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2006年全国高中数学联赛试题及参考答案



中学生 数学

年 ! 月上

第!

期‘ 高 中#

年 全 国 高 中 数 学 联 赛 试 题 及 参 考 答 案


!
才)


一称

,


分 每小题

/>+
,

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〔 、 ‘ ’

1

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填空题% 本 题满 分 : 9
二 %

分 每 小题
Γ5 ,

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,

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,

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, ,

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:

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5

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1

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,

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%) &

&

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,

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Ο


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,

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,

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Γ&1

则实数

6

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/


%. & 答 案 不 确 定


围为


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,

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,



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,



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,

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,


,

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Ο Ο ,
‘ ,

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,

0

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,

6

,

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% &
&

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,

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、 ,

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,

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9

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,

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,





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、 ‘

,


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,

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,

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,

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,

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, ,

,

现 往 容器

= (
,


)
<

,


,


里注 水 使 水 面恰 好 浸 没 所 有 铁 球 则 需 要 注
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一 =




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,

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&
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,

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.

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,

则 线段
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!

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!

,

,

Δ 指 &
! 〔
,

,



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,

,

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,

9

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!

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&

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、0 Ν

分 每小 题
,

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&

,





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,

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:

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6
,

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,

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,

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,

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% &

7

,

6

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0


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,

表 示成
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二二
,

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<

,



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,

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,

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,

,

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,

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,

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,

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,

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学 竞赛
#二 一 0
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中学 生数学

,

年 ! 月上
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,

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,

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,

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,

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9

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参考答案

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,

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,
,

,

为 坐标 原
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,
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,



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,

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,

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,



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,

由此 推 出

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从 而 有 #( .

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,

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7 &

,

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,

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。 0

,

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,

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,

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,

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,

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,

从 而得 ( 解得 的取值 范 围为 二 2 且 冬


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中学生 数学

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,



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,


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,

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,





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,









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,

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,

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,

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,

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,

<

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,

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& &
、 、

因 此 原 方程 的实 数解 个 数

于 尸 点 设 直线 则匕(

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&
,

,

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【 解】 第
,

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次恰 好取 完所 有红 球 的概
&
‘ 、 、

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)





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& ,


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Ι

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,

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一‘ ‘ 、


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,

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又 由 圆 幂定 理 /0 而
4


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,







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,

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>

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,



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,

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从 而 有 /0 4 代人
,

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,

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,


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<

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.

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,

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&
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,


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, ,

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,

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,
。 胡 一 ,
,

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,

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电子 信 箱

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中学 生数 学

# #Υ 年 &月上

& 期7 第: : 高中 /

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7
,

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,

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+
,

+


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,





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,

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Μ

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,

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,

>

,

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Μ
,

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>



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,



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Μ

+

3

,

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,

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,

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,

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,

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,



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,



5





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,

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/
+
>

+

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,

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,



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,

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5

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了 丈
&


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, ‘

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Μ

7! . .
Μ

+



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了 了
,

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Μ

镇一

Μ

,



,

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,



,

3
Ρ .
,



,

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,

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由归



7Λ 一: 一

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5





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一 纳法 推出「 一 %



,

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,

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5

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%或 5 Ο5




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Ψ Ψ
,

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。。

,

广 7 。.
+ %

,

则对 于 任
+ ’

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,

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. 十 工: 二 。 + 了: Ε Ρ +
,




+

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& 5


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,

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,

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5

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二: 二β





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5
,
,

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,


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5

,


,

:

,

二:

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对 于任意

+ &
,

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.

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,

时 取 到最 大 值 矛 盾 所 以 必有 / 二 一 舌 / 镇
,

&

一 一 5一


,

十 。一 7

,



% 7 Λ 镇Ρ 7 . “( # & 7.

因此 当 二 一( #

%

,



5





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一二 一石
,





.



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取到最 大值 当
,

一告


二2


,

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+

5

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+



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。,

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,

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,


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、。 一


]
,

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( #

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,

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,

,

,

,

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,

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Μ

Μ

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5 ,

Μ。+

&
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又以



二万

.



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,

,

,

,



户 一 一丁 盯
Μ



三 种情 形满 足要求 而后 面 两 种 情 形 是 在 第 一 组 情 形 下 作 “

,




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Μ

, ,



、 7
’ +

, 一二 一 & ’ 一

,



,

% +
,

调整 下得 到的 根据上
,

. + 一奋

一+ 一
诺Ζ
+

口 #

一 小题 的证 明可 以 知道 每调 整一次 和 式
禽 娜 壑
& 簇


,

且 χ Ω



7! . Ψ
) %

因此
,


,

二、

,

变 大 所 以在







5





5

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综 合 %& %(

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.

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电 子信 箱

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1 9

1 3



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