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河南省南阳市2015-2016学年高二数学下学期期中质量评估试题 理(扫描版)



1

2

3

4

一.选择题: DBADD 二.填空题:13.

2016 春期中考试高二数学理科参考答案 ADCBD DC

2 2 2 14. f(k+ 1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) 3
16.

15. a< ?1 或 a>0 三。解答题: 17.解: (1) z ?

2i (1 ? i ) ? i (1 ? i ) ? ?1 ? i . (1 ? i )(1 ? i )
2

………………………4 分 ……………………………5 分

所以 z ? ?1 ? i (2)把 z ? ?1 ? i 代入 z ? az ? b ? 1 ? i , 即 ?1 ? i ? a ? ?1 ? i ? ? b ? 1 ? i ,
2

得 ? ?a ? b ? 2? ? ai ? 1 ? i .

……………………………8 分

?a ? ?1 ? ?a ? b ? 2 ? 1 ,解得 ? . ?a ? ?1 ?b ? ?2 所以实数 a , b 的值分别为 ?1 , ?2 .
所以 ?
3 2

……………………………10 分

18. 解: (1)∵f(x)=ax +bx 的图象经过点 M( 1,4) ,∴a+b=4①式 f'(x)=3ax +2bx,则 f'(1)=3a+2b…(3 分) 由条件 由①②式解得 a=1,b=3 (2)f(x)=x +3x ,f'(x)=3x +6x, 令 f'(x)=3x +6x≥0 得 x≥0 或 x≤﹣2, ∵函数 f(x)在区间[ m ,m+1]上单 调递增 ∴[m,m+1]? (﹣∝,﹣2]∪[0,+∝) ∴m≥0 或 m+1≤﹣2 ∴m≥0 或 m≤﹣3 ……………………………12 分
2 3 2 2 2

②式 ……………………………6 分

19 解: (1) 分



…………………4

(2)由(1)得

类似的



………6 分

5





……………………………9 分 ∴

…12 分

20. 解:若存在常数 得 ,

使等式成立,则将

代入上式,有

即有 证明如下:

对于一切

成立

………4 分

(1) 当 时 , 左 边 = …………………………5 分 (2)假设

, 右 边 =

, 所 以 等 式 成 立

时等式成立,

即 当 时,

=

=

=

6

= 也就是说,当 综 上 立。 所

= 时,等式成立, 述 , 可 知

……………………11 分

等 式 对 任 ……………………12 分







21. 解:(1)存在 x1 , x2 ? [0, 2] ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? M 成立 等价于: [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? M , 考察 g ( x) ? x ? x ? 3 , g '( x) ? 3 x 2 ? 2 x ? 3 x( x ? ) ,
3 2

…………3 分

2 3

x
g '( x)

0

2 (0, ) 3

2 3

2 ( , 2] 3

2

0
?3

?
递减

0
极(最)小值 ? 85
27

?
递增

g ( x)

1

2 85 由上表可知: g ( x) min ? g ( ) ? ? , g ( x) max ? g (2) ? 1 , 3 27 112 , [ g ( x1 ) ? g ( x2 )]max ? g ( x) max ? g ( x) min ? 27 所以满足条件的最大整数 M ? 4 ;

…………6 分

1 a ? x ln x ? 1 恒成立 2 x 等价于 a ? x ? x 2 ln x 恒成立,
(2) 当 x ? [ , 2] 时, f ( x) ? 记 h( x) ? x ? x ln x ,所以 a ? hmax ( x )
2

…………8 分

h '( x) ? 1 ? 2 x ln x ? x ,

h '(1) ? 0 .

记 h '( x) ? (1 ? x) ? 2 ln x , x ? [ ,1) , 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0 即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 [ ,1) 上递增,
2

1 2

1 2

记 h '( x) ? (1 ? x) ? 2 ln x , x ? (1, 2] , 1 ? x ? 0, x ln x ? 0, h '( x) ? 0 即函数 h( x) ? x ? x ln x 在区间 (1, 2] 上递减,
2

…………10 分

x ? 1, h( x) 取到极大值也是最大值 h(1) ? 1
所以 a ? 1 …………12 分

22. 解: (1)

,定义域为


7





上是增函数.

.……………………… ……4 分

(2) 因为 因为若 即 当 ②当 的解; ③当 即方程 因为 所以方程 当 时, ; , 有两不等正根. 时, 有正根. 开口向上的抛物线, 时,明显成立 . 时, 开口向下的抛物线, 总有 存在单调递减区间,所以 有 的解 有正数解.

,解得 综合①②③知: .

. ……………………………8 分

(3) (法一)根据(1)的结论,当

时,

,即





,则有





, . ……………………………12 分

8

(法二)当

时,





,即

时命题成立.

设当

时,命题成立,即



时,



根据(1)的结论,当

时,

,即





,则有



则有

,即

时命题也成立.

因此,由数学归纳法可知不等式成立. ……………………………12 分

9



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