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2015东城区高三一模数学(文)试题及答案(word版)


北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(一) 高三数学 (文科)
本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题
目要求的一项)

共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题

(1)在复平面内,复数 z ? 1 ? 2i 对应的点的坐标为 (A) (1, 2) (C) (1, ? 2) (B) (2 ,1) (D) (2 , ?1)

(2)双曲线

x2 ? y 2 ? 1的渐近线方程为 4
1 x 2
(B) y ? ? 3x (D) y ? ? 5x

(A) y ? ?

(C) y ? ?2 x

(3)记函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,若 f ( x ) 对应的曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为

y ? ? x ? 1 ,则
(A) f ?( x0 )=2 (C) f ?( x0 ) ? 0 (B) f ?( x0 )=1 (D) f ?( x0 )= ?1

(4)已知命题 p :直线 a , b 不相交,命题 q :直线 a , b 为异面直线,则 p 是 q 的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(5)在区间 [0, 2] 上随机取一个实数 x ,则事件“ 3x ? 1 ? 0 ”发生的 概率为 (A)

1 2 1 4

(B)

1 3 1 6

(C)

(D)

1

(6)执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 4 , 则图中判断框内①处应填

(A) 2 (C) 4 (7)设集合 D ? ?( x, y ) ?

(B) 3 (D) 5

? ? ? ?

? x ? y ? 1, ? ? ? ,则下列命题中正确的是 ? x ? y ? 1.? ?
(B)?( x , y) ? D ,x ? 2 y ? ?2 (D) ?( x , y) ? D , y ? ?1

(A) ?( x , y) ? D , x ? 2 y ? 0 (C) ?( x , y) ? D , x ? 2

(8)某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A , B 两种菜可供选择.调查资料 表明, 凡是在星期一选 A 种菜的学生, 下星期一会有 20% 改选 B 种菜; 而选 B 种菜的学生, 下星期一会有 30% 改选 A 种菜. 用 an , bn 分别表示在第 n 个星期的星期一选 A 种菜和选 B 种菜的学生人数,若 a1 ? 300 ,则 an +1 与 an 的关系可以表示为 (A) an ?1 ? (C) an ?1 ?

1 an ? 150 2 1 an ? 300 5

(B) an ?1 ?

1 an ? 200 3 2 an ? 180 5

(D) an ?1 ?

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

共 110 分)

(9)已知集合 A ? ?1? , B ? ??1, 2m ?1 ? ,若 A ? B ,则实数 m 的值为
?



x? ( 10 )将函数 f ( x) ? sin( 2
为 .

? ? ) 的图象向右平移 个单位后所得图象对应的解析式 3 6

(11)在矩形 ABCD 中, AB ? (1 , ? 3) , AC ? (k , ? 2) ,则实数 k ?



( 12 )已知函数 f ( x ) 的对应关系如下表所示 , 数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an?1 ? f (an ) , 则

a4 ? a2015 ?

, .

x

1

2

3

2

f ( x)

3

2

1

( 13 )函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) .当 x ?[0 , 1] 时,

f ( x) ? 2 x .若在区间 [ ?2 , 3 ] 上方程 ax+2a ? f ( x) ? 0 恰有四个不相等的实数根,
则实数 a 的取值范围是________. (14) C 是曲线 y ? 1 ? x 2 (?1 ? x ? 0) 上一点, CD 垂直于 y 轴, D 是垂足,点 A 的坐 标是 .设 ?CAO ? ? (其中 O 表示原点),将 AC ? CD 表示成关于 ? 的函数 (? 1, 0)

f (? ) ,则 f (? ) =

, f (? ) 的最大值为



三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15) (本小题共 13 分) 下面的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分). 甲组 乙组

9

0
1 2

9 5
4
y

x
7
(Ⅰ)求 x , y 的值;

2 4

8

已知甲组数据的中位数为 13 ,乙组数据的平均数是 16.8 .

(Ⅱ)从成绩不低于 10 分且不超过 20 分的学生中任意抽取 3 名,求恰有 2 名学生在乙 组的概率.

(16) (本小题共 13 分) 在△ ABC 中, sin A ? 3 cos A ? 2 . (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)现给出三个条件:① a ? 2 ; ② B ? 45 ;③ c ? 3b . 试从中选出两个可以确定△ ABC 的条件,写出你的选择并以此为依据求△ ABC 的面 积 (只需写出一个选定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) .

3

(17) (本小题共 14 分) 如 图 甲 , ⊙ O 的 直 径 AB ? 2 , 圆 上 两 点 C , D 在 直 径 AB 的 两 侧 , 且

?CBA

? ?DAB ?

? 3 .沿直径 AB 将半圆 ACB 所在平面折起,使两

个半圆所在的平面互相垂直 (如图乙) .F 为 BC 的中点,E 为 AO 的 中点. (Ⅰ)求证 : CB ? DE ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? BOD 的体积; (Ⅲ)在劣弧 BD 上是否存在一点 G ,使得 FG ∥平面 ACD ?若存 在,试确定点 G 的位置; 若不存在,请说明理由.
图乙

(18) (本小题共 14 分) 已知 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 2 x ? (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调递减区间;

b ? ln x 的一个极值点. x

(Ⅲ)设函数 g ( x ) ? f ( x ) ?
切?请说明理由.

3 (2 , 5) ,试问过点 可作多少条直线与曲线 y ? g ( x ) 相 x

(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 ,F2 ,离心率为 ,M 2 2 a b

为椭圆上任意一点且△ MF1F2 的周长等于 6 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)以 M 为圆心, MF 1 为半径作圆 M ,当圆 M 与直线 l :x ? 4 有公共点时,求 △ MF 1F 2 面积的最大值.
4

(20) (本小题共 13 分) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 5 , 7a2 ? 4a4 , 数 列 ?bn ? 前 n 项 和 为 Sn , 且

(n ? N?) . Sn ? 2(bn ?1)
(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 cn ? ?

? an , n为奇数, 求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn ; ?bn , n为偶数,

(Ⅲ) 把数列 ?an ? 和 ?bn ? 的公共项从小到大排成新数列 ?dn ? ,试写出 d1 ,d2 , 并证明 ?dn ? 为等比数列.

5

6

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8

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