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概率论分布列期望方差习题及答案



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离散型随机变量的分布列、期望、方差专题

姓名:__________班级:__________学号:__________
1.红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘,已知甲胜 A,乙胜 B,丙 胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。

(Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率; (Ⅱ)用 ? 表示红队队员获胜的总盘数,求 ? 的分布列和数学期望 E? .

1 2. 已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为 , 某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽 3

实验,每次实验种一粒种子,假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的,如果种子没有发芽,则称该次实验是失 败的. (1) 第一小组做了三次实验,求实验成功的平均次数; (2) 第二小组连续进行实验,求实验首次成功时所需的实验次数的期望; (3)两个小组分别进行 2 次试验,求至少有 2 次实验成功的概率.

第1页 共5页

3.一种电脑屏幕保护画面,只有符号“○”和“×”随机地反复出现,每秒钟变化一次,每次变化只出现“○”和“×”之一,其 中 出 现 “○” 的 概 率 为 p , 出 现 “×” 的 概 率 为 q . 若 第 k 次 出 现 “○” , 则 a S n =a 1 +a 2 +…+a n (n ? N ? ) . (1)当 p ? q ?
k

=1 ; 出 现 “×” , 则 a

k

= ?1 . 令

1 2 1 时,求 S 6 ? 2 的概率;(2)当 p ? , q ? 时,求 S 8 =2 且 S i ≥0(i=1,2,3,4)的概率. 2 3 3

A2 、 A3 三个问题,答对各个问题所获奖金(单位:元)对 4.在一个有奖问答的电视节目中,参赛选手顺序回答 A1 、
应如下表:

A1 1000

A2 2000

A3 3000

当一个问题回答正确后,选手可选择继续回答下一个问题,也可选择放弃.若选择放弃,选手将获得答对问题的累计

A2 、 A3 的概 奖金,答题结束;若有任何一个问题回答错误,则全部奖金归零,答题结束.设一名选手能正确回答 A1 、
率分别为 影响. (Ⅰ)按照答题规则,求该选手 A1 回答正确但所得奖金为零的概率; (Ⅱ)设该选手所获奖金总数为 ? ,求 ? 的分布列与数学期望.

4 2 1 1 、 、 ,正确回答一个问题后,选择继续回答下一个问题的概率均为 ,且各个 问题回答正确与否互不 5 3 4 2

第2页 共5页

5.某装置由两套系统 M,N 组成,只要有一套系统工作正常,该 装置就可以正常工作。每套系统都由三种电子模块 T1,T2,T3 组成(如图所示已知 T1,T2,T3 正常工作的概率都是 系统或每一种电子模块而言,只要有电流通过就能正常工作.) ,且 T1,T2,T3 能否正常工作相互独立.(注:对每一套

(I )分别求系统 M,N 正常工作的概率 ;
(II)设该装 I 中两套系统正常工作的套数为 , 求 的分布列和期望.

6.

抛一枚 均匀的骰 子(骰子 的六面分 别有数字 1、2 、 3、 4、5 、6)来 构造数 列
n (当第n次出现奇数时 ) , 记? ai ? a1 ? a n ?? ? a n . (当第n次出现偶数时 ) i ?1
2 7

?1 {a n }, 使a n ? ? ?? 1
7

(1)求

? ai ? 3 的概率; (2)若 ? ai ? 0, 求? ai ? 3 的概率.
i ?1 i ?1 i ?1

第3页 共5页

7.在进行一项掷骰子放球的游戏中规定:若掷出 1 点或 2 点,则在甲盒中放一球;否则,在乙盒中放一球。现在前后 一共掷了 4 次骰子,设 x 、 y 分别表示甲、乙盒子中球的个数。 (Ⅰ)求 1 ? y ? x ? 3 的概率; (Ⅱ)若 ? ? x ? y , 求随机变量 ? 的分布列和数学期望。

8.现有若干个大小相同的小球,其中 m 个小球上标有数字 1,3 个小球上标有数字 3,2 个小球上标有数字 5,现摇 出 2 个小球,规定所得奖金(元)为这 2 个小球上的数字之和. (1)若 m=4,求此次摇奖获得奖金为 6 元的概率; 2 (2)若此次摇奖获得奖金为 8 元的概率是 ,求 m; 15 (3)在(2)的条件下,列出此次摇奖获得奖金数额 X 的分布列,并求 X 的均值.

第4页 共5页

9.在一种智力有奖竞猜游戏中,每个参加者可以回答两个问题(题 1 和题 2) ,且对两个问题可以按自己选择的顺序 进行作答,但是只有答对了第一个问题之后才能回答第二个问题 。假设:答对题 i ( i ? 1,2 ) ,就得到奖金 ai 元,且答 ....................... 对题 i 的概率为 pi ( i ? 1,2 ) ,并且两次作答不会相互影响. (I)当 a1 ? 200 元, p1 ? 0.6 ,a2 ? 100 元, p2 ? 0.8 时,某人选择先回答题 1,设获得奖金为 ? ,求 ? 的分布列和 E? ; (II)若 a1 ? 2a2 , p1 ? p2 ? 1 ,试问:选择先回答哪个问题时可能得到的奖金更多?

10.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数 ? 的分布列如下图所示,商场经销一件该商品,采 用 1 期付款,其利润为 200 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 250 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 300 元. ? 表 示经销一件该商品的利润. (Ⅰ)求事件 A: “购买该商品的 3 位顾客中,至少有 1 位采用 1 期付款”的概率 P(A); (Ⅱ)求? 的分布列及期望 E?.

第5页 共5页

▍参考答案或解析(仅供参考) 1、2011 年山东省普通高等学校招生统一考试理科数学 ID=95002

4 1 2 1 P(? ? 3 0 0 ? 0 ) ? ? ? (? 1 5 2 3 2

2 ? ) 15 ,

4 1 2 1 1 1 P(? ? 6 0 0 ? 0) ? ? ? ? ? 5 2 3 2 4 , 30 2 2 1 13 P(? ? 0 )? 1 ? ( ? ? )? 5 15 30 , 30

? 的分布列为:

?
所以 ? 的分布列 为

P

0 13 30
E? ? 0 ?

1000 2 5

3000 2 15

6000 1 30

?
P

0 0.1

1 0.35

2 0.4

3 0.15



13 2 2 1 ? 1000 ? ? 3000 ? ? 6000 ? 30 5 15 30

? 0 ? 400 ? 400 ? 200 ? 1000 (元) . ???????????12 分
5、2011 届河北省邯郸市高三第二次模拟考试理科数学卷 ID=84777
2 p? T , T , T 3 ,且 T1 , T2 , T3 能否正常工作相互独立. 解: (Ⅰ)? 1 2 3 正常工作的概率都是 p( M ) ? 1 ? (1 ? p) 2 ? p ?

数学期望 E? =0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0. 15=1.6.

2、2010 年三峡高中高二下学期期末考试(理科)数学卷 ID=53450 1 (1) E? ? 3 ? ? 1 (次) 3
(2) E? ? 3(次)
4 1 (3) P ( A) ? 1 ? ( ) ? 2 ? C 2

? 系统 M 正常工作的概率为

?

?

16 27 , -----------------3 分

2 3

1 2 2 2 11 ? ?( ) ? 3 3 3 27

p( N ) ? 1 ? (1 ? p)(1 ? p 2 ) ?
系统 N 正常工作的概率为

3、湖北省黄冈中学 2009 届高三 2 月月考数学试题 ID=16522 49 80 (Ⅰ) (Ⅱ) 2187 64 4、2011 届云南省昆明市高三 5 月适应性检测理科数学试题 ID=89416
解: (Ⅰ) 记“

22 27 .

----------------6 分

(Ⅱ)该装置中两套系统正常工作的套数为 ? ,显然 ? =0,1,2.

p(? ? 0) ? (1 ?

16 22 55 )(1 ? ) ? 27 27 729 ,

A1 回答正确 A2 回答错误”为事件 A ; A A A A “ 1 、 2 回答正确 3 回答错误”为事件 B ; “ 1 回答正确但所得奖金
p(? ? 1) ? 4 1 2 4 1 2 1 ? ( ?1 ? ) ? ? ? ? ( 1 ? 5 2 3 5 2 3 2 1 ) ? 4 2 1 7 ? ? ? 1 5 .1 0 ???? 30 6分

为零”为事件 C ,事件 A 、 B 互斥,则

16 22 22 16 322 ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) ? 27 27 27 27 729 , 16 22 352 ? ? 27 27 729 .

P(C ) ? P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

?

p(? ? 2) ?

-----------------10 分

(Ⅱ) ? 的取值分别为 0 、 1000 、 3000 、 6000 ,

所以 ? 的分布列为

4 P(? ? 1 0 0 ? 0) ? 5

1 2 ? (1 ?) 2 5 ,

?
p

0

1

2

55 729

322 729

352 729

当 p1 ? 2 ? 1 时, p12 ? 2 p1 ? 1 ? 0 , E?1 ? E? 2 ,先答题 1 或题 2 可能得到的奖金一样多;

E? ?

1026 38 ? 729 27 .

-----------------12 分

当 0 ? p1 ? 2 ? 1 时, p12 ? 2 p1 ? 1 ? 0 , E?1 ? E? 2 ,先答题 2 可能得到的奖金更多

6、广州增城中学 2010 届高三综合测试数学(理科)试卷 ID=3077 21 11 . (Ⅰ) P ( A) ? (Ⅱ) P ? 128 128 7、2011 届广西省桂林中学高三高考模拟考试理数 ID=94397
解:依题意知,掷一次骰子,球被放入甲盒、乙盒的概率分别为

10、2007 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷(山西)ID=53731
(Ⅰ) P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 0.216 ? 0.784 ; (Ⅱ)Eη =200×0.4+250×0.4+300×0.2 =240(元).

1 2 , . …………2 分 3 3

(Ⅰ)若 1 ? y ? x ? 3, 则只能有 x ? 1, y ? 3, 即在 4 次掷骰子中,有 1 次在甲盒中放球,有 3 次在乙盒中放球,因

1 ? 2? 32 此所求概率 P ? C ? ? ? ? ? . ????5 分 3 ? 3? 81
1 4

3

(Ⅱ)由于 ? ? x ? y , 所以 ? 的可能取值有 0,2,4????6 分

24 40 2? 1? ? 2? 1 ? 1 ?? 2 ? 3? 1? ? 2? P ? ? ? 0 ? ? C4 ? 3 ? ? 3 ? ? 81 , P ?? ? 2? ? C4 ? 3 ?? 3 ? ? C4 ? 3 ? ? 3 ? ? 81 , ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 17 ?1? 4?1? P ? ? ? 4 ? ? C ? ? ? C4 ? ? ? 81 ? 3? ? 3?
0 4 4 4

2

2

3

3

????9 分

所以随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

2

4

24 81

40 81

17 81

故随机变量 ? 的数学期望为 E? ? 0 ?

24 40 17 148 ? 2? ? 4? ? . ????12 分 81 81 81 81

8、20102011 学年浙江省嘉兴市学年第一学期期末检测高二理科数学 ID=88854


9、2011 届浙江省杭州市萧山九中高三寒假作业数学卷三 ID=73365
(1) 分布列:

?
P
E? ? 0 ? 0.4 ? 200 ? 0.12 ? 300 ? 0.48 ? 168

0 0.4

200 0.12

300 0.48

(2) 当 2 ? 1 ? p1 ? 1 时, p12 ? 2 p1 ? 1 ? 0 , E?1 ? E? 2 ,先答题 1 可能得到的奖金更高;…12 分



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