ tan( A + B ) = tan A + tan B = 1, 得 tan A + tan B = 1 ? tan A tan B,

1 + tan A + tan B + tan A tan B = 2
9 9 9

4

1 ? tan A tan B

∴ (1 + tan A)(1 + tan B ) = 2
π π π 2π 4π sin cos cos cos 9 9 9 9 =1 π 8 sin 9 2a π a sin ( 2 x + ) + + b 2 4 2

3.解:原式 = log 2 (cos π cos 2π cos 4π ), 而

2π 4π cos cos cos = 9 9 9

即原式 = lo g 2 1 = ? 3
8

4.解: f ( x ) = a ? 1 + co s 2 x + a ? 1 sin 2 x + b =

(1) 2 k π ?

π

2

(2) 0 ≤ x ≤
f ( x ) m in

, ≤ 2x + ≤ ,? 2 4 4 4 2 1+ 2 = a + b = 3, f ( x ) m ax = b = 4 , 2

2 π π

≤ 2x +

π
4

2

≤ 2kπ +
π

π

2 5π

, kπ ?

3π π 3π π ≤ x ≤ kπ + , [ k π ? , k π + ], k ∈ Z 为所求 8 8 8 8 2 π ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 ,
4

∴ a = 2 ? 2 2, b = 4

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新课程高中数学训练题组《必修 4》 《必修 4》第三章 三角恒等变换 [提高训练 C 组]
一、选择题 cos2 100 1.C 2.C 3.B
y = 2 cos(
y=
? s in 2 1 0 0 c o s 1 0 0 + s in 1 0 0 = = c o s 3 5 0 (c o s 1 0 0 ? sin 1 0 0 ) cos 350 2 sin 5 5 0 = cos 350 2

π

6

+ x ) ? cos(

π

6

+ x ) = cos(

π

6

+ x) ≥ ?1

1 3 1 3 3 sin 2 x + (1 + cos 2 x ) ? 3 = sin 2 x + cos 2 x ? 2 2 2 2 2 π 3 π kπ π 5π = s in ( 2 x + ) ? ,令 2x + = kπ , x = ? ,当 k = 2, x = 3 2 3 2 6 6

4.D 5.C 6.A

y = sin2 A+2sin B = sin2 A+2cos A=1?cos2 A+2cos A =?(cos A?1)2 + 2 ,而 0<cos A<1,自变量取不到端点值 (1+ tan 210 )(1+ tan240 ) = 2,(1+ tan220 )(1+ tan 230 ) = 2 ,更一般的结论 α + β = 450 ,(1+ tanα)(1+ tan β) = 2
f (x) = 1 1 1 = , 当 tan x = 时 , f ( x ) min = 4 tan x ? tan 2 x ? (tan x ? 1 ) 2 + 1 2 2 4

二、填空题 1. ③ 对于①, sin x + c o s x =
2 sin ( x +

π
4

)≤

2 <

α > β ,但是 cos α = cos β
2. π 3. ? 5 9
72

y=

1 ? cos x 1 cos x 1 ? =? =? sin x sin x sin x tan x

对于③, y = sin 2 x → y = sin 2( x + π ) = sin(2 x + π ) 4 2

3 ;对于②,反例为 α 2

= 300 , β = ?3300 ,虽然

(sin α + co s β ) 2 + (sin β ? co s α ) 2 =

4. 1

y = 2 sin( x +

π
3

),

π
3

≤ x+

π
3



5π 5π , y m in = 2 sin =1 6 6

13 , 59 2 sin (α ? β ) = ? 36 36

5. 1, ±2 2

y = a c o s 2 x + b s in x c o s x =

b a a s in 2 x + c o s 2 x + = 2 2 2
2

a

2

+ b 2

2

s in ( 2 x + ? ) +

a 2

,

a2 + b2 a + = 2, ? 2 2

a2 + b2 a + = ? 1, a = 1, b = ± 2 2 2

三、解答题 1. 解: 当 θ =0时, f ( x) = sin x + cos x = 2 sin( x + π ) ; 2kπ ? π ≤ x + π ≤ 2kπ + π , 2kπ ? 3π ≤ x ≤ 2kπ + π , f ( x ) 为递增; (1)
4 3π π 5π 2 k π + ≤ x + ≤ 2 kπ + , 2 kπ + ≤ x ≤ 2 k π + , 2 4 2 4 4

π

π

2

4

2

4

4

f ( x) 为递减

∴ f ( x) 为递增区间为 [2 k π ?
(2) f ( x ) =

4 4 2.解: 2(2cos2 B ?1) ?8cos B + 5 = 0,4cos2 B ?8cos B + 5 = 0 得 c o s B
sin( B + θ ) = sin B cos θ + cos B sin θ = 4?3 3 10

3π π π 5π , 2 k π + ], k ∈ Z ; f ( x) 为递减区间为 [2 k π + , 2 k π + ], k ∈ Z 。 4 4 4 4 π π π 2 cos( x ? + θ ) 为偶函数,则 θ ? = k π , ∴ θ = k π + , k ∈ Z
4
= 1 , s in B = 2 3 2



co s θ =

a ?b a ?b

= ?

3 4 , sin θ = , 5 5

3.解:∵(π ? x) + (π + x) = π ,∴cos(π + x) = sin(π ? x) = 5 ,而 cos 2 x = sin(π ? 2 x) = sin 2( π ? x) = 2sin(π ? x) cos( π ? x) = 120
4 4 2 4 4 13

2

4

4

4

169

120 cos 2 x 12 ∴ = 169 = π 5 13 cos( + x) 4 13



4.解: f ( x) = 1 a sin 2 x ? 3a (1 + cos 2 x) + 3 a + b = a sin 2 x ? 3a cos 2 x + b = a sin(2 x ? π ) + b (1) 2kπ + ≤ 2 x ? ≤ 2kπ + 3π , kπ + 5π ≤ x ≤ kπ + 11π ∴[kπ + 5π , kπ + 11π ], k ∈ Z 为所求 2 3 2 12 12 12 12 ? (2) 0 ≤ x ≤ π , ? π ≤ 2x ? π ≤ 2π , ? 3 ≤ sin(2x ? π ) ≤1, f (x)min = ? 3 a + b = ?2, f (x)max = a + b = 3, ?? 3 a + b = ?2 ?a = 2 ? ?? ? 2 2 3 3 3 2 3 2 ?b = ?2 + 3 ? ?
?a + b = 3

π

2

π

2

2

2

2

3

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