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黑龙江省牡丹江市2016


2016—2017 年度下学期期末考试 高二理科数学试题
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1、已知集合 A ? {1, 2,3}, B ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0, x ? Z} ,则 A ? B 等于( A. {1} 2、若 B. {1, 2} C. {0,1, 2,3} )

D. {?1, 0,1, 2,3}

1 1 ? ? 0 ,则下列结论不正确的是( ) a b 2 2 2 A. a ? b B. ab ? b C. a ? b ? 0
3、函数 f ( x) ? 1 ? 2 ?
x

D. | a | ? | b |?| a ? b |

1 的定义域为( x?3

) D. (??, ?3) ? (?3,1]

A. (?3, 0]

B. (?3,1]

C. (??, ?3) ? (?3,0]

4、设 a ? log0.8 0.9 , b ? log1.1 0.9 , c ? 1.10.9 ,则 a, b, c 的大小关系是( A. a ? b ? c B. a ? c ? b
2



C. b ? a ? c

D. c ? a ? b )

5、已知 a ? 1 , f ( x) ? a x A. 0 ? x ? 1 D. ?2 ? x ? 1

?2 x

,则 f ( x) ? 1 成立的一个充分不必要条件是( C. ?2 ? x ? 0

B. ?1 ? x ? 0

?2 x ? y ? 0 ? 6、已知变量 x, y 满足: ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则 z ? ( 2)2 x? y 的最大值为( ?x ? 0 ?
A. 2 B. 2 2 C. 2



D. 4 )

7、已知函数 f ( x ) 的图象如图所示,则 f ( x ) 的解析式可能是(

1 ? x3 2x ?1 1 ? x3 C. f ( x ) ? 2x ?1
A. f ( x ) ?

1 ? x3 2x ?1 1 ? x3 D. f ( x ) ? 2x ?1 1 1 1 2 8、已知 a ? 0 , b ? 0 , a ? b ? ? ,则 ? 的最小值为( ) a b a b
B. f ( x ) ?
1

A. 4

B. 2 2

C. 8

D. 16

9、已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,满足对任意的实数 x, y ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,当

x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,则 f ( x) 在区间 [a, b] 上(
A.有最大值 f ( a ) C.有最大值 f (



B.有最小值 f ( a ) D.有最小值 f (

a?b ) 2

a?b ) 2

10、定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,且函数 y ? f ( x ? 1) 的 x1 ? x2
t s

图象关于 (1, 0) 成中心对称,若 s , t 满足不等式 f (s 2 ? 2s) ? ? f (2t ? t 2 ) ,则当 1 ? s ? 4 时, 的取 值范围是( A. [?1,2] ) B. [ ?1, ]

1 2

C. [?2,1]

D. [ ?

1 ,1] 2

11、 若不等式 lg A. (??, 0]

1 ? 2 x ? (1 ? a)3x 对任意 x ? (??,1) 恒成立, 则 a 的取值范围是 ( ) ? ( x ? 1) lg 3 , 3
B. [1, ??) C. [0, ??) D. (??,1]

12、已知函数 f ? x ? 的定义域为 R ,若存在常数 k ,使得 f ? x ? ?

k x 对所有实数 x 均成立,则称 2017
) ④ f ? x? ? D. 4

函数 f ? x ? 为“期望函数”,下列函数中“期望函数”的个数是( ① f ? x ? ? x2 A. 1 ② f ? x ? ? xe x B. 2 ③ f ? x? ?

x x ? x ?1
2

x e ?1
x

C. 3

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卡相应的位置上) 13、函数 f ( x) ? 2 ?
x

2 ? a 的一个零点在区间 (1, 2) 内,则实数 a 的取值范围是 x
2



14 、已知函数 f ( x ) 的图象如图所示,设函数 g ( x) ? log ____。

f (x ),则函数 g( x ? 1) 的定义域是 __

15 、已知 f(x) 是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0 ? x ? 2 时,

f ( x) ? x3 ? x ,则函数 y ? f ( x) 的图象在区间 [0, 6] 上与 x 轴的交点的个
数为 。 _。(填写所有正确命题的序号)

16、以下 说法正确的是____

2

①不等式

x ?8 x2 ? 2x ? 3 1 ? 2 ? 解集相同; x2 ? 2x ? 3 x ?8 2 与不等式

②已知命题 p : “若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ” ,命题 q : “若

a ? M ,则 b ? M ”与命题“若 b ? M ,则 a ? M ”等价,则 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题;
③命题“ ?x0 ? R, 2 0 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 2x ? 0 ” ;
x

2 ? 1? ④已知幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 ?4, ?,则 f (2) ? 。 ? 2? 2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 17、 (10 分)在平面直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 ? , (t为参数) 。在以原点 ?y ? 5 ? 2 t ? ? 2
O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? 。
(1)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (2)若点 P 坐标为 (3, 5) ,圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值。

18、 (12 分)已知函数 f ( x) ?| a ? 3x | ? | 2 ? x | 。 (1)若 a ? 2 ,解不等式 f ( x) ? 3 ; (2)若存在实数 x ,使得不等式 f ( x) ? 1 ? a ? 2 | 2 ? x | 成立,求实数 a 的取值范围。

19、 (12 分)某同学在研究性学习中,收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量(单位:万盒) 的数据如下表所示: 月份 x y(万盒) 1 4 2 4 3 5 4 6 5 6

(1)该同学为了求出 y 关于 x 的线性回归方程 =

+ ,根据表中数据已经正确计算出 =0.6,试

求出 的值,并估计该厂 6 月份生产的甲胶囊产量数; (2)若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊 4 盒和三月份生产的甲胶囊 5 盒,小红同学从
3

中随机购买了 3 盒甲胶囊,后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题, 记小红同学所购买的 3 盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为 ξ ,求 ξ 的分布列和数学期望。

20、 (12 分)已知函数 f ( x) ? ?2( x ? a)ln x ? x2 ? 2ax ? 2a2 ? a ,其中 a ? 0 ,设 g ( x) 是 f ( x ) 的 导函数,讨论 g ( x) 的单调性和极值。

21、 (12 分)在圆 x2 ? y 2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的垂 线段,D 为垂足,点 M 在线段 DP 上,且 | DP |? 2 | DM | ,点 P 在圆上运动。 (1)求点 M 的轨迹方程; (2)过定点 C (?1, 0) 的直线与点 M 的轨迹交于 A, B 两点,在 x 轴上是否存在点 N ,使 NA ? NB 为常数,若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由。

22、(1 2 分)设函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ?

m( x ? n ) , (m ? 0) 。 x ?1

(1)当 m ? 1 时,函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 1 处的切线互相垂直,求 n 的值; (2)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在定义域内不单调,求 m ? n 的取值范围; (3)是否存在实数 a ,使得 f (

2a x ) f (e ax ) ? f ( ) ? 0 对任意正实数 x 恒成立?若存在,求出满足 x 2a

条件的实数 a ;若不存在,请说明理由。

4

牡一中 2016—2017 年度下学期期末考试 高二理科数学试题答案

一、选择题说明:每题 5 分,单选题,共 60 分

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

C

D

A

C

B

D

A

B

A

D

D

B

二、填空题 每题 5 分 共 20 分

1 3、(0,3);

14、(1,7] ;

15、7

16、④

三、解答题 17 题 10 分,18-22 题每题 12 分

17、 【解答】解: (Ⅰ)由

得直线 l 的普通方程为 x+y﹣3﹣

=0

又由

得 ρ =2

2

ρ sinθ ,化为直角坐标方程为 x +(y﹣

2

) =5;

2

(Ⅱ)把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程, 得(3﹣ t) +(
2

t) =5,即 t ﹣3

2

2

t+4=0

设 t1,t2 是上述方程的两实数根, 所以 t1+t2=3 又直线 l 过点 P ,A、B 两点对应的参数分别为 t1,t2, .

所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3

18、【解答】解:(1)a=2 时:f(x)=|3x﹣2|﹣|x+2|≤3, 或 或 ,

解得:﹣ ≤x≤ ; (2)不等式 f(x)≥1﹣a+2|2+x|成立, 即|3x﹣a|﹣|3x+6|≥1﹣a, 由绝对值不等式的性质可得||3x﹣a|﹣|3x+6||≤|(3x﹣a)﹣(3x+6)|=|a+6|,
5

即有 f(x)的 最大值为|a+6|, ∴ 或 ,

解得:a≥﹣ . 19、 【解答】解: (1) = 因线性回归方程 = x+ 过点( , ) , ∴ = ﹣ =5﹣0.6×3=3.2, =0.6×6+3.2=6.8. =3, (4+4+5+6+6)=5,

∴6 月份的生产甲胶囊的产量数: (2)ξ =0,1,2,3,

P(ξ =0)=

=

,P(ξ =1)=

=



P(ξ =2)=

=

,P(ξ =3)=

=



其分布列为 ξ P 所以 Eξ = = . 0 1 2 3

20、 【解析】由已知,函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ??) ,

a g ( x) ? f ?( x) ? 2 x ? 2a ? 2 ln x ? 2(1 ? ) , x

2 2a 所以 g ?( x) ? 2 ? ? 2 ? x x
当0 ? a ?

1 1 2( x ? )2 ? 2(a ? ) 2 4 . 2 x

1 1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a 时, g ( x) 在区间 (0, ), ( , ??) 上单调递增, 4 2 2

在区间 (

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4 a , ) 上单调递减, 2 2

当x ?

1 ? 1 ? 4a 1 ? 1 ? 4a 时有极大值, 当x ? 时有极小值 ; 2 2
6

当a ?

1 时, g ( x) 在区间 (0, ??) 上单调递增,无极值. 4
2 2 2 2

21、解 (1)设 P(x0,y0),M(x,y),则 x0=x,y0= 2y. ∵P(x0,y0)在 x +y =4 上,∴x0+y0=4. ∴x +2y =4,即 + =1. 4 2 点 M 的轨迹方程为 + =1(x≠±2). 4 2 (2)假设存在.当直线 AB 与 x 轴不垂直时, 设直线 AB 的方程为 y=k(x+1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),N(n,0),
2 2

x2 y2

x2 y2

y=k?x+1?, ? ? 2 2 联立 方程组?x y + =1, ? ?4 2
整理得(1+2k )x +4k x+2k -4=0, 4k 2k -4 ∴x1+x2=- 2,x1x2= 2. 1+2k 1+2k → → ∴NA·NB=(x1-n,y1)·(x2-n,y2) =(1+k )x1·x2+(x1+x2)(k -n) +n +k
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2k -4 -4k 2 2 2 2 =(1+k )× 2+(k -n)× 2+k +n 1+2k 1+2k =

k2?4n-1?-4 2 +n 2 1+2k

1 1 2 ?2k +1??4n-1?- ?4n-1?-4 2 2 2 = +n 2 1+2k 7 2n+ 2 1 2 = (2n +4n-1)- 2. 2 1+2k 7 → → ∵NA·NB是与 k 无关的常数,∴2n+ =0. 2 7 15 → → ? 7 ? ∴n=- ,即 N?- ,0?,此时NA·NB=- . 4 16 ? 4 ? 7 15 → → 当直线 AB 与 x 轴垂直时,若 n=- ,则NA·NB=- . 4 16 → → ? 7 ? 综上所述,在 x 轴上存在定点 N?- ,0?,使NA·NB为常数. ? 4 ? 22、【解答】解:(1)当 m=1 时, ,

7

∴y=g(x)在 x=1 处的切线斜率 由 ∴



,∴y=f(x)在 x=1 处的切线斜率 k=1, ,∴n=5.

(2)易知函数 y=f(x)﹣g(x)的定义域为(0,+∞), 又 ,

由题意,得

的最小值为 负,

∴m(1﹣n)>4,由 m>0,1﹣n>0, ∴ ,

∴m+(1﹣n)>4 或 m+1﹣n<﹣4 舍, ∴m﹣n>3 或 m﹣n<﹣5 舍; ∴m﹣n>3 (3)解法一、假设存在实数 a,使得 f( 令 θ (x)= 则 θ '(x)= 设 , , )?f(e )+f(
ax

)≤0 对任意正实数 x 恒成立. ,其中 x>0,a>0,

∴δ (x)在(0,+∞)单调递减,δ (x)=0 在区间(0,+∞)必存在实根, 不妨设 δ (x0)=0,即 可得 , (*)θ (x)在区间(0,x0)上单调递增,

在(x0,+∞)上单调递减, 所以 θ (x)max=θ (x0),θ (x0)=(ax0﹣1)?ln2a﹣(ax0﹣1)?lnx0, 代入(*)式得 根据题意 又根据基本不等式, , 恒成立. ,当且仅当 时,等式成立

8

即有 代入(*)式得, 解得 .

,即 ax0=1,即 ,即

. ,

解法二、假设存在实数 a,使得 f(

)?f(eax)+f(

)≤0 对任意正实数 x 恒成立.

令 θ (x)=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=(ax﹣1)(ln2a﹣lnx),其中 x>0,a>0 根据条件 对任意正数 x 恒成立,

即(ax﹣1)(ln2a﹣lnx)≤0 对任意正数 x 恒成立,





,解得







时上述条件成立,此时

. )?f(e )+f(
ax

解法三、假设存在实 数 a,使得 f(

)≤0 对任意正实数 x 恒成立.

令 θ (x)=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=(ax﹣1)(ln2a﹣lnx),其中 x>0,a>0 要使得(ax﹣1)(ln2a﹣lnx)≤0 对任意正数 x 恒成立, 等价于(ax﹣1)(2a﹣x)≤0 对任意正数 x 恒成立, 即 设函数 对任意正数 x 恒成立, ,则 φ (x)的函数图象为开口向上,

与 x 正半轴至少有一个交点的抛物线, 因此,根据题意,抛物线只能与 x 轴有一个交点, 即 ,所以 .

9


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