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2009年全国高中数学联合竞赛加加试题



2009 年全国高中数学联合竞赛
加试试题(A 卷)
注意事项: 1.本试卷共四大题,全卷满分 200 分; 2.用圆珠笔或钢笔作答; 3.解题书写不要超出装订线; 4.不能使用计算器。 ⌒ ⌒ 一、如图,M、N 分别为锐角三角形△ABC(∠A<∠B=的外接圆 Γ 上弧 BC、AC 的中点, 过点 C 作 PC//MN 交圆 Γ 于 P 点,I 为△ABC 的

内心,连接 PI 并延长交圆 Γ 于 T。 (I)求证:MP·MT=NP·NT; ⌒ (II)在弧 AB(不含点 C)上任取一点 Q(Q≠A,T,B) ,记△AQC、△QCB 的内心分 别为 I1,I2,求证:Q1,I1,I2,T 四点共舞。

二、求证不等:

?1 < ∑

k 1 ? ln n ≤ , n = 1,2,L 2 k =1 k + 1
2

n

k 三、设 k,l 是给定的两个正整数,求证:有无穷多个正整数 m ≥ k ,使得 C m 与l 互素。

1

四、在非负数构成 3×9 数表

? x11 ? P = ? x 21 ?x ? 31

x12 x 22 x32

x13 x 23 x33

x14 x 24 x34

x15 x 25 x35

x16 x 26 x36

x17 x 27 x37

x18 x 28 x38

x19 ? ? x 29 ? x39 ? ?

中每行的数互不相同,前 6 列中每列的三数之和为 1, x17 = x 28 = x 29 = 0.

x27 , x37 , x18 , x38 , x19 , x 29 均大于 1,如果 P 的前三列构成的数表

? x11 ? S = ? x 21 ?x ? 31

x12 x 22 x32

x13 ? ? x 23 ? x33 ? ?

? x1k ? ? ? 满足下面的性质(O) :对于数表 P 中的任意一列 ? x 2 k ?( k = 1,2,L ,9) 均存在某个 ?x ? ? 3k ?
i ∈ {1,2,3} 使得
(3) 求证: (I)最小值 vi = min{xi1 , xi 2 , xi 3 }, i = 1,2,3 一定取自然表 S 的不同列。

x1k ≤ u i = min{xi1 , ri 2 , xi 3 }.

? x1k ? ? ? ? ? (II)存在数表 P 中唯一的一列 ? x 2 k ? ?, k ≠ 1,2,3使得3 × 3 数表 ? x ?? ? 3k ?

2

? x11 ? S ′ = ? x 21 ? ? x31 ?

x12 x 22 x32

x1k ? ? ? x2 k ? ? ? x 3k ? ? ?

? x1k ? ? ? 仍然具有性质(O) ,即对于数表 P 中的任意一列 ? x 2 k ?( k = 1,2,L ,9) 均存在某个 ?x ? ? 3k ?
i ∈ {1,2,3} 使得

x1k ≤ u i = min{xi1 , ri 2 , xi 3 }.

3



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