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四川省资阳市乐至中学2016届高三上学期入学数学试题(理科)



2015-2016 学年四川省资阳市乐至中学高三 (上) 入学数学试卷 (理 科)
一、选择题(60 分) 1.已知全集为 R,集合 A.{x|x≤0} ,则 A∩?RB=( )

B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4}
x

2.函数 f(x)=(x﹣3)e 的单

调递增区间是( ) A. (﹣∞,2) B. (0,3) C. (1,4) D. (2,+∞) 3.命题“?x∈[ A.?x∈[ C.?x∈[ ,π],sinx﹣cosx>2”的否定是( )

,π],sinx﹣cosx<2B.?x∈[ ,π],sinx﹣cosx≤2 D.?x∈[

,π],sinx﹣cosx≤2 ,π],sinx﹣cosx<2

4.已知 f(x+1)的定义域为(﹣1,2) ,则函数 y=f(2x﹣1)的定义域为( A. B. (﹣1,2) C. D.[﹣1,2]



5.下列各组函数中,表示同一个函数的是( A.y= C.y= 与 y=x+1 B.y=1 与 y=x ﹣1 与 y=x﹣1
2 0



D.y=x 与 y=logaa (a>0 且 a≠1)

x

6.已知命题“?x∈R,x +2ax+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣1) B. (1,+∞) C. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D. (﹣1,1) 7.在△ ABC 中,“ ”是“△ ABC 是钝角三角形”的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若函数 f(x)=3ax+1﹣2a 在区间(﹣1,1)上存在一个零点,则 a 的取值范围是( A. B. 或 a<﹣1 C. D.a<﹣1 )

9.函数 f(x)=log2(1﹣x)的图象为(



A.

B.

C.

D. 10.定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足对任意的 x1,x2∈(0,+∞) (x1≠x2) ,有(x2﹣x1) (f(x2)﹣f(x1) )>0,则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 的取值范围是( A. ( , ) B.[ , ) C. ( , ) D.[ , ) )

11.已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+2)=2f(x) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=﹣|x|+1,则 当 x∈(0,10]时,y=f(x)与 g(x)=log4x 的图象的交点个数为( A.11 B.10 C.9 D.8 )

12.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)=2f(x) ,当 x∈[0,2)时,f(x)

=

,若 x∈[﹣4,﹣2)时,f(x)≥

恒成立,则实数 t

的取值范围是( ) A.[﹣2,0)∪(0,1) B.[﹣2,0)∪[1,+∞) C.[﹣2,1] D. (﹣∞,﹣2]∪(0, 1]

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.y=x+ 在点 处的切线的方程是 .

14.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +1.若 f(a)=3,则实数 a 的值为 .

x

15.已知函数 f(x)= =f(c) ,则 a+b+c 的取值范围是 .

,若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)

16.如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)+x2f 2 x (x2)>x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数①y=x ;②y=e +1; ③y=2x﹣sinx;④ 为 . .以上函数是“H 函数”的所有序号

三、解答题(70 分) 2 17. (10 分) (2015 秋?乐至县校级月考)已知不等式 x ﹣5x+4≤0 成立的充分不必要条件是﹣ 1≤x+2m≤1,求实数 m 的取值范围. 18. (12 分) (2015 秋?乐至县校级月考)已知命题 p:函数 y=(a﹣1) 在 R 上单调递增;命 2 题 q:不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对任意的实数 x 恒成立,若 p∨q 为真,p∧q 为假, 求实数 a 的取值范围. 19. (12 分) (2014 春?黄梅县校级期中)设函数 f(x)=x ﹣x ﹣3. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)﹣m 在[﹣1,2]上有三个零点,求实数 m 的取值范围. 20. (12 分) (2015 秋?乐至县校级月考)已知函数 f(x)=4x+ +b(a,b∈R)为奇函数. (Ⅰ)若 f(1)=5,求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 a=﹣2 时,对任意 x∈[1,4]上,函数 y=f(x)的图象在函数 y=t 的图象的下方,求 实数 t 的范围. 21. (12 分) (2015?天津模拟)已知函数 f(x)= x ﹣
3 3 2 x

x ,g(x)= ﹣mx,m 是实数.

2

(Ⅰ)若 f(x)在 x=1 处取得极大值,求 m 的值; (Ⅱ)若 f(x)在区间(2,+∞)为增函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,函数 h(x)=f(x)﹣g(x)有三个零点,求 m 的取值范围. 22. (12 分) (2015 春?泰安校级期中)已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=1, 若 m,n∈[﹣1,1],m+n≠0 时,有 >0.

(Ⅰ)证明 f(x)在[﹣1,1]上是增函数; 2 (Ⅱ)解不等式 f(x ﹣1)+f(3﹣3x)<0 2 (Ⅲ)若 f(x)≤t ﹣2at+1 对?x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数 t 的取值范围.

2015-2016 学年四川省资阳市乐至中学高三(上)入学数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(60 分) 1.已知全集为 R,集合 ,则 A∩?RB=( )

A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4} C.{x|0≤x<2 或 x>4} D.{x|0<x≤2 或 x≥4} 考点: 其他不等式的解法;交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题;不等式的解法及应用. 分析: 利用指数函数的性质可求得集合 A,通过解一元二次不等式可求得集合 B,从而可求 得 A∩CRB.
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解答: 解:∵ ∴x≥0, ∴A={x|x≥0};

≤1=



又 x ﹣6x+8≤0?(x﹣2) (x﹣4)≤0, ∴2≤x≤4. ∴B={x|2≤x≤4}, ∴?RB={x|x<2 或 x>4}, ∴A∩?RB={x|0≤x<2 或 x>4}, 故选 C. 点评: 本题考查指数函数的性质与元二次不等式,考查交、并、补集的混合运算,属于中档 题. 2.函数 f(x)=(x﹣3)e 的单调递增区间是( ) A. (﹣∞,2) B. (0,3) C. (1,4) D. (2,+∞) 考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 若求解函数 f(x)的单调递增区间,利用导数研究函数的单调性的性质,对 f(x)求 导,令 f′(x)>0,解出 x 的取值区间,要考虑 f(x)的定义域.
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2

x

解答: 解:f′(x)=(x﹣3)′e +(x﹣3) (e )′=(x﹣2)e ,求 f(x)的单调递增区间,令 f′(x)>0,解得 x>2,故选 D. 点评: 本题主要考查利用导数研究函数的单调性的这一性质,值得注意的是,要在定义域内 求解单调区间. 3.命题“?x∈[ A.?x∈[ ,π],sinx﹣cosx>2”的否定是(

x

x

x



,π],sinx﹣cosx<2B.?x∈[

,π],sinx﹣cosx≤2

C.?x∈[

,π],sinx﹣cosx≤2 D.?x∈[
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,π],sinx﹣cosx<2

考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论. 解答: 解:特称命题的否定是全称命题, ∴命题“?x∈[ ,π],sinx﹣cosx>2”的否定是?x∈[ ,π],sinx﹣cosx≤2,

故选 C. 点评: 本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础. 4.已知 f(x+1)的定义域为(﹣1,2) ,则函数 y=f(2x﹣1)的定义域为( A. B. (﹣1,2)
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C.

D.[﹣1,2]

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由已知 f(x+1)的定义域求出函数 f(x)的定义域,从而求出函数 y=f(2x﹣1)的定 义域. 解答: 解:∵函数 f(x+1)的定义域为(﹣1,2) , ∴﹣1<x<2,即 0<x+1<3. ∴函数 f(2x﹣1)应满足 0<2x﹣1<3, ∴ <x<2. ∴函数 y=f(2x﹣1)的定义域为: ( ,2) . 故选:A. 点评: 本题考查了求函数定义域的问题,解题时要弄清函数 f(x+1) 、函数 y=f(x) 与 y=f(2x ﹣1)的定义域的关系,是基础题. 5.下列各组函数中,表示同一个函数的是( A.y= C.y= 与 y=x+1 B.y=1 与 y=x ﹣1 与 y=x﹣1
0



D.y=x 与 y=logaa (a>0 且 a≠1)
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x

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可. 解答: 解:①y= =x+1,函数 g(x)的定义域为{x|x≠1},所以两个函数的定义域不

同,所以两个函数不是同一个函数. 0 ②函数 y=x =1,函数 g(x)的定义域为{x|x≠0},函数 g(x)的定义域为{x|x≠1}. ③y= ﹣1=|x|﹣1,两个函数的对应法则不相同,所以两个函数的不能表示同一个函数.

④y=logaa =x, (a>0 且 a≠1) ,两个函数的定义域相同,对应法则相同,所以两个函数表示同 一个函数. 故选 D. 点评: 本题主要考查两个函数是否为同一函数,利用函数的定义域和对应法则是否相同是解 决本题的关键,比较基础. 6.已知命题“?x∈R,x +2ax+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A. (﹣∞,﹣1) B. (1,+∞) C. (﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) D. (﹣1,1) 考点: 命题的真假判断与应用;特称命题. 专题: 计算题. 2 2 分析: 由命题“?x∈R,x +2ax+1<0”是真命题,知△ =(2a) ﹣4>0,由此能求出实数 a 的取 值范围.
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x

2

解答: 解:∵命题“?x∈R,x +2ax+1<0”是真命题, 2 ∴△=(2a) ﹣4>0, 解得 a<﹣1,或 a>1, 故选 C. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 7.在△ ABC 中,“ ”是“△ ABC 是钝角三角形”的(

2



A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 由

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”可得“△ ABC 是钝角三角形”,而“△ ABC 是钝角三角形”推不出角 A 为

钝角,由充要条件的定义可得答案. 解答: 解:由题意可知若“ ”则必有角 A 为钝角,可得“△ ABC 是钝角三角形”,

而“△ ABC 是钝角三角形”不一定角 A 为钝角,可能角 B 或 C 为钝角,故推不出角 A 为钝角, 故可得“ ”是“△ ABC 是钝角三角形”的充分不必要条件,

故选 A 点评: 本题考查充要条件的判断,涉及三角形形状的判断和向量的数量积问题,属基础题. 8.若函数 f(x)=3ax+1﹣2a 在区间(﹣1,1)上存在一个零点,则 a 的取值范围是( A. B.
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或 a<﹣1

C.

D.a<﹣1

考点: 函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由于函数 f(x)=3ax+1﹣2a 在区间(﹣1,1)上存在一个零点,利用一次函数的单调 性可得:f(﹣1)f(1)<0,解得即可. 解答: 解:∵函数 f(x)=3ax+1﹣2a 在区间(﹣1,1)上存在一个零点, ∴f(﹣1)f(1)<0,即(﹣3a+1﹣2a) (3a+1﹣2a)<0,化为(5a﹣1) (a+1)>0.

解得 a

或 a<﹣1. 或 a<﹣1.

∴a 的取值范围是:a

故选:B. 点评: 本题考查了一次函数的单调性和函数零点的判定定理,属于中档题. 9.函数 f(x)=log2(1﹣x)的图象为( )

A.

B.

C.

D. 考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题中函数知,当 x=0 时,y=0,图象过原点,又依据对数函数的性质知,此函数是减 函数,根据此两点可得答案. 解答: 解:观察四个图的不同发现,A、C 图中的图象过原点, 而当 x=0 时,y=0,故排除 B、D;剩下 A 和 C. 又由函数的单调性知,原函数是减函数,排除 C. 故选 A. 点评: 本题考查对数函数的图象与性质,对于选择题,排除法是一种找出正确选项的很好的 方式
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10.定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足对任意的 x1,x2∈(0,+∞) (x1≠x2) ,有(x2﹣x1) (f(x2)﹣f(x1) )>0,则满足 f(2x﹣1)<f( )的 x 的取值范围是( A. ( , ) B.[ , ) C. ( , ) D.[ , ) 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据已知条件,由单调递增函数的定义便得到函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,
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所以由 f(2x﹣1)<f( )得:2x﹣1

,解不等式即得 x 的取值范围.

解答: 解:由(x2﹣x1) (f(x2)﹣f(x1) )>0,知:x2﹣x1 与 f(x2)﹣f(x1)同号; ∴函数 f(x)在(0,+∞)上为增函数;

∴解原不等式得:

,解得



∴x 的取值范围是



故:C. 点评: 考查单调递增函数的定义,并且不要忘了限制 2x﹣1 在函数 f(x)的定义域内. 11.已知函数 y=f(x) (x∈R)满足 f(x+2)=2f(x) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=﹣|x|+1,则 当 x∈(0,10]时,y=f(x)与 g(x)=log4x 的图象的交点个数为( ) A.11 B.10 C.9 D.8 考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用条件作出函数 y=f(x)与 g(x)=log4x 的图象,利用图象得到函数的交点个数即 可. 解答: 解:∵y=f(x) (x∈R)满足 f(x+2)=2f(x) ,且 x∈[﹣1,1]时,f(x)=﹣|x|+1,
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∴(x)=



分别作出函数 y=f(x)与 g(x)=log4x 的图象如图: 由图象可知 y=f(x)与 g(x)=log4x 的图象的交点个数为 9 个. 故选:C.

点评: 本题主要考查函数图象的交点个数问题,利用条件求出函数 f(x)的表达式,然后利 用数形结合是解决本题的关键.

12.定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(x+2)=2f(x) ,当 x∈[0,2)时,f(x)

=

,若 x∈[﹣4,﹣2)时,f(x)≥

恒成立,则实数 t

的取值范围是( ) A.[﹣2,0)∪(0,1) B.[﹣2,0)∪[1,+∞) C.[﹣2,1] D. (﹣∞,﹣2]∪(0, 1] 考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用.
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分析: 由 x∈[﹣4,﹣2]时,

恒成立,则

不大于 x∈[﹣4,﹣2]时 f(x)

的最小值,根据 f(x)满足 f(x+2)=2f(x) ,当 x∈[0,2)时, ,求出 x∈[﹣4,﹣2]时 f(x)的最小值,构 造分式不等式,解不等式可得答案. 解答: 解:当 x∈[0,1)时,f(x)=x ﹣x∈[﹣ ,0] 当 x∈[1,2)时,f(x)=﹣(0.5)
|x﹣1.5| 2

∈[﹣1,

]

∴当 x∈[0,2)时,f(x)的最小值为﹣1 又∵函数 f(x)满足 f(x+2)=2f(x) , 当 x∈[﹣2,0)时,f(x)的最小值为﹣ 当 x∈[﹣4,﹣2)时,f(x)的最小值为﹣ 若 x∈[﹣4,﹣2)时, ∴ 即 即 4t(t+2) (t﹣1)≤0 且 t≠0 解得:t∈(﹣∞,﹣2]∪(0,l] 故选 D 点评: 本题考查的知识点是函数恒成立问题,函数的最值,分式不等式的解法,高次不等式 的解法,是函数、不等式的综合应用,难度较大. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.y=x+ 在点 处的切线的方程是 3x﹣4y﹣4=0 . 恒成立,

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.

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专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 先求曲线 y=x+ 的导数,因为函数在切点处的导数就是切线的斜率,求出斜率,再用 点斜式写出切线方程,再化简即可. 解答: 解:y=x+ 的导数为 y′=1﹣ ∴曲线 y=x+ 在点 ,

处的切线斜率为 ,

切线方程是 y﹣ = (x﹣2) , 化简得,3x﹣4y﹣4=0 故答案为 3x﹣4y﹣4=0. 点评: 本题主要考查了函数的导数与切线斜率的关系,属于导数的应用. 14.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=2 +1.若 f(a)=3,则实数 a 的值为 ﹣1 或 1 . 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数是偶函数,将 a 的值转化为已知函数上,然后进行求值即可.
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x

解答: 解:若 a≥0,则由 f(a)=3,得 2 +1=3,2 =2,解得 a=1 成立. ﹣a ﹣a 若 a<0,则由 f(a)=3,得 f(﹣a)=3,即 2 +1=3,2 =2,得﹣a=1.即 a=﹣1. 故答案为:1 或﹣1. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,利用条件进行转化即可,注意对参数 a 要进行讨论, 防止漏解.

a

a

15.已知函数 f(x)= =f(c) ,则 a+b+c 的取值范围是 (2,2014) . 考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用.
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,若 a,b,c 互不相等,且 f(a)=f(b)

分析: 当 0≤x<1 时,f(x)=﹣4(x﹣ ) +1,可得 f(x)∈[0,1].当 x>1 时,f(x)=log2013x >0.在同一坐标系内画出函数的图象.利用二次函数的单调性和对数函数的单调性即可得出 解答: 解:当 0≤x<1 时,f(x)=﹣4(x﹣ ) +1,可得 f(x)∈[0,1]. 当 x>1 时,f(x)=log2013x>0. 在同一坐标系内画出函数的图象:
2

2

不妨假设 a<b<c, 由二次函数的对称性可得 a+b=1. 由 0<log2013c<1,解得 1<c<2013, ∴2<a+b+c<2014. ∴a+b+c 的取值范围是(2,2014) . 故答案为: (2,2014) . 点评: 本题考查了二次函数的单调性和对数函数的单调性、数形结合的思想方法,属于难题. 16.如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)+x2f 2 x (x2)>x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数①y=x ;②y=e +1; ③y=2x﹣sinx; ④ . 以上函数是“H 函数”的所有序号为 ②③ .

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用.

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分析: 不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)] >0,即满足条件的函数为单调递增函数,判断函数的单调性即可得到结论. 解答: 解:∵对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f (x1)恒成立, ∴不等式等价为(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0 恒成立, 即函数 f(x)是定义在 R 上的增函数. 2 ①函数 y=x 在定义域上不单调.不满足条件. x ②y=e +1 为增函数,满足条件. ③y=2x﹣sinx,y′=2﹣cosx>0,函数单调递增,满足条件. ④f(x)= .当 x>0 时,函数单调递增,当 x<0 时,函数单调递减,不

满足条件. 综上满足“H 函数”的函数为②③, 故答案为:②③. 点评: 本题主要考查函数单调性的应用,将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关 键. 三、解答题(70 分)

17. (10 分) (2015 秋?乐至县校级月考)已知不等式 x ﹣5x+4≤0 成立的充分不必要条件是﹣ 1≤x+2m≤1,求实数 m 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 求出不等式的等价条件,结合充分不必要条件建立不等式关系即可得到结论.
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2

解答: 解:由 x ﹣5x+4≤0 得 1≤x≤4, 由﹣1≤x+2m≤1 得﹣1﹣2m≤x≤1﹣2m, 2 若不等式 x ﹣5x+4≤0 成立的充分不必要条件是﹣1≤x+2m≤1, 则 ,即 ,即﹣ ≤m≤﹣1.

2

点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据不等式的关系建立不等式是解决本题 的关键. 18. (12 分) (2015 秋?乐至县校级月考)已知命题 p:函数 y=(a﹣1) 在 R 上单调递增;命 2 题 q:不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对任意的实数 x 恒成立,若 p∨q 为真,p∧q 为假, 求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 分别求出 p,q 成立的等价条件,利用 p∨q 为真,p∧q 为假,确定实数 a 的取值范围
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x

解答: 解:若函数函数 y=(a﹣1) 在 R 上单调递增,根据指数函数的单调性可知 a﹣1>1, 即 p:a>2. 若不等式(a﹣2)x +2(a﹣2)x﹣4<0 对任意实数 x 恒成立, 当 a=2 时,不等式等价为﹣4<0,成立. 当 a≠0 时,要使不等式恒成立,则 综上:﹣2<a≤2,即 q:﹣2<a≤2, 若 p∨q 为真,p∧q 为假, 则 p,q 一真一假, 若 p 假 q 真,则 ,解得﹣2<a≤2. ,解得﹣2<a<2,
2

x

若 p 真 q 假,则

,解得 a>2.

综上:实数 a 的取值范围是(﹣2,+∞) . 点评: 本题主要考查复合命题与简单命题之间的真假关系,先求出命题 p,q 成立的等价条件 是解决本题的关键. 19. (12 分) (2014 春?黄梅县校级期中)设函数 f(x)=x ﹣x ﹣3. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若函数 y=f(x)﹣m 在[﹣1,2]上有三个零点,求实数 m 的取值范围.
3 2

考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)求导数 f′(x) ,在定义域内解不等式 f′(x)>0,f′(x)<0 可求; 3 2 2 (2)令 h(x)=f(x)﹣m,则 h(x)=x ﹣x ﹣3﹣m,h′(x)=3x ﹣2x=x(3x﹣2) ,由(1) 可知 h(x)的单调性,求得 h(x)的极值,由题意可得极值、端点处函数值的符号,解不等 式即可;
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解答: 解: (1)由 f(x)=x ﹣x ﹣3,得 f′(x)=3x ﹣2x=3x(x﹣ ) , 当 f′(x)>0 时,解得 x<0 或 x> ;当 f′(x)<0 时,解得 0<x< . 故函数 f(x)的单调递增区间是(﹣∞,0) , (
3 2

3

2

2

) ;单调递减区间是(0, ) .

(2)令 h(x)=f(x)﹣m,则 h(x)=x ﹣x ﹣3﹣m, 2 ∴h′(x)=3x ﹣2x=x(3x﹣2) , 由(1)知,当函数 h(x)在(﹣∞,0)上单调递增,在(0, )上单调递减,在( 上单调递增. ∴函数 h (x) 在 x=0 处取得极大值 h (0) =﹣3﹣m, 在 x= 处取得极小值 由函数 y=f(x)﹣m 在[﹣1,2]上有三个零点, , )

则有:

,解得﹣

<m<﹣3,

故实数 a 的取值范围是(

,﹣3) .

点评: 该题考查利用导数研究函数的单调性、极值、函数的零点,考查不等式的求解,考查 学生综合运用知识解决问题的能力. 20. (12 分) (2015 秋?乐至县校级月考)已知函数 f(x)=4x+ +b(a,b∈R)为奇函数. (Ⅰ)若 f(1)=5,求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 a=﹣2 时,对任意 x∈[1,4]上,函数 y=f(x)的图象在函数 y=t 的图象的下方,求 实数 t 的范围. 考点: 函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法;函数单调性的判断与证明. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)利用奇函数的定义求出 b,利用 f(1)=5,求出 a,即可求函数 f(x)的解析 式;
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(Ⅱ)当 a=﹣2 时,f(x)=4x﹣ ,x∈[1,4],函数单调递增,求出函数的最大值,即可求实 数 t 的范围. 解答: 解: (Ⅰ)∵函数 f(x)=4x+ +b(a,b∈R)为奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) ,即﹣4x﹣ +b=﹣4x﹣ ﹣b, ∴b=0, ∵f(1)=5, ∴4+a=5, ∴a=1, ∴f(x)=4x+ ; (Ⅱ)当 a=﹣2 时,f(x)=4x﹣ ,x∈[1,4],函数单调递增, ∴f(x)∈[2, ],

∵对任意 x∈[1,4]上,函数 y=f(x)的图象在函数 y=t 的图象的下方, ∴t> .

点评: 本题考查函数的解析式,考查函数的奇偶性、单调性,确定函数的解析式是关键.
3 2

21. (12 分) (2015?天津模拟)已知函数 f(x)= x ﹣

x ,g(x)= ﹣mx,m 是实数.

(Ⅰ)若 f(x)在 x=1 处取得极大值,求 m 的值; (Ⅱ)若 f(x)在区间(2,+∞)为增函数,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,函数 h(x)=f(x)﹣g(x)有三个零点,求 m 的取值范围. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求出函数的导数,由 f′(1)=0,解出即可; 2 (Ⅱ)由 f′(x)=x ﹣(m+1)x,得 f′(x)=x(x﹣m﹣1)≥0 在区间(2,+∞)恒成立,即 m≤x﹣1 恒成立,由 x>2,得 m≤1, (Ⅲ)先求出 h′(x)=(x﹣1) (x﹣m)=0,分别得 m=1 时,m<1 时的情况,进而求出 m 的范围.
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解答: 解: (Ⅰ)f′(x)=x ﹣(m+1)x, 由 f(x)在 x=1 处取到极大值,得 f′(1)=1﹣(m+1)=0, ∴m=0, (符合题意) ; 2 (Ⅱ)f′(x)=x ﹣(m+1)x, ∵f(x)在区间(2,+∞)为增函数, ∴f′x)=x(x﹣m﹣1)≥0 在区间(2,+∞)恒成立, ∴x﹣m﹣1≥0 恒成立,即 m≤x﹣1 恒成立, 由 x>2,得 m≤1, ∴m 的范围是(﹣∞,1].

2

(Ⅲ)h(x)=f(x)﹣g(x)= x ﹣

3

x +mx﹣ ,

2

∴h′(x)=(x﹣1) (x﹣m)=0,解得:x=m,x=1, 2 m=1 时,h′(x)=(x﹣1) ≥0,h(x)在 R 上是增函数,不合题意, m<1 时,令 h′x)>0,解得:x<m,x>1,令 h′(x)<0,解得:m<x<1, ∴h(x)在(﹣∞,m) , (1,+∞)递增,在(m,1)递减, ∴h(x)极大值=h(m)=﹣ m + m ﹣ ,h(x)极小值=h(1)= 要使 f(x)﹣g(x)有 3 个零点,
3 2





,解得:m<1﹣



∴m 的范围是(﹣∞,1﹣ ) . 点评: 本题考查了函数的单调性,函数的极值问题,考查导数的应用,参数的范围,是一道 综合题. 22. (12 分) (2015 春?泰安校级期中)已知 f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且 f(1)=1, 若 m,n∈[﹣1,1],m+n≠0 时,有 (Ⅰ)证明 f(x)在[﹣1,1]上是增函数; (Ⅱ)解不等式 f(x ﹣1)+f(3﹣3x)<0 2 (Ⅲ)若 f(x)≤t ﹣2at+1 对?x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]恒成立,求实数 t 的取值范围. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)任取﹣1≤x1<x2≤1,则 ,由
2

>0.

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已知 性的定义可作出判断;

,可比较 f(x1)与 f(x2)的大小,由单调

(Ⅱ)利用函数的奇偶性可把不等式化为 f(x ﹣1)<f(3x﹣3) ,在由单调性得 x ﹣1<3x ﹣3,还要考虑定义域; 2 2 (Ⅲ)要使 f(x)≤t ﹣2at+1 对?x∈[﹣1,1]恒成立,只要 f(x)max≤t ﹣2at+1,由 f(x)在[﹣ 1,1]上是增函数易求 f(x)max,再利用关于 a 的一次函数性质可得不等式组,保证对 a∈[﹣1, 1]恒成立; 解答: 解: (Ⅰ)任取﹣1≤x1<x2≤1, 则 ,

2

2

∵﹣1≤x1<x2≤1,∴x1+(﹣x2)≠0, 由已知 ,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2) , ∴f(x)在[﹣1,1]上是增函数; (Ⅱ)∵f(x)是定义在[﹣1,1]上的奇函数,且在[﹣1,1]上是增函数, ∴不等式化为 f(x ﹣1)<f(3x﹣3) ,
2



,解得



(Ⅲ)由(Ⅰ)知 f(x)在[﹣1,1]上是增函数, ∴f(x)在[﹣1,1]上的最大值为 f(1)=1, 2 2 2 要使 f(x)≤t ﹣2at+1 对?x∈[﹣1,1]恒成立,只要 t ﹣2at+1≥1?t ﹣2at≥0, 2 设 g(a)=t ﹣2at,对?a∈[﹣1,1],g(a)≥0 恒成立, ∴ ,

∴t≥2 或 t≤﹣2 或 t=0. 点评: 本题考查抽象函数的单调性、奇偶性,考查抽象不等式的求解,可从恒成立问题,考 查转化思想,考查学生灵活运用知识解决问题的能力.



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