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北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》曲线与方程



北师大版高中数学选修2-1 第三章《圆锥曲线与方程》

1

Ⅰ、曲线与方程
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为 y ? kx ? b ____________ 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线 x-y=0 方程是______________ 3.圆心为C

(a,b) ,半径为r的圆C的方程为 2 2 2 _______________________. ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2

思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线

l ?

点的横坐标与纵坐标相等 条件

曲线
y

x=y(或x- y=0)方程

l
0

x-y=0
x

含有关系:
(1)

l 上点的坐标都是方程x-y=0的解

(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上
∴说直线 l 的方程是 x ? y ? 0 ,又说方程 x ? y ? 0 的直线是 l .
3

思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

4

定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. y 那么,这个方程叫做曲线的方程; f(x,y)=0 这条曲线叫做方程的曲线.

说明:

0

x

1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 5 . 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形

2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
(纯粹性). 3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. (完备性). 由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0,那么点P0(x0 ,y0) 在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0
6

例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0), D为BC中点,则中线AD的方程x=0
解:(1)不正确,不具备(2)完备性,应为x=3, (2)不正确,不具备(1)纯粹性,应为y=±1. (3)正确. (4)不正确,不具备(2)完备性,应为x=0(-3≤y≤0). 7

例2.证明圆心为M(3,4)半径等于5的方程

( x ? 3) ? ( y ? 4) ? 25 并判断点O(0,0),
2 2

A(-1,0),B,1,2)是否在这个圆上。

8

归纳:

证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步,设 M (x0,y0)是曲线C上任一点, 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解,证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.

9

练习1:下列各题中,下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗?为什么? (1)曲线C为过点A(1,1),B(-1,1)的折 线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是 (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程 为x+ y =0; 不是 (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴,y轴的距 离乘积为1的点集其方程为y= 。 是
y
1 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 1

y

y

x

-2 -1 0 1 2

x







10

练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个?

Y 1 O 1 X 1 O 1 X -1 O -1

x - y =0

② |x|-|y|=0
Y

③ x-|y|=0
Y 1 X Y 1 1 O -1 1 X

A

B

C

D

①表示 B

②表示 C

③表示 D
11

练习4:设圆M的方程为( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 2 ,直线l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
2 2

A.点P在直线上,但不在圆上 B.点P在圆上,但不在直线上; C.点P既在圆上,也在直线上 D.点P既不在圆上,也不在直线上 练习5:已知方程 mx ? ny ? 4 ? 0 的曲线经过 点 A(1,?2), B(?2,1) ,则 m =_____, n =______.
2 2

4 5

4 5
12

课外练习: 1. “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y) =0 的解” C )条 是“方程 f ( x, y) =0 是曲线 C 的方程”的( 件. (A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)既非充分也非必要 2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(?4, ?3) , B(2, ?1) , C (5,7) , 则 AB 边上的中线的方程为___________.

3x ? 2 y ? 0(?1≤ x ≤ 5)
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Ⅱ、求曲线的方程
复习回顾
1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念 2. 练习: (1) 设A(2,0)、B(0,2), 能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_______ 3.证明已知曲线的方程的方法和步骤
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上一节,我们已经建立了曲线的方程.方程的 曲线的概念.利用这两个重要概念,就可以借助 于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某 种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标 (x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,通过 研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一 节,我们就来学习这一方法.

点M

按某中规律运动
几何意义

曲线C

坐标(x, y)

x, y的制约条件 代数意义

“数形结合” 数学思想的 基础
15

方程f ( x, y) ? 0

1.解析几何与坐标法: 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标 法. 在数学中,用坐标法研究几何图形的知识形成了一 门叫解析几何的学科.因此,解析几何是用代数方法研 究几何问题的一门数学学科. 2.平面解析几何研究的主要问题: (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过方程,研究平面曲线的性质.

说明:本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.
16

例2.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.
解:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点,也 就是点M属于集合 P ? ?M | MA |?| MB |? 由两点间的距离公式,点M所适合条件可表示为:
.

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 7)2

将上式两边平方,整理得: x+2y-7=0 ① 我们证明方程①是线段AB的垂直平 分线的方程. (1)由求方程的过程可知,垂直平 分线上每一点的坐标都是方程①解; (2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程 ①的解,即: x+2y1-7=0 x1=7-2y1

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点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ? ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 ? (8 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 1)2
2 ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13);

M 1 B ? ( x1 ? 3) 2 ? ( y1 ? 7 ) 2 ? ( 4 ? 2 y1 ) 2 ? ( y1 ? 7 ) 2
2 ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13)

? M1 A ? M1B ,

即点M1在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
18

由上面的例子可以看出,求曲线(图形)的方 程,一般有下面几个步骤: (1)建系设点:建立适当的坐标系,用有序实数 对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)} (3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点 都在曲线上. 说明:一般情况下,化简前后方程的解集是相 同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况, 可适当予以说明.另外,根据情况,也可以省略 19 步骤(2),直接列出曲线方程.

例3.已知一条直线l和它上方的一个点F,点F到 l的距离是2,一条曲线也在l的上方,它上面的每 一点到F的距离减去到l的距离的差都是2,建立 适当的坐标系,求这条曲线的方程.
解:取直线l为x轴,过点F且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点, MB⊥x轴,垂足是B, 1)建系设点

? MA ? MB ? 2
2

2)列式
2

B 因为曲线在x轴的上方,所以y>0, 所以曲线的方程是

? ( x ? 0) ? ( y ? 2) ? y ? 2 3)代换 1 2 4)化简 ?y ? x 8

A(0, 2) ?

?M

1 2 y ? x ( x ? 0) 8

5)审查
20

通过上述两个例题了解坐标法的解题方法, 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础; 同时,根据曲线上的点所要适合的条件列出等 式,是求曲线方程的重要环节,在这里常用到 一些基本公式,如两点间距离公式,点到直线 的距离公式,直线的斜率公式,中点公式等, 因此先要了解上述知识,必要时作适当复习.

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