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20010年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(福建.理)含详解



2010 年高考试题——数学(理) (福建卷)解析 解析(一)
第 I 卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题。每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1. 计算sin43 cos13 -sin13 cos 43 的值等于( )

A.

1 2

B.

3 3

C.

2 2

D.

3 2

【答案】A 【解析】原式= sin (43 -13 )= sin 30 =

1 ,故选 A。 2

【命题意图】 本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数, 考查基础 知识,属保分题。 2.以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为(
2

) D. x +y -2x=0
2 2

A. x +y +2x=0

2

2

B. x +y +x=0

2

2

C. x +y -x=0

2

2

【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0) ,即所求圆的圆心,又圆过原点,所以 圆的半径为 r=1,故所求圆的方程为 (x-1) +y =1 ,即 x -2x+y =0 ,选 D。 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法,属基础题。 3. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 S n 取最小值时,n 等于 A.6 【答案】A B.7 C.8 D.9
2 2 2 2

【解析】设该数列的公差为 d ,则 a4 ? a6 ? 2 a1 ? 8 d ? 2 ? ( ?11) ? 8 ,解得 d ? ?6

d ? 2,
所以 Sn ? ?11n ?

n(n ? 1) ? 2 ? n2 ? 12n ? (n ? 6) 2 ? 36 ,所以当 n ? 6 时, S n 取最小 2

值。 【命题意图】 本题考查等差数列的通项公式以及前 n 项和公式的应用, 考查二次函数最 值的求法及计算能力。

f x)= ? 4.函数 (
A.0 【答案】C

? x 2 +2x-3,x ? 0 ?-2+ ln x,x>0

的零点个数为 (

) C.2 D.3

B.1

【解析】当 x ? 0 时,令 x2 ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? ?3 ; 当 x ? 0 时,令 ?2 ? ln x ? 0 解得 x ? 100 ,所以已知函数有两个零点,选 C。 【命题意图】本题考查分段函数零点的求法,考查了分类讨论的数学思想。

所以 EH ∥ FG ,故 EH ∥ FG ∥ B1C1 ,所以选项 A、C 正确;因为 A1 D1 ? 平面 ABB1 A1 ,

EH ∥ A1 D1 ,所以 EH ? 平面 ABB1 A1 ,又 EF ? 平面 ABB1 A1 , 故 EH ? EF ,所以选
项 B 也正确,故选 D。 【命题意图】本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质,考查同学们的空间想象 能力和逻辑推理能力。

7. 若点 O 和点 F (?2, 0) 分别是双曲线

x2 ? y 2 ? 1(a>0) 的中心和左焦点,点 P 为双曲线右支 2 a
) C. [- , ??)

上的任意一点,则 OP ? FP 的取值范围为 ( A. [3-2 3, ??) 【答案】B B. [3 ? 2 3, ??)

7 4

D. [ , ??)

7 4

【解析】因为 F (?2, 0) 是已知双曲线的左焦点,所以 a 2 ? 1 ? 4 ,即 a 2 ? 3 ,所以双曲线方

程 为

x2 x2 ? y 2 ? 1 , 设 点 P ( x0 , y0 ) , 则 有 0 ? y0 2 ? 1( x0 ? 3) , 解 得 3 3 x0 2 ? 1( x0 ? 3) , 因 为 FP ? ( x0 ? 2, y0 ) , OP ? ( x0 , y0 ) , 所 以 3

y0 2 ?

O ? P

F ?0P (

0

x2 ? )x2 =? x 2) ? 00 ( x0 ? y

x0 2 4x 2 ? 1 ? 0 ? 2 x0 ? 1 ,此二次函数对应的抛物 3 3

线 的 对 称 轴 为 x0 ? ?

3 , 因 为 x0 ? 3 , 所 以 当 x0 ? 3 时 , O P? F P取 得 最 小 值 4

4 ? 3 ? 2 3 ? 1 ? 3 ? 2 3 ,故 OP ? FP 的取值范围是 [3 ? 2 3, ??) ,选 B。 3
【命题意图】本题考查待定系数法求双曲线方程,考查平面向量的数量积的坐标运算、二次 函数的单调性与最值等, 考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、 运 算能力。

?x ? 1 ? 8 . 设 不 等 式 组 ? x-2y+3 ? 0 所 表 示 的 平 面 区 域 是 ?1 , 平 面 区 域 是 ?2 与 ?1 关 于 直 线 ?y ? x ?
3x ? 4 y ? 9 ? 0 对称,对于 ?1 中的任意一点 A 与 ?2 中的任意一点 B, | AB | 的最小值等于
( A. )

28 5

B.4

C.

12 5

D.2

【答案】B 【解析】由题意知,所求的 | AB | 的最小值,即为区域 ?1 中的点到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距 离的最小值的两倍,画出已知不等式表示的平面区域,如图所示,

可看出点(1,1)到直线 3x ? 4 y ? 9 ? 0 的距离最小,故 | AB | 的最小值为

2?

| 3 ?1 ? 4 ?1 ? 9 | ? 4 ,所以选 B。 5

A.①④ B.②③ C.②④ D.③④ 【答案】C 【命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发,仿造构造了分渐近线函数,目的是考查 学生分析问题、 解决问题的能力, 考生需要抓住本质: 存在分渐近线的充要条件是 x ? ? 时,

f ( x) ? g ( x) ? 0 进行做答,是一道好题,思维灵活。
【解析】要透过现象看本质,存在分渐近线的充要条件是 x ? ? 时, f ( x) ? g ( x) ? 0 。 对于○ 1 ,当 x ? 1 时便不符合,所以 ○ 1 不存在;对于○ 2 ,肯定存在分渐近线,因为当时, 3 , f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ;对于○

1 1 1 ,设 ? ( x) ? x ? ln x, ?" ( x) ? 2 ? 0 且 ? x ln x x

ln x ? x ,所以当 x ? ? 时 x ? ln x 越来愈大,从而 f ( x) ? g ( x) 会越来越小,不会趋近于
0,所以不存在分渐近线;○ 4 当 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) ?

?2 2 ? 2 ? x ? 0 ,因此存在分 1 e 1? x

渐近线。故,存在分渐近线的是②④选 C 二、填空题 11 . 在 等 比 数 列 ?a n ? 中 , 若 公 比 q=4 , 且 前 3 项 之 和 等 于 21, 则 该 数 列 的 通 项 公 式

an ?
【答案】 4
n-1



【解析】由题意知 a1 ? 4a1 ? 16a1 ? 21 ,解得 a1 ? 1 ,所以通项 an ? 4

n-1



【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式的应用,属基础题。 12.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于



【答案】 6+2 3 【解析】由正视图知:三棱柱是以底面边长为 2,高为 1 的正三棱柱,所以底面积为

2?

3 ? 4 ? 2 3 ,侧面积为 3 ? 2 ?1 ? 6 ,所以其表面积为 6+2 3 。 4

【命题意图】本题考查立体几何中的三视图,考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本 能力。

13.某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的 5 个问题中,选手若能连续正确回答出两个问 题,即停止答题,晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 0.8 ,且每个问题 的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了 4 个问题就晋级下一轮的概率等于 。 【答案】0.128 【解析】由题意知,所求概率为 C5 ? 0.8 ? 0.2 =0.128 。
4 2
2

【命题意图】本题考查独立重复试验的概率,考查基础知识的同时,进一步考查同学们的分 析问题、解决问题的能力。 14.已知函数 f(x)=3sin(? x若 x ? [0,

?
6

)(? >0) 和 g(x)=2cos (2x+? )+1 的图象的对称轴完全相同。


?
2

] ,则 f(x) 的取值范围是 3 2

【答案】 [- ,3] 【解析】由题意知,? ? 2 ,因为 x ? [0,

, ] ,由三角函数图象知: 6 6 ? 3 ? 3 f(x) 的最小值为 3sin (- )=- ,最大值为 3sin =3 ,所以 f(x) 的取值范围是 [- ,3] 。 6 2 2 2 2 6

?

] ,所以 2x-

?

? [-

? 5?

【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质,考查了数形结合的数学思想。

(0, ? ?) (0, ? ?) 15.已知定义域为 的函数 f(x) 满足:①对任意 x ? ,恒有 f(2x)=2f(x) 成
立;当 x ? (1,2] 时, f(x)=2-x 。给出如下结论: ① 对 任 意 m ? Z , 有 f( 2 )=0; ② 函 数 f(x) 的 值 域 为 [0, ; ③ 存 在 n ? Z , 使得 ? ?)
m

f(2n +1)=9 ;④“函数 f(x) 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ? Z ,使得
。 (a, b) ? (2k , 2k ?1 ) ” 其中所有正确结论的序号是 【答案】①②④
m



【解析】对①,因为 2m >0 ,所以 f(2 )=0 ,故①正确;经分析,容易得出②④也正确。 【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件,熟练基础知识是解答好本题的关键。

?
P 所以 E? = 0 ?

0

1

4

9

1 6

1 3

1 3

1 6

1 1 1 1 19 。 ? 1? ? 4 ? ? 9 ? ? 6 3 3 6 6

17. (本小题满分 13 分) 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3) ,且点 F(2,0)为其右焦点。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l ,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线 OA 与 l 的距离等 于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力, 考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。 【解析】 (1)依题意,可设椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) ,且可知左焦点为 a 2 b2

概率为 p 。 (i)当点 C 在圆周上运动时,求 p 的最大值; (ii) 记平面 A1ACC1 与平面 B1OC 所成的角为 ? (0 <? ? 90 ) , 当 p 取最大值时, 求 cos ? 的值。 【命题意图】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,以及几何 体的体积、几何概型等基础知识,考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力,考查 数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想。 【解析】 (Ⅰ)因为 AA1 ? 平面 ABC, BC ? 平面 ABC,所以 AA1 ? BC , 因为 AB 是圆 O 直径,所以 BC ? AC ,又 AC ? AA1 ? A ,所以 BC ? 平面 A1ACC1 , 而 BC ? 平面 B1BCC1 ,所以平面 A1ACC1 ? 平面 B1BCC1 。

(Ⅱ) (i)设圆柱的底面半径为 r ,则 AB= AA1 =2r ,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为

1 V1 = AC ? BC ? 2r = AC ? BC ? r ,又因为 AC2 ? BC2 =AB2 =4r 2 , 2
所以 AC ? BC ?

AC2 +BC2 = 2r 2 ,当且仅当 AC=BC= 2r 时等号成立, 2

从而 V1 ? 2r 3 ,而圆柱的体积 V=? r 2 ? 2r=2? r 3 ,

V1 2r 3 1 故p= ? = , 当且仅当 AC=BC= 2r ,即 OC ? AB 时等号成立, V 2? r 3 ?
所以 p 的最大值是

1 。 ?

(ii)由(i)可知, p 取最大值时, OC ? AB ,于是以 O 为坐标原点,建立空间直角坐 标系 O-xyz (如图) ,则 C(r,0,0) ,B(0,r,0) , B1 (0,r,2r) , 因为 BC ? 平面 A1ACC1 ,所以 BC=(r,-r,0) 是平面 A1ACC1 的一个法向量, 设平面 B1OC 的法向量 n=(x,y,z) ,由 ?

?n ? OC ?

?x ? 0 ?rx ? 0 ,故 ? , 得? y ? ? 2 z ry ? 2 rz ? 0 n ? OB ? ? ? ? 1

取 z ? 1 得平面 B1OC 的一个法向量为 n=(0,-2,1) ,因为 0 <? ? 90 , 所以 cos ? ?| cos n,BC |= 19. (本小题满分 13 分)

n ? BC ? | n | ? | BC |

2r 10 。 ? 5 5 ? 2r

某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 。 在小艇出发时 ,
轮船位于港口 O 北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的 A 处,并以 30 海里/小时的航行速度 沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过 t 小时与轮船相遇。 (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向 与航行速度的大小) ,使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由。 【解析】如图,由(1)得 而小艇的最 OC ? 10 3,AC=10,故OC >AC,且对于线段AC上任意点P,有OP ? OC>AC, 高航行速度只能达到 30 海里/小时, 故轮船与小艇不可能在 A、 C (包含 C) 的任意位置相遇, 设 ?COD=? (0 <? <90 ),则在Rt ?COD中,CD ? 10 3 tan ? ,OD=

10 3 , cos ?

由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 t ?

10 ? 10 3 tan ? 10 3 和t ? , 30 v cos ?

所以

15 3 3 10 ? 10 3 tan ? 10 3 ,解得 v ? , ,又v ? 30,故 sin (? +30 ) ? ? 30 sin (? +30 ) 2 v cos ?
3 ,于是 3

从而 30 ? ? <90 ,由于? ? 30 时, tan ? 取得最小 值,且最小值为

当 ? ? 30 时, t?

2 10 ? 10 3 tan ? 取得最小值,且最小值为 。 3 30

此时,在 ?OAB 中, OA ? OB ? AB ? 20 ,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东 30 ,航行速度为 30 海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇。 20. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)已知函数 f (x)=x -x , 其图象记为曲线C 。 (i)求函数 f (x) 的单调区间; (ii)证明:若对于任意非零实数 x1 ,曲线 C 与其在点 P1 (x1 ,f(x1 )) 处的切线交于另一点
3

P2 (x 2 ,f(x 2 )) ,曲线 C 与其在点 P2 (x 2 ,f(x 2 )) 处的切线交于另一点 P3 (x 3 ,f(x 3 )) ,线段
P1P2 ,P2 P3与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S1 ,S2 ,则
3 2

S1 为定值; S2

(Ⅱ)对于一般的三次函数 g(x)=ax +bx +cx+d(a ? 0),请给出类似于 (Ⅰ) (ii)的正 确命题,并予以证明。 【命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识,考查抽象概括能力、运算求 解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一 般思想。 【解析】 (Ⅰ) (i)由 f (x)=x -x 得 f (x)=3x -1 = 3(x3 ' 2

3 3 )(x+ ), 3 3

当 x ? (-?,-

3 3 ' 时, f (x)>0 ; ( , ? ?) )和 3 3

当 x ? (-

3 3 , ) 时, f ' (x)<0 , 3 3

因此, f (x) 的单调递增区间为 (-?,-

3 3 3 3 ,单调递减区间为 (( , ? ?) )和 , )。 3 3 3 3

21.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 7 分,请考生任选 2 题做答,满分 14 分。如 果多做,则按所做的前两题计分。作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑,并将所选题号填入括号中。 (1) (本小题满分 7 分)选修 4-2:矩阵与变换 已知矩阵 M= ?

?1 a? ?c 2? ? 2 0? ? ,且 MN ? ? ?, ?,N ?? ?0 d ? ? ?2 0 ? ?b 1?

(Ⅰ) 求实数 a, b, c, d 的值; (Ⅱ) 求直线 y ? 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程。 (2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 t, ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) 。在极坐标系(与 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。 (Ⅰ)求圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为 (3, 5) , 求|PA|+|PB|。 (3) (本小题满分 7 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | 。 (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ? x | ?1 ? x ? 5? ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值 范围。 (1)选修 4-2:矩阵与变换 【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力。

?c ? 0 ? 2 ? a ? ?1 ?2 ? ad ? 0 ?b ? ?1 ? ? 【解析】 (Ⅰ)由题设得 ? ,解得 ? ; ?bc ? 0 ? ?2 ?c ? 2 ? ? ?2b ? d ? 0 ?d ? 2
(Ⅱ)因为矩阵 M 所对应的线性变换将直线变成直线(或点) ,所以可取直线 y ? 3x 上的两 (0,0) , (1,3) , 由?

? 1 ?1? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ?1? ? 1 ? ? ?2 ? , (1,3)在矩阵 M 所对应 ?? ? ? ? ? , ? ?? ? ? ? ? 得:点(0,0) ? ?1 1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? ?1 1 ? ? 3 ? ? 2 ?

的线性变换下的像是(0,0) , (-2,2) ,从而 直线 y ? 3x 在矩阵 M 所对应的线性变换下的像的方程为 y ? ? x 。 (2)选修 4-4:坐标系与参数方程 【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基 础知识,考查运算求解能力。 【解析】 (Ⅰ)由 ? ? 2 5 sin ? 得 x 2 ? y 2 ? 2 5 y ? 0, 即 x 2 ? ( y ? 5)2 ? 5. (Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 (3 ?

2 2 2 2 t) ? ( t) ? 5 , 2 2

即 t 2 ? 3 2t ? 4 ? 0, 由于 ? ? (3 2)2 ? 4 ? 4 ? 2 ? 0 ,故可设 t1 , t2 是上述方程的两实根,

所以 ? 1

?t ? t2 ? 3 2 ? , 又直线l过点P(3, 5), 故由上式及 t 的几何意义得: ? ?t1t2 ? 4

|PA|+|PB|= | t1|+|t 2 | = t1 +t 2 = 3 2 。 (3)选修 4-5:不等式选讲 【命题意图】 本小题主要考查绝对值的意义、 绝对值不等式等基础知识, 考查运算求解能力。 【解析】 (Ⅰ)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? a ? 3 , 又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ? x | ?1 ? x ? 5? ,所以 ?

?a ? 3 ? ?1 ,解得 a ? 2 。 ?a ? 3 ? 5

(Ⅱ)当 a ? 2 时, f ( x) ?| x ? 2 | ,设 g (x)=f ( x) ? f ( x ? 5) ,于是

??2 x ? 1,x < ? 3 ? g (x)=|x-2|? | x ? 3| = ?5, ? 3 ? x ? 2 ,所以 ?2 x ? 1,x >2 ?
当 x<-3 时, g(x)>5 ;当 -3 ? x ? 2 时, g(x)>5 ;当 x>2 时, g(x)>5 。

解析(二)
【2010 年福建高考试题解析】 (理科数学)

一、选择题 1、 【答案】A 【命题意图】本题考查学生对于三角两角差公式的运用以及常见三角函数值的记忆。

1 。 2 1 【解析】 sin 43? cos 13? ? cos 43? sin 13? ? sin 30? ? 2
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? , sin 30? ?
(2)【答案】D 【命题意图】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及原方程的求解。 y ? 2 px 的焦点为
2

p F ( ,0) ,求解圆方程时,确定了圆心与半径就好做了。 2
【 解 析 】 抛 物 线 的 焦 点 为 F (1,0) , 又 圆 过 原 点 , 所 以 R ? 1 , 方 程 为

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ? y 2 ? 0 。
(3)【答案】A 【命题意图】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度,以及一元二次方程最值 问题的求解。 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ? na1 ?

n(n ? 1) d。 2

【 解 析 】 由 a4 ? a6 ? a1 ? a9 ? ?11 ? a9 ? ?6 , 得 到 a9 ? 5 , 从 而 d ? 2 , 所 以 因此当 S n 取得最小值时, Sn ? ?11n ? n(n ? 1) ? n2 ? 12n ,

n ?6.
(4)【答案】C 【命题意图】 本题从分段函数的角度出发, 考查了学生对基 本初等函数的掌握程度。

y

?( x ? 1) 2 ? 4, x ? 0 ? 【解析】 f ( x) ? ? x ,绘制出图像大致为 ln , x ? 0 ? 2 ? e

-3

e2

x

所以零点个数为 2。 (5)【答案】C -4 【命题意图】 本题考查学生对程序框图的理解。 选材较为简 单,只需要考生能从上到下一步步列出就可以正确作答。 【解析】s=0 ? i=1 ? a=2 ? s ? 2 ? i ? 2 ? a ? 8 ? s ? 10 ? i ? 3 ? a ? 24 ? s ? 34 ? i=4 ? 输出 i=4,选择 C (6)【答案】D 【命题意图】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力。灵活,全面地考查了 考生对知识的理解。 【解析】若 FG 不平行于 EH,则 FG 与 EH 相交,焦点必然在 B1C1 上,而 EH 平行于 B1C1,矛盾, 所以 FG 平行于 EH;由 EH ? 面 A1 ABB1 ,得到 EH ? EF ,可以得到四边形 EFGH 为矩形,

将 ? 从正面看过去,就知道是一个五棱柱,C 正确;D 没能正确理解棱台与这个图形。

【答案】C 【命题意图】本题从大学数列极限定义的角度出发,仿造构造了分渐近线函数,目的是考查 学生分析问题、 解决问题的能力, 考生需要抓住本质: 存在分渐近线的充要条件是 x ? ? 时,

f ( x) ? g ( x) ? 0 进行做答,是一道好题,思维灵活。
【解析】要透过现象看本质,存在分渐近线的充要条件是 x ? ? 时, f ( x) ? g ( x) ? 0 。 对于○ 1 ,当 x ? 1 时便不符合,所以 ○ 1 不存在;对于○ 2 ,肯定存在分渐近线,因为当时, 3 , f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 ;对于○

1 1 1 ,设 ? ( x) ? x ? ln x, ?" ( x) ? 2 ? 0 且 ? x ln x x

ln x ? x ,所以当 x ? ? 时 x ? ln x 越来愈大,从而 f ( x) ? g ( x) 会越来越小,不会趋近于
0,所以不存在分渐近线;○ 4 当 x ? 0 时, f ( x) ? g ( x) ?

?2 2 ? 2 ? x ? 0 ,因此存在分 1 e 1? x

渐近线。故,存在分渐近线的是○ 2○ 4选C

? ? ? ? 5? w ? 2 , 得 到 f ( x) ? 3 s i n2(x ? ) , 当 0 ? x ? 时 , ? ? 2 x ? ? ,所以 6 2 6 6 6
? 3 ? f ( x) ? ?? ,3? ? 2 ?

11、【答案】○ 1○ 2○ 4 【命题意图】 本题通过抽象函数, 考查了函数的周期性, 单调性, 以及学生的综合分析能力, 难度不大。 【解析】 1 f (2m ) ? f (2 ? 2m?1 ) ? 2 f (2m?1 ) ? ? ? 2m?1 f (2) ? 0 , 正确; 2 取 x ? ( 2 ,2 ○ ○
m m?1

],



x x x ? (1,2] ; f ( m ) ? 2 ? m ,从而 m 2 2 2 x x f ( x) ? 2 f ( ) ? ? ? 2m f ( m ) ? 2m?1 ? x ,其中, m ? 0,1,2,? ,从而 f ( x) ?[0,??) , 2 2

n 正 确 ; ○ 3 f (2n ? 1) ? 2m?1 ? 2n ? 1 , 假 设 存 在 n 使 f (2 ? 1) ? 9 , 即 存 在

x1 , x2 , s.t. 2 x1 ? 2 x2 ? 10 ,又, 2 x 变化如下:2,4,8,16,32,??,显然不存在,所以该命
题错误;○ 4 根据前面的分析容易知道该选项正确;综合有正确的序号是○ 1○ 2○ 4 (3)解答题 16、【解析】 (1) ( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ? ?2 ? x ? 3 ,则 m, n ?{?2,?1,0,1,2,3}

?m ? 1 ?m ? ?1 ?m ? 2 ?m ? ?2 ?m ? 0 m?n ? 0有 ? ,因此 A 包含的基本事件 或? 或? 或? 或? ?n ? ?1 ?n ? 1 ?n ? ?2 ?n ? 2 ?n ? 0
为: (1,?1), (?1,1), (2,?2), (?2,2), (0,0) (2) m 的可能去取为 ? 2,?1,0,1,2,3 ,则 m 2 的可能取值为 0,1,4,9

P(m 2 ? 0) ? P(m 2 ? 9) ?
因此 ? ? m 得分布列为:
2

1 2 1 , P(m 2 ? 1) ? P(m 2 ? 4) ? ? 6 6 3

? ? m2
P(? ? m2 )
数学期望为 E? ?

0

1

4

9

1 6

1 3

1 3

1 6

1 4 3 5 3 19 ? ? ? ? ? 3 3 2 3 2 6

【命题意图】本题考查学生对概率分布的理解以及数学期望的计算,难度较易。 【点评】本题作为解答题的第一题具备送分的作用,考生只要掌握了基本的计算知识,能够 轻松应对。

(ii)过 O 点做 OT 平行于 BC1 ,则由 B1C1 ? 面A1C1 AC 有 OT ? 面A1C1 AC ,所以 ?OTC 即为面 OC1 B 在 面A1C1 AC 内的投影,设 AB ? 2 ,则 S ?C1TC ? 面角 B ? OC1 ? B1 的平面角大小为 ? ,则

1 2 ,设二 C1T ? C1C ? 2 2

cos ? ?

S ?B1C1O SOC1B

?

1 1 1 ? ? 2 2 2 1 ? tan ? 5 1 ? BB1 B1O

从而 S ?OC1B ?

1 2 10 5 ,故 cos ? ? ? 2 5 2 5

【命题意图】本题从棱柱出发,综合地考查了学生线面垂直、面面垂直的证明方法以及二面 角、简单概率的求解,综合性强,灵活度大,是一道较好的题目。

【点评】在完成立体几何题目时,考生应当尽量把握从已知到未知的推理,发挥自己的空间 思维能力,转化图形。正确求解。 (19)【解析】 (1)为使小艇航行距离最短,理想化的航行路线为 OT,小艇到达 T 位置时轮 船的航行位移 s0 ? AT , 即 30t ? 10, t ?

10 3 1 ,vt ? 10 3 ,从而 v ? ? 30 3 (海里/时) 3 t

(2)讨论: (1)若轮船与小艇在 A、T 之间 G 位置相遇时,根据小艇的速度限制,有 OG<AG, 但实际上,这种情况中 AG<OG,所以不符合要求舍去。轮船与小艇的交点必在 T、B 之间。 (2)若 轮 船 与 小 艇 在 H 处 相 遇 时 , 在 直 角 三 角 形 OHT 中 运 用 勾 股 定 理 有 :

(900 ? v 2 )t 2 ? 600t ? 400 ? 0 ,等价于 v ? 900 ?

400 600 ? ? 10 4 ? 2 ? 6 ? ? 9 2 t t

从而 v ? 10 4( ? ?
2

3 9 9 3 27 ? ? ) ? ? 9 ? 10 4( ? ? ) 2 ? ? 30( ? ? 3) 2 16 4 4 4
3 2 ,t ? 2 3
A

所以当 v ? 30 时, ? ?

也就是说,当小艇以 30 海里每小 时的速度,沿北偏东 30? 方向行走

G

T

H

B

能以最短的时间遇到轮船。 【命题意图】本题从三角函数出 发, 考查了学生运用知识解决实际 问题的能力、 求解一元二次方程最 值问题的能力以及综合分析问题 O 的能力。 【点评】 对待应用题没有什么通解 通法,只要你不畏惧困难,认真读题、审题,通过列表、作图等方式合理分析已知量间的关 系,总是能够轻松解题。 20、【 解 析 】( 1 ) f ' ( x) ? 3x 2 ? 1 ? ( 3x ? 1)( 3x ? 1) , 令 f ' ( x) ? 0 得 到

x?

1 1 1 1 , 令 f ' ( x) ? 0 有 ? , 因 此原 函 数的单 调 递 增区 间为 或x ? ? ?x? 3 3 3 3 1 1 1 1 ) 和 ( ,??) ;单调递减区间为 (? , ) 3 3 3 3
2 3 2

(??,?

(2)(i) f ' ( x) ? 3x ? 1, P 1 的切线方程为: 1 ( x1 , x1 ? x1 ) , f ' ( x1 ) ? 3x1 ? 1 ,因此过点 P

(ii) 【命题】 若对于任意函数 g ( x) ? ax ? bx ? cx ? d 的图像为曲线 C ' , 其类似于(2)(i)
3 2

的命题为:若对任意不等于 ?

b 的实数 x1 ,曲线与其在点 P 1 ( x1 , g ( x1 )) 处的切线交于另一 3a

点 P2 ( x2 , g ( x2 )) ,曲线 C ' 与其在点 P2 ( x2 , g ( x2 )) 处的切线交于另外一点 P 3 ( x3 , g ( x3 )) ,线 段P 2P 3 与曲线 C ' 所围成面积为 S1、S 2 ,则 1P 2、P
3 2

S1 1 ? 。 S 2 16

【证明】对于曲线 y ? ax ? bx ? cx ? d ,无论如何平移,其面积值是恒定的,所以这里 仅 考 虑 y ? ax ? bx ? cx 的 情 形 , y' ? 3ax ? 2bx ? c , P 1 ( x1 , ax1 ? bx1 ? cx1 ) ,
3 2 2 3 2

f ' ( x1 ) ? 3ax12 ? 2bx1 ? c ,因此过点 P1 的切线方程为:

2 3 2 ? ? y ? (3ax1 ? 2bx1 ? c) x ? 2 x1 ? bx1 3 ,得到: y ? (3ax12 ? 2bx1 ? c) x ? 2 x1 ? bx12 ,联立 ? 3 2 ? y ? ax ? bx ? cx ?

3 ax3 ? bx 2 ? 3ax12 ? 2bx1 x ? bx12 ? 2 x1 ? 0,

?

?

化简:得到 从而 ( x ? x1 ) 2 (ax ? b ? 2ax1 ) ? 0 所以 P2 (? 用(i)中方法便可以得到 x3 ? 所以

b ? 2ax1 2b 2 ? 4a 2 x12 ? 6abx1 ? ac , ) 同样运 a a

2b ? 4 x1 ? ?2 x2 a

S1 1 ? S 2 16

【命题意图】本题从函数角度出发,考查了积分运算、单调性、求导等基本能力,又综合地 考查了学生分析问题、解决问题的能力。计算量较大,不容易正确。 【点评】该题思维量较小,计算量却较为庞大,对考生有一定的区分作用。 21、(1) (矩阵变换) 【解析】 (1) MN ? ?

?1 a ? ?c 2 ? ? c 2 ? ad ? ? 2 0? ?? ??? ??? ? ,对 ?b 1 ? ?0 d ? ?bc 2b ? d ? ?? 2 0?

?c ? 2 ?c ? 2 ?2 ? ad ? 0 ?b ? ?1 ? ? 应系数有 ? ; ( 2 )取 y ? 3x 上一点 ( x, y ) ,设经过变换后对应点为 ?? ?bc ? ?2 ?d ? 2 ? ?2b ? d ? 0 ? ?a ? ?1

? x'? ? 1 ? 1? ? x ? ? x ? y ? ( x' , y' ) ,则 ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ,从而 y' ? ? x' ,所以经过变换后的图像方程为 ? y '? ?? 1 1 ? ? y ? ? y ? x ?
y ? ?x 。
【命题意图】本题考查的是学生对矩阵运算理解与掌握,要求考生能够正确进行运算,熟悉 矩阵的基本运算方法。 【点评】本题相对基础,对于学生提高自信心有一定帮助。 (2)( 坐 标 系 与 参 数 方 程 ) 【解析】 (1) ? ?

2 5

?

y ? x2 ? y2 ? 2 5 y , 所 以

x 2 ? ( y 2 ? 2 5 y ? 5) ? 5 ? x 2 ? ( y ? 5 ) 2 ? 5 ; ( 2 ) 直 线 的 一 般 方 程 为 x ? 3 ? y ? 5 ? x ? y ? 5 ? 3 ? 0 ,容易知道 P 在直线上,又 32 ? ( 5 ? 5 ) 2 ? 5 ,所
以 P 在 圆 外 , 联 立 圆 与 直 线 方 程 可 以 得 到 : A(2, 5 ? 1), B(1, 5 ? 2) , 所 以 |PA|+|PB|=|AB|+2|PA|= 2 ? 2 2 ? 3 2 ,所以答案为 3 2 【命题意图】 本题考查了学生极坐标方程化一般方程、 参数方程化一般方程的能力以及综合

的分析问题能力,有一定的选拔意义。 【点评】遇到参数方程题目的时候,只需要化简为一般方程,问题便迎刃而解。 (3) (不等式选讲) 【解析】 x ? a ? 3 ? ?3 ? x ? a ? 3 ? a ? 3 ? x ? a ? 3 ,对应系数得

a=2; (2) g ( x) ? x ? 2 ? x ? 3 的图像为
所以 g ( x) ? 5 ,故 m ? 5 。 【命题意图】本题考查学生解不等式的基本能 力,难度较低。 【点评】本类型的方法是绘图法,或者采用零 点分区间法,考查基本。

y 5

-3

O

2

x



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