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高中数学联赛一道试题的研讨



中学生数学 ? 2 0 1 2年 3月上 ? 第4 3 7期 ( 高 中)  

教 
陕 西省 西安 市高新 区高新 第三 中学 ( 7 1 0 0 7 5 )   吕二动  陕西省 咸 阳市杨 汉 中学 ( 7 1 3 3 0 0 )   殷 敏 
2 0 0 9年 全 国数 学 联 赛 试 题 中有 这 样 一 道 
试题 :  
寸 

竞   赛 
富  

问 题 2已 知 双 曲 线 薯 一 芳 一 1 ( 6 > n > 。 )  之 
上 任意 两点 P, Q, 若 OP上OQ, 求J O P1 .I O Ol  
的最小值 .   解 设 P( I OPI   c o s 0 , 1 OPI   s i n 0 ) ,  

问题 1   已知椭 圆  +  一1 ( 口 >6 >o ) 上 

任意 两 点 P, Q, O P上O Q, 求1 O P}?1 O Ol 的 最 
小值 .  



设 P(   I O P     l c o s O ,   I oP     l s i n 0 ) ,  

则Q ( I   O Q   I   c 。 s (   ± 号 ) ,   I O Q     I s i n ( 0 4 _ -  
因为 P, Q两 点都 在椭 圆上 ,  

则Q ( I O Q [ c o s (   ± 吾 ) , I O Q   I s i n (   ± 吾) ) ,  
因为 P, Q两 点都 在椭 圆上 ,  

所 以丽 1 = : =  
1  


+ 

所以而 a  = = =   c o s 2 0 一   s i n 2 0
,  

,  

s i n   0  I  C O S 。 0  

1  



s i n   0   C O S   0  

f   OQ f  

n  

b   ’  

  I O C t l 。   1 2 。   则 
2  

b 。 ’   一  1   一  1 ≥ 

则 

+ 

一  1   +_ 1   ’
.  

+ 

因 而   + 

。 

所以, 当 且仅当I   o P   I —I   o Q   I _ , \ / [2ab 
口:



N  ̄ 2   l O P  I O Q   I ≥ 辫 .  
问题 3 抛 物线 Y 。 一2 p x ( p >O ) 上 任意 两  点 P, Q, 若 O P上 O Q, 求 J   O P   l?l   O O   I 的 最 小 
值.   解



时 ,  ̄ I O P I 。 ? I O Q   I ≥ 等 .  
如果将 此 题改 编 为下 面这 个 问题 :   变式 ( 数学联赛试题 ) 已 知 椭 圆  +  y -  
a   D。  

设 P( x 1 , Y 1 ) , Q( x 2 , Y 2 ) ,     .

则 Y ; =2 p x 1 , y ; 一2 p x 2 ,  
.   Y   Y ; = = : 4 p  1  2 .  
又’ . . oP_ l _ OQ,  
。 .

一1 ( 口 >6 >0 ) 上 任 意 两 点 P, Q, 若 O P上OQ,  



求 

+ 

的最 大值 ?  

.   ?
? 

1 X2 + Y1 Y2 = 0,   Ya Y2 一 一4 p。, X1 z2 —4 p。 .  

略解  

+  

≤ 5  

‘ ?

。 ?

√ 。   1  f   = / 2 ( a  ̄ 口 q 6 - b 2 ) 一 .  
若 将 此 问 题 中 的椭 圆 类 比 为 双 曲线 及 抛 
物线 . 便可 得 问颢 2 、 问额 3  

『 C I P   I 。?I   O QI 。 一z ; z ; +  ; +z }  ;  

+z ;   =3 2 p   -  ̄ 2 p x ,   ( 新 十  > >3 2  - 4 - 8  
?

2 p= 6 4 p。 .  

( 责审   王雷)  

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