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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(苏教版,必修四) 第二章平面向量 2.3.2(二) 课时作业]


2.3.2

平面向量的坐标运算(二)

课时目标 1. 理解用坐标表示的平面向量共线的条件.2.会根据平面向量的坐标, 判断向量是否共线.

1.两向量共线的坐标表示 设 a=(x1,y1),b=(x2,y2). (1)当 a∥b 时,有________________. (2)当 a∥b 且 x2y2≠0 时,有________________.即两向量的相应坐标成比例. → → 2.若P1P=λPP2,则 P 与 P1、P2 三点共线. 当 λ∈________时,P 位于线段 P1P2 的内部,特别地 λ=1 时,P 为线段 P1P2 的中点; 当 λ∈________时,P 位于线段 P1P2 的延长线上; 当 λ∈________时,P 位于线段 P1P2 的反向延长线上.

一、填空题 → → 1.已知三点 A(-1,1),B(0,2),C(2,0),若AB和CD是相反向量,则 D 点坐标是________. 2.已知向量 a=(2x+1,4),b=(2-x,3),若 a∥b,则实数 x 的值为________. 3.已知|a|=2 17,b=(-1,4),且 a 与 b 方向相同,则 a=________. 4.若 a=(2cos α,1),b=(sin α,1),且 a∥b,则 tan α=________. 5.已知平面向量 a=(1,2),b=(-2,m),且 a∥b,则 2a+3b=________. 6.若三点 P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则 x 的值为________. 7.设向量 a=(1,2),b=(2,3).若向量 λa+b 与向量 c=(-4,-7)共线,则 λ=________. → → → 8. 设向量OA=(k,12), OB=(4,5), OC=(10, k). 若 A, B, C 三点共线, 则 k 的值为________. 9. 已知向量 a=(1,2), b=(0,1), 设 u=a+kb, v=2a-b, 若 u∥v, 则实数 k 的值为________. 10.已知 A、B、C 三点在一条直线上,且 A(3,-6),B(-5,2),若 C 点的横坐标为 6, 则 C 点的纵坐标为________. 二、解答题 11.已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a-3b 平行?平行时它们是同向 还是反向?

12.如图,已知点 A(4,0),B(4,4),C(2,6),O(0,0),求 AC 与 OB 的交点 P 的坐标.

能力提升 → 13.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC= → → mOA+nOB,其中 m,n∈R 且 m+n=1,则点 C 的轨迹方程为______________.

14.已知点 A(-1,-3),B(1,1),直线 AB 与直线 x+y-5=0 交于点 C,则点 C 的坐标 为________.

1.两个向量共线条件的表示方法 已知 a=(x1,y1),b=(x2,y2) (1)当 b≠0,a=λb. (2)x1y2-x2y1=0. x1 y1 (3)当 x2y2≠0 时, = ,即两向量的相应坐标成比例. x2 y2 2.向量共线的坐标表示的应用 两向量共线的坐标表示的应用,可分为两个方面. (1)已知两个向量的坐标判定两向量共线.联系平面几何平行、共线知识,可以证明三点

共线、直线平行等几何问题.要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行. (2)已知两个向量共线,求点或向量的坐标,求参数的值,求轨迹方程.要注意方程思想 的应用,向量共线的条件,向量相等的条件等都可作为列方程的依据.

2.3.2
知识梳理

平面向量的坐标运算(二)

x1 y1 1.(1)x1y2-x2y1=0 (2) = x2 y2 2.(0,+∞) (-∞,-1) (-1,0) 作业设计 1.(1,-1) 1 2. 2 1 解析 由 a∥b 得 3(2x+1)=4(2-x),解得 x= . 2 3.(-2,8) |a| 2 17 解析 令 a=λb(λ>0),则 λ= = =2. |b| 17 ∴a=2b=(-2,8). 4.2 解析 ∵a∥b,∴2cos α×1=sin α. ∴tan α=2. 5.(-4,-8) 解析 由 a∥b 得 m=-4. ∴2a+3b=2×(1,2)+3×(-2,-4)=(-4,-8). 6.3 → → 解析 PA=(1,-5),PB=(x-1,-10), → → ∵P、A、B 三点共线,∴PA与PB共线. ∴1×(-10)-(-5)×(x-1)=0,解得 x=3. 7.2 解析 ∵λa+b=(λ+2,2λ+3),c=(-4,-7), λ+2 2λ+3 ∴ = ,∴λ=2. -4 -7 8.-2 或 11 → → 解析 若 A,B,C 三点共线,则AB与AC共线, → → 由AB=(4-k,-7),AC=(10-k,k-12), 得(4-k)(k-12)-(10-k)(-7)=0. ∴k=-2 或 11. 1 9.- 2 解析 ∵u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k), v=(2,4)-(0,1)=(2,3), 又 u∥v, 1 ∴1×3=2(2+k),得 k=- . 2 10.-9 解析 C 点坐标(6,y), → → 则AB=(-8,8),AC=(3,y+6). ∵A、B、C 三点共线,

3 y+6 = ,∴y=-9. 8 -8 11.解 由已知得 ka+b=(k-3,2k+2), a-3b=(10,-4), ∵ka+b 与 a-3b 平行, ∴ 1 ∴(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得 k=- . 3 1 2 1 ? 此时 ka+b=? ?-3-3,-3+2?=-3(a-3b), 1 ∴当 k=- 时,ka+b 与 a-3b 平行,并且反向. 3 → 12.解 方法一 由题意知 P、B、O 三点共线,又OB=(4,4). → → 故可设OP=tOB=(4t,4t), → → → ∴AP=OP-OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t), → → → AC=OC-OA=(2,6)-(4,0)=(-2,6). → → 又∵A、C、P 三点共线,∴AP∥AC, 3 ∴6(4t-4)+8t=0,解得 t= , 4 → ∴OP=(3,3),即点 P 的坐标为(3,3). → → 方法二 设点 P(x,y),则OP=(x,y),OB=(4,4). ∵P、B、O 三点共线, → → ∴OP∥OB,∴4x-4y=0. → → → 又AP=OP-OA=(x,y)-(4,0)=(x-4,y), → → → AC=OC-OA=(2,6)-(4,0)=(-2,6), ∵P、A、C 三点共线, → → ∴AP∥AC,∴6(x-4)+2y=0. ?4x-4y=0, ?x=3, ? ? 由? 得? ?6?x-4?+2y=0, ?y=3, ? ? 所以点 P 的坐标为(3,3). 13.x+2y-5=0 解析 设点 C 的坐标为(x,y), 则(x,y)=m(3,1)+n(-1,3)=(3m-n,m+3n), ?x=3m-n, ① ? ∴? ? ?y=m+3n, ② ①+2×②得,x+2y=5m+5n, 又 m+n=1, ∴x+2y-5=0. 所以点 C 的轨迹方程为 x+2y-5=0. 14.(2,3) → → ?λ-1,λ-3?. 解析 设AC=λCB,则得 C 点坐标为? ? ?1+λ 1+λ? ?λ-1,λ-3?代入直线 x+y-5=0 的方程,解得 λ=-3.∴C 点坐标为(2,3). 把 C 点坐标? ? ?1+λ 1+λ?


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