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浙江省杭州学军中学2014学年高三第五次月考数学(理)试题



浙江省杭州学军中学 2014 学年高三第五次月考 数学(理)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1、 >1 的一个充分不必要条件是 y A. x ? y B. x ? y ? 0
x

2、已知点 P 是函数 f ( x) ? sin(? x ? 则 f ( x) 的最小正周期是 A.

/>?
6

C. x ? y

D. y ? x ? 0
4

) 的图像 C 的一个对称中心,若点 P 到图像 C 的对称轴距离的最小值为 ? ,
?
2

2?
? ?

B.

?

C.

D.

?
4

3、已知 M ? ?? x, y ? A.-6 或-2

y ?3 ? ? 3? , N ? ?? x, y ? ax ? 2 y ? a ? 0? ,若满足 M ? N ? ? ,则实数 a 的值为 x?2 ?
B.-6 C.2 或-6 D.2

4、若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.

1 3

B.

2 3

C.
2 2

D. 2

5、设斜率为

2 x y 的直线与椭圆 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0 ? 交于不同的两点,且这两 2 a b

个交

点在 x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为 A. 1 3 B.

3 3

C.

1 2

D.

2 2

6、函数 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,则函数 y ? f (| x ? 1 |) ? 1 的图象可能是

7、设等差数列{ an }满足: 此时正整数 n 的值是 A.12 B.11

a11 ? ?1 ,且其前 n 项的和 S n 有最大值,则当数列{ S n }的前 n 项的和取得最大值时, a12
C.23 D.22

8、若直线 x cos ? ? y sin ? ? 1 ? 0 与圆 ( x ? cos ? ) 2 ? ( y ? 1) 2 ?

1 相切,且 ? 为锐角,则这条直线的斜率是 16

A. ? 3

B. ?

3 3

C.

3 3

D. 3

9、 已知圆 O1 : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 16 和圆 O2 : x 2 ? y 2 ? r 2 (0 ? r ? 2) , 动圆 M 与圆 O1 和圆 O2 都相切, 动圆圆心 M 的轨迹为两个椭圆,设这两个椭圆的离心率分别为 e1 和 e2 ( e1 ? e2 ) ,则 e1 ? 2e2 的最小值为

3? 2 2 A. 4
y 1
1 2

3 B. 2
y 1
1 2

C. 2
y 1
1 2

3 D. 8
y 1
1 2

D1 A1

C1
E M
B1

D A

F B

C

x
O
2 2

x
O
2 2

x
O
2 2

x
O
2 2

2

2

2

2

10 、 如 图 : 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的

棱长为, EA M 、直线 AB 的平面将正方体 , F 分别是棱 A1 B1 , CD B 的中点,点 M 是 EF C 的动点, FM ? x ,过点 D 分成上下两部分,记下面那部分的体积为 V ( x) ,则函数 V ( x) 的大致图像是

二、填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11、 设正项等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n , 且 210 S30 + S10 = (210 ? 1) S 20 , 则数列 ?an ? 的公比为_▲ __. 12、 一个棱长为 6 的正四面体纸盒内放一个正方体, 若正方体可以在纸盒内任意转动, 则正方体棱长的最大值为_____▲ ____. 13、 如图, 线段 AB ? 2 , 点 A, B 分别在 x 轴和 y 轴的非负半轴上运动. 以 AB 为一边, 在第一象限内作矩形 ABCD , BC ? 1 .设 O 为原点,则 OC ? OD 的取值范围是_____▲ ____. 14、定义域为 R 的奇函数 f ( x) ? x x ? m ,若对任意的 x1 , x2 ? ?1,1 ? a ? ,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 ,则实数 a 的取 值范围是_____▲ ____.

? x ≥ 0, ? 15、若 a ≥ 0,b ≥ 0 ,且当 ? y ≥ 0, 时,恒有 ax ? by ≤ 1 ,则以 a,b 为坐标的点 P (a,b) 所形成的平面区 ? x ? y ≤1 ?
域的面积等于_____▲____. 16、已知 ?ABC 的三个顶点 A(?1 , 0) , B(1 , 0) , C (3 , 2) ,其外接圆为圆 H .对于线段 BH 上的任意一点 P ,若在 以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M , N ,使得点 M 是线段 PN 的中点,则圆 C 的半径 r 的取值范围是 _____▲ ____.

D E

B

C

17、设函数 f ( x), g ( x) 满足下列条件: (1) f (?1) ? ?1, f (0) ? 0, f (1) ? 1. (2)对任意实数 x1 , x 2 都有 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? g ( x1 ? x 2 ) 则当 n ? 2, n ? N * 时, ? f ( x)? ? ?g ( x)? 的最大值为_____▲ ____.
n n

A

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c (1) 求角 B 的大小; (2) 若 x ? [0,? ) ,求函数 f ( x ) ? sin( x ? B ) ? sin x 的值域.
3 ,已知 a, b, c 成等比数列,且 sin A sin C ? . 4

1 19.如图, DC 垂直平面 ABC , ?BAC ? 90 , AC ? BC ? kCD ,点 E 在 BD 上,且 BE ? 3ED . 2

(1)求证: AE ? BC ; (2)若二面角 B ? AE ? C 的大小为 120 ,求 k 的值.

20. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,且 an ? (1) 求数列 {an } 的通项公式;

n an ?1 ? 2n ? 3n ? 2 (n ? 2, n ? N * ) . n ?1

3n ?1 (2) 令 bn ? (n ? N * ) ,数列 {bn } 的前 n 项和为 S n ,试比较 S 2n 与 n 的大小,并证明. an

21.设椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F,过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A,B 两点,直线 l 的倾斜角 a 2 b2

为 60 , AF ? 2 FB .
o

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)如果|AB|=

15 ,求椭圆 C 的方程. 4

D E

B

C

A

22.已知函数 f ( x) ? x x ? a ? bx (1)当 a ? 2 ,且 f ( x) 是 R 上的增函数,求实数 b 的取值范围; ; (2)当 b ? ?2 , 且对任意 a ? (?2,4) , 关于 x 的方程 f ( x) ? tf (a ) 总有三个不相等的实数根, 求实数的取值范围.

2014 学年杭州学军中学第五次月考 数学(理)答题卷
一、选择题( 答案请填入答题卡中) 二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、 15、 12、 16、 13、 17、 14、

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18.(14 分)

19.(14 分)

20.(14 分)

21.(15 分)

22.(15 分)

2014 学年杭州学军中学第五次月考 数学(理)参考答案
BBACD 11、 BDAAC 12、

1 2

2
15、1

13、 [1,3] 16、
10 4 ?r? 10 3 5

14、 0 ? a ?

3 ?1

17、

1

18.(Ⅰ )因为 a、b、c 成等比数列,则 b2 ? ac .由正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C .
3 3 3 又 sin A sin C ? ,所以 sin 2 B ? .因为 sinB>0,则 sin B ? . 4 4 2 ? 2? 因为 B∈ (0,π),所以 B= 或 .
3 3

又 b2 ? ac ,则 b ? a 或 b ? c , 即 b 不是△ ABC 的最大边,故 B ? (Ⅱ )因为 B ?

π . 3

π ? ? ? , 则 f ( x ) ? sin( x ? ) ? sin x ? sin x cos ? cos x sin ? sin x 3 3 3 3

3 3 ? ? sin x ? cos x ? 3 sin( x ? ) . 2 2 6

x ? [0,? ) ,则 ?

?
6

? x?

?
6

?

5? ? 1 ,所以 sin( x ? ) ? [ ? ,1] . 6 6 2

故函数 f ( x ) 的值域是 [ ? 19.(Ⅰ)由题 an ?

3 , 3] . 2

a a n an ?1 ? 2n ? 3n ? 2 知, n ? n ?1 ? 2 ? 3n ? 2 , n ?1 n n ?1 an a1 由累加法,当 n ? 2 时, ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? ? 2 ? 3n?2 n 1
代入 a1 ? 1 得, n ? 2 时,

an 2(1 ? 3n?1 ) ? 1? ? 3n?1 n 1? 3

又 a1 ? 1 ,故 an ? n ? 3n?1 (n ? N * ) . (II) n ? N * 时, bn ?

3n?1 1 1 1 ? ,则 S 2n ? 1 ? ? ? an n 2 3

?

1 2n

1 1 1 ? ? ? n)?n 2 3 2 1 1 1 所以 f (n ? 1) ? (1 ? ? ? ? n ?1 ) ? ( n ? 1) 2 3 2
记函数 f (n) ? S 2n ? n ? (1 ? 则 f (n ? 1) ? f (n) ? (

1 1 ? n ? n 2 ?1 2 ? 2

?

1 2n ) ? 1 ? ?1 ? 0 2n?1 2n ? 1

所以 f (n ? 1) ? f (n) . 由于 f (1) ? S 21 ? 1 ? (1 ? ) ? 1 ? 0 ,此时 S 21 ? 1 ;

1 2 1 1 1 f (2) ? S 22 ? 2 ? (1 ? ? ? ) ? 2 ? 0 ,此时 S 22 ? 2 ; 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 f (3) ? S 23 ? 3 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? 3 ? 0 ,此时 S 23 ? 3 ; 2 3 4 5 6 7 8

由于, f (n ? 1) ? f (n) ,故 n ? 3 时, f (n) ? f (3) ? 0 ,此时 S 2n ? n . 综上所述:当 n ? 1, 2 时, S 2n ? n ;当 n ? 3(n ? N ) 时, S 2n ? n .
*

20.(Ⅰ)过 E 点作 EF ? BC 与点 F,连 AF,于是 EF // DC 所以 EF ? 平面ABC ,又 BC ? 平面ABC ,所以 EF ? BC ;
1 3 又 ?BAC ? 90 , AC ? BC ,所以 ?ABF ? 30 ,所以 AB ? BC , 2 2 3 BE BF 3 ? ? , BF ? BC ,所以 4 BD BC 4
BF AB 3 ? ? , 所以 ?BAF 与 ?BCA 相似, 所以 ?BFA ? 90 , 即 AF ? BC ; 又 AF ? EF ? F , 于是 BC ? 平面AEF , AB BC 2

又 AE ? 平面AEF , 所以 BC ? AE . (2)解法一(空间向量法) 如右图,以 F 为原点,FA 为 x 轴,FC 为 y 轴,FE 为 z 轴,建立空间 直角坐标系,则 A( 是 AE ? ( ?
AB ? ( ?

…………………6′

3 1 3 3 ,0,0) , B(0, ? ,0) , C (0, ,0) , E (0,0, ) ,于 2 2 2 4k

3 3 3 1 ,0, ) , AC ? ( ? , ,0) , 2 2 2 4k

3 3 , ? ,0) , 设 平 面 ABE 的 法 向 量 为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 2 2

? ?? ? ? AB ? n1 ? 0 ? ,于是 ? ? ? ?? ? AE ? n2 ? 0 ? ?

3 3 x1 ? y1 ? 0 3 1 2 2 , y1 ? ? , ,令 z1 ? 1 ,得 x1 ? 2k 2k 3 3 x1 ? z1 ? 0 2 4k

得 n1 ? (

3 1 , ? ,1) . 2k 2k

设平面 ACE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,
? ?? ? AC ? n1 ? 0 ? ? ,于是 ? ? ? ?? ? AE ? n2 ? 0 ? ? 3 1 x2 ? y2 ? 0 3 3 3 3 2 2 , y2 ? ,令 z2 ? 1 ,得 x2 ? ,得 n1 ? ( , ,1) . 2k 2k 2k 2k 3 3 x2 ? z2 ? 0 2 4k

| cos120 |?

| n1 ? n2 | ? | n1 | ? | n2 |

1 3 1 ?1 ? 2 ?1 k2 k

,解得: k ?

2 ? 13 . 3

解法二: (综合几何法) 过 F 作 FG ? AE 于 G 点,连 GC,GB,由 AE ? BC ,可得 AE ? 平面BCG , 所以 AE ? CG , AE ? BG ,所以 ?BGC 为 B-AE-C 的平面角,设 AC=1, 则
AF ?

3 3 3 , EF ? ,所以 GF ? ,于是 2 4k 2 3 ? 4k 2
1? k2 3 ? k2 , GC ? , 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

GB ? 3

于是由 cos120 ?

BG 2 ? CG 2 ? BC 2 2 ? 13 ,得到 k ? .′ 2 BG ? CG 3

21.设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,由题意知 y1 <0, y2 >0. (Ⅰ)直线 l 的方程为

y ? 3( x ? c) ,其中 c ? a 2 ? b 2 .

? y ? 3( x ? c), ? 联立 ? x 2 y 2 得 (3a 2 ? b 2 ) y 2 ? 2 3b 2 cy ? 3b 4 ? 0 ? 2 ? 2 ?1 b ?a
解得 y1 ?

? 3b 2 (c ? 2a) ? 3b 2 (c ? 2a) , y ? 2 3a 2 ? b 2 3a 2 ? b 2

因为 AF ? 2 FB ,所以 ? y1 ? 2 y2 . 即

3b 2 (c ? 2a) ? 3b 2 (c ? 2a) ? 2 ? 3a 2 ? b 2 3a 2 ? b 2
c 2 ? . a 3

得离心率 e ?

(Ⅱ)因为 AB ? 1 ?

1 2 4 3ab 2 15 y2 ? y1 ,所以 ? 2 ? . 2 3 4 3 3a ? b



5 c 2 5 15 a .所以 a ? ,得 a=3, b ? 5 . ? 得b ? 3 a 3 4 4

x2 y 2 ? ? 1. 椭圆 C 的方程为 9 5

? x 2 ? (b ? 2) x, x ? 2 22.(1) f ( x) ? x x ? 2 ? bx ? ? 2 ?? x ? (b ? 2) x, x ? 2 因为 f ( x) 连续,所以 f ( x ) 在 R 上递增,等价于这两段函数分别递增, ?2 ? b ?2 ? 所以: ? 2 ,得: b ? 2 2?b ? ?2 ? 2 ? x 2 ? (a ? 2) x, x ? a (2) f ( x) ? x x ? a ? 2 x ? ? 2 , tf (a ) ? ?2ta ?? x ? (a ? 2) x, x ? a a?2 a?2 a?2 a?2 当 2 ? a ? 4时, ? ? a , f ( x)在(??, )上递增 ,在 ( , a ) 上递减, 2 2 2 2 a?2 a2 在 (a,??) 上递增,所以 f 极大 ( x) ? f ( )? ? a ? 1, f 极小 ( x) ? f (a ) ? ?2a , 2 4 ? 2a ? ?2ta ? ? 2 所以 ? a 对 2 ? a ? 4 恒成立,解得: 0 ? t ? 1 ? a ? 1 ? ?2ta ? ?4 a?2 a?2 a?2 a?2 a?2 当 ? 2 ? a ? 2时, , f ( x)在(??, ?a? )上递增 ,在 ( , ) 上递减, 2 2 2 2 2 a?2 a2 a?2 在( )? ? a ? 1, , ,??) 上递增,所以 f 极大 ( x) ? f ( 2 4 2 a?2 a2 a2 a2 f 极小 ( x) ? f ( ) ? ? ? a ? 1, 所以 ? ? a ? 1 ? ?2ta ? ? a ? 1, 对 ? 2 ? a ? 2 恒成立,解得: 2 4 4 4 0 ? t ?1 综上: 0 ? t ? 1



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