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100测评网2008~2009年度第一学期期末调研考试



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2008~2009 年度第一学期期末调研考试 高二数学(理科)试卷
(满分 160 分,考试时间 120 分钟)

一、填空题 本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 把答案填写在答题卡相应位置. 1. 三鹿婴幼儿奶粉事

件发生后,质检总局紧急开展液态奶三聚氰胺的专项检查. 设 蒙牛、 伊利、光明三家公司生产的某批次液态奶分别是 2400 箱、3600 箱和 4000 箱, 现从中 共抽取 500 箱进行检验,则这三家公司生产的液态奶被抽取的箱数依次为 2. 命题“ ?x ? R, x3 ? 2 =0”的否定是 3. 双曲线 ▲ . . ▲ .

y2 ? x2 ? 1 ? 0 的离心率是 3



4. 将容量为 100 的样本数据分为 8 个组,如下表: 组号 频数 则第 3 组的频率为 1 10 ▲ 2 13 . ▲ 条 3 4 14 5 15 6 13 7 12 8 9

5. 在平面直角坐标系 xOy 中, “ab>0”是“方程 ax2 ? by 2 ? 1 的曲线为椭圆”的

件(填写“充分不必要” 、 “必要不充分” 、 “充分必要”和“既不充分也不必要”之一). 6. 样本 a1, a2, a3, ?, a10 的平均数为 X , 样本 b1, b2, b3, ?, b20 的平均数为 Y , 则 ▲ . (用 X , Y 表示). Read x If x≤2 then

样本 a1,a2,a3,?,a10, b1,b2,b3,?,b20 的平均数为 7. 根据如图所示的伪代码表示的算法,可得 f(1)+f(4)= ▲

8. 从装有 5 只红球、5 只白球的袋中任意取出 3 只球,有下 列事件: ①“取出 2 只红球和 1 只白球”与“取出 1 只红球和 2 只白 球”; ②“取出 2 只红球和 1 只白球”与“取出 3 只红球”; ③“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有 1 只白球”; ④“取出 3 只红球”与“取出 3 只白球”. 其中是对立事件的是 ▲ (写序号).

f(x)←2x-3 Else f(x)←log2x End if Print f(x)

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9. 按右图所示的程序框图操作,若将输出的数按照输出 的顺序从前往后依次排列,则得到数列 ?an ? ,则数列

?an ? 的通项公式是



.

10. 已知 k∈Z, AB =(k,1), AC =(2,4),若 AB ≤ 10 ,

则△ ABC 是直角三角形的概率是



.

11. 已知动点 M 到 A(2,0)的距离等于它到直线 x=-1 的距 离的 2 倍,则动点 M 的轨迹方程 是 ▲ .

12. 如图所示,水波的半径以 1m/s 的速度向外扩张, 当半径为 5m 时,这水波面的圆面积的膨胀率是 ▲ m2/s.

13. 以下是关于圆锥曲线的四个命题: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,若 PA-PB=k,则动点 P 的轨迹是双曲线; ②方程 2 x 2 ? 5 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
2 2 y2 ③双曲线 x ? ? 1 与椭圆 x ? y 2 ? 1 有相同的焦点; 35 25 9

④以过抛物线的焦点的一条弦 AB 为直径作圆,则该圆与抛物线的准线相切. 其中真命题为 ▲ (写出所以真命题的序号). y

14. 已知函数 f(x)的定义域为 ? ?2,? ? ? ,且 f (4) ? f (?2) ? 1 ,

f ?( x)为f ( x) 的导函数,函数 y ? f ' ( x) 的图象如图所示,
-2
? a ? 0, ? 则在平面直角坐标系 aOb 中,平面区域 ? b ? 0, ? f (2a ? b) ? 1 ?

O

x

的面积是



.

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二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 请将解答填写在答题卡规定的区域内,否则答题 无效. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,一个抛物线形拱桥,当水面离拱顶 4m 时,水面宽 8m. (1)试建立坐标系,求抛物线的标准方程; (2)若水面上升 1m,求水面宽度. 8 4 y

16. (本小题满分 14 分) 如图,过点 (0, a3 )(0 ? a ? 2) 的两直线与抛物线 y ? ?ax2 相切于 A、B 两点, AD、BC 垂直于直线 y ? ?8 ,垂足分别为 D、C,求矩形 ABCD 面积的最大值.

O A B

x

D

C

17. (本小题满分 14 分) 已知正方形 ABCD 的边长为 2,在正方形及其内部任选一点 P(在正方形及其内部点的 选取都是等可能的) ,作 PM ? AB 于 M, PN ? AD 于 N,矩形 PMAN 的面积为 S. (1)请建立适当的坐标系,设 P( x, y ) ,写出 x, y 满足的条件, 并作出满足 S ≤ 1 的 P 点的区域; (2)求 S ≤ 1 的概率. D C

A

B

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18. (本小题满分 16 分) 如图所示, 多面体 ABCDS 中, 四边形 ABCD 为矩形, SD⊥AD, SD⊥AB, 且A B ? A D 2
SD ? 3AD ,M、N 分别为 AB、CD 中点.

=2, B

C

(1)求证:SM⊥AN; (2)求二面角 A—SC—D 的余弦值; N M

D

A

19. (本小题满分 16 分)

S

(1)证明:函数 f ( x ) = x3 ? x2 ? ln( x ? 1) 在 ? ?1, ? ? ? 上是单调增函数; (2)证明: ln 2010 ? 2008 . 2009 20093

20. (本小题满分 16 分) 如图,A 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的一个动点,弦 AB、AC 分别过焦点 F1、F2, a 2 b2

当 AC 垂直于 x 轴时,AF1=3AF2. (1) 求椭圆的离心率; (2) 设 AF1 ? ?1 F1B , AF2 ? ?2 F2C ,证明:当 A 点在椭圆上运动时, ?1 ? ?2 是定值. y A F1 O F2 C

B

x

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高二(理科)数学参考答案及评分标准 200901
一、填空题(5 分×14=70 分) 1. 120,180,200 4. 0.14 7. 1 2.
?x ? R, x3 ? 2 ? 0

3. 2 6.

5. 必要不充分 8. ③

X ? 2Y 3
9.

an ? 2 n ? 1 (n ? N* , ≤ n 7 )

10.

3 7

11.

3x2 ? y 2 ? 12 x ? 0

12.

10 π

13. ②③④

14. 4

二、解答题 15. (14 分) (1)如图建立坐标系,设抛物线的标准方程为 x2 ? ?2 py( p ? 0) . ------3 分 由已知条件可知,点 B 的坐标是 (4, ? 4) ,代入方程, 得 42 ? ?2 p ? (?4) ,即 p ? 2 . -----------------------6 分 -----------------

所以,所求抛物线标准方程是 x2 ? ?4 y. -----------------------7 分 (2)若水面上升 1m,则 y ? ?3 , -----------------------10 分 ----------------------13 分 所以这时水面宽为 4 3 m. ----------------------14 分 16.(14 分) 设切点为 ( x0 , y0 ) ,则 y0 ? ?ax02 , ----------------------1 分 因为 y ? ? ?2 ax ,所以切线方程为 y ? y0 ? ?2ax0 ( x ? x0 ) , 即 y ? ax02 ? ?2ax0 ( x ? x0 ) ,

代入 x2 ? ?4 y ,得 x2 ? ?4 ? (?3) ? 12 , x ? ?2 3 .

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----------3 分 因 为 切 线 过 点 0, a3 , 所 以 a3 ? ax02 ? ?2ax0 (0 ? x0 ) , 即 a3 ? ax02 , 于 是
x0 ? ? a .--------------5 分

?

?

将 x0 ? ? a 代入 y0 ? ?ax02 得 y0 ? ?a3 .

----------------------7 分

(若设切线方程为 y ? kx ? a3 ,代入抛物线方程后由 ? ? 0 得到切点坐标,亦予认可.) 所以 AB ? 2a, BC ? 8 ? a3 , ----------------------8 分 所以矩形面积为 S ? 16a ? 2a4 (0 ? a ? 2) , ----------------------9 分 于是 S ? ? 16 ? 8a3 . ----------------------10 分 所以当 0 ? a ? 3 2 时, S ? ? 0 ;当 3 2 ? a ? 2 时, S ? ? 0 ; ----------------------12 分 故当 a ? 3 2 时,S 有最大值为 12 3 2 . ----------------------14 分 17.(14 分) (1)以直线 AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,A 为坐标原点建立直角坐标系. ----------------------1 分 因为点 P ? x, y ? 在正方形及其内部, 所以 S=xy (0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2) . -----------------------3 分

? 0 ≤ x ≤ 2, ? 故满足满足 S ≤ 1 的 P ? x, y ? 点满足的条件是 ?0 ≤ y ≤ 2, --------5 分 ? xy ≤ 1. ?

P 点的区域如图.

-----------------------7 分

2 2 (2) P 点所在的区域面积 ? 2 ? 1 dx ?1?1 ? 2 ? ln x ? 1 ? 1 ? 2ln 2 ? 1 ? ln 4 ? 1 , 1 x

---------------------12 分

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而正方形 ABCD 的面积为 4, 所 以
S ≤1









l 4

?

n

. 4

1

---------------------14 分 18. (16 分) (1)建立如图所示的空间直角坐标系,则 A(0, 1, 0), N(0, 0, 1), S( 3 , 0, 0), C M(0, 1, 1), C(0, 0, 2), -----------------------3 分 B z

AN ? (0, ?1, 1) , SM ? (? 3, 1, 1) ,-----------------------6 分
于是 AN ? SM ? 0 ? (? 3) ? (?1) ?1 ? 1?1 ? 0 , ` 所以 SM⊥SM. -----------------------8 分

N

M

D

A

y

(2)设平面 ASC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) , S

AS ? ( 3, ?1, 0) , AC ? (0, ? 1, 2) ,
则 n1 ? AS ? 3x ? y ? 0 且 n1 ? AC ? ? y ? 2z ? 0 , 令 z ? 3 ,则 x ? 2 3, y ?6 .

x

n1 ? (2 3, 6, 3) .

----------------------12 分

又平面 SDC 的一个法向量 n2 ? (0, 1, 0) .

----------------------13 分

设二面角 A-SC-D 的平面角为 ? ,则 cos ? ? cos? n1 , n2 ? ?
2 57 . 19

6 1 ? 57

?

6 57 2 57 ? , 19 57

所以二面角 A-SC-D 的余弦值为

----------------------16 分

19



(1)









f ( x) ? x3 ? x2 ? ln( x ? 1)



3x3 ? ( x ? 1)2 .---------------------2 分 f ?( x) ? 3x2 ? 2x ? 1 ? x ?1 x ?1
当 x ??0, ? ?? 时, f ' ( x) ? 0 ; ----------------------4 分 当 x ? ? ?1, 0? 时, f ?( x) ? 3x2 ? 2 x ? 1 ? 0 . x ?1 -----------------

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------6 分 故当 x ? ? ?1, ? ? ? 时,总有 f ' ( x) ? 0 . ----------------------7 分 所以函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ln( x ? 1) 在区间 ? ?1, ? ? ? 上是单调增函数. ----------------------8 分 (2)由(1)知, f

1 ? f (0) , ? ? 2009

----------------------10 分

而 f (0) ? 0 .

----------------------11 分

f

1 ? 1 ? 1 ? ln 1 ? 1 ? ? 2008 ? ln 2010 . ? 2009 2009 ? 2009 ? 2009 2009 ? 2009
3 2 3

----------------------14 分

于是 ? 2008 ? ln 2010 ? 0 ,即 ln 2010 ?2008 3 . 2009 2009 2009 20093

----------------------16 分

20.(1)设 | AF2 |? m ,则 | AF1 |? 3m .

? ?(3m)2 ? m2 ? (2c)2, 由题设及椭圆定义得 ? ? ?3m ? m ? 2a,

----------------------2 分

消去 m 得 a2 ? 2c2 ,所以离心率 e ? 2 . 2

----------------------4 分

1 (2)由(1)知: b2 ? c2 ? a2 ,所以椭圆方程可化为 x2 ? 2 y 2 ? 2c2 . 2
设 A( x0 , y0 ) , B( x1, y1 ) , C ( x2 , y2 ) ,则 x02 ? 2 y02 ? 2c2 . 若 A 为椭圆的长轴端点,则 ?1 ? 所以 ?1 ? ?2 ?

----------------------6 分

a?c a?c a?c a?c , , ?2 ? , 或 ?1 ? , ?2 ? a?c a?c a?c a?c
----------------------7 分

2(a2 ? c2 ) ? 6. a2 ? c2

若 A 为椭圆上异于长轴端点的任意一点,则由 AF1 ? ?1 F1B, AF2 ? ?2 F2C 得

?1 ? ?

y0 y 1 1 , ?2 ? ? 0 ,所以 ?1 ? ?2 ? ? y0 ( ? ) . y1 y2 y1 y2

-----------------

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------8 分 又直线 AF1 的方程为 x ? c ?

x0 ? c y, y0

----------------------9 分

x0 ? c ? ? x ? c ? y y, 所以由 ? 得 [2 y02 ? ( x0 ? c)2 ] y 2 ? 2cy0 ( x0 ? c) y ? c2 y02 ? 0 . -----------------0 ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2c

-----10 分 因为 x02 ? 2 y02 ? 2c2 , 所以 (3c ? 2x0 ) y 2 ? 2 y0 ( x0 ? c) y ? cy02 ? 0 , ----------------------12 分 由韦达定理得 y0 y1 ? ?

cy0 cy0 2 ,所以 y1 ? ? , 3c ? 2 x0 3c ? 2 x0

----------------------13 分

由对称性得 y2 ?

cy0 . ?3c ? 2 x0

----------------------14 分

? 3c ? 2 x0 ?3c ? 2 x0 ? ? ? ? 所以 ?1 ? ?2 ? ? y0 ? 1 ? 1 ? ? ? y0 ? ? ??6. y y cy0 cy0 ? 1 2 ? ? ?

----------------------15 分

综上证得,当 A 点在椭圆上运动时, ?1 ? ?2 为定值 6.

----------------------16 分

===================================================================== 适用版本: 人教版,苏教版, 鲁教版,北京版,语文 A 版,语文 S 版,冀教版,沪教版,北大师大版,人教版新 版,外研版,新起点,牛津译林,华师大版,湘教版,新目标,苏科版,粤沪版,北京版,岳麓版 适用学科: 语文,数学,英语,科学,物理,化学,生物,政治,历史,地理 适用年级: 一年级,二年级,三年级,四年级,五年级,六年级,七年级,八年级,九年级,小一,小二,小三,小 四,小五,小六,初一,初二,初三,高一,高二,高三,中考,高考,小升初 适用领域及关键字: 100ceping,51ceping,52ceping,ceping,xuexi,zxxx,zxjy,zk,gk,xiti,教学,教学研究,在线教学,在 线学习,学习,测评,测评网,学业测评, 学业测评网,在线测评, 在线测评网,测试,在线测试,教育, 在线教育,中考,高考,中小学,中小学学习,中小学在线学习,试题,在线试题,练习,在线练习,在线 练习,小学教育,初中教育,高中教育,小升初复习,中考复习,高考复习,教案,学习资料,辅导资料,

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