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1. 2.2 空间两条直线的位置关系(2)



1. 2

点、线、面之间的位置关系 空间两条直线的位置关系(2)

1.2.2

复习回顾:
1.空间两直线的位置关系.
位置关系 相交 共面情况 公共点个数 有且只有一个

在同一平面内
平行 没有 异面 不同在任一平面内

2.平行公理. 3.

空间等角定理. 对于异面直线,如何判定,又如何进一步刻画呢?

2.判定异面直线的方法: (1)根据异面直线的定义;应用反证法来证明。
(2)过平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内

不经过该点的直线是异面直线。(定理) 符号表示:若A??,B??,B?l, l??,则直线AB与l是异面直线 —— 两点一线一面 3.异面直线的画法: b b b
a α a α

a

画异面直线一定要依托于平面.

异面直线的判断与证明 如右图,在空间四边形ABCP中,连接AC、PB,D、E是 PC上不重合的两点,F、H分别是PA、PB上的点,且与点

P不重合.
求证:EF和DH是异面直线.

方法一:反证法

证明:
假设EF、DH不是异面直线,则由两直线的位置关系知, 它们必在同一个平面α内. ∴E∈α,D∈α.∴ED?α,即PC?α. ∴P∈α,C∈α.又∵H∈α,∴PH?α. ∵B∈PH,∴B∈α. 同理,由F∈α可得:A∈α.

由此可知,P、A、B、C四点都在平面α内,这与四点是空 间四边形的四个顶点不共面相矛盾.
故假设不成立,于是EF与DH是异面直线.

方法二异面直线判定定理 证明 ∵PA∩PC=P,

∴PA、PC确定一个平面,不妨记平面为α. ∵E∈PC,F∈PA,∴E∈α,F∈α.

∴EF?α.
∵D∈PC, ∴D∈α,且D?EF. ∵PB∩α=P,H∈PB, ∴ H? α. ∴EF与DH是异面直线.

规律总结:(1)异面直线的判定方法一般有两种:①利 用异面直线的判定定理;②反证法. (2)证明两直线异面,一般要从定义出发,由于定义是一个 否定形式的命题,因而常用反证法.反证法也是常用的一 种重要的思维方式和数学方法,它在立体几何中有着广泛 的应用.反证法的一般步骤为:

①反设:即作出与命题结论相反的假设; ②归缪:以所作的假设为依据,通过严格的逻辑推理,导 出矛盾; ③结论:判断产生矛盾的原因在于所作的假设是错误的, 因而原命题正确. 导出逻辑矛盾时常出现以下几种情形: ①与定义、公理、定理、推论及性质等的矛盾;

②与已知条件的矛盾;
③与假设的矛盾; ④自相矛盾.

?变式训练 1.如右图所示,已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P, A∈a,B∈a,C∈b,D∈c.求证:AD与BC是异面直线.

证明(反证法):假设AD与BC共面,所确定的平面 为α,那么点P、A、B、C、D都在平面α内.∴直

线a、b、c都在平面α内,此与已知条件a、b、c不
共面相矛盾.∴AD和BC是异面直线.

定量

——异面直线所成的角

①空间内O点“任取”,说明角的大小与点O的位置选取无关, 只
由两直线的相对位置所确定;

②a?,b?相交,转化为平面内两相交直线所成的角进行度量,
立体问题平面化; ③{?|0? <?≤90? }. b b? O a?

?

a?
a

特别地:? =90? 时,称两条异面直线互相垂直.记作: a⊥b. * 空间两直线互相垂直,不一定有垂足. 异面直线互相垂直一定没有垂足.

例2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求下列各对异面直线所 成的角
(1)A1B与C1C; (2)AC与B1D1; (3)AC与BC1 (4)A1B与B1D1. D1 A1 转化为平面角 C1

B1

D A 主要步骤:①构造平面角; ②证明; ③求角计算. O B

C

规律总结:(1)求异面直线所成的角就是要通过平移 转化的方法将异面直线所成角转化成同一平面内的 直线所成的角,放到同一三角形中求解. (2)要多角度地平移,不能局限于一个平面.

小结:求异面直线所成的角的方法与步骤是: (1)根据定义找出或作辅助线找出所求的角并设为θ;

(2)选取适当的三角形(θ为其一个内角),通过解
三角形求得θ的值; (3)异面直线所成的角的范围是 0<θ≤900,尽量用 余弦定理; (4)若余弦值为负,则θ为其补角;

(5)如果两条异面直线所成的角为直角,只需证它们垂直而不找角。

归纳为:①作辅助线找角;②指出角(或其补角); ③求角(解三角形);④结论。

?变式训练

2.如右下图,空间四边形ABCD中,E、F分别是对角线
BD、AC的中点,若BC=AD=2EF,求直线EF与直线AD 所成的角及直线EF与直线BC所成的角.

解析:因为E是BD中点,F是AC中点,故联想三角 形中位线定理,取CD中点G,连接EG、FG,故EF与 BC所成的角(∠FEG)就是平面直线EF与BC所成的 角.由BC=AD=2EF,而EF=EG=FG,所以

△EFG为正三角形,所以∠FEG=60°,即EF与BC
所成角也为60°.

练习: 1.指出下列命题是否正确,并说明理由. ①过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线. ②过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直. ③若a∥b,c⊥a则b⊥c. ④若c⊥a,b⊥c则a∥b. ⑤分别与两条异面直线a,b都相交的两条直线c,d一定异面. D1 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 与AD1所成角为60?的面对角线
有 条 D A B

C1 B1 C

A1

小结:
1.异面直线的判定. ①反证法 ② 判定定理:若A??,B??,B?l,l??,则直线AB与l是异面 直线. —— 两点一线一面

2.异面直线所成的角.

归纳为:①作辅助线找角;②指出角(或其补角); ③求角(解三角形);④结论。

3.已知不共面的三直线a,b,c相交于点O,M,P是a上两点,N, Q分别在b,c上 .求证:MN,PQ异面. a P M
O Q N c

?

b

作业:
课本第31页习题1.2(1)第11题



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