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1.1.2 集合间的基本关系教案 2



1.2 子集 全集 补集
教学目的: (1)使学生了解集合的包含、相等关系的意义; (2)使学生理解子集、真子集( , )的概念; (3)使学生理解补集的概念; (4)使学生了解全集的意义 教学重点:子集、补集的概念 教学难点:弄清元素与子集、属于与包含的关系 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 内容分析 在研究数的时候,通常都要考虑数与数之间的相等与不相等(大于或小

于)关系,而对 于集合而言,类似的关系就是“包含”与“相等”关系 本节讲子集,先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系,并引出子集的概念,然 后,对比集合的“包含”与“相等”关系,得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质 本 节课讲重点是子集的概念,难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别 教学过程: 一、复习引入: 问题:观察下列两组集合,说出集合 A 与集合 B 的关系(共性) (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5} (2)A=N,B=Q
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(3)A={-2,4}, B ? {x | x 2 ? 2 x ? 8 ? 0} (集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 的元素) 二、讲解新课: (一) 子集 1 定义: (1)子集:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何 一 .. 个元素都是集合 B 的元素,我们就说集合 A 包含于集 合 B,或集合 B 包含集合 A
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记作: A ? B或B ? A , 读作:A 包含于 B 或 B 包含 A

若任意x ? A ? x ? B,则A ? B
当集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A 时,则记 作 A? ? B 或 B? ?A 注: A ? B 有两种可能 (1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合 (2)集合相等:一般地,对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何 一个元素都是集 ..
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合 B 的元素,同时集合 B 的任何 一个元素都是集合 A 的元素,我们就说集 .. 合 A 等于集合 B,记作 A=B (3)真子集:对于两个集合 A 与 B,如果 A ? B ,并且 A ? B ,我们就说集合 A
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是集合 B 的真子集,记作:A B 或 B A (4)子集与真子集符号的方向
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A, 读作 A 真包含于 B 或 B 真包含

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如A ? B与B ? A同义;A ? B与A ? B不同
(5)空集是任何集合的子集 Φ ? A 空集是任何非空集合的真子集 Φ A 若 A≠Φ ,则Φ 任何一个集合是它本身的子集 A ? A
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A

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(6)易混符号 ①“ ? ”与“ ? ” :元素与集合之间是属于关系;集合与集合之间是包含关系 如
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1 ? N ,?1 ? N , N ? R, Φ ? R,{1} ? {1,2,3}
②{0}与Φ :{0}是含有一个元素 0 的集合,Φ 是不含任何元素的集合 如 Φ ? {0} 不能写成Φ ={0},Φ ∈{0}
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(7)根据子集的定义,可以得到它的性质: ①A ? A;②Φ ? A;③A ? B,B ? C,则 A ? C(传递性,在 情况下,可以连写成 A ? B ? C;④若 A ? B,B ? A 则 A=B 思考:上面性质对真子集还成立吗?(除了③之外,其余 成立) 三、讲解范例: 例 1 填写下表,并回答问题 原集合 子集
R

N Q Z

这 种 不一定

子集的个数

?
{a} {a,b} {a,b,c} 由此猜想:含 n 个元素的集合 ?a1 , a2 ?, an ? 的所有子集的个数是多少个?,真子集 的个数及非空真子集数呢? 解: 原集合
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子集

子集的个数 1 2 4 8
n n

?
{a} {a,b} {a,b,c}

? ? ,{a} ? ,{a},{b},{a,b} ? ,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c
}

这样,含 n 个元素的集合 ?a1 , a2 ?, an ? 的所有子集的个数是,真子 2 集的个数是 2 -1,非 空真子集数为 2 ? 2
n
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练习:判断下列说法的正确与否。 ⑴若 A B,则 A ? B( ) ⑵若 A ? B 则 A B( ⑶若 A=B,则 A ? B( ) ⑷若 A ? B 则 A=B( ⑴√ ⑵× ⑶√ ⑷×

) )

例 2,教材 P8 例 2 练习:1,教材 P10___2(解答:⑴A B ⑵A=B ⑶A B) 2,若数集{0,1,x+2}中,x 不能取值的集合为 A 写出 A 的所有子集 答:A={-2,-1}故子集为 ? ,{-1},{-2},{-1,-2} 观察例 2 的三个集合,它们之间有什么关系? 补集:一般地,设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S ) ,由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) ,记作 C S A ,即 CSA= {x | x ? S , 且x ? A} 2、性质:CS(CSA)=A ,CSS= ? ,CS ? =S 3、全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个 全集,全集通常用 U 表示 例 3(1)若 S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},求 CSA (2)若 A={0},求证:CNA=N* (3)求证:CRQ 是无理数集 解(1)∵S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5}, ∴由补集的定义得 CSA={2,4,6} 证明(2)∵A={0},N={0,1,2,3,4,?},N*={1,2,3,4,?} ∴由补集的定义得 CNA=N* 证明(3)∵ Q 是有理数集合,R 是实数集合 ∴由补集的定义得 CRQ 是无理数集合 例 4 已知 S={x|-1≤x+2<8} ,A={x|-2<1-x≤1} ,
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S

A

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B={x|5<2x-1<11} ,讨论 A 与 C S B 的关系

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解:∵S={x|-3≤x<6} ,A={x|0≤x<3} , B={x|3≤x<6} ∴C S B={x|-3≤x<3} ∴A ? C S B 三,总结:本节主要讲解了子集、补集、全集的概念及性质 四、作业:教材 P9 练习 3,4,P10___1,3,4

第二课时子集全集补集综合习题选讲 目的:进一步熟悉子集全集补集的概念,掌握它们的应用 重点难点:应用 过程: 一,复习子集全集补集的概念和选择 二、典型例题 例 1、已知{1,2} ? A ? {1,2,3,4},求满足条件的集合 A

解:A 中一定含有 1,2,这样将 A 分成三类 仅有 1,2 时,A={1,2} 含有 3,4 中之一时,A={1,2,3}或{1,2,4} 3,4 都含有时 A={1,2,3,4} 总之,A={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4} 说明:当分类多时,可以先说明分几种情况,再进行分类,以免计算时忘记了思路。 例 2,已知集合 A={x|x>3},B={x|x<a} ⑴若 B ? A,求实数 a 的范围;⑵A ? B,求实数 a 的范围
?

解:⑴作图,a≤3 ⑵A ? B,a<3
?

说明:利用图示也是解集合题的一种常见方法 例 3,若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若 B ? A,求实数 m 的范围 解:分 B= ? 和 B 不空两类 B= ? 时,2m-1<m+1,m<2



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