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甘肃省天水市秦安县第二中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理



甘肃省天水市秦安县第二中学 2014—2015 学年下学期期中考试 高二数学(理科)试卷
说明:1.考试时间 120 分钟,满分 150 分。 2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用黑色字迹的签字笔答在答题纸上。 3.卷Ⅱ卷头和答题卡均填涂本次考试的考号,不要误填学号,答题卡占后 5 位。 卷Ⅰ(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题

5 分,共 60 分. 2 1、复数 i+i 在复平面内表示的点在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 )

2. 有 4 部车床需加工 3 个不同的零件,不同的安排方法有多少种 ? (
4 A. 3

3 B. 4

C.13

D. 14 )

3. 若 lim A.2

?x ?0

f ( x0 ? 2?x) ? f ( x0 ) ? 1 ,则 f ?( x0 ) 等于( ?x
B.-2
5 3

C.

1 2
)

D. ?

1 2

4. (x+ ) (x∈R)展开式中 x 的系数为 10,则实数 a 等于 ( A.-1 B. 1 2 C.1 D.2

a x

5. 曲线 y ?

4 1 3 x ? x 在点(1, )处的切线与坐标轴围成的三角面积为 3 3
B.

(

)

A.

1 9

2 9

C.

1 3

D.

2 3
( )

6. 已知随机变量 X 服从二项分布 X~B(6, A.

13 16

B.

4 243

1 ),则 P(X=2)等于 3 13 80 C. D. 243 243

7. 把 13 个相同的球全部放入编号为 1、2、3 的三个盒内,要求盒内的球数不小于盒号数, 则不同的放入方法种数为 ( ) A.36 B. 45 C. 66 D.78 8. 若函数 y ? x ?
3

3 2 x ? a 在上有最大值 3,则该函数在上的最小值是 2
( ) B.0 C.

A. ?

1 2

1 2

D.1 )
-1-

9. 对任意的实数 x ,有 x3 ? a0 ? a1 ( x ? 2) ? a2 ( x ? 2)2 ? a3 ( x ? 2)3 ,则 a 2 的值是(

A.3

B.6

C.9

D.21 )

10.由 0、1、3、5 这四个数字组成的不重复数字且 0 与 3 不相邻的四位数的个数为 ( A.6 11.曲线 x ? A. B.8 C.12 D.18 ( C.

y ? 1与两坐标轴所围成图形的面积为
B.



1 2

1 3

1 6

D.

1 8

12.定义域为 R 的函数 f ( x) 对任意的 x 都有 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,且其导函数 f ?( x ) 满足:

f ?( x) ? 0 ,则当 2 ? a ? 4 时,下列成立的是 2? x
A. f (log2 a) ? f (2) ? f (2 a ) C. f (2 a ) ? f (2) ? f (log2 a)





B. f (2 a ) ? f (log2 a) ? f (2) D. f (log2 a) ? f (2 a ) ? f (2)

卷Ⅱ(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 将 4 名大学生分配到 A、B、C 三个乡镇去当村官,每个乡镇至少分配一名,则大学生甲 分配到乡镇 A 的概率为 (用数字作答) .高☆考♂资♀ 13.若 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ??? ? a7 x7 ,则 a 2 的值是 14.对于函数 f ( x) ? (2 x ? x )e
2 x

(1) (? 2, 2) 是 f ( x) 的单调递减区间; (2) f (? 2) 是 f ( x) 的极小值, f ( 2) 是 f ( x) 的极大值; (3) f ( x) 有最大值,没有最小值; (4) f ( x) 没有最大值,也没有最小值. 其中判断正确的是_______________. 15. 将 6 位志愿者分成 4 组,其中两个组各 2 人,另两个组各 1 人,分赴世博会的四个不同 场馆服务,不同的分配方案有________种(用数字作答). 16.设函数 f ( x) 在
2 上存在导数 f ?( x ) , ?x ? R ,有 f (? x) ? f ( x) ? x ,

? ?) 在 (0, 上 f ?( x) ? x ,若 f (4 ? m) ? f (m) ? 8 ? 4m ,则实数 m 的取值范围是
_____________.

-2-

三.解答题: (本大题共6小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? (1 ? x) m ? (1 ? 3x) n ( m、n ? N )的展开式中 x 的系数为 11. (1)求 x 的系数的最小值; (2)当 x 的系数取得最小值时,求 f ( x) 展开式中 x 的奇次幂项的系数之和.
2 2 ?

18.(本小题共 12 分) 6 男 4 女站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种?(只列式,不需计算结果) (1)任何 2 名女生都不相邻有多少种排法? (2)男甲不在首位,男乙不在末位,有多少种排法? (3)男生甲、乙、丙排序一定,有多少种排法? (4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法?

16 1 5 19. 已 知 (a 2 ? 1)n 的 展 开 式 中 各 项 系 数 之 和 等 于 ( x 2 ? ) 的展开式的常数项,并且 5 x
(a 2 ? 1) n 的展开式中系数最大的项等于 54,求 a 的值.

20.(本小题共 12 分) 已知 的值.

?

1

?1

(x +ax+3a-b)dx=2a+6 且 f(t)=

3

?

t

0

(x +ax+3a-b)dx 为偶函数,求 a,b

3

21. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 和椭圆
2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合. 4 3

(1)求抛物线 C 的方程; (2)若定长为 5 的线段 AB 两个端点在抛物线 C 上移动,线段 AB 的中点为 M ,求点 M 到 y 轴的最短距离,并求此时 M 点坐标. 22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e ? kx,x ? R .
x

-3-

(1)若 k ? e ,试确定函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 k ? 0 ,且对于任意 x ? R , f (| x |) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)设函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ,求证: F (1) F (2)? F (n) ? (en?1 ? 2) 2 (n ? N? ) . 高二理科数学参考答案 一、选择题: 题号 答案 1 B 2 B 3 C 4 D 5 A 6 D 7 A 8 C 9 B 10 B 11 C 12 B
n

二、填空题: 13. 84 三、解答题:

14. (2)(3)

15. 1080

? ?) 16、 [2, .

1 1 17.解: (1)由题意得: Cm ? 3Cn ? 11,即:m+3n=11.-----------------------2 分

x 的系数为:
2 2 Cm ? 32 Cn ?

2

m(m ? 1) 9n(n ? 1) ? 2 2 (11 ? 3n)(10 ? 3n) 9n(n ? 1) ? ? 2 2 2 ? 9n ? 36n ? 55 ? 9(n ? 2) 2 ? 19
2

--------------------4 分

当 n=2 时,x 的系数的最小值为 19,此时 m=5 --------------------- 6 分 5 2 (2)由(1)可知:m=5,n=2,则 f(x)=(1+x) +(1+3x) 2 5 设 f(x)的展开式为 f(x)=a0+a1x+a2x +…+a5x ----------------------8 分 令 x=1,则 f(1)=a0+a1+a2+a3+a4+a5 令 x=-1,则 f(-1)=a0-a1+a2-a3+a4-a5 -------------------------------------10 分 则 a1+a3+a5= f (1) ? f (?1) =22,所求系数之和为 22--------------------------------12 分
2

18.(本小题共 12 分) (只列式,不需计算结果) 解: (1) A6 A7 种.---------3 分
9 1 1 8 (2) A9 ? A8 A8 A8
6 4

---------6 分
10 A10 )---------9 分 3 A3

(3) A10 ( 或写成

7

-4-

(4)

1 10 A10 ---------12 分 2

19. (本小题共 12 分)

16 1 5 16 1 解: ( x 2 ? ) 展开式的常数项为: C54 ( x2 )( )4 ? 16 5 5 x x
(a 2 ? 1) n 展开式的系数之和 2n ? 16 , n = 4

---------3 分 ---------6 分

2 ∴ (a 2 ? 1) n 展开式的系数最大的项为 C4 (a2 )2 ?12 ? 6a4 ? 54 ,---------10 分

∴ a ? ? 3 ---------12 分 20.(本小题共 12 分) 解 ∵f(x)=x +ax 为奇函数, ∴? -1(x +ax)dx=0, ∴? -1(x +ax+3a-b)dx =? -1(x +ax)dx+? -1(3a-b)dx =0+(3a-b) =6a-2b. -----------------------5 分
1 3 1 1 3 1 3 3

∴6a-2b=2a+6,即 2a-b=3.①

t at ?x a 2 ? 又 f(t)=? + x +?3a-b?x?|t0 = + +(3a-b)t 为偶函数, 4 2 ?4 2 ?
∴3a-b=0② -----------------------10 分

4

4

2

由①②得 a=-3,b=-9. -----------------------12 分 21.解: (1)∵椭圆的右焦点 F (1,0) ,?

p ? 1 ,即 p ? 2 . 2

∴抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4 x ……………………………………………………………4 分 ( 2 )要求 M 点到 y 轴距离最小值,只要求出 M 点到抛物线准线的距离最小值即可 . 过 A、B、M点分别作抛物线准线的 垂线,垂足分别为 A?、B?、M ? ,设焦点为 F.

? MM ? ?

AA? ? BB? 2

?

AF ? BF 2

?

AB 2

?

5 ,当且仅当线段 AB 过焦点 F 时取等号.∴ 2

p 5 3 ? ? 1 ? ;……………………8 分 2 2 2 3 2 设此时中点 M 的坐标为( x 0 , y 0 ) ,则 x 0 ? ,设 A ( x1 , y1 ) , B ( x2 , y 2 ) ,则 y1 ? 4 x1 , 2

M 点到 y 轴的最短距离为 MM ? ?

2 y2 ? 4 x2 ,两式相减得:

y 2 ? y1 ( y 2 ? y1 ) ? 4 ,即 k AB ? 2 y0 ? 4 , x2 ? x1

-5-



y0 ? 0 3 ? 2 y 0 ? 4 ,∴ y0 ? ?1 ,∴此时 M 点坐标为 ( ,?1) ……………………12 分 2 x0 ? 1

22. 解: (1)由 k ? e 得 f ( x) ? e x ? ex ,所以 f ?( x) ? e x ? e .

? ?) ,……………………2 分 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递增区间是 (1, 1) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 ,故 f ( x) 的单调递减区间是 (??,
(2)由 f ( ? x ) ? f ( x ) 可知: f (| x |) 是偶函数. 于是 f (| x |) ? 0 对任意 x ? R 成立等价于 f ( x) ? 0 对任意 x ? 0 成立………5 分 由 f ?( x) ? e x ? k ? 0 得 x ? ln k . …………………4 分

1] 时, f ?( x) ? e x ? k ? 1 ? k ? 0( x ? 0) . 此 时 f ( x) 在 [0, ? ?) 上 单 调 递 ①当 k ? (0,
增. 故 f ( x) ? f (0) ? 1 ? 0 ,符合题意.…………………………………………6 分

, ? ?) 时, ln k ? 0 . ②当 k ? (1
当 x 变化时 f ?( x),f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(0, ln k )

ln k
0
极小值

(ln k, ? ?)

?
单调递减

?
单调递增

? ?) 上, f ( x) ≥ f (ln k ) ? k ? k ln k . 由此可得,在 [0,
?1 ? k ? e . 依题意得: k ? k ln k ? 0 ,又 k ? 1,
综合①,②得,实数 k 的取值范围是: (0,e) .…………………………………8 分 (3)? F ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? e ? e ,
x ?x

? F ( x1 ) F ( x2 ) ? e

x1 ? x2

? e ?( x1 ? x2 ) ? e x1 ? x2 ? e ? x1 ? x2 ? e x1 ? x2 ? e ?( x1 ? x2 ) ? 2 ? e x1 ? x2 ? 2

………………………………………………………………………………………………9 分

? F (1) F (n) ? en?1 ? 2 ,

-6-

F (2) F ( n ? 1) ? e n ?1 ? 2 ?? F (n) F (1) ? e n ?1 ? 2.
由此得:[ F (1) F (2)? F (n)] 故 F (1) F (2)? F (n) ? (e
n ?1

2

? [ F (1) F (n)][ F (2) F (n ?1)]?[ F (n) F (1)] ? (en?1 ? 2) n
n 2

? 2) ,n ? N? .……………………………………12 分

-7-



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