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高中数学解析几何常见习题类型及解法



高中数学解析几何常见习题类型及解法
一、知识整合 高考中解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题),共计 30 分左 右,考查的知识点约为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。选择题和填 空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线 中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形

成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置 关系,求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法,这一点值得强化。 ............... 1. 能正确导出由一点和斜率确定的直线的点斜式方程;从直线的点斜式方程出发推导出 直线方程的其他形式,斜截式、两点式、截距式;能根据已知条件,熟练地选择恰当的方程形 式写出直线的方程,熟练地进行直线方程的不同形式之间的转化,能利用直线的方程来研究与 直线有关的问题了. 2.能正确画出二元一次不等式(组)表示的平面区域,知道线性规划的意义,知道线性约 束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念,能正确地利用图解法解决线性 规划问题,并用之解决简单的实际问题,了解线性规划方法在数学方面的应用;会用线性规划 方法解决一些实际问题. 3. 理解“曲线的方程”“方程的曲线”的意义,了解解析几何的基本思想,掌握求曲线 、 的方程的方法. 4.掌握圆的标准方程: ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2(r>0) ,明确方程中各字母的几何意义, 能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和 半径,掌握圆的一般方程: x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,知道该方程表示圆的充要条件并正确 地进行一般方程和标准方程的互化,能根据条件,用待定系数法求出圆的方程,理解圆的参数 方程 ?

? x ? r cos ? (θ 为参数) ,明确各字母的意义,掌握直线与圆的位置关系的判定方法. ? y ? r sin ?

5.正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双曲线 和抛物线的定义推导它们的标准方程;记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程;能根据条 件,求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程;掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质:范围、 对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而能迅速、正确地画出椭圆、双曲线 和抛物线;掌握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义;利用椭圆、双曲线和抛物线的 几何性质,确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问题;理解椭圆、双曲线和抛 物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关系的判定方法.

二、近几年高考试题知识点分析
2004 年高考,各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为 27.1 分,占 18.1%;2001 年 以来,解析几何内容在全卷的平均分值为 29.3 分,占 19.5%.因此,占全卷近 1/5 的分值的 解析几何内容,值得我们在二轮复习中引起足够的重视.高考试题中对解析几何内容的考查几 乎囊括了该部分的所有内容,对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及. 1.选择、填空题 1.1 大多数选择、填空题以对基础知识、基本技能的考查为主,难度以容易题和中档题 为主 (1)对直线、圆的基本概念及性质的考查
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例 1 (04 江苏) 以点(1, 2)为圆心, 与直线 4x+3y-35=0 相切的圆的方程是_________. (2)对圆锥曲线的定义、性质的考查 例2 (04 辽宁) 已知点 F1 (? 点 P 的纵坐标是 (A)

2 ,0) 、F2 ( 2,0) , P 满足 | PF2 | ? | PF1 |? 2 . 动点



6 2

1 时,点 P 到坐标原点的距离是 2 3 (B) (C) 3 2
2

(D)2

1.2 部分小题体现一定的能力要求能力,注意到对学生解题方法的考查 例 3(04 天津文)若过定点 M ( ?1, 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x 第一象限内的部分有交点,则 k 的取值范围是 (A) 0 ?

? 4x ? y2 ? 5 ? 0 在

k? 5

(B) ?

(C) 0 ? k ? 13 2.解答题 解析几何的解答题主要考查求轨迹方程以及圆锥曲线的性质.以中等难度题为主,通常设 置两问,在问题的设置上有一定的梯度,第一问相对比较简单. 1 例 4(04 江苏)已知椭圆的中心在原点,离心率为 ,一个焦点是 F(-m,0)(m 是大于 0 的 2 常数). (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M. 若 MQ ? 2 QF , 求直线 l 的斜率. 本题第一问求椭圆的方程,是比较容易的,对大多数同学而言,是应该得分的;而第二问, 需要进行分类讨论,则有一定的难度,得分率不高.

5?k ?0 (D) 0 ? k ? 5

x2 y2 解: (I)设所求椭圆方程是 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). a b
由已知,得

c ? m,

c 1 ? , a 2

所以 a ? 2m, b ? 3m .

x2 y2 ? ?1 故所求的椭圆方程是 4m 2 3m 2

(II)设 Q( xQ , yQ ) ,直线 l : y ? k ( x ? m),则点M (0, km) 当 MQ ? 2QF时,由于F (?m,0), M (0, km), 由定比分点坐标公式,得

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0 ? 2m 2m km ? 0 1 ?? , yQ ? ? km. 1? 2 3 1? 2 3 4m 2 k 2 m 2 2m km 又点Q(? , )在椭圆上, 所以 9 2 ? 9 2 ? 1. 3 3 4m 3m 解得k ? ?2 6 , ???? ? ??? ? 0 ? (?2) ? (?m) km 当MQ ? ?2QF时, xQ ? ? ?2m, yQ ? ? ?km . 1? 2 1? 2 4m 2 k 2 m 2 ? ? 1, 解得k ? 0. 故直线 l 的斜率是 0, ? 2 6 . 于是 4m 2 3m 2 xQ ?
x2 2 例 5(04 全国文科Ⅰ)设双曲线 C: 2 ? y ? 1(a ? 0)与直线l : x ? y ? 1 相交于两个不 a
同的点 A、B. (I)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围: (II)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

??? ?

? 5 ??? PB. 求 a 的值. 12

解: (I)由 C 与 t 相交于两个不同的点,故知方程组

? x2 2 ? 2 ? y ? 1, ?a ? x ? y ? 1. ?
有 两 个 不 同 的 实 数 解 . 消 去 y 并 整 理 得 ( 1 - a ) x +2a x - 2a =0.
2 2 2 2



? ?1 ? a ? 0. 所以? 4 ?4a ? 8a 2 (1 ? a 2 ) ? 0. ?
2

解得0 ? a ? 2且a ? 1.

双曲线的离心率

1 ? a2 1 e? ? ? 1. a a2 ?e ? 6 且e ? 2 2

? 0 ? a ? 2且a ? 1,

6 , 2) ? ( 2, ??). 2 (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), P (0,1) 1 5 5 ? PA ? PB , ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x 2 , y 2 ? 1). 12 12 即离心率e的取值范围为(
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由此得 x1 ?

5 x2 . 12

由于 x1,x2 都是方程①的根,且 1-a ≠0,

2

17 2a 2 x2 ? ? , 12 1 ? a2 17 由a ? 0, 所以a ? . 13 所以

5 2 2a 2 2a 2 289 x2 ? ? .消去, x2 , 得 ? ? 2 2 12 1? a 1? a 60

例 6(04 全国文科Ⅱ)给定抛物线 C: 交于 A、B 两点.

y 2 ? 4 x, F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相

(Ⅰ)设 l 的斜率为 1,求 OA与OB 夹角的大小; (Ⅱ)设 FB ? ? AF, 若? ? [4,9] ,求 l 在 y 轴上截距的变化范围. 解: (Ⅰ)C 的焦点为 F(1,0) ,直线 l 的斜率为 1,所以 l 的方程为 将

y ? x ? 1.

y ? x ? 1 代入方程 y 2 ? 4x ,并整理得

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则有

x 2 ? 6 x ? 1 ? 0. x1 ? x2 ? 6, x1 x2 ? 1.
x1 x 2 [ x1 x 2 ? 4( x1 ? x 2 ) ? 16] ? 41.

OA? OB ? ( x1 , y1 ) ? ( x2 , y2 ) ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? ?3.
| OA || OB |?
2 2 x12 ? y12 ? x 2 ? y 2 ?

cos(OA, OB) ?

3 14 OA ? OB 3 14 . ?? . 所以 OA与OB 夹角的大小为 ? ? arccos 41 | OA || OB | 41

(Ⅱ)由题设 FB ? ? AF 得 即?

( x2 ? 1, y2 ) ? ? (1 ? x1 ,? y1 ),

② 2 2 2 2 2 由②得 y 2 ? ? y1 , ∵ y1 ? 4 x1 , y2 ? 4 x2 , 联立①、③解得 x 2 ? ? ,依题意有 ? ? 0. ∴ B(?,2

? x 2 ? 1 ? ? (1 ? x1 ), ? y 2 ? ??y1.

① ∴ x2 ? ? x1 . ③
2

,得直线 l 方程为 ? ),或B(?,?2 ? ), 又 F(1,0) (? ? 1) y ? 2 ? ( x ? 1)或(? ? 1) y ? ?2 ? ( x ? 1), 2 ? 2 ? 当 ? ? [4,9] 时,l 在方程 y 轴上的截距为 或? , ? ?1 ? ?1 2 ? 2 ? 2 ? 2 由 在[4,9]上是递减的, ? ? , 可知 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 3 2 ? 4 4 2 ? 3 ? ? ,? ? ? ?? , ∴ 4 ? ?1 3 3 ? ?1 4 直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为 [?

4 3 3 4 ,? ] ? [ , ]. 3 4 4 3

从以上 3 道题我们不难发现,对解答题而言,椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有 考查的可能,而且在历年的高考试题中往往是交替出现的,以江苏为例,01 年考的是抛物线, 02 年考的是双曲线,03 年考的是求轨迹方程(椭圆) ,04 年考的是椭圆.
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三、热点分析与 2005 年高考预测
1.重视与向量的综合 在 04 年高考文科 12 个省市新课程卷中,有 6 个省市的解析几何大题与向量综合,主要涉 及到向量的点乘积(以及用向量的点乘积求夹角)和定比分点等,因此,与向量综合,仍是解 析几何的热点问题,预计在 05 年的高考试题中,这一现状依然会持续下去. 例 7(02 年新课程卷)平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1) B(-1,3) , , 若点 C 满足 OC ? ? OA? ? OB ,其中?、?∈R,且?+?=1,则点 C 的轨迹方程为 2 2 (A) x-1) +(y-2) =5 ( (B)3x+2y-11=0 (C)2x-y=0 (D)x+2y-5=0 例 8(04 辽宁)已知点 A(?2,0) 、 B(3,0) ,动点 P( x, y)满足PA? PB ? x 2 ,则点 P 的轨 迹是 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 2.考查直线与圆锥曲线的位置关系几率较高 在 04 年的 15 个省市文科试题(含新、旧课程卷)中,全都“不约而同”地考查了直线和 圆锥曲线的位置关系,因此,可以断言,在 05 年高考试题中,解析几何的解答题考查直线与圆 锥曲线的位置关系的概率依然会很大. 3.与数列相综合 在 04 年的高考试题中,上海、湖北、浙江解析几何大题与数列相综合,此外,03 年的江 苏卷也曾出现过此类试题,所以,在 05 年的试题中依然会出现类似的问题. 例 9(04 年浙江卷)如图,Δ OBC 的在个顶点坐标分别为(0,0)(1,0)(0,2),设 P 为 、 、 线段 BC 的中点,P2 为线段 CO 的中点,P3 为线段 OP1 的中点,对于每一个正整数 n,Pn+3 为线段 PnPn+1 的中点,令 Pn 的坐标为(xn,yn),

an ?

1 y n ? y n ?1 ? y n ? 2 . 2

(Ⅰ)求 a1 , a 2 ,a 3 及 an ; (Ⅱ)证明

y n?4 ? 1 ?

yn , n ? N ?; 4
1 3 , y 5 ? ,所以 a1 ?a 2 ? a3 ? 2 ,又由题意可知 2 4

(Ⅲ)若记 bn

? y4n?4 ? y4n , n ? N ? , 证明 ?bn ?是等比数列.

解:(Ⅰ)因为 y1 ? y 2 ? y 4 ? 1, y 3 ?

y n ?3 ?

y n ? y n ?1 , 2 y ?y 1 1 1 y n ? y n ?1 ? y n ? 2 ? a n , y n ?1 ? y n ? 2 ? n n ?1 = ∴ a n ?1 ? y n ?1 ? y n ? 2 ? y n ? 3 = 2 2 2 2 ? ∴ ?an ? 为常数列.∴ an ? a1 ? 2, n ? N .

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y ? y n?2 1 1 y n ? y n ?1 ? y n ? 2 ? 2 两边除以 2,得 y n ? n ?1 ? 1, 2 4 2 y ?y y 又∵ y n ? 4 ? n ?1 n ? 2 ,∴ y n ? 4 ? 1 ? n . 2 4 y y (Ⅲ)∵ bn ?1 ? y 4 n ?8 ? y 4 n ? 4 ? (1 ? 4 n ? 4 ) ? (1 ? 4 n ) 4 4 1 1 ? ? ( y 4 n ? 4 ? y 4 n ) ? ? bn , 4 4 1 又∵ b1 ? y 3 ? y 4 ? ? ? 0, 4 1 ∴ ?bn ? 是公比为 ? 的等比数列. 4
(Ⅱ)将等式 4.与导数相综合 近几年的新课程卷也十分注意与导数的综合,如 03 年的天津文科试题、04 年的湖南文理 科试题,都分别与向量综合. 2 例 10(04 年湖南文理科试题)如图,过抛物线 x =4y 的对称轴上任一点 P(0,m)(m>0)作直线 与抛物线交于 A,B 两点,点 Q 是点 P 关于原点的对称点。 (I)设点 P 分有向线段 AB 所成的比为 ? ,证明: QP ? (QA ? ?QB) (II)设直线 AB 的方程是 x-2y+12=0,过 A,B 两点的圆 C 与抛物线在点 A 处有共同的切线,求 圆 C 的方程. 解: (Ⅰ)依题意,可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m, 代入抛物线方程 x 2 ? 4 y 得

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

x 2 ? 4kx ? 4m ? 0.
所以

① 设 A、B 两点的坐标分别是 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ),则x1 、x2 是方程①的两根.

x1 x2 ? ?4m.

由点 P(0,m)分有向线段 AB 所成的比为 ? ,得

x1 ? ?x2 x ? 0,即? ? ? 1 . 1? ? x2

又点 Q 是点 P 关于原点的对称点,故点 Q 的坐标是(0,-m) ,从而 QP ? (0,2m) .

QA ? ?QB ? ( x1 , y1 ? m) ? ?( x2 , y2 ? m) ? ( x1 ? ?x2 , y1 ? ?y2 ? (1 ? ?)m).

QP ? (QA ? ?QB) ? 2m[ y1 ? ?y2 ? (1 ? ?)m] x2 x x2 x x x ? 4m ? 2m[ 1 ? 1 ? 2 ? (1 ? 1 )m] ? 2m( x1 ? x2 ) ? 1 2 4 x2 4 x2 4 x2 ? 4m ? 4m ? 2m( x1 ? x2 ) ? ? 0. 4 x2
所以

QP ? (QA ? ?QB).

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(Ⅱ)由 ? 由 x2 ? y

? x ? 2 y ? 12 ? 0,
2 ? x ? 4 y,

得点 A、B 的坐标分别是(6,9)(-4,4). 、



y?

1 2 1 x , y ? ? x, 所 以 抛 物 线 x 2 ? 4 y 在 点 A 处 切 线 的 斜 率 为 4 2

y ? x ?6 ? 3
1 ?b ? 9 ?? , ? 设圆 C 的方程是 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r , 则 ? a ? b 3 2 ?(a ? 6) ? (b ? 9) 2 ? (a ? 4) 2 ? (b ? 4) 2 . ? 3 23 2 125 , r ? (a ? 4) 2 ? (b ? 4) 2 ? . 解之得 a ? ? , b ? 2 2 2 3 2 23 2 125 ) ? , 即 x 2 ? y 2 ? 3x ? 23y ? 72 ? 0. 所以圆 C 的方程是 ( x ? ) ? ( y ? 2 2 2
2 2 2

5.重视应用 在历年的高考试题中,经常出现解析几何的应用题,如 01 年的天津理科试题、03 年的上 海文理科试题、03 年全国文科旧课程卷试题、03 年的广东试题及江苏的线性规划题等,都是有 关解析几何的应用题. 例 11(04 年广东试题)某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告:正西、正 北两个观测点同时听到了一声巨响, 正东观测点听到的时间比其他两观测点晚 4s. 已知各观测 点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上) 解:如图,以接报中心为原点 O,正东、正北方向为 x 轴、y 轴正向,建立直角坐标系.设 A、B、C 分别是西、东、北观测点,则 A(-1020,0) ,B(1020,0) ,C(0,1020) 设 P(x,y)为巨响为生点,由 A、C 同时听到巨响声,得|PA|=|PB|,故 P 在 AC 的垂直平分线 PO 上,PO 的方程为 y=-x,因 B 点比 A 点晚 4s 听到爆炸声,故|PB|- |PA|=340×4=1360 2 2 由双曲线定义知 P 点在以 A、B 为焦点的双曲线 依题意得 a=680, c=1020,

x y ? 2 ? 1 上, a2 b

? b 2 ? c 2 ? a 2 ? 10202 ? 6802 ? 5 ? 3402 x2 y2 故双曲线方程为 2 ? ?1 680 5 ? 3402 用 y=-x 代入上式,得 x ? ?680 5 ,∵|PB|>|PA|, ? x ? ?680 5, y ? 680 5,即P(?680 5,680 5),故PO ? 680 10
答:巨响发生在接报中心的西偏北 45 距中心 680 10m 处. (二)05 年高考预测 1.难度:解析几何内容是历年来高考数学试题中能够拉开成绩差距的内容之一,该部分 试题往往有一定的难度和区分度,预计这一形式仍将在 05 年的试题中得到体现.此外,从 04 年分省(市)命题的情况来看,在文科类 15 份试卷(含文理合用的试卷)中,有 9 分试卷(占 3/5)用解析几何大题作为最后一道压轴题,预计这一现状很有可能在 05 年试卷中继续重现.
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0

2.命题内容:从今年各地的试题以及前几年的试题来看,解答题所考查的内容基本上是 椭圆、双曲线、抛物线交替出现的,所以,今年极有可能考双曲线的解答题.此外,从命题所 追求的目标来看,小题所涉及的内容一定会注意到知识的覆盖,兼顾到对能力的要求. 3.命题的热点: (1)与其他知识进行综合,在知识网络的交汇处设计试题(如与向量综合,与数列综合、 与函数、导数及不等式综合等) ; (2)直线与圆锥曲线的位置关系,由于该部分内容体现解析几何的基本思想方法——用 代数的手段研究几何问题,因此该部分内容一直是考试的热点,相信,在 05 年的考试中将继续 体现; (3)求轨迹方程. (4)应用题.

四、二轮复习建议
1.根据学生的实际,有针对性地进行复习,提高复习的有效性 由于解析几何通常有 2-3 小题和 1 大题,约占 28 分左右,而小题以考查基础为主、解答 题的第一问也较容易,因此,对于全市的所有不同类型的学校,都要做好该专题的复习,千万 不能认为该部分内容较难而放弃对该部分内容的专题复习,并且根据生源状况有针对性地进行 复习,提高复习的有效性. 2.重视通性通法,加强解题指导,提高解题能力 在二轮复习中,不能仅仅复习概念和性质,还应该以典型的例题和习题(可以选用 04 年的 各地高考试题和近两年的各地高考模拟试题) 为载体, 在二轮复习中强化各类问题的常规解法, 使学生形成解决各种类型问题的操作范式.数学学习是学生自主学习的过程,解题能力只有通 过学生的自主探究才能掌握.所以,在二轮复习中,教师的作用是对学生的解题方法进行引导、 点拨和点评,只有这样,才能够实施有效复习. 3.注意强化思维的严谨性,力求规范解题,尽可能少丢分 在解解析几何的大题时,有不少学生常出现因解题不够规范而丢分的现象,因此,要通过 平时的讲评对易出现错误的相关步骤作必要的强调,减少或避免无畏的丢分. 例 14(04 全国文科Ⅰ)设双曲线 C: 2

x2 - y2 = 1( 0) a> 与直线l:x+ y = 1 相交 a
5 PB . 求 a 的值. 12

于两个不同的点 A、B. (I)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围: (II)设直线 l 与 y 轴的交点为 P,且 PA ?

解: (I)由 C 与 t 相交于两个不同的点,故知方程组

? x2 2 ? 2 ? y ? 1, ?a ? x ? y ? 1. ?
2 2 2

有两个不同的实数解.消去 y 并整理得
2

(1-a )x +2a x-2a =0.



? ?1 ? a ? 0. 所以? 4 ?4a ? 8a 2 (1 ? a 2 ) ? 0. ?
2

解得0 ? a ? 2且a ? 1.

双曲线的离心率
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e? ?e ?

1 ? a2 1 ? ? 1. a a2 6 且e ? 2 2

? 0 ? a ? 2且a ? 1,

即离心率e的取值范围为(

6 , 2) ? ( 2, ??). 2

还有,在设直线方程为点斜式时,就应该注意到直线斜率不存在的情形;又如,在求轨迹 方程时,还要注意到纯粹性和完备性等.

五、参考例题
例 1、若直线 mx+y+2=0 与线段 AB 有交点,其中 A(-2, 3),B(3,2),求实数 m 的取值范围。 解:直线 mx+y+2=0 过一定点 C(0, -2),直线 mx+y+2=0 实际上表示的是过定点(0, -2)的 直线系,因为直线与线段 AB 有交点,则直线只能落在∠ABC 的内部,设 BC、CA 这两条直线的 斜率分别为 k1、k2,则由斜率的定义可知,直线 mx+y+2=0 的斜率 k 应满足 k≥k1 或 k≤k2, ∵ A(-2, 3) B(3, 2)

4 k ? ?5 2 3 2 4 或-m≤ ? 5 即 m≤ ? 4 或 m≥ 5 ∴-m≥ 3 2 3 2
∴ k1 ?

y

A o
C(0,-2)

B

x

说明:此例是典型的运用数形结合的思想来解题的问题,这 里要清楚直线 mx+y+2=0 的斜率-m 应为倾角的正切, 而当倾角在(0°,90°)或(90°,180°)内, 角的正切函数都是单调递增的,因此当直线在∠ACB 内部变化时,k 应大于或等于 kBC,或者 k 小于或等于 kAC,当 A、B 两点的坐标变化时,也要能求出 m 的范围。 例 2、已知 x、y 满足约束条件 x≥1, x-3y≤-4, 3x+5y≤30, 求目标函数 z=2x-y 的最大值和最小值. 解:根据 x、y 满足的约束条件作出可行域,即 如图所示的阴影部分(包括边界). 作直线 l 0 :2x-y=0,再作一组平行于 l 0 的直线 l : 2x-y=t,t∈R. 可知,当 l 在 l 0 的右下方时,直线 l 上的点(x,y) 满足 2x-y>0,即 t>0,而且直线 l 往右平移时,t 随之增大.当直线 l 平移至 l1 的位置时,直线经过可 行域上的点 B,此时所对应的 t 最大;当 l 在 l 0 的左

y
6 5 4 3 2 1

l2 C l0: 2x-y=0 l1
x-3y+4=0

B A
1 x=1 2 3 4 5 6 3x+5y-30=0

O

x

上方时,直线 l 上的点(x,y)满足 2x-y<0,即 t <0,而且直线 l 往左平移时,t 随之减小.当直线 l 平移至 l 2 的位置时,直线经过可行域上的 点 C,此时所对应的 t 最小. x-3y+4=0,
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由 3x+5y-30=0, x=1, 由 3x+5y-30=0,

解得点 B 的坐标为(5,3) ;

解得点 C 的坐标为(1,

27 ). 5

所以, z最大值 =2×5-3=7; z最小值 =2×1-

27 17 =? . 5 5

例 3、 已知⊙M: x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点, (1)如果 | AB |?

4 2 ,求直线 MQ 的方程; 3

(2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程.

4 2 | AB | 2 2 2 2 1 ,可得 | MP |? | MA | 2 ?( ) ? 12 ? ( ) ? , 由射影 3 2 3 3 2 定理,得 | MB | ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3, 在 Rt△MOQ 中,
解:(1)由 | AB |?

| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,
故 a ? 5或a ? ? 5 , 所以直线 AB 方程是

2x ? 5 y ? 2 5 ? 0或2x ? 5 y ? 2 5 ? 0; (2)连接 MB,MQ,设 P( x, y), Q(a,0), 由
点 M,P,Q 在一直线上,得

2 y?2 ? , (*) 由射影定理得 | MB |2 ?| MP | ? | MQ |, ?a x
2 2 2 即 x ? ( y ? 2) ? a ? 4 ? 1, (**) 把(*)及(**)消去 a,

并注意到 y ? 2 ,可得 x ? ( y ? ) ?
2 2

7 4

1 ( y ? 2). 16

说明:适时应用平面几何知识,这是快速解答本题的要害所在。 例 4、已知双曲线 是

x2 y2 2 3 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距离 2 3 a b

3 . (1)求双曲线的方程; 2

(2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆上, 求 k 的值. 解:∵(1) c ? 2 3 , 原点到直线 AB: x ? y ? 1 的距离 a b a 3
-118-

d ?

ab a ?b
2 2

? 3.

ab ? c

3 . 2 .

? b ? 1, a ?

2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.

3

(2)把 y ? kx ? 5代入x ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 . 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则 x ? x2 15k 5 x0 ? 1 ? ? y 0 ? kx0 ? 5 ? , 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 y ?1 1 k BE ? 0 ?? . x0 k
2

? x0 ? ky0 ? k ? 0,


15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
故所求 k=± 7 . 说明:为了求出 k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构 k 的方程. 例 5、已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的长、短轴端点分别为 A、B,从此椭圆上一点 M 向 a2 b2 x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点 F1 ,向量 AB 与 OM 是共线向量。

(1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上任意一点, F1 、 F2 分别是左、右焦点,求∠ F1QF2 的取值范围;

(2)设

b2 b2 ,∴ k OM ? ? 。 a ac b b2 b 2 , OM与 AB 是共线向量,∴ ? ? ? ,∴b=c,故 e ? ∵ k AB ? ? 。 a ac a 2 F1Q ? r1 , F2Q ? r2 , ?F1 QF2 ? ? ,
解: (1)∵ F1 (?c,0),则x M ? ?c, y M ?

? r1 ? r2 ? 2a, F1F2 ? 2c,

r12 ? r22 ? 4c 2 (r1 ? r2 ) 2 ? 2r1r2 ? 4c 2 a 2 a2 ? ? ?1 ? ?1 ? 0 r1 ? r2 2 2r1r2 2r1r2 r1r2 ( ) 2 ? 当且仅当 r1 ? r2 时,cosθ =0,∴θ ? [0, ] 。 2 cos ? ?
说明:由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析几何 中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情景下设计问题。求解此类问题的关 键是:正确理解向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系,把有关向量的问题转化为解 析几何问题。

-119-



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