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2015年漳州市普通高中毕业班质量检查---5月文 科 数 学 2015.05



2015 年漳州市普通高中毕业班质量检查---5 月文
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知集合 A ? ? 1,2,3?, B ? x x 2 ? x ? 2 ? 0, x ? R ,则 A ? B 为( A. ? 2.复数 B. ? 1? ) B. 1 ? 2i C. 2 ? i D. 2 ? i C. ?2?

/>科





2015.05

10.如图,边长为 a 的正方形组成的网格中,设椭圆 C1 、 C2 、 C3 的 离心率分别为 e1 、 e2 、 e3 ,则

?

?

A. e1 ? e2 ? e3 ) C. e1 ? e2 ? e3

B. e2 ? e3 ? e1 D. e2 ? e3 ? e1

D. ? 1,2? 图3 11.有 10 个乒乓球,将它们任意分成两堆,求出这两堆乒乓球个数的乘积,再将每堆乒乓球任意分成两堆 并求出这两堆乒乓球个数的乘积,如此下去,直到不能再分为止,则所有乘积的和为( A. 45 B. 55 C. 90 D. 100 ) )

3?i 等于( 1? i

A. 1 ? 2i

3.若某市 8 所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图 1) , 其中茎为十位数, 叶为个位数,则这组数据的中位数是 A. 91 B. 91.5 C. 92 D. 92.5 4.条件 P : “ x ? 1 ” ,条件 q : “ ? x ? 2?? x ?1? ? 0 ” ,则 P 是 q 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

8 8 7 9 1 7 4 2 0 3 图1

12.已知圆 O 的圆心为坐标原点,半径为 1,直线 l : y ? kx ? t (k 为常数, t ? 0) 与圆 O 相交于 M , N 两点,记△ MON 的面积为 S ,则函数 S ? f ? t ? 的奇偶性为( B.奇函数 D.奇偶性与 k 的取值有关 A.偶函数 C.既不是偶函数,也不是奇函数

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置.

?x ? 2 y ? 8 ?2 x ? y ? 8 ? 5.已知 x , y 满足不等式组 ? ,则目标函数 z ? 3x ? y 的最大值为( ?x ? 0 ? ?y ? 0
A. 12 B. 24 C. 8 D.

)

ì ? 1, x ? 1 13.如果 f ( x ) = ? ,那么 f ? í ? f ? 2 ?? ?? ? 0, x > 1 ? ?

.

14.在区间[-2,2]上随机取一个数 x,使得函数 f ( x) ? 1 ? x ? x ? 2 有意义的 概率为 . 15.已知点 A ? ?2,0? 、 B ? 0,4? 到直线 l : x ? my ? 1 ? 0 的距离相等,则 m 的值为 16. 已知函数 f ? x ? ? .

32 3
)

6.已知两个单位向量 e1 , e2 的夹角为 45 ? ,且满足 e1 ? ? ?e2 ? e1 ? ,则实数 ? 的值是( A. 1 B. 2 C.

2 3 3

D. 2

7.如图 2,三棱锥 A-BCD 中,AB ? 平面 BCD,BC ? CD,若 AB=BC=CD=2, 则该三棱锥的侧视图(投影线平行于 BD)的面积为( ) A. 2 则 ?ABC 的面积为( A. B.2 ) C. 2 2 D. 2 3
0

1 * ,点 O 为坐标原点, 点 An ? n, f ? n?? (n ? N ) , 向量 i ? ? 0,1? , x ?1 ???? ? cos ?2015 cos ?1 cos ? 2 的值为 . ? ??? ? n 是向量 OAn 与 i 的夹角,则 sin ?1 sin ? 2 sin ? 2015

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin ? x ?

8. 在 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , 若 A= 60 ,a ? 3 ,b ? c ? 3 ,

3 4

B.

3 2

C. 3

D.2

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期;

? ?

??

? ? cos x . 6?
? ?

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线与该双曲线的 9. 已知双曲线 16 9
右支交于 A 、 B 两点,若 AB ? 5 ,则 ?ABF 1 的周长为( A. 16 B. 20 C. 21 ) D. 26

(2)若 ? 是第一象限角,且 f ? ? ? 18.(本小题满分 12 分)

??

4 ?? ? ? ? ,求 tan ? ? ? ? 的值. 3? 5 4? ?

为了解某市民众对某项公共政策的态度, 在该市随机抽取了 50 名市民进行调查, 做出了他们的月收入 (单

位:百元,范围: ?15,75? )的频率分布直方图,同时得到他们月收入情况以及对该项政策赞成的人数统 计表:

(2) 已知点 A ? 0,1? ,点 C 是曲线 E 上异于原点的任意一点,若以 A 为圆心,线段 AC 为半径的圆交 y 轴 负半轴于点 B ,试判断直线 BC 与曲线 E 的位置关系,并证明你的结论.

22.(本小题满分 14 分)

已知函数 f ? x ? ? ax2 ? b ln x 在点 1, f ?1? 处的切线为 y ? 1 . (1)求实数 a , b 的值; (2)是否存在实数 m ,当 x ? ? 0,1? 时,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? x2 ? m ? x ?1? 的最小值为 0 ,若存在, 求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由;

?

?

?1? 求月收入在 ?35, 45? 内的频率,并补全这个频率分布直方图,并在图中标出相应纵坐标; ? 2 ? 根据频率分布直方图估计这 50 人的平均月收入; ? 3? 若从月收入(单位:百元)在 ?65,75? 的被调查者中随机选取 2 人,求 2 人都不赞成的概率.

(3)若 0 ? x1 ? x2 ,求证:

x2 ? x1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

19.(本小题满分 12 分) 如图 6 ,四棱锥 P ? ABCD ,侧面 PAD 是边长为 2 的正三角形, 且与底面垂直,底面 ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形, M 为 PC 的中点. (1) 求证: PC ? AD ; (2) 在棱 PB 上是否存在一点 Q ,使得 A, Q, M , D 四点共面? 若存在,指出点 Q 的位置并证明;若不存在,请说明理由; (3) 求点 D 到平面 PAM 的距离.
B A C 图6

P

M

D

20.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ? 1 , nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ? (1)求 a 2 的值; (2)求数列 ?an ?的通项公式; (3)是否存在正整数 k ,使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列? 若存在,求 k 的值; 若不存 在,请说明理由.

n ? n ? 1? * , n ?N . 2

21.(本小题满分 12 分) 已知点 M ? 2,1? , N ? ?2,1? ,直线 MP , NP 相交于点 P ,且直线 MP 的斜率减直线 NP 的斜率的差为 1. 设点 P 的轨迹为曲线 E . (1) 求 E 的方程;

班级____________座号_______________考号 姓名__________________ ????????密封线??????????????????????????????????????????密封线??????????????

2015 年漳州市普通高中高三教学质量检测 5 月 高三数学答题卷(文科) 总分:
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 ) 题号 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 ) 题号 13 15 答 案 题号 14 16 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

考室座位号:
18. (本小题满分 12 分)

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: 19. (本小题满分 12 分)
P

M

A B C 图6

D

22.(本小题满分 14 分) 解:

20.(本小题满分 12 分)

21.(本小题满分 12 分) 解:

2015 年漳州市普通高中高三教学质量检测 5 月

????????????密封线内不要答题????????????????????????密封线内不要答题????????????????

【解析】17、解:(1)1-0.01×10×3-0.02×10×2=0.3???????1 分

2015 年漳州市普通高中高三教学质量检测 5 月 数学试题(文科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 题号 答案

1
C

2
C

3
B

4
B

5
A

6
B

7
A

8
B

9
D

10
D

11
A

12
A

二、填空题:本大共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分. 13. 1 14.

3 4

15. ?

1 或1 2

16.

2015 2016

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 76 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) (1)解: f ? x ? ? sin ? x ?

? ? cos x 6? ? ? ? sin x cos ? cos x sin ? cos x 6 6 3 1 ? sin x ? cos x 2 2 ? ? ? sin x cos ? cos x sin 6 6 ?? ? ? sin ? x ? ? . 6? ? ∴ 函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? .

? ?

??

???????3 分 (2) 20 ? 0.1 ? 30 ? 0.2 ? 40 ? 0.3 ? 50 ? 0.2 ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.1 ? 43 (百元)???5 分 即这 50 人的平均月收入估计为 4300 元。????????6 分 (3)[65,75]的人数为 5 人,其中 2 人赞成,3 人不赞成。?????7 分 记赞成的人为 a , b ,不赞成的人为 x, y, z ?????8 分 任取 2 人的情况分别是: ab, ax, ay, az, bx, by, bz, xy, xz, yz, 共 10 种情况。??9 分 其中 2 人都不赞成的是: xy , xz , yz , 共 3 种情况。????11 分

???????1 分 ?????????2 分 ????????3 分 ?????????4 分 ?????????5 分

? 2 人都不赞成的概率是: p ?
19. (本小题满分 12 分)

3 ????12 分 10

【解析】(Ⅰ)方法一:取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 所以 OC ? AD , OP ? AD ,又 OC ? OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC , 所以 AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 PC ? AD .??????4 分 方法二:连结 AC ,依题意可知△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, 又 M 为 PC 的中点,所以 AM ? PC , DM ? PC , 又 AM ? DM ? M , AM ? 平面 AMD , DM ? 平面 AMD , 所以 PC ? 平面 AMD , 又 AD ? 平面 AMD ,所以 PC ? AD .??????4 分
B A C O D Q M P

(2)解:∵ f ? ? ?

?? 4 ? ?? 4 ? ? ?????????6 分 ? ? , ∴ sin ? ? ? ? ? ? . 3? 5 3 6? 5 ? ? 4 ?? 4 ? ∴ sin ? ? ? ? ? . ∴ cos ? ? . ?????7 分 5 2? 5 ?


? 是第一象限角,
2

∴ sin ? ? 1 ? cos ? ? ∴ tan ? ?

sin ? 3 ? . cos ? 4

3 . 5

????????8 分 ????????9 分

(Ⅱ)当点 Q 为棱 PB 的中点时, A, Q, M , D 四点共面,证明如下:??????5 分 取棱 PB 的中点 Q ,连结 QM , QA ,又 M 为 PC 的中点,所以 QM // BC , 在菱形 ABCD 中 AD // BC ,所以 QM // AD ,所以 A, Q, M , D 四点共面.????7 分 (Ⅲ)点 D 到平面 PAM 的距离即点 D 到平面 PAC 的距离,

? ? tan ? ? tan 4 ? ∴ tan ? ? ? ? ? 4 ? 1 ? tan ? ? tan ? ? 4 3 ?1 1 4 ?? . ? 3 7 1 ? ?1 4
18. (本小题满分 12 分)

?

????????10 分

由(Ⅰ)可知 PO ? AD ,又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD ,

PO ? 平面 PAD ,所以 PO ? 平面 ABCD ,即 PO 为三棱锥 P ? ACD 的体高.?????8 分
在 Rt?POC 中, PO ? OC ? 3 , PC ? ???????12 分 在 ?PAC 中, PA ? AC ? 2 , PC ? 所以 ?PAC 的面积 S?PAC ?

6,
10 , 2

6 ,边 PC 上的高 AM ? PA2 ? PM 2 ?

1 1 10 15 PC ? AM ? ? 6 ? ? ,??????10 分 2 2 2 2

设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ,由 VD? PAC ? VP? ACD 得

∴ an ? 2 ? ? n ? 2? ? n . 而 a1 ? 1 适合上式, ∴ an ? n .

????????7 分 ????????8 分

1 1 3 2 S?PAC ? h ? S ?ACD ? PO ,又 S?ACD ? ?2 ? 3 , 3 3 4
所以 ?

1 3

15 1 ? h ? ? 3 ? 3 ,???11 分 2 3
2 15 2 15 , 所以点 D 到平面 PAM 的距离为 .?????12 分 5 5

(3)解:由(2)知 an ? n , Sn ?
2 则 S2 k ? ak ? a4 k .

解得 h ?

n ? n ? 1? . 2 假设存在正整数 k , 使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列,
????????9 分
2

20. (本小题满分12分) (本小题主要考查等差数列、等比数列等知识,考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力和创 新意识) (1)解:∵ a1 ? 1 , nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ?

1? 2 ?1. 2 ∴ S2 ? 1 ? 2S1 ? 1 ? 2a1 ? 3 .
∴ S 2 ? 2 S1 ? ∴ a2 ? S2 ? a1 ? 2 .

n ? n ? 1? , 2

? 2k ? 2k ? 1? ? ? ? k ? 4k . 2 ? ? ∵ k 为正整数,
即? ∴ ? 2 k ? 1? ? 4 .
2

????????10 分

得 2 k ? 1 ? 2 或 2 k ? 1 ? ?2 , ??????????1 分 ??????????2 分 ??????????3 分

1 3 或 k ? ? , 与 k 为正整数矛盾. ????????11 分 2 2 ∴ 不存在正整数 k , 使 ak , S 2 k , a4 k 成等比数列. ??????12 分
解得 k ? 21. (本小题满分 12 分) 【解析】(Ⅰ)设 P ? x, y ? ,依题意得 化简得 x ? 4 y ( x ? ?2 ),
2

n ? n ? 1? S S 1 (2)解法 1: 由 nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ? , 得 n ?1 ? n ? . n ?1 n 2 2 S 1 S ? ? ∴ 数列 ? n ? 是首项为 1 ? 1 , 公差为 的等差数列. 1 2 ?n? S 1 1 ∴ n ? 1 ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? . ?????????4 分 n 2 2 n ? n ? 1? ∴ Sn ? . 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ????????5 分
n ? n ? 1? ? n ? 1? n ? ? 2 2 ????????7 分 ? n.
???????8 分

y ?1 y ?1 ? ? 1, x?2 x?2

????2 分

所以曲线 E 的方程为 x2 ? 4 y ( x ? ?2 ). (Ⅱ) 结论:直线 BC 与曲线 E 相切.
2 证法一:设 C ? x0 , y0 ? ,则 x0 ? 4 y0 ,
2 2 圆 A 的方程为 x ? ? y ? 1? ? x0 ? ? y0 ? 1? , 2 2

??????4 分

?????6 分
2

2 令 x ? 0 ,则, ? y ? 1? ? x0 ? ? y0 ? 1? ? ? y0 ? 1? , 2 2

因为 y0 ? 0, y ? 0 ,所以 y ? ? y0 ,点 B 的坐标为 ? 0, ? y0 ? , 直线 BC 的斜率为 k ? 即y?

????7 分

而 a1 ? 1 适合上式, 解法 2: 由 nSn ?1 ? ? n ? 1? Sn ?

n ? n ? 1? n ? n ? 1? , 得 n ? Sn ?1 ? Sn ? ? Sn ? , 2 2 n ? n ? 1? ∴ nan ?1 ? Sn ? . ① ?????????4 分 2 n ? n ? 1? 当 n ? 2 时, ? n ? 1? an ? Sn ?1 ? ,② 2 n ? n ? 1? n ? n ? 1? ? ① ? ②得 nan ?1 ? ? n ? 1? an ? ? Sn ? Sn ?1 ? ? , 2 2 ∴ nan?1 ? nan ? n . ???????5 分
∴ an?1 ? an ? 1 . ????????6分 ∴ 数列 ?an ? 从第2项开始是以 a2 ? 2 为首项, 公差为 1的等差数列. ???7分

∴ an ? n .

2 y0 2 y0 x, ,直线 BC 的方程为 y ? y0 ? x0 x0

2 y0 x ? y0 ,????9 分 x0
2

代入 x ? 4 y 得 x 2 ? 4 ?

2 2 ? ? 64 y0 ? 4 x0 ? 4 x0 y0 ? 16 y0 ? 4 y0 ? x0 ? ? 0,

? 2 y0 ? x ? y0 ? ,即 x0 x2 ? 8 y0 x ? 4x0 y0 ? 0 ,?????11 分 ? x0 ?
????????12 分

所以,直线 BC 与曲线 E 相切. 证法二:设 C ? x0 , y0 ? ,则 x0 ? 4 y0 ,
2

2 2 圆 A 的方程为 x ? ? y ? 1? ? x0 ? ? y0 ? 1? , 2 2

?????6 分
2

2 令 x ? 0 ,则, ? y ? 1? ? x0 ? ? y0 ? 1? ? ? y0 ? 1? , 2 2

因为 y0 ? 0, y ? 0 ,所以 y ? ? y0 ,点 B 的坐标为 ? 0, ? y0 ? , 直线 BC 的斜率为 k ? 由 x2 ? 4 y 得 y ?

?????7 分

(3)证法 1:由(2)知,当 m ? 1 时, g ( x) ? x ? 1 ? 2ln x 在 (0,1) 上单调递减, ∴ x ? (0,1) 时, g ( x) ? g (1) ? 0 , 即 x ? 1 ? 2 ln x . ∵ 0 ? x1 ? x2 , ∴ 0? ∴ ∴ ????????10 分
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

2 y0 , x0

????????9 分

1 2 1 1 x 得 y? ? x ,过点 C 的切线的斜率为 k1 ? x0 ,?????10 分 4 2 2 1 2 2 ? x0 2 y0 1 4 ? ? x0 ,所以 k ? k1 ,?????11 分 而k ? x0 x0 2
所以直线 BC 与曲线 x2 ? 4 y 过点 C 的切线重合, 即直线 BC 与曲线 E 相切. 22. (本小题满分 14 分) (1)解:∵ f ? x ? ? ax ? b ln x ,其定义域为 ? 0, ?? ? ,
2

x1 ? 1. x2

????????11 分 ???????????12 分 ????????????13 分

x1 x ? 1 ? 2ln 1 . x2 x2 x1 ? x2 ? 2(ln x1 ? ln x2 ) . x2

??????????????12 分

∵ ln x2 ? ln x1 , ∴

b ∴ f ?( x) ? 2ax ? . x
? f (1) ? a ? 1, 依题意可得 ? ? f ?(1) ? 2a ? b ? 0.

x2 ? x1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

???????????14 分

????1 分 ??????????2 分

证法 2: 设 ? ( x) ? 2 x2 (ln x2 ? ln x) ? x2 ? x(0 ? x ? x2 ) , 则 ? ?( x) ? ?

解得 a ? 1, b ? 2 .

????????4 分
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

2x2 x ? 2x2 . ?1 ? x x
?????????10 分

(2)解: g ( x) ? f ( x) ? x2 ? m( x ? 1) ? m( x ? 1) ? 2ln x, x ? (0,1] ,

当 x ? (0, x2 ) , ? ?( x) ? 0 , ∴ ? ( x) 在 (0, x2 ) 上单调递减 ∴ ? ( x) ? ? ( x2 ) ? 0 .

2 mx ? 2 ∴ g ?( x) ? m ? ? . x x

???????????5 分

?????????????11 分 ??????????12 分

① 当 m ? 0 时, g ?( x) ? 0 ,则 g ( x) 在 (0,1] 上单调递减, ∴ g ( x)min ? g (1) ? 0 . ② 当 0 ? m ? 2 时, g ?( x) ? ∴ g ( x)min ? g (1) ? 0 . ③当 m ? 2 时,则 x ? ? 0, ∴ g ( x) 在 ? 0, 故当 x ? ?????????6 分
m( x ? x 2 ) m ? 0 ,则 g x 在 (0,1] 上单调递减, ? ?

∴ x ? (0, x2 ) 时, 2 x2 (ln x2 ? ln x) ? x2 ? x .
? 0 ? x1 ? x2 ,

∴ 2 x2 (ln x2 ? ln x1 ) ? x2 ? x1 .
? ln x2 ? ln x1 ,

?????????????13 分

[来源:学科网 ZXXK]

???????7 分



? ?

2? ?2 ? ? 时, g? ? x ? ? 0 ; x ? ? ,1? 时, g? ? x ? ? 0 , m? ?m ?

x2 ? x1 ? 2 x2 . ln x2 ? ln x1

???????????14 分

? ?

2? ?2 ? ? 上单调递减,在 ? ,1? 上单调递增. m? ?m ?

2 ?2? 时, g ? x ? 的最小值为 g ? ? . m ?m?

?2? ∵ g ? ? ? g (1) ? 0 . ?m?

∴ g ( x)min ? 0 .

?????????8 分 ?????9 分
[来源:学科网]

综上所述,存在 m 满足题意,其取值范围为 (??, 2] .

-END-

-END-

-END-



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