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浙江省2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:三角函数



浙江省 2017 届高三数学理一轮复习专题突破训练

三角函数
一、选择、填空题 1、(2016 年浙江省高考)设函数 f ( x) ? sin 2 x ? b sin x ? c ,则 f ( x ) 的最小正周期 A.与 b 有关,且与 c 有关 B.与 b 有关,但与 c 无关 C.与 b 无关,且与 c 无关 D.与 b 无关,但与 c 有关

2、(2016 年浙江省高考)已知 2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则 A=______,b=________. 3、(2015 年浙江省高考)函数 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? 1 的最小正周期是
2

,单调递减区

间是



4、 (嘉兴市 2016 届高三下学期教学测试(二) )已知 ? ?[0, ? ) ,函数 f ( x) ? cos 2 x ? cos( x ? ? ) 是 偶函数,则 ? ? ________, f ( x ) 的最小值为________. 5 、 ( 金 华 、 丽 水 、 衢 州 市 十 二 校 2017 届 高 三 8 月 联 考 ) 若 函 数

f

? x ??2

s2 i ?n ?

? ?x

?? ? 2 ?3 ?s?ixn? ? 2? ?

1,则 ? ? ___________,函数 ? ? 的最小正周期为 1 0 ? ?

? 1 1? f ? x ? 在区间 ? ? , ? 上的值域为____________. ? 6 4?
6、 (金华十校 2016 届高三上学期调研)将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 ? 个单位长度后所得图象 的解析式为 y ? sin( 2 x ?

? ? ? ) ,则 ? ? ___ (0 ? ? ? ) ,再将函数 y ? sin( 2 x ? ) 图象上各点的横坐 6 2 6

标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)后得到的图象的解析式为_______. 7 、(宁波市 2016 届高三上学期期末考试)已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ,其中 ? 为实数,若

? ? f ( x) ? f ( ) 对任意 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是 2 6
A . ? k? ?

( ▲ )

? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

B. ? k? , k? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

C . ? k? ? , k ? ? (k ? Z ) 6 3 ? ? ?

?

?

2? ?

D . ? k? ? , k ? ? ( k ? Z ) 2 ? ?

?

?

?

8、 (绍兴市柯桥区 2016 届高三教学质量调测 (二模) ) 已知 sin ? ? cos ? ? ( )

1 , ? ? ? 0, ? ? ,则 tan ? ? 5

A. ?

4 3

B. ?

3 4

C.

4 3

D.

3 4
▲ ;单

9、(温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟)函数 f ( x) ? sin 4 x ? cos4 x 的最小正周期是 调递增区间是 ▲

10、 (温州市 2016 届高三第二次适应性考试)函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ( ? ? 0, ? ? 如图所示,则 ? ? __________, ? ? ________.

?
2

)的图象

11、(浙江省五校 2016 届高三第二次联考)已知 3tan

?
2

? tan 2

?
2

? 1,sin ? ? 3sin ?2 ? ? ? ? ,则

tan ?? ? ? ? ? (
A.



4 3

B. ?

4 3

C. ?

2 3

D. ?3

12、(诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测)已知 ? 为钝角,且 sin ? ? cos ? ? ( ) A. ?

1 ,则 tan 2? ? 5

24 7

B.

24 7

C. ?

7 24

D.

7 24
2

13、(慈溪中学 2016 届高三高考适应性考试)函数 f ( x) ? sin 域为 .

x x x x ? cos 2 ? 2 3 sin cos 的值 2 2 2 2

14、 (杭州市学军中学2016届高三5月模拟考试) 已知函数 f ? x ? ? cos ? ? x ? 周期为 ? ,为了得到函数 g ? x ? ? cos ? x 的图象,只要将 y ? f ( x) 的图象(

? ?

??

? ?? ? 0 ? 的最小正 4?


? 个单位长度 4 ? C.向左平移 个单位长度 8
A.向左平移

B.向右平移 D.向右平移

? 个单位长度 8

? 个单位长度 4
?
3

15、(诸暨市 2016 届高三 5 月教学质量检测)函数 f ( x ) ? sin( 2 x ?

) 的周期为

,在

? ?? ? 0, ? 内的值域为 ? 2?

.

16 、 ( 杭 州 市 学 军 中 学 2016 届 高 三 5 月 模 拟 考 试 )

若 2sin ? ? cos ? ? 5 , 则

sin ??

, tan ? ? ?

? ?

??

?? 4?



二、解答题 1、(2016 年浙江省高考)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知 b+c=2a cos B. (I)证明:A=2B; (II)若△ABC 的面积 S =

a2 ,求角 A 的大小. 4

2、 (2015 年浙江省高考) 在 ? ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 A= (I)求 tan C 的值; (II)若 ? ABC 的面积为 7,求 b 的值.

? 2 2 1 2 b ?a = c . , 4 2

3、 (嘉兴市 2016 届高三下学期教学测试(二) )在 ?ABC 中,设边 a, b, c 所对的角为 A, B, C ,且

A, B, C 都不是直角, (bc ? 8)cos A ? ac cos B ? a2 ? b2 .
(1)若 b ? c ? 5 ,求 b, c 的值; (2)若 a ? 5 ,求 ?ABC 面积的最大值.

4、 (金华、丽水、衢州市十二校 2017 届高三 8 月联考)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为

a, b, c , b ?1 ? 2cos A? ? 2a cos B .
(1)证明: b ? 2c ; (2)若 a ? 1, tan A ? 2 2 ,求 ?ABC 的面积.

5、 (金华十校 2016 届高三上学期调研) 在锐角 ?ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且a ?

1 , a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C . 2

(1)求角 A 的大小; (2)求 ?ABC 周长的最大值.

6、(宁波市 2016 届高三上学期期末考试)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且

B?C 4 ? sin A ? . 2 5 (Ⅰ)若满足条件的 ?ABC 有且只有一个,求 b 的取值范围; (Ⅱ)当 ?ABC 的周长取最大值时,求 b 的值.

a ? 2 , 2 cos 2

7、 (绍兴市柯桥区 2016 届高三教学质量调测(二模) )在 ?ABC 中, 已知 AC ? 4, BC ? 5 . (1)若 ?A ? 60? ,求 cos B 的值; (2)若 cos ? A ? B ? ?

7 ,求 cos C 的值. 8

8、(温岭市 2016 届高三 5 月高考模拟)已知 a,b,c 分别为 ?ABC 三个内角 A,B,C 的对边, 满足 b cos C ? 3b sin C ? a ? c ? 0 . (Ⅰ)求角 B 的值; (Ⅱ)若 a ? 2 ,且 AC 边上的中线 BD 长为 21 ,求 ?ABC 的面积.

9、 (温州市 2016 届高三第二次适应性考试)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 5 AB ? AC ? BA ? BC , sin A ? . 3
(1)求 sin C 的值; (2)设 D 为 AC 的中点,若 ?ABC 的面积为 8 5 ,求 BD 的长.

10、(浙江省五校 2016 届高三第二次联考)如图,四边形 ABCD , ?DAB ? 60 ,
?

CD ? AD, CB ? AB 。
(Ⅰ)若 2 CB ? CD ? 2 ,求 ?ABC 的面积;

(Ⅱ)若 CB ? CD ? 3 ,求 AC 的最小值。

11、 (慈溪中学 2016 届高三高考适应性考试)锐角 ?ABC 中,三内角 A, B, C 所对三条边长分别为

a, b, c , sin( A ? ) ? cos A ? 2 cos 2 6
(1)求角 C ; (2)若 ?ABC 面积为 3 ,

?

B? A cos A ? sin( B ? A) sin A . 2

sin A ? sin B ? 2 ,求边长 c . sin C
A,B,C 的对边分别为

12、 (杭州市学军中学 2016 届高三 5 月模拟考试)在 ?ABC 中,内角

a,b,c, 已知

?

3 sin B ? cos B

??

3 sin C ? cos C ? 4cos B cos C .

?

(1)求角 A 的大小; (2)若 sin B ? p sin C ,且 ?ABC 是锐角三角形,求实数 p 的取值范围.

参考答案 一、填空、选择题 1、【答案】B

2、【答案】 2

1

【解析】 2cos2 x ? sin 2 x ? 2 sin(2 x ? 3、答案: ? , [

?
4

) ? 1 ,所以 A ? 2, b ? 1.

3? 7? ? k? , ? k? ] , k ? Z . 8 8 3? 7? 2 ? 3 ? k? , ? k? ] , 故最小正周期为 ? , 单调递减区间为 [ sin(2 x ? ) ? , 8 8 2 4 2

解析: f ( x) ?

k?Z .
4、 0, ? 7、C

9 8

5、 ? , ? ?2, 3 ?

?

?

6、

, y ? sin( x ? ) 12 6

?

?

? 9、 2
10、 2 ,

8、A

[

? 6

k ? ? k? ? , ]k(? Z ) 2 4 2
11、B 12、B 13、 [?2, 2] 14、D

15、

16、

2 ,3 5

二、解答题 1、【试题分析】(I)由正弦定理及两角和的正弦公式可得 sin ? ? sin ? ?? ?? ,再判断 ? ? ? 的取 值范围,进而可证 ? ? 2? ;(II)先由三角形的面积公式及二倍角公式可得 sin C ? cos ? ,再利用 三角形的内角和可得角 ? 的大小.

(II)由 S ?

a2 1 a2 得 ab sin C ? ,故有 4 2 4

1 sin ? sin C ? sin 2? ? sin ? cos ? , 2 因 sin ? ? 0 ,得 sin C ? cos ? .
又 ? , C ? ? 0, ? ? ,所以 C ? 当??C ? 当C?? ?

?

?
?
2

时, ? ? 时, ? ? 或? ?
2 2

?
?
2
4

2

??.

; .

2

综上, ? ?

?
2

?
4



2、 (1)由 b ? a ?

1 2 1 1 c 及正弦定理得 sin 2 B ? ? sin 2 C ,∴ ? cos 2B ? sin 2 C , 2 2 2 3? ,得 ? cos 2 B ? sin 2C ? 2sin C cos C ,解得 tan C ? 2 ; 4

又由 A ?

?
4

,即 B ? C ?

(2)由 tan C ? 2 , C ? (0, ? ) 得 sin C ?

2 5 5 , cos C ? , 5 5 3 10 , 10

又∵ sin B ? sin( A ? C) ? sin(

?
4

? C) ,∴ sin B ?

由正弦定理得 c ? 3、解: (Ⅰ) (bc ? 8) ?

? 1 2 2 b ,又∵ A ? , bc sin A ? 3 ,∴ bc ? 6 2 ,故 b ? 3 . 4 2 3
b2 ? c2 ? a 2 a2 ? c2 ? b2 ? ac ? ? a2 ? b2 2bc 2ac

b2 ? c2 ? a 2 b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? c2 ? b2 ? 8? ? ? a2 ? b2 2 2bc 2 b2 ? c2 ? a 2 ? 8 ? b2 ? c2 ? a 2 ?0, 2bc

∵△ ABC 不是直角三角形,∴ bc ? 4 ? 0

?b ? 1 ? b ? 4 故 bc ? 4 ,又∵ b ? c ? 5 ,解得 ? 或? ?c ? 4 ? c ? 1

(Ⅱ)∵ a ? 5 ,由余弦定理可得
5 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2bc ? 2bc cos A ? 8 ? 8 cos A ,所以 cos A ?

3 , 8

所以 sin A ?

1 55 55 ,所以 S ?ABC ? bc sin A ? . 2 4 8

所以△ ABC 面积的最大值是

55 3 ,当 cos A ? 时取到. 4 8

4、解: (1)∵ b ?1 ? 2cos A? ? 2a cos B ,

∴由正弦定理得 sin B ?1 ? 2cos A? ? 2sin A cos B ,

解得 cos A ?

1 2 2 ,∴ sin A ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 3 3 3 b2 ? c2 ? a 2 1 4c 2 ? c 2 ? 1 2 ,即 ? ,解得 c ? . . . . . . . . . . . . . . . . . .13 分 2 11 2bc 3 4c

由余弦定理有 cos A ?

∴ S?ABC ?

1 3 2 2 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15 分 bc sin A ? c 2 sin A ? ? ? 2 11 3 11

5、解: (1)设 ?ABC 的外接圆的半径为 R ,则 a ? b ? c ? 2 R (sin A ? sin B ? sin C ) ,

?

1 1 3 2 1 ? ? (1 ? ) sin( B ? ? ) ? ? 2 ? 3 sin( B ? ? ) , 2 4 2 2
1? 2 ? 6 1 ). ? 2 ? 3 (或 2 2

故 ?ABC 周长的最大值 6、解: 2 cos
2

B?C 4 4 1 ? sin A ? ? 1 ? cos( B ? C ) ? sin A ? 即 ? sin A ? cos A ? ? 2 5 5 5

3 ? sin A ? ? ? 5 2 2 又 0 ? A ? ? ,且 sin A ? cos A ? 1 ,有 ? ?cos A ? 4 ? 5 ?

……………………3 分

(1)若满足条件的 ?ABC 有且只有一个,则有 a ? b sin A 或 a ? b 则 b 的取值范围为 (0, 2] ? {

10 } ; ……………………7 分 3

(2)设 ?ABC 的周长为 l ,由正弦定理得

l ? a?b?c ? a? ? 2?

a (sin B ? sin C ) sin A

10 [sin B ? sin( A ? B )] 3

10 [sin B ? sin A cos B ? cos A sin B] 3 ……………………10 分 ? 2 ? 2(3sin B ? cos B) ? 2? ? 2 ? 2 10 sin( B ? ? )

? 10 ?sin ? ? ? 10 , 其中 ? 为锐角,且 ? ?cos ? ? 3 10 ? 10 ?

lmax ? 2 ? 2 10 ,当 cos B ?
此时 b ?

10 3 10 时取到.……………………12 分 ,sin B ? 10 10
……………………14 分
2 2

a sin B ? 10 . sin A
2

(注:也可利用余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A ,结合基本不等式求解) 7、

( 2 ) 如 图 , 在 线 段 BC 上 取 一 点 D , 使 得 A D?

B D , 则 ?DAB ? ?B , 故

cos ?CAD ? cos ? A ? B ? ?

7 , 8
2 2 2

在 ?CAD 中, 设 AD ? x ,则 CD ? 5 ? x .由余弦定理可知 ? 5 ? x ? ? 4 ? x ? 2 ? 4 ? x ?

7 ,解得 8

x ? 3,

22 ? 42 ? 32 11 ? . 即 AD ? 3, CD ? 2 ,所以 ?ADC 中,由余弦定理可得 cos C ? 2? 2? 4 16

8、解:(1)由已知条件得:

sin B cos C ? 3 sin B sin C ? sin A ? sin C ? 0

………………………2 分 ………………………3 分

?sin B cos C ? 3sin B sin C ? sin(B ? C) ? sin C ? 0
即 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0

? 1 ? sin C ? 0 得 3 sin B ? cos B ? 1? sin( B ? ) ? 6 2 ? 5? ) 又 B ? ? (0, 6 6
?B ?

………………………5 分

?

3 ??? ? ??? ? ??? ? (II)由已知可得: BA ? BC ? 2BD ,
平方得: BA ? BC ? 2BA? BC ? 4BD ,即

6

?

?

6

,? B ?

?

……………7 分

??? ? 2 ??? ?2

??? ? ??? ?

??? ?2

……………10 分

c 2 ? a 2 ? 2ca ?cos

?
3

? 84 ,又 a ? 2 ,? c 2 ? 2c ? 80 ? 0
………………………12 分 ………………………14 分

解得:? c ? 8 或 c ? ?2 (舍去)

S ?ABC ?

1 1 ? ac sin B ? ? 2 ? 8 ? sin ? 4 3 2 2 3

9、解: (Ⅰ)由 AB ? AC ? BA ? BC 得: AB ? ( AC ? BC) ? 0 即 ( AC ? BC) ? ( AC ? BC) ?| AC |2 ? | BC |2 ? 0

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ? | AC |?| BC | ,………………………………… 2 分 ??? ? ??? ? (也可以由数量积的几何意义得出 | AC |?| BC | )
? A ? B, A 与 B 都是锐角
2 ? cos A ? 1 ? sin 2 A ? , ………………………4 分 3

得: a ? b ? 6 ………………………………………………………………………9 分

?CD ? 3, BC ? 6
又 cos C ? cos(? ? 2 A) ? ? cos 2 A ? ?(1 ? 2sin A) ?
2

1 ……………………11 分 9

△ BCD 中,由余弦定理得:

1 BD2 ? CD2 ? BC 2 ? 2CD ? BC cos C ? 32 ? 62 ? 2 ? 3 ? 6 ? ? 41 9

? BD ? 41 ……………………………………………………………………14 分

10、(Ⅰ)∵ A, B, C , D 四点共圆,∴ ?DCB ? 120

0

BD2 ? BC 2 ? CD2 ? 2CD? CB cos1200 ? 7 ,即 BD ? 7
所以 AC ?

BD 2 21 5 3 2 2 ? ,故 AB ? AC ? BC ? 0 sin 60 3 3
7分

S?ABC ?

1 5 3 AB?BC ? 2 6

(Ⅱ)设 BC ? x ? 0, CD ? y ? 0 ,则 x ? y ? 3

BD 2 ? x 2 ? y 2 ? xy ? ? x ? y ? ? xy
2

? ? x ? y? ?
2

1 27 3 3 2 ? x ? y ? ? ? BD ? 4 4 2

∴ AC ?

BD 2 ? BD ? 3 0 sin 60 3
3 时取到。 2
15 分

当 BC ? CD ?

11、解: (1) sin( A ? ∴ sin( A ? ∴ sin( A ? ∴ sin( A ?

?

?
?
6

6

) ? cos A ? [1 ? cos( B ? A)]cos A ? sin( B ? A) sin A

) ? cos( B ? A) cos A ? sin( B ? A) sin A ) ? cos B

?

6

) ? cos B ? sin( ? B) 6 2

?

(2) ?ABC 面积为 3 ,所以 由余弦定理: c ? a ? b ? ab
2 2 2

1 ? ab sin ? 3 ,∴ ab ? 4 2 3



sin A ? sin B ? 2 ? a ? b ? 2c ? a 2 ? 2ab ? b2 ? 4c 2 sin C
2 2 2 2 2

所以 a ? 2ab ? b ? 4(a ? b ? ab) ? (a ? b) ? 0 ,∴ a ? b ? 2 所以 ?ABC 是正三角形,边长 c ? 2 . 12、解: (1)由题意得 3sin B sin C ? cos B cos C ? 3 sin B cos C ? 3 cos B sin C ? 4cos B cos C

?

?
6

?C ?

?
2

? tan C

3 1 ,? ? p ? 2 . 3 2



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