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高中高考数学:函数的定义域的求法



一. 自然函数的定义域:即使得解析式有意义的自变量 x 的取值范围,最终要写成集合或区间的状态! 注意以下几点: (1)分式的分母不得为零; (2) 0 没有意义; (3)偶次方根的被开方数不小于零; (4)对数函数的真数必须大于零; (5)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于 1; (6)三角函数中的正切函数 y = tan x 中的 x ≠ kπ + π ,k ∈ Z ; 2 三角函数中的余切函数 y = cot x 中的 x ≠ kπ , k ∈ Z ;
0

函数定义域的求法

例 1:求下列函数的定义域:⑴ y = 解: (1) y =
x 2 ? 2 x ? 15 x +3 ?3

x 2 ? 2 x ? 15 x +3 ?3



⑵y=

1 1 1+ x ?1

+ (2 x ? 1)0 + 4 ? x 2

中满足

2 ? ? x ? 2 x ? 15 ≥ 0 ? ? ?x+3 ?3≠ 0

,解得: x ≤ ?3 ,或 x ≥ 5 ,且 x ≠ ?6 ;

故原函数的定义域为 (?∞,?6) ∪ (?6,?3] ∪ [5,+∞) . (或写成{x | x ≤ ?3 ,或 x ≥ 5 ,且 x ≠ ?6 } ) (2) y =
1 1+ 1 x ?1 + (2 x ? 1)0 + 4 ? x 2

中满足

?x ? 1 ≠ 0 ? 1 ? ≠0 ?1 + ? x ?1 ?2 x ? 1 ≠ 0 ? 2 ? ?4 ? x ≥ 0

,解得: ? 2 ≤ x ≤ 2 ,且 x ≠ 0, 1 ,1 ; 2

1 1 故原函数的定义域为 [?2,0) ∪ (0, 1 ) ∪ ( ,1) ∪ (1,2] . (或写成 {x | ? 2 ≤ x ≤ 2 ,且 x ≠ 0, ,1 } ) 2 2 2

例 2:求下列函数的定义域: (1) f ( x) = 解: (1)
x?2 f ( x) = + lg 4 ? x x?3

x?2 + lg 4 ? x x?3

; (2) f ( x) = log

1 2 ( ? x + 4 x ? 3)
2

中满足

?x ? 2 ≥ 0 ? ?x ? 3 ≠ 0 ?4 ? x > 0 ?

,解得: 2 ≤ x < 4 ,且 x ≠ 3

故原函数的定义域为 [2,3) ∪ (3,4) . (或写成{x | 2 ≤ x < 4 ,且 x ≠ 3 } ) (2)
1 f ( x) = 2 log 2 ( ? x + 4 x ? 3)

中满足

2 ? ?? x + 4 x ? 3 > 0 ? 2 ? ?? x + 4 x ? 3 ≠ 1

,解得:1 < x < 3 ,且 x ≠ 2

故原函数的定义域为 (1,2) ∪ (2,3) . (或写成{x | 1 < x < 3 ,且 x ≠ 2 } )
---1---

例 3:求下列函数的定义域: (1) f ( x) = 解: (1) f ( x) =
25 ? x + lg cos x
2

25 ? x 2 + lg cos x

1 + cot x ; (2) y = 1 ? lg(2 sin x + 1) ? tan x

中要满足:

?25 ? x 2 ≥ 0 ? ?cos x > 0

, (通过画数轴以及二者的对称性,可得)

π π π 3π 解得: ? 5 ≤ x < ? 32 ,或? < x < ,或 < x ≤5; 2 2 2 π π π 3π 故原函数的定义域为 [?5,? 32 ) ∪ ( ? , ) ∪ ( ,5] . 2 2 2 3π π π 3π (或写成 {x | ? 5 ≤ x < ? ,或? < x < ,或 < x ≤ 5 }) 2 2 2 2
? x ≠ kπ ? ? x ≠ kπ + π 2 ? ? ? π ? x ≠ kπ + 4 ? ?sin x > ? 1 ? 2 ?

1 + cot x (2) y = 1 ? lg(2 sin x + 1) 中要满足: ? tan x

, (通过画单位圆及三角函数线可得)

7π π π 解得: ? π + 2kπ < x < + 2kπ ,且 x ≠ kπ ,且 x ≠ 2kπ + ,且 x ≠ 2kπ + , k ∈ Z 6 6 4 2 7π π π 故定义域为{x | ? π + 2kπ < x < + 2kπ ,且 x ≠ kπ ,且 x ≠ 2kπ + ,且 x ≠ 2kπ + , k ∈ Z } 6 6 4 2 注 1:此处已是最佳形式! 注 2:例 1 现在的高一能看懂,例 2 期中考试后的高一能看懂,例 3 高一下学期的期中考试后能看懂! 另有其它的例子,详情请参考三角函数的定义域求法!此不赘述!

---2---

二.复合函数的定义域(或称抽象函数的定义域) 需知以下两点: 1. y = f ( g ( x )) 为复合函数,其中 u = g ( x ) 为内层函数, y = f (u ) 为外层函数,自变量是 x . 2. f ( g ( x )) 与 f ( h( x )) 因其外层函数相同,故两个内层函数的值域也要相同,都包含于外层函数的定义域! 注:此理论虽有瑕疵,但是够用了! 例 1:设函数 f ( x) 的定义域为 (0,1] , (1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)求函数 f ( x ? 2) 的定义域. 解:函数 f ( x) 的定义域为 (0,1] ,可得: f ( x) 中 0 < x ≤ 1 ;
2

(1)故 f ( x ) 中 0 < x ≤ 1 ,解得: ? 1 ≤ x < 0 ,或 0 < x ≤ 1 ,故 f ( x ) 的定义域为 [?1,0) ∪ (0,1]. (2)故 f ( x ? 2) 中 0 < x ? 2 ≤ 1 ,解得: 4 < x ≤ 9 ,故 f ( x ? 2) 的定义域为 (4,9].
2 2 2

例 2:若函数 f ( x + 1) 的定义域为 [?2, 3) ,(1)求函数 f (2 x ? 1) 的定义域; (2)求函数 f ( 1 + 2) 的定义域. x 解:函数 f ( x + 1) 的定义域为 [?2, 3) ,可得 f ( x + 1) 中 ? 2 ≤ x < 3 ,进而得到: f ( x + 1) 中 ? 1 ≤ x + 1 < 4 ;
5 (1)故 f (2 x ? 1) 中 ? 1 ≤ 2 x ? 1 < 4 ,解得: 0 ≤ x < 5 ,故 f (2 x ? 1) 的定义域为 [0, ) . 2 2 1 1 1 1 1 1 (2)故 f ( 1 + 2) 中 ? 1 ≤ + 2 < 4 ,解得: x ≤ ? ,或 x > ,故 f ( + 2) 的定义域为 (?∞,? ] ∪ ( ,+∞). x 3 2 3 2 x x

例 3: (1)已知函数 f ( x) 的定义域为 [0,4] ,求函数 g ( x) = f ( x + 1) + f ( x ) 的定义域. +x x 1 (2)函数 f ( x) =ln 1 ,求函数 g ( x) = f ( ) + f ( ) 的定义域. 1? x 2 x
2

0 ≤ x +1≤ 4 解: (1) g ( x) = f ( x + 1) + f ( x ) 中满足 ? ,解得: ? 1 ≤ x ≤ 2 , ? 0≤ x ≤4
2

?

2

故 g ( x) = f ( x + 1) + f ( x ) 的定义域为 [?1,2]. +x (2)易得函数 f ( x) =ln 1 的定义域为 (?1,1) , 1? x
2

x 1 故函数 g ( x) = f ( 2 ) + f ( ) 中满足 x

? ?1 < ? ? ? ?? 1 < ? ?

x <1 2 1 <1 x

,解得: ? 2 < x < ?1 ,或1 < x < 2 ;

x 1 故函数 g ( x) = f ( 2 ) + f ( ) 的定义域为 (?2,?1) ∪ (1,2). x 注:仅举以上几例,作抛砖引玉之用,此不赘述!
---3---



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