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【2014必备】北京中国人民大学附中高考数学综合能力题选讲:第27讲 建构不等关系的应用性问题(含详解)


数学高考综合能力题选讲 27

建构不等关系的应用性问题
题型预测
不等式应用题,多以函数面目出现,以最优化的形式展现,解答这一类问题,不仅需要 不等式的相关知识(不等式的性质、解不等式、均值不等式等),而且往往涉及函数、数列、 几何等多方面知识,综合性强,难度可大可小,是高考和各地模拟题的命题热点.

范例选讲 例 1. 某商场经过市场调查分析后得知,2003 年从年初开始的前 n 个月内, 对 某 种 商 品 需 求 的 累 计 数 f (n) ( 万 件 ) 近 似 地 满 足 下 列 关 系 :
1 n(n ? 2)(18 ? n) , n ? 1 ,2 , 3 , ?, 12 90 (Ⅰ)问这一年内,哪几个月需求量超过 1.3 万件? (Ⅱ)若在全年销售中,将该产品都在每月初等量投放市场,为了保证该商 品全年不脱销,每月初至少要投放多少件商品?(精确到件) f ( n) ?

? f ?1? , n ? 1 ? 讲解:(Ⅰ)首先,第 n 个月的月需求量= ? ? f ? n ? ? f ? n ? 1? , 2 ? n ? 12 ?
∵ f ( n) ? ∴
1 n(n ? 2)(18 ? n) , 90 17 f ?1? ? ? 1.3 . 30

当 n ? 2 时, f (n ? 1) ? ∴

1 (n ? 1)(n ? 1)(19 ? n) 90 1 f (n )? f n ? 1 ) ( ? ? (n2 3 n ? 5 1 9 ) ? 3 90

令 f (n) ? f (n ?1) ? 1.3 ,即 ? 3n 2 ? 35n ? 19 ? 117 ,解得:

14 ? n ? 7, 3

∵ n∈N, ∴n = 5 ,6 即这一年的 5、6 两个月的需求量超过 1.3 万件. (Ⅱ) 设每月初等量投放商品 a 万件, 要使商品不脱销, 对于第 n 个月来说, 不仅有本月投放市场的 a 万件商品,还有前几个月未销售完的商品.所以,需且 只需: na ? f (n) ? 0 , ∴ a ? f (n) ? (n ? 2)(18 ? n)
n 90

又∵ (n ? 2)(18 ? n) ? 1 [ (n ? 2) ? (18 ? n) ]2 ? 10
90 90 2 9

∴ a ? 10
9

即每月初至少要投放 11112 件商品,才能保证全年不脱销. 点评:实际问题的解答要注意其实际意义.本题中 a 的最小值,不能用四舍 五入的方法得到,否则,不符合题意. 例 2.已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表,若用甲、 乙、丙三种食物各 x 千克,y 千克,z 千克配成 100 千克混合食物,并使混合食 物内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B. 甲 乙 丙 维生素 A(单位/千克) 维生素 B(单位/千克) 600 800 700 400 9 400 500 4

成本(元/千克) 11 (Ⅰ)用 x,y 表示混合食物成本 c 元; (Ⅱ)确定 x,y,z 的值,使成本最低.

讲解: (Ⅰ) 由题, ? 11x ? 9 y ? 4 z , x ? y ? z ? 100 , 又 所以, ? 400 ? 7 x ? 5 y . c c
400 z 56000 ? ?600 x ?700 y ? (Ⅱ)由 ? 500 z 63000 ? ?800 x ?400 y ? ?4 x ? 6 y ? 320 , 及z ? 100 ? x ? y 得, ? , ?3x ? y ? 130

所以, 7 x ? 5 y ? 450. 所以, c ? 400 ? 7 x ? 5 y ? 400 ? 450 ? 850,
?4 x ? 6 y ? 320 ? x ? 50 , 即? 当且仅当 ? 时等号成立. ?3x ? y ? 130 ? y ? 20

所以,当 x=50 千克,y=20 千克,z=30 千克时,混合物成本最低,为 850 元. 点评: 本题为线性规划问题, 用解析几何 的观点看,问题的解实际上是由四条直线所
?x ? 0 ?y ? 0 ? 围 成 的 区 域 ? 上 使 得 4x ? y ? 3 2 0 6 ? ?3 x ? y ? 1 3 0 ?

y 3x-y=130

M 4x+6y=320 x

c ? 400 ? 7 x ? 5 y 最大的点.不难发现,应在

点 M(50,20)处取得. 例 3.一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度 a 成正比,与它

的厚度 d 的平方成正比,与它的长度 l 的平方成反比. (Ⅰ) 将此枕木翻转 90° (即宽度变为了厚度) , 枕木的安全负荷变大吗?为什么? (Ⅱ) 现有一根横断面为半圆 (半圆的半径为 R) 的木材, 用它来截取成长方体形的枕木, 木材长度即 d 为枕木规定的长度,问如何截取,可使安全负荷最 大?
2

l

a

讲解:(Ⅰ)由题可设安全负荷 y1 ? k ? ad (k 为正常数),则翻转 90? 后, 2
l

安全负荷 y2 ? k ? da . 2
l

2

因为

y1 d ? ,所以,当 0 ? d ? a 时, y1 ? y2 .安全负荷变大; y2 a

当 0 ? a ? d 时, y1 ? y2 ,安全负荷变小.
?a? 2 (2) 如图, 设截取的枕木宽为 a, 高为 d, ? ? ? d 2 ? R 2 , a2 ? 4d2 ? 4R . 则 即 ? 2?
2

∵ 枕木长度不变,∴u=ad2 最大时,安全负荷最大 ∴ u ? d 2 a2 ? d 2 4R2 ? 4d 2 ? 2 d 4 ? R2 ? d 2 ?
? d2 d2 ? + + ? R2 ? d 2 ? ? 2 2 ? d d 2 ?4 ? ? ? R2 ? d 2 ? ? 4 ? 2 ? 2 2 3 ? ? ? ? ? ? ? 4 3R 3 9
2
3
3
3

2 当且仅当 d ? R 2 ? d 2 ,即取 d ? 6 R , a ? 2 R 2 ? d 2 ? 2 3 R 时,u 最大, 即

安全负荷最大. 例 4.现有流量均为 300 m2 / s 的两条河流 A、B 会合于某处后,不断混合, 它们的含沙量分别为 2 kg / m3 和 0.2 kg / m3 . 假设从汇合处开始, 沿岸设有若干个 观测点, 两股水流在流经相邻两个观测点的过程中,其混合效果相当于两股水流 在 1 秒钟内交换 100 m3 的水量,即从 A 股流入 B 股 100 m3 水,经混合后,又从 B 股流入 A 股 100 m3 水并混合.问:从第几个观测点开始,两股河水的含沙量 之差小于 0.01 kg / m3 (不考虑泥沙沉淀)?

讲解:本题的不等关系为“两股河水的含沙量之差小于 0.01 kg / m3 ”.但直 接建构这样的不等关系较为困难.为表达方便,我们分别用 an , bn 来表示河水在 流经第 n 个观测点时,A 水流和 B 水流的含沙量. 则 a1 =2 kg / m3 , b1 =0.2 kg / m3 ,且
bn ?1 ? 100an ? 300bn 1 100bn ?1 ? 200an 1 3 2 ? an ? bn , an ?1 ? = bn ?1 ? an .(*) 4 3 ?100 ? 300 ? 4 ?100 ? 200 ? 3

由于题目中的问题是针对两股河水的含沙量之差,所以,我们不妨直接考虑 数列 ?an ? bn ? . 由(*)可得:
2 ? 2 2? 3 ?? 1 ?1 ?1 an ?1 ? bn ?1 ? ? bn ?1 ? an ? ? bn ?1 ? ? an ? bn ?1 ? ? ? an ? ? an ? bn ? ? ? ? an ? bn ? 3 ? 3 3? 4 ?? 2 ?3 ?4

所以,数列 ?an ? bn ? 是以 a1 ? b1 ? 1.8 为首项,以
?1? 所以, an ? bn ? 1.8 ? ? ? ? 2?
n ?1

1 为公比的等比数列. 2


n?1

?1? 由题,令 an ? bn < 0.01,得 ? ? ? 2?

?

1 lg180 .所以, n ? 1 ? ? log 2 180 . 180 lg 2

由 27 ? 180 ? 28 得 7 ? log 2 180 ? 8 ,所以, n ? 8 . 即从第 9 个观测点开始,两股水流的含沙量之差小于 0.01 kg / m3 . 点评:本题为数列、不等式型综合应用问题,难点在于对题意的理解.


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