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2013年秋季高二数学12月月考试卷(含答案)



2013 年秋季高二数学 12 月份月考试卷
时间:120 分钟 分值:150 分 命题人:李免存

★★★祝考试顺利★★★
注意事项: 1. 考生务必将自己的姓名、班级、考号写在密封线内。 2.考试过程中不得使用计算器。

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.已知函数

/>
?lgx,x ? 0, y?? x 输入自变量 x 的值,输出对应函数值的算法中所用到的 ? 2 ,x ? 0,
( B ). B.顺序结构、条件结构 D.顺序结构、条件结构、循环结构

基本逻辑结构是 A.顺序结 构 C.条件结构

2.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台,其中至少有甲型与乙型电视机各 1 台,则 不同的取法共有 A. 140 种 B. 84 种 C. 70 种 D. 35 种 ( C )

3.从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取 3 个球,则互斥而不对立的事件是 ( D ) A.至少有一个红球;都是红球 B.至少有一个红球;都是白球 C.至少有一个红球;至少有一个白球 D.恰有一个红球;恰有两个红球 4.用秦九韶算法计算当 x=0.4 时,多项式 f(x)= 3x ? 4 x ? 6 x ? 7 x ? 1的值时,需要做乘
6 5 3 2

法运算的次数是 ( A ) A.6 B.5 C.4 D.3 5.在区间[0,1]内任取两个数 x,y,则这两个数的平方和也在[0,1]内的概率是 (A ) π π π π A. B. C. D. 4 10 20 40 6. 甲、乙两位同学在高三的 5 次月考中数学成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成 绩分别为 x 甲,x 乙 则下列叙述正确的是 ( C ). A.x 甲>x 乙;乙比甲成绩稳定 B.x 甲>x 乙;甲比乙成绩稳定 C.x 甲<x 乙;乙比甲成绩稳定 D.x 甲<x 乙;甲比乙成绩稳定 7.下列各进位制数中,最大的数是 ( C ) A.11111(2) B.1221(3) C.312(4) D.56(8) 8. 将一骰子抛掷两次, 所得向上点数分别为 m 和 n , 则函数 y ?

, 在 ?1 ? ?? 上为增函数的概率是
A.

2 2 mx ? nx ? 1 3
D.

( C

) C.

3 5

B.

5 6

2 3

1 6

9.已知某运动员每次投篮命中的概率等于 40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投 篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数,指定 1,2,3,4 表示 命中,5,6,7,8,9,0 表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机 模拟产生了如下 20 组随机数: 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A.0.35 B.0.25 C.0.20

( B )
2

D.0.15 1 x 3 10.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数:f(x)=x ,f(x)= ,f(x)=e ,f(x)=x ,

x

则可以输出的函数是( A.f(x)=x
2

D

) 1 B.f(x)=

C.f(x)=e

x

x 3 D.f(x)=x

11 题图

12 题图

10 题图

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)
11.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 的值是___-0.5_____ 12.某单位 200 名职工的年龄分布情况如图所示,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽 样法,将全体职工随机按 1~200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1~5 号,6~10 号?, 196~200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是___37_____.若用分层 抽样方法,则 40 岁以下年龄段应抽取___20_____人. 13.从 1,3,5,7,9 中任取三个数字,从 0, 2, 4,6,8 中任取两个数字,组成没有重复数字的五位 数,共有________11040________个 14. 为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,在全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参加 该小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互相不相同,则 样本数据中的最大值为_____10_______. 15.有六张分别写有数字 1、2、3、4、5、 的卡片,每次从中抽取一张,记下上面的数字, 、6 然后放回,这样取了 4 次,则抽到的最大数与最小数的差等于 5 的概率为 151/648 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)把一根长度为 7 的铁丝随机被截成 3 段. (Ⅰ)如果三段的长度均为整数,求能构成三角形的概率; (Ⅱ)如果截成任意长度的三段,求能构成三角形的概率.

17.(本小题满分 12 分)某个体服装店经营某种服装,在某周内获 纯利 y(元)与该周每天销售这种服装件数 x 之间的一组数据关系如下 表: x y 3 66 4 69
7

5 73

6 81

7 89
7

8 90

9 91
7

已 知 : ?x 2 = 280 , ?y i2 = 45209 , ?x iyi = 3487. i
i= 1 i= 1 i= 1

( 参考公式:

n ? x i y i ? nx y ? ?b ? i ?1 ? n ? 2 x i ? nx 2 ? i ?1 ? ?a ? y ? bx ?

?

?

(1)求 x , y ; (2)画出散点图; (3)求纯利 y 与每天销售件数 x 之间的回归方程; (4)若该周内某天销售服装 20 件,估计可获纯利多少元? [解析] y= (1) x = 3+4+5+6+7+8+9 =6, 7

66+69+73+81+89+80+91 559 = . 7 7

(2)散点图如图所示.

^ ^ (3)由散点图知,y 与 x 具有线性相关关系,设回归方程y =bx+a . ∵ ?x2=280, ?yi2=45209, ?xiyi=3487, i
i= 1 i= 1 i= 1 7 7 7

x =6, y =

559 , 7

∴b=

^

3487-7×6×

559 7 133 = =3.75, 28 280-7×36

^=559-6×4.75≈51.36. a 7 ^ ∴回归方程为y =4.75x+51.36. ^ (4)当 x=20 时,y =4.75×20+51.36≈146. 故该周内某天的销售量为 20 件时, 估计这天可获纯利大约为 146 元. 18.(本小题满分 12 分)(2012~2013· 北京西城二模)由世界自然基 金会发起的“地球 1 小时”活动,已发展成为最有影响力的环保活动 之一,今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际 效果与负面影响提出了疑问,对此,某新闻媒体进行了网上调查,所 有参与调查的人中,持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数 如下表所示:

支持 20 岁以下 20 岁以上(含 20 岁) 800 100

保留 450 150

不支持 200 300

(1)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 个人,已知 从“支持”态度的人中抽取了 45 人,求 n 的值; (2)在持“不支持”态度的人中, 用分层抽样的方法抽取 5 人看成 一个总体,从这 5 人中任意选取 2 人,求至少有 1 人 20 岁以下的概 率; (3)在接受调查的人中,有 8 人给这项活动打出的分数如下: 9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把这 8 个人打出的分数看作一个总体,从 中任取 1 个数,求该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率. [解析] (1)由题意得 800+100 = 45

800+450+200+100+150+300 ,所以 n=100. n (2)设所选取的人中,有 m 人 20 岁以下,则 m=2. 也就是 20 岁以下抽取了 2 人,另一部分抽取了 3 人,分别记作 A1,A2;B1,B2,B3, 则从中任取 2 人的所有基本事件为(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3), (A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A1,A2),(B1,B2),(B2,B3),(B1, B3)共 10 个. 其中至少有 1 人 20 岁以下的基本事件有 7 个:(A1,B1),(A1, B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A1,A2), 所以从中任意抽取 2 人,至少有 1 人 20 岁以下的概率为 7 . 10 200 m = ,解得 200+300 5

1 (3)总体的平均数为 x = (9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+ 8 8.2)=9, 那以与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的数只有 8.2, 1 所以该数与总体平均数之差的绝对值超过 0.6 的概率为 . 8 19.(2012~2013· 河南洛阳高三模拟)(本小题满分 12 分)某工厂对 一批产品进行了抽样检测.如图是根据抽样检测后的产品净重(单位: 克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样 本数据分组为[96,98],[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已 知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36.

(1)求样本数据中的众数、中位数、平均数。 (2) 求样本容量及样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数; (3)已知这批产品中每个产品的利润 y(单位:元)与产品净重 x(单位:克)的关系式为

?3,96≤x<98 ? y=?5,98≤x<104 ?4,104≤x≤106 ?

,求这批产品平均每个的利润.

[解析] 本题主要考查统计的相关知识与分段函数的意义等, 意 在考查考生的识图能力以及应用所学知识解决实际问题的能力. (1)产品净重小于 100 克的频率为(0.050+0.100)×2=0.300. 36 设样本容量为 n.∵样本中产品净重小于 100 克的个数是 36, n ∴

=0.300,∴n=120. ∵样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的频率为 (0.100+0.150+0.125)×2=0.750, ∴样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的产品的个数是 120×0.750=90. (2) 产 品 净 重 在 [96,98] , [98,104) , [104,106] 内 的 频 率 分 别 为 0.050×2=0.100,(0.100+0.150+0.125)×2=0.750,0.075×2=0.150. ∴ 其 相 应 的 频 数 分 别 为 120×0.100 = 12,120×0.750 = 90,120×0.150=18. ∴这批产品平均每个的利润 4.65(元). 20.我校在一次趣味运动会的颁奖仪式上,高一、高二、高三各 代表队人数分别为 60 人、60 人、n 人.为了活跃气氛,大会组委会 在颁奖过程中穿插抽奖活动,并用分层抽样的方法从三个代表队中共 抽取 20 人在前排就坐,其中高二代表队有 6 人. (1)求 n 的值; (2)把在前排就坐的高二代表队 6 人分别记为 a,b,c,d,e,f, 现随机从中抽取 2 人上台抽奖. a 和 b 至少有一人上台抽奖的概率. 求 (3)抽奖活动的规则是:代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0, 1]之间的均匀随机数 x,y,并按如图所示的程序框图执行.若电脑显 示“中奖”,则该代表中奖;若电脑显示“谢谢”,则不中奖,求该代表中 奖的概率. 1 (12×3 + 90×5 + 18×4) = 120

20.解: (1)n=80

(4 分)

(2) P( M ) ?

9 3 ? 15 5

(6 分)

?0 ? x ? 1 (3)由已知,可得 ? ,点 ( x, y ) ?0 ? y ? 1

在如图所示的正方形 OABC 内,
?2 x ? y ? 1 ? 0 ? 由条件 ?0 ? x ? 1 ,得到区域为图中的阴影部分. ?0 ? y ? 1 ?

由 2 x ? y ? 1 ? 0 ,令 y ? 0 得 x ?
1 1 3 ∴ S阴 ? ? (1 ? ) ?1 ? 2 2 4

1 ,令 y ? 1 得 x ? 1 . 2

设“该运动员获得奖品”为事件 N ,则该运动员
3 .????????????????????(13 分) 4

过的奖品的概率是 P( N ) ?

3 4

1

?

21、在平面直角坐标系 xoy 中,已知圆 C1 : ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 和圆 C2 : ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 4 . (1)若直线 l 过点 A(4,0) ,且被圆 C1 截得的弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)设 P 为平面上的点,满足:存在过点 P 的无穷多对互相垂直的直线 l1 和 l 2 ,它们分别与 圆 C1 和圆 C 2 相交,且直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,试求所 有满足条件的点 P 的坐标。 【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、 综合分析问题的能力。满分 14 分。

(1)设直线 l 的方程为: y ? k ( x ? 4) ,即 kx ? y ? 4k ? 0 由垂径定理,得:圆心 C1 到直线 l 的距离 d ? 42 ? ( 结合点到直线距离公式,得:

2 3 2 ) ? 1, 2

| ?3k ? 1 ? 4k | k 2 ?1

? 1,

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

化简得: 24k 2 ? 7k ? 0, k ? 0, or , k ? ? 求直线 l 的方程为: y

7 24

? 0或 y ? ?

7 ( x ? 4) ,即 y ? 0 或 7 x ? 24 y ? 28 ? 0 24

(2) 设点 P 坐标为 (m, n) ,直线 l1 、 l 2 的方程分别为:

1 1 1 y ? n ? k ( x ? m), y ? n ? ? ( x ? m) ,即: kx ? y ? n ? km ? 0, ? x ? y ? n ? m ? 0 k k k
因为直线 l1 被圆 C1 截得的弦长与直线 l 2 被圆 C 2 截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定 理,得: :圆心 C1 到直线 l1 与 C 2 直线 l 2 的距离相等。 故有: | ?3k ? 1 ? n ? km |
w.w.w.k. s.5.u.c.o.m

k 2 ?1

4 1 | ? ?5? n? m| k , ? k 1 ?1 k2

化简得: (2 ? m ? n)k ? m ? n ? 3, 或(m ? n ? 8)k ? m ? n ? 5 关于 k 的方程有无穷多解,有: ?

?2 ? m ? n ? 0 ? m-n+8=0 ,或 ? ?m ? n ? 3 ? 0 ? m+n-5=0

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

解之得:点 P 坐标为 (? 3 , 13 ) 或 ( 5 , ? 1 ) 。 2 2 2 2



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