9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

高考数学公式总结大全



高中数学公式大全

1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式
CU ( A ? B ) ? CU A ? CU B; CU ( A ? B ) ? CU A ? CU B .

3.包含关系
A ? B ? A ? A ? B ? B ? A ?

B ? CU B ? CU A
? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R

4.容斥原理
card ( A ? B ) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B ) card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B ) ? card ( A ? B ) ? card ( B ? C ) ? card (C ? A) ? card ( A ? B ? C ) .

5.集合 {a1 , a2 ,? , an } 的子集个数共有 2 n 个;真子集有 2 n –1 个;非空子集有 2 n –1 个;非空的真子集有 2 n –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? c (a ? 0) ; (2)顶点式 f ( x) ? a ( x ? h) 2 ? k (a ? 0) ; (3)零点式 f ( x) ? a ( x ? x1 )( x ? x2 )( a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x) ? M 常有以下转化形式
N ? f ( x ) ? M ? [ f ( x ) ? M ][ f ( x ) ? N ] ? 0 f ( x) ? N M ?N M ?N ?0 |? ? | f ( x) ? ? M ? f ( x) 2 2 1 1 . ? ? f ( x) ? N M ? N

8. 方 程 f ( x) ? 0 在 (k1 , k 2 ) 上 有 且 只 有 一 个 实 根 , 与 f ( k1 ) f ( k 2 ) ? 0 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件. 特别地, 方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有且只有一个实根在 (k1 , k 2 ) 内, 等价于
k1 ? k 2 2

f ( k1 ) f ( k 2 ) ? 0 ,或 f ( k1 ) ? 0 且 k1 ? ?
b 2a ? k2 .

b 2a

?

k1 ? k 2 2

,或

f (k 2 ) ? 0



??

9.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

在x ? ?

b 2a

处及区间的两端点处取得,具体如下: 当
b 2a

(1)
f ( x ) min ? f ( ? x??

a>0







x??

b ? ? p, q ? 2a





), f ( x ) max ? max

? f ( p ), f ( q )? ;

b ? ? p , q ?, f ( x ) max ? max ? f ( p ), f ( q )? , f ( x ) min ? min ? f ( p ), f ( q )? . 2a (2)当 a<0 时,若 x ? ? b ? ? p, q ?,则 f ( x ) min ? min ? f ( p ), f ( q )? , 2a b 若 x ? ? ? ? p, q ?, f ( x ) max ? max ? f ( p ), f ( q )? ,f ( x ) min ? min ? f ( p ), f ( q )? . 则 2a

10.一元二次方程的实根分布 依据:若 f ( m) f ( n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m , n ) 内至少 有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则 ( 1 ) 方 程 f ( x) ? 0 在 区 间 (m,?? ) 内 有 根 的 充 要 条 件 为
? p 2 ? 4q ? 0 ? ; f ( m) ? 0 或 ? p ? ?m ? ? 2

(2)方程

f ( x) ? 0

在 区 间 (m ,n )内 有 根 的 充 要 条 件 为

? f (m) ? 0 ? f (n) ? 0 ? f (n) ? 0 ? f (m) ? 0 ? 或? ; f ( m) f ( n) ? 0 或 ? p 2 ? 4 q ? 0 或 ? ? ? af ( n ) ? 0 ? af ( m ) ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2

(3)方程
2

f ( x) ? 0

在 区 间 (?? ,n ) 内 有 根 的 充 要 条 件 为

? p ? 4q ? 0 ? f (m) ? 0 或 ? p ?? ? m ? 2

.

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (?? ,?? ) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ? , ?? ,?? ? 不同)上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立 的充要条件是 f ( x, t ) min ? 0( x ? L) . (2)在给定区间 (?? ,?? ) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t ) man ? 0( x ? L ) .

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(3)

f ( x ) ? ax ? bx ? c ? 0
4 2

恒成立的充要条件是

?a ? 0 ? ?b ? 0 ?c ? 0 ?



?a ? 0 . ? 2 ? b ? 4 ac ? 0

12.真值表 p q 非 p或 p且 p q q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 真 假 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有 一个 都是 不都是 至 多 有 一个 大于 不大于 至 少 有 n个 小于 不小于 至 多 有 n个 对 所 有 存在某 p 或q x, x, 成立 不成立 对 任 何 存在某 p 且q x, x, 不成立 成立 14.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互逆

反设词 一个也没有 至少有两个 至 多 有 ( n ? 1 )个 至 少 有 ( n ? 1 )个
?p 且 ?q

?p 或 ?q

逆命题 若q则p

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆

互 互 否 否 逆否命题 若非q则非p

15.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反 之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么
( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x )在?a , b ? 上是增函 x1 ? x2

数;
( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x )在?a , b ? 上是减函 x1 ? x2

数. (2)设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数;如果 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数. 17.如果函数 f ( x ) 和 g (x) 都是减函数,则在公共定义域内, 和函数 f ( x) ? g ( x) 也是减函数; 如果函数 y ? f (u ) 和 u ? g (x) 在其 对应的定义域上都是减函数,则复合函数 y ? f [ g ( x)] 是增函数. 18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对 称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个 函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这 个函数是偶函数. 19.若函数 y ? f (x) 是偶函数,则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ;若函数
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

y ? f ( x ? a ) 是偶函数,则 f ( x ? a ) ? f ( ? x ? a ) . f (x ) ( x ? R ), f ( x ? a ) ? f (b ? x ) 恒成立,则函 数 f ( x ) 的 对 称 轴 是 函 数 x ? a ? b ; 两 个 函 数 y ? f ( x ? a) 与 2 a?b 对称. y ? f (b ? x) 的图象关于直线 x ? 2 21.若 f ( x) ? ? f (? x ? a ) ,则函数 y ? f (x) 的图象关于点 ( a ,0) 对 2

20.对于函数 y ?

称; 若 f ( x) ? ? f ( x ? a ) ,则函数 y ? f (x) 为周期为 2a 的周期函数. 22.多项式函数 P ( x ) ? an x n ? an ?1 x n ?1 ? ? ? a0 的奇偶性 多项式函数 P( x) 是奇函数 ? P( x) 的偶次项(即奇数项)的 系数全为零. 多项式函数 P( x) 是偶函数 ? P( x) 的奇次项(即偶数项)的 系数全为零. 23.函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1) 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x ? a 对 称
? f ( a ? )x ? (f a ) x ?

? f (2a ? x ) ? f ( x ) .

(2) 函 数
? f ( a ? m) x?

y ? f ( x)

的 图 象 关 于 直 线

x?

a?b 2

对 称

( f ?b

)m x

? f ( a ? b ? mx ) ? f (mx ) .

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2) 函 数 y ? f (mx ? a) 与 函 数 y ? f (b ? mx) 的 图 象 关 于 直 线
x? a?b 2m

对称.

(3)函数 y ? f (x) 和 y ? f ?1 ( x) 的图象关于直线 y=x 对称. 25.若将函数 y ? f (x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到 函数 y ? f ( x ? a ) ? b 的图象;若将曲线 f ( x, y ) ? 0 的图象右移 a 、上 移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象. 26.互为反函数的两个函数的关系 f ( a ) ? b ? f ? 1 (b ) ? a . 27. 若 函 数 y ? f (kx ? b) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

y? y?

1 k 1 k

[f

?1

( x) ? b]

,并不是

y ?[f

?1

( kx ? b )

,而函数

y ?[f

?1

( kx ? b )



[ f ( x ) ? b ] 的反函数.

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a x , f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ), f (1) ? a ? 0 . (3)对数函数 f ( x ) ? log a x , f ( xy ) ? f ( x) ? f ( y ), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x ) ? x? , f ( xy ) ? f ( x ) f ( y ), f ' (1) ? ? . (5) 余 弦 函 数 f ( x) ? cos x , 正 弦 函 数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ? g ( x) g ( y ) ,
f (0) ? 1, lim
x?0

g ( x) x

?1.

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a ) ,则 f (x ) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,
1 ( f ( x ) ? 0) , f ( x) 或 f ( x ? a ) ? ? 1 ( f ( x) ? 0) , f ( x) 或 1 ? f ( x ) ? f 2 ( x ) ? f ( x ? a ), ( f ( x ) ? ? 0,1?) ,则 f (x ) 的周期 T=2a; 2 (3) f ( x ) ? 1 ? 1 ( f ( x ) ? 0) ,则 f (x ) 的周期 T=3a; f ( x ? a) f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ? x2 ) ? (4) 且 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )

或 f ( x ? a) ?

f ( a ) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1, 0 ?| x1 ? x2 |? 2 a ) ,则 f (x ) 的周期

T=4a;

(5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a ) f ( x ? 2a ) f ( x ? 3a ) f ( x ? 4a ) ,则 f (x ) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x ) 的周期 T=6a. 30.分数指数幂 (1) a (2) a
m n

?
?

1
n

m ? n

a 1
a

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

m n

31.根式的性质 (1) ( n a ) n ? a .
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(2)当 n 为奇数时, n a n 当 n 为偶数时, n a n

?a;

?a, a ? 0 ?| a |? ? . ?? a, a ? 0

32.有理指数幂的运算性质 (1) a r ? a s ? a r ? s (a ? 0, r , s ? Q ) . (2) (a r ) s ? a rs (a ? 0, r , s ? Q ) . (3) (ab) r ? a r b r ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) . 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 ap 表示一个确定的 实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适 用. 33.指数式与对数式的互化式
log a N ? b ? a b ? N ( a ? 0, a ? 1, N ? 0) .

34.对数的换底公式 log m N log a N ? ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1,
log m a

N ? 0 ).

推论
N ? 0 ).

log a m b n ?

n m

log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m, n ? 0

,且 m ? 1 , n ? 1 ,

35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) log a (MN ) ? log a M ? loga N ; (2)
log a M N ? log a M ? log a N

;

(3) log a M n ? n log a M (n ? R ) . 36.设函数 f ( x ) ? log m ( ax 2 ? bx ? c )( a ? 0) ,记 ? ? b 2 ? 4ac .若 f ( x ) 的定义域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f ( x ) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若 a ? 0 , b ? 0 , x ? 0 , x ? 1 ,则函数 y ? log ax (bx )
a

(1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( 1 , ?? ) 上 y ? log ax (bx ) 为增函数.
1


a (2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( 1 , ?? ) 上 y ? log ax (bx ) 为减函数. a a

a 1

推论:设 n ? m ? 1 , p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(1) log m ? p ( n ? p ) ? log m n . (2) log a m log a n ? log a 2 m ? n .
2

38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时 间 x 的总产值 y ,有 y ? N (1 ? p ) x . 39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系
n ?1 ? s1 , an ? ? ? sn ? sn ?1 , n ? 2
sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ).

(

数 列

{an }

的 前

n

项 的 和 为

40.等差数列的通项公式
an ? a1 ? ( n ? 1) d ? dn ? a1 ? d ( n ? N * ) ;

其前 n 项和公式为
sn ? n ( a1 ? an ) 2 ? na1 ? n ( n ? 1) 2 d

?

d 2

n 2 ? ( a1 ?

1 2

d )n .

41.等比数列的通项公式 a an ? a1q n ?1 ? 1 ? q n ( n ? N * ) ;
q

其前 n 项的和公式为
? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ? na , q ? 1 ? 1

? a1 ? a n q ,q ?1 或 sn ? ? 1 ? q . ? ? na , q ? 1 ? 1

42.等比差数列 ?an ? : an ?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为
?b ? ( n ? 1) d , q ? 1 ? a n ? ? bq n ? ( d ? b ) q n ?1 ? d ; ,q ?1 ? q ?1 ?

其前 n 项和公式为

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

? nb ? n ( n ? 1) d , ( q ? 1) ? sn ? ? . d 1? qn d (b ? ) ? n , ( q ? 1) ? 1? q q ?1 1? q ?

43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 x ?
b ).
ab (1 ? b ) n (1 ? b ) n ? 1

元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为

44.常见三角不等式 (1)若 x ? (0, ? ) ,则 sin x ? x ? tan x . (2) 若 x ? (0,
?
2 2 ) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 .

(3) | sin x | ? | cos x |? 1. 45.同角三角函数的基本关系式 sin ? , tan ? ? cot? ? 1 . sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 , tan ? =
cos?

46.正弦、余弦的诱导公式
(n 为偶数) (n 为奇数)

n ? ( ? 1) 2 sin ? , n? ? sin( ??) ? ? n ?1 2 ? ( ? 1) 2 co s ? , ?

(n 为偶数)

? ? ( ? 1) co s ? , co s( ??) ? ? n ?1 2 ? ( ? 1) 2 sin ? , ? n?
n 2

(n 为奇数)

47.和角与差角公式
sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?

; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;
tan(? ? ? ) ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

.

sin(? ? ? ) sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ?

(平方正弦公式); cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos 2 ? ? sin 2 ? .
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

a sin ? ? b cos ?

=

的象限决定, tan ? ?

a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) (辅助角 ? b

所在象限由点 ( a , b )

a

).

48.二倍角公式 sin 2? ? sin ? cos ? .
cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? 2 tan ? . tan 2? ? 1 ? tan 2 ?

.

49. 三倍角公式
sin 3? ? 3sin ? ? 4 sin 3 ? ? 4 sin ? sin( cos 3? ? 4 cos 3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos(
tan 3? ? 3 tan ? ? tan 3 ? 1 ? 3 tan ?
2

?
3

? ? ) sin( ? ? ) cos(

?

?

?

3

?? ) . ?? )

3

3

.

? tan ? tan(

?
3

? ? ) tan(

?
3

?? ) .

50.三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) , x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x∈R(A,ω, ? 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期 T ? 2? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) ,
x ? k? ?

?
2
a

,k ? Z

(A,ω, ? 为常数,且 A≠0,ω>0)的周期 T ? ? .
?
? c sin C ? 2R .

?

51.正弦定理
sin A ? b sin B

52.余弦定理
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ;
b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C

.

53.面积定理 (1)S ? 1 aha ? 1 bhb ? 1 chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上
2 2 2

的高). (2) S ? 1 ab sin C ? 1 bc sin A ? 1 ca sin B . (3) S ?OAB ?
2 1 2 2 2 ??? ? ??? 2 ??? ??? 2 ? ? ? (| OA | ? | OB |) ? (OA ? OB )

.

54.三角形内角和定理
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B)
? C 2 ?

?
2

?

A? B 2

? 2C ? 2? ? 2( A ? B ) .

55. 简单的三角方程的通解
sin x ? a ? x ? k? ? ( ?1) k arcsin a ( k ? Z ,| a |? 1) .

co s x ? a ? x ? 2k? ? arccos a ( k ? Z ,| a |? 1) . tan x ? a ? x ? k? ? arctan a (k ? Z , a ? R ) .

特别地,有
sin ? ? sin ? ? ? ? k? ? ( ?1) k ? ( k ? Z ) .

co s ? ? cos ? ? ? ? 2k? ? ? (k ? Z ) .
tan ? ? tan ? ? ? ? k? ? ? ( k ? Z ) .

56.最简单的三角不等式及其解集
sin x ? a (| a |? 1) ? x ? (2k? ? arcsin a , 2k? ? ? ? arcsin a ), k ? Z .
sin x ? a (| a |? 1) ? x ? (2k? ? ? ? arcsin a, 2k? ? arcsin a), k ? Z cos x ? a (| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a , 2k? ? arccos a ), k ? Z . cos x ? a (| a |? 1) ? x ? (2k? ? arccos a , 2k? ? 2? ? arccos a ), k ? Z .

.

tan x ? a ( a ? R ) ? x ? ( k? ? arctan a , k? ?

?
2

), k ? Z .

tan x ? a ( a ? R ) ? x ? ( k? ?

?
2

, k? ? arctan a ), k ? Z .

57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么 (1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ? b); ( (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c. 59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对 于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使 得 a=λ1e1+λ2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) , b ? 0, a ? b(b ? 0) ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . 且 则 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ. 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cosθ的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . ??? ??? ??? ? ? ? (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x, y ), ? ? R ,则 ? a= (? x, ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,则 a·b= ( x1 x2 ? y1 y2 ) . 63.两向量的夹角公式 x1 x2 ? y1 y 2 cos ? ? (a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ). 2 2 2 2
x1 ? y1 ? x2 ? y 2

64.平面两点间的距离公式 ??? ? ??? ??? ? ? d A , B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ). 65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λa ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 66.线段的定比分公式 设 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P ( x, y ) 是线段 P1 P2 的分点, ? 是实数, ??? ? ???? 且 P1 P ? ? PP2 ,则
x1 ? ? x2 ? ???? ???? ?x ? 1? ? ??? OP ? ? OP ? ? 2 ? OP ? 1 ? y1 ? ? y 2 1? ? ?y ? ? 1? ? ? ??? ? ???? ???? 1 ? OP ? tOP1 ? (1 ? t )OP2 ( t ? 1? ?

).

67.三角形的重心坐标公式
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y 2 )、 C(x3 ,y3 ) , 则△ABC 的重心的坐标是 G ( x1 ? x2 ? x3 , y1 ? y2 ? y3 ) .
3 3

68.点的平移公式
???? ??? ???? ? ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ?? ? OP ' ? OP ? PP ' ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ? k ? ?

.

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F ' 上的对 ???? 应点为 P ' ( x ' , y ' ) ,且 PP ' 的坐标为 ( h, k ) . 69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到点 P ' ( x ? h, y ? k ) . (2) 函数 y ? f ( x) 的图象 C 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . (3) 图象 C ' 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析 式 y ? f ( x) ,则 C ' 的函数解析式为 y ? f ( x ? h) ? k . (4)曲线 C : f ( x, y ) ? 0 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到图象 C ' ,则 C ' 的方程为 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 . (5) 向量 m= ( x, y ) 按向量 a= ( h, k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x, y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,则 ??? 2 ??? 2 ???? 2 ? ? (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . ??? ??? ???? ? ? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ??? ??? ???? ???? ??? ? ? ? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . ??? ? ??? ? ???? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . ??? ? ??? ? ???? (5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC . 71.常用不等式: (1) a, b ? R ? a 2 ? b 2 ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). (2) a , b ? R ? ? a ? b ?
2 ab

(当且仅当 a=b 时取“=”号).

(3) a 3 ? b3 ? c 3 ? 3abc (a ? 0, b ? 0, c ? 0). (4)柯西不等式
( a 2 ? b 2 )(c 2 ? d 2 ) ? ( ac ? bd ) 2 , a , b, c, d ? R.

(5) a ? b

? a?b ? a ? b

.

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

72.极值定理 已知 x, y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2
4

p



(2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 1 s 2 . 推广 已知 x, y ? R ,则有 ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? 2 xy (1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 73.一元二次不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0(或 ? 0) ( a ? 0, ? ? b 2 ? 4ac ? 0) , 如果 a 与 ax 2 ? bx ? c 同 号, 则其解集 在 两根之外;如 果 a 与 则其解集在两根之间.简言之: 同号两根之外, ax 2 ? bx ? c 异号, 异号两根之间. x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) . 74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有 x ? a ? x ? a ? ?a ? x ? a . x ? a ? x 2 ? a 2 ? x ? a 或 x ? ?a . 75.无理不等式
2 2
2
2

(1) (2) (3)

f ( x) ?

? f ( x) ? 0 ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

.

? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? . ? f ( x ) ? [ g ( x )]2 ? g ( x ) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 . ? f ( x ) ? [ g ( x )]2 ?

76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时, f (x) a ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g ( x ) ? ? g ( x ) ? 0 . ? f ( x) ? g ( x) ?

(2)当 0 ? a ? 1 时,
a f ( x ) ? a g ( x ) ? f ( x) ? g ( x) ;

? f ( x) ? 0 ? log a f ( x ) ? log a g ( x ) ? ? g ( x ) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?

77.斜率公式 y ? y1 ( P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ). k? 2
x2 ? x1

78.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P1 ( x1 , y1 ) ,且斜率 为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 ( x1 ? x2 )). (4)截距式
a、b ? 0 )
x a ? y b ? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距,
y ? y1 y 2 ? y1 ? x ? x1 x2 ? x1

(

y1 ? y 2

)(

P ( x1 , y1 ) 1



P2 ( x2 , y2 )

(5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). 79.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k 2 x ? b2 ① l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; ② l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零, ① l1 || l2 ? A1 ? B1 ? C1 ;
A2 B2 C2

② l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ; 80.夹角公式 (1) tan ? ?| k 2 ? k1 | .
1 ? k 2 k1

( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k 2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 )
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(2) tan ? ?| A1 B2 ? A2 B1 | .
A1 A2 ? B1 B2

( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ). 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 ? .
2

81.

l1 到 l2 的角公式

(1) tan ? ? (2) tan ? ?

k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

.

( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k 2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 )
A1 B2 ? A2 B1 A1 A2 ? B1 B2

.

( l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1 B2 ? 0 ). 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是 ? .
2

82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) (除直线 x ? x0 ),其中 k 是待定的系数; 经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) ? B ( y ? y0 ) ? 0 ,其中 A, B 是待定的 系数. (2) 共 点 直 线 系 方 程 : 经 过 两 直 线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 的 交 点 的 直 线 系 方 程 为 ( A1 x ? B1 y ? C1 ) ? ? ( A2 x ? B2 y ? C 2 ) ? 0 (除 l2 ),其中λ是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方程.与直线 Ax ? By ? C ? 0 平行的 直线系方程是 Ax ? By ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 Ax ? By ? C ? 0 (A≠0,B≠ 0)垂直的直线系方程是 Bx ? Ay ? ? ? 0 ,λ是参变量. 83.点到直线的距离 | Ax0 ? By0 ? C | d? (点 P ( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). 2 2
A ?B

84. Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,则 Ax ? By ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面 区域是: 若 B ? 0 ,当 B 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的上方的区 域;当 B 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

之,同号在上,异号在下. 若 B ? 0 ,当 A 与 Ax ? By ? C 同号时,表示直线 l 的右方的区 域;当 A 与 Ax ? By ? C 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言 之,同号在右,异号在左. 85. ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设曲线 C : ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( A1 A2 B1 B2 ? 0 ) ,则 ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C 2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C 2 ) ? 0 所表示的 平面区域上下两部 分; ( A1 x ? B1 y ? C1 )( A2 x ? B2 y ? C 2 ) ? 0 所表示的 平面区域上下两部 分. 86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4 F >0). (3)圆的参数方程
? x ? a ? r cos ? ? ? y ? b ? r sin ?

.

(4) 圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆的直 径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ). 87. 圆系方程 (1)过点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 的圆系方程是
( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ?[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? ? ( ax ? by ? c ) ? 0 ,其中 ax ? by ? c ? 0 是直

线 AB 的方程,λ是待定的系数. (2)过直线 l : Ax ? By ? C ? 0 与圆 C : x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 的交 点的圆系方程是 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? ? ( Ax ? By ? C ) ? 0 ,λ是待定的 系数. (3) 过 圆 C1 : x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 与 圆 C2 : x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是 x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? ( x 2 ? y 2 ? D2 x ? E 2 y ? F2 ) ? 0 ,λ是待定的系数. 88.点与圆的位置关系 点 P ( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种 若 d ? ( a ? x0 ) 2 ? (b ? y0 ) 2 ,则
2 2 1 1 1 2 2 2 2 2

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆

内. 89.直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 种:
d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ;
? r 2 的位置关系有三

d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
Aa ? Bb ? C A2 ? B 2

其中 d ?

.

90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O 2 ? d d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ; r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; 0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 . 91.圆的切线方程 (1)已知圆 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 . ①若已知切点 ( x0 , y0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方 程是 D ( x0 ? x ) E ( y0 ? y ) x0 x ? y0 y ? ? ? F ? 0.
2 2

当 ( x0 , y0 ) 圆 外 时,

x0 x ? y0 y ?

D ( x0 ? x ) 2

?

E ( y0 ? y ) 2

? F ? 0 表示

过两个切点的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利 用相切条件求 k,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行 于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b , 再利用相切条 件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x 2 ? y 2 ? r 2 . ①过圆上的 P0 ( x0 , y0 ) 点的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2 ;
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 92.椭圆 x 2 ? y2
2 2

1? k 2

. .

? x ? a cos ? ? 1( a ? b ? 0) 的参数方程是 ? a b ? y ? b sin ? 2 2 93.椭圆 x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式 a b 2 a a2 PF1 ? e ( x ? ) , PF2 ? e ( ? x) . c c

94.椭圆的的内外部 (1) P ( x0 , y0 ) 在椭圆 x 2 ? y2 点 (2) P ( x0 , y0 ) 在椭圆 点 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆 x 2 ? y2
a b
2 2 2 2

a x2

a2

?

b y2 b2

? 1( a ? b ? 0) 的内部 ? ? 1( a ? b ? 0) 的外部 ?

2 x0

a2 2 x0 a2

? ?

2 y0

b2 2 y0 b2

? 1. ? 1.

? 1( a ? b ? 0)

上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程是

x0 x a
2

?

y0 y b2

? 1.
2 2

(2)过椭圆 x 2 ? y2
a b

? 1( a ? b ? 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线

的切点弦方程是 x0 x y 0 y ? 2 ? 1. 2
a b

(3) 椭圆

x2 a2

?

y2 b2
2

? 1( a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是

A2 a 2 ? B 2 b 2 ? c 2 .

96.双曲线 x 2 ? y2
a b PF1 ?| e ( x ? a2 c

2

? 1( a ? 0, b ? 0) 的焦半径公式 a2 c ? x) | .

) | , PF2 ?| e (

97.双曲线的内外部 (1) 点
?
2 x0

P ( x0 , y 0 )

在 双 曲 线

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? 0, b ? 0)

的 内 部

a2

?

2 y0

b2

? 1.
P ( x0 , y 0 )

(2) 点
?
2 x0

在 双 曲 线

x2 a2

?

y2 b2

? 1( a ? 0, b ? 0)

的 外 部

a2

?

2 y0

b2

? 1.

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(1 ) 若 双 曲 线 方 程 为
x2 a
2

x2 a2

?

y2 b2

?1 ?

渐近线方程:

?

y2 b
2

?0? y??

b a

x.

(2)若渐近线方程为 y ? ? b x
a

?

x a

?

y b

? 0 ? 双曲线可设为

x2 a2

?

y2 b2

??.
2

(3)若双曲线与 x 2
a

?

y2 b2

可设为 ? 1 有公共渐近线,

x2 a2

?

y2 b2

??

( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). 99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线 x 2 ? y2
a b
2 2

? 1( a ? 0, b ? 0) 上一点 P ( x0 , y0 ) 处的切线方程

是 x02x ? y02y ? 1 .
a b

(2) 过双曲线 x 2 ? y2
a b

2

2

? 1( a ? 0, b ? 0) 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切

线的切点弦方程是 x0 x y 0 y ? 2 ? 1. 2
a b

(3)双曲线 x 2 ? y2
a b

2

2

? 1( a ? 0, b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条

件是 A2 a 2 ? B 2b 2 ? c 2 . 100. 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式 抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 焦半径 CF 过焦点弦长 CD 101.抛物线 y P ( x? , y? ) ,其中
2

? x0 ?

p 2

.

? x1 ?

p 2

? x2 ?

p 2

? x1 ? x 2 ? p .

? 2 px 上的动点可设为

P(

y?

2

2p

, y ? ) 或 P ( 2 pt 2 ,2 pt )或

y?2 ? 2 px? .

102.二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c ? a ( x ? 抛物线: (1)顶点坐标为 ( ?
(? b 2a , 4 ac ? b 2 ? 1 4a b 2a ,

b

2a 4 ac ? b 2 4a

)2 ?

4 ac ? b 2 4a

( a ? 0) 的图象是

); (2)焦点的坐标为

); (3)准线方程是 y ?

4 ac ? b 2 ? 1 4a

. 的 内 部

103.抛物线的内外部 (1) 点 P ( x0 , y0 ) 在 抛 物 线

y 2 ? 2 px ( p ? 0)

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

? y 2 ? 2 px ( p ? 0) .

点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? 2 px ( p ? 0) . (2) 点 P ( x0 , y0 ) 在 抛 物 线 y 2 ? ?2 px ( p ? 0) 的 内 部 ? y 2 ? ?2 px ( p ? 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 y 2 ? ?2 px ( p ? 0) 的外部 ? y 2 ? ?2 px ( p ? 0) . (3)点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的内部 ? x 2 ? 2 py ( p ? 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的外部 ? x 2 ? 2 py ( p ? 0) . (4) 点 P ( x0 , y0 ) 在 抛 物 线 x 2 ? 2 py ( p ? 0) 的 内 部 ? x 2 ? 2 py ( p ? 0) . 点 P ( x0 , y0 ) 在抛物线 x 2 ? ?2 py ( p ? 0) 的外部 ? x 2 ? ?2 py ( p ? 0) . 104. 抛物线的切线方程 (1) 抛 物 线 y 2 ? 2 px 上 一 点 P ( x0 , y0 ) 处 的 切 线 方 程 是 y0 y ? p ( x ? x0 ) . (2)过抛物线 y 2 ? 2 px 外一点 P ( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点 弦方程是 y0 y ? p ( x ? x0 ) . (3)抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB 2 ? 2 AC . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f1 ( x, y ) ? 0 , f 2 ( x, y ) ? 0 的交点的曲线系方程是 f1 ( x, y ) ? ? f 2 ( x, y ) ? 0 ( ? 为参数). (2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程
k ? max{a 2 , b 2 }
2 2

x2 a2 ? k

?

y2 b2 ? k

?1 ,其中

时 , 表 示 椭 圆 ; 当 min{a , b } ? k ? max{a , b } 时,表示双曲线. 106. 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 的 弦 长 公 式 AB ? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 或 AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2 ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y 2 | 1 ? co t 2 ? (弦端
k ? min{a 2 , b 2 }
2 2

. 当

点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,由方程 ?

? y ? kx ? b ? F( x , y ) ? 0

消去 y 得到 ax 2 ? bx ? c ? 0 ,

? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率).

107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于点 P ( x0 , y0 ) 成中心对称的曲线是
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

F (2 x0 -x, 2 y0 ? y ) ? 0 .

(2)曲线 F ( x, y ) ? 0 关于直线 Ax ? By ? C ? 0 成轴对称的曲线 是
F (x ? 2 A( Ax ? By ? C ) A ?B
2 2

,y?

2 B ( Ax ? By ? C ) A2 ? B 2

) ? 0.

108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 Ax 2 ? Bxy ? Cy 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,用 x0 x 代
x 2 ,用 y 0 y 代 y 2 ,用

x0 y ? xy0 2

代 xy ,用 x0 ? x 代 x ,用 y0 ? y 代 y 即
2 2 ?E? y0 ? y 2 ? F ? 0 ,曲线的切线,切

得方程
Ax0 x ? B ? x0 y ? xy0 2 ? Cy0 y ? D ? x0 ? x 2

点弦,中点弦,弦中点方程均是此方程得到. 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直;
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等于以 这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角 线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λb. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? P、A、B 三点共线 ? AP || AB ? AP ? t AB ? OP ? (1 ? t )OA ? tOB . ???? ??? ? ??? ? ??? ? AB || CD ? AB 、 CD 共 线 且 AB、CD 不 共 线 ? AB ? tCD 且 AB、CD 不共线. 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、 共面的 ? 存在实数对 x, y , b 使 p ? ax ? by . 推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 ???? ???? ???? x, y ,使 MP ? xMA ? yMB , ??? ???? ??? ? ? ? ??? ? yMB 或对空间任一定点 O,有序实数对 x, y ,使 OP ?OM ?xMA ? . 119.对空间任一点 O 和不共线的三点 A、B、C,满足 ??? ? ??? ? ??? ? ???? OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? k ) ,则当 k ? 1 时,对于空间任一 点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,若 O ? 平面 ABC, 则 P、A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四 点不共面. ???? ???? ??? ? A、B、 、D 四 点 共 面 ? AD 与 AB 、 AC 共 面 C
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

???? ??? ? ???? ? AD ? x AB ? y AC ? ???? ??? ? ??? ? ???? OD ? (1 ? x ? y )OA ? xOB ? yOC ( O ? 平面

ABC).

120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p, 存在一个唯一的有序实数组 x,y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一 点 P,都存在唯一的三个有序实数 x,y,z,使 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? O P? x O ? A y O B .z O C ? 121.射影公式 ??? ? 已知向量 AB =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A ' ,作 B 点在 l 上的射影 B ' ,则 ??? ? A' B ' ?| AB | cos 〈a,e〉=a·e 122.向量的直角坐标运算 设 a= ( a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) 则 (1)a+b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2)a-b= (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λa= (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (λ∈R); (4)a·b= a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ??? ??? ??? ? ? ? AB ? OB ? OA = ( x2 ? x1 , y2 ? y1 , z 2 ? z1 ) . 124.空间的线线平行或垂直 r r 设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则
? x1 ? ? x2 r r r r r r ? a P b ? a ? ? b (b ? 0) ? ? y1 ? ? y 2 ; ?z ? ? z 2 ? 1 r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? z1 z2 ? 0 .

125.夹角公式 设 a= ( a1 , a2 , a3 ) ,b= (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉= 推论 不等式.
a1b1 ? a2 b2 ? a3b3
2 2 a12 ? a2 ? a3 b12 ? b22 ? b32

.

2 2 2 ( a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ) 2 ? ( a12 ? a2 ? a3 )(b12 ? b2 ? b32 ) ,此即三维柯西

126. 四面体的对棱所成的角
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

四面体 ABCD 中,
cos ? ?

AC 与 BD 所成的角为 ? ,则

| ( AB 2 ? CD 2 ) ? ( BC 2 ? DA 2 ) | 2 AC ? BD

.

r r cos ? ?| cos a, b | r r | a ?b | = r r ? 2 | x12x2 ? 2y1 y2 ?2z1 z2 | 2 2 | a |?|b | x1 ? y1 ? z1 ? x2 ? y2 ? z2

127.异面直线所成角

(其中 ? ( 0o ? ? ? 90o )为异面直线 a,b 所成角, a , b 分别表示异 面直线 a,b 的方向向量) 128.直线 AB 与平面所成角
??? ?? ? ?? AB ? m ? ? ? arc sin ??? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). | AB || m |

r r

129.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? , 另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分别是 ? 1 、 ? 2 , A、B 为 ?ABC 的两 个内角,则 sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? (sin 2 A ? sin 2 B ) sin 2 ? . 特别地,当 ?ACB ? 90? 时,有 sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? sin 2 ? . 130.若 ?ABC 所在平面若 ? 与过若 AB 的平面 ? 成的角 ? , 另两边 AC , BC 与平面 ? 成的角分别是 ? 1 、? 2 , A'、B ' 为 ?ABO 的两 个内角,则 tan 2 ?1 ? tan 2 ? 2 ? (sin 2 A' ? sin 2 B ' ) tan 2 ? . 特别地,当 ?AOB ? 90? 时,有 sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? sin 2 ? . 131.二面角 ? ? l ? ? 的平面角
?? ? ?? ? m?n m?n ? ? arc cos ?? ? 或 ? ? arc cos ?? ? | m || n | | m || n |

( m , n 为平面 ? , ? 的法向

??

?

量). 132.三余弦定理 设 AC 是α内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又 设 AO 与 AB 所成的角为? 1 ,AB 与 AC 所成的角为? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 cos ? ? cos ?1 cos ? 2 .
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

133. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半 平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面角的棱所成的角是θ,则有 sin 2 ? sin 2 ? ? sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? 2 sin ?1 sin ? 2 cos ? ; | ? 1 ? ? 2 |? ? ? 180 ? ? (? 1 ? ? 2 ) (当且仅当 ? ? 90? 时等号成立). 134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 ??? ? ??? ??? ? ? d A , B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . 135.点 Q 到直线 l 距离
h?
??? ?

1 |a|

(| a || b |) 2 ? ( a ? b ) 2
????

(点 P 在直线 l 上,直线 l 的方向向量

a= PA ,向量 b= PQ ). 136.异面直线间的距离

??? ?? ? ? ? | CD ? n | ? d? ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n ,C、D 分别 |n|

是 l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离). 137.点 B 到平面 ? 的距离

??? ?? ? ? ? | AB ? n | ? d? ( n 为平面 ? 的法向量, AB 是经过面 ? 的一条斜 |n|

线, A ?? ). 138.异面直线上两点距离公式 d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2 mn cos ? . ???? ??? ? d ? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2mn cos EA' , AF . ( ? ? E ? AA' ? F ). (两条异面直线 a、b 所成的角为θ,其公垂线段 AA' 的长度 为 h.在直线 a、b 上分别取两点 E、 A' E ? m , AF ? n , EF ? d ). F, 139.三个向量和的平方公式
d? h 2 ? m 2 ? n 2 ? 2 mn cos ?

? ? ? ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ( a ? b ? c ) 2 ? a ? b ? c ? 2 a ? b ? 2b ? c ? 2 c ? a ? 2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | cos a, b ? 2 | b | ? | c | cos b, c ? 2 | c | ? | a | cos c, a

140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射 影长分别为 l1、 l2、 l3 ,夹角分别为?1、? 2、? 3 ,则有 l ? l ? l ? l ? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 1 ? sin 2 ?1 ? sin 2 ? 2 ? sin 2 ? 3 ? 2 .
2 2 1 2 2 2 3 2 2 2 1 2 3

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理
S? S' cos ?

.

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ' ,它们所在平 面所成锐二面角的为 ? ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S 斜棱柱侧 和 V斜棱柱 ,它的直截面的周长和面积分别是 c1 和 S 1 ,则 ① S 斜棱柱侧 ? c1l . ② V斜棱柱 ? S1l . 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一 点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与 底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与 棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的多边形 是相似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平 方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距 离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的 边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数 E 的关系: E ? 1 nF ;
2

(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? 1 mV .
2

146.球的半径是 R,则 其体积 V ? 4 ? R 3 ,
3

其表面积 S ? 4? R 2 . 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体:
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱 切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直 径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 径为
6 4 a.

6 12

a ,外接球的半

148.柱体、锥体的体积 1 V柱体 ? Sh ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高).
V锥体 ?

3 1

3

Sh ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高).

149.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . 150.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . 151.排列数公式 n! m An = n( n ? 1) ? ( n ? m ? 1) = .( n , m ∈N*,且 m ? n ).
( n ? m )!

注:规定 0!? 1 . 152.排列恒等式 (1) Anm ? (n ? m ? 1) Anm ?1 ; (2) Anm ?
n n?m
m An ?1 ;

(3) Anm ? nAnm??11 ; (4) nAnn ? Ann??11 ? Ann ; (5) Anm?1 ? Anm ? mAnm ?1 . (6) 1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n ! ? ( n ? 1)!? 1 . 153.组合数公式
m Cn =

Anm A
m m

= n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) =
1? 2 ? ? ? m

n!

m!( n ? m )! ?

( n ∈N*, m ? N ,且

m ? n ).

154.组合数的两个性质
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(1) C nm = C nn ? m ; (2) C nm + C nm ?1 = C nm?1 . 注:规定 C n0 ? 1 . 155.组合恒等式 (1) Cnm ? n ? m ? 1 Cnm ?1 ;
m

(2) Cnm ?

n

n?m (3) Cnm ? n Cnm??11 ; m

m Cn ?1 ;

(4) ? C nr = 2 n ;
r ?0

n

(5) C rr ? C rr?1 ? C rr? 2 ? ? ? C nr

r ?1 ? C n ?1 .

(6) C n0 ? C n1 ? C n2 ? ? ? C nr ? ? ? C nn

? 2n .

(7) C n1 ? C n3 ? C n5 ? ? ? C n0 ? C n2 ? C n4 ? ? 2 n ?1 . (8) C n1 ? 2C n2 ? 3C n3 ? ? ? nC nn
? n 2 n ?1 .
r ? C m?n . n ? C 2n .

r r 0 (9) C m C n0 ? C m?1C n1 ? ? ? C mr C nr

(10) (C n0 ) 2 ? (C n1 ) 2 ? (C n2 ) 2 ? ? ? (C nn ) 2

156.排列数与组合数的关系 m An ? m ? C n . ! m 157.单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) “在位”与“不在位” ①某(特)元必在某位有 Anm??11 种;②某(特)元不在某 1 1 1 1 ? ? 位有 Anm ? Anm??1(补集思想) An1 ?1 Anm??1(着眼位置) Anm?1 ? Am ?1 Anm??1(着 眼元素)种. (2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴: k (k ? m ? n) 个元在固定位的排列有 Akk Anm??kk 种. ②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排 法有 Ann??kk??11 Akk 种.注:此类问题常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ? 1) ,把它们合 在一起来作全排列,k 个的一组互不能挨近的所有排列数有
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

h k Ah Ah ?1 种.

(3)两组元素各相同的插空 小球必分开, 问有多少种排 m 个大球 n 个小球排成一列, 法? 当 n ? m ? 1 时,无解;当 n ? m ? 1 时,有
n Am ?1 n An n ? C m ?1 种排法.

(4)两组相同元素的排列:两组元素有 m 个和 n 个, n 各组元素分别相同的排列数为 Cm ? n . 158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分 给 m 个 人 , 各 得 n 件 , 其 分 配 方 法 数 共 有 ( mn )! n n n n n N ? C mn ? C mn ? n ? C mn ? 2 n ? ? ? C 2 n ? C n ? . m
( n!)

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m · n 个物体等分 为无记号或无顺序的 m 堆,其分配方法数共有
N ?
n n n n n C mn ? C mn ? n ? C mn ? 2 n ... ? C 2 n ? C n ( mn )! ? m! m!( n!) m

.

(3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分给 m 个人,物件必须被分完,分别得到 n1 , n 2 ,…, nm 件,且 n1 , n 2 ,…, nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法 数共有 N ? C ? C ...C ? m!? p!m! .
n1 p n2 p ? n1 nm nm

n1!n2 !...nm !

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分给 m 个人,物件必须被分完,分别得 到 n1 , n 2 ,…, nm 件,且 n1 , n 2 ,…, nm 这 m 个数中分别有 a、 b、c、…个相等,则其分配方法数有 N ?
? p !m ! n1 ! n2 !...nm !( a !b ! c !...)
nm n n C p1 ? C p 2? n1 ...C n m ? m!

a!b!c!...

.

(5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + ? +n m ) n …, 个物体分为任意的 n1 , 2 , nm 件无记号的 m 堆, n1 , 2 , 且 n …,
nm 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数有 N ?

p! . n1!n2 !... nm !

(6)(非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分为任意的 n1 ,n 2 ,…,nm 件无记号的 m
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

堆,且 n1 , n 2 ,…,nm 这 m 个数中分别有 a、b、c、…个相等, 则其分配方法数有 N ?
p! n1! n2 !... nm !( a!b!c!...)

.

(7)(限定分组有归属问题)将相异的 p ( p ? n1 +n2 + ? +nm ) 个物体分给甲、乙、丙,……等 m 个人,物体必须被分完, 如果指定甲得 n1 件,乙得 n 2 件,丙得 n3 件,…时,则无论 n1 , n 2 ,…, nm 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒 有
nm n n N ? C p1 ? C p 2? n1 ...C n m ?

p! . n1!n2 !... nm !

159. “错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组 合数为
f ( n ) ? n ![ 1 2! 3! ? 1 ? 1 4! ? ? ? ( ?1) n ]. n! 1

推广:

n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位

的不同组合总数为
1 2 3 4 f ( n, m ) ? n !? C m ( n ? 1)!? C m ( n ? 2)!? C m ( n ? 3)!? C m ( n ? 4)! p m ? ? ? ( ? 1) p C m ( n ? p )!? ? ? ( ? 1) m C m ( n ? m )!

? n ![1 ?

1 Cm 1 An

?

2 Cm 2 An

?

3 Cm 2 An

?

4 Cm 4 An

? ? ? ( ? 1) p

p Cm

Anp

? ? ? ( ? 1) m

m Cm m An

].

160.不定方程 x1 +x2 + ? +xn ? m 的解的个数 (1)方程 x1 +x2 + ? +xn ? m ( n, m ? N ? )的正整数解有 C n ?1 个. (2) 方程 x1 +x2 + ? +xn ? m ( n, m ? N ? )的非负整数解有 C n ?1 个. + ? m (3) 方 程 x1 + 2x ? n +x ( n, m ? N ? ) 满 足 条 件 xi ? k ( k ? N ? , 2 ? i ? n ? 1 )的非负整数解有 C n ?1? ( n ? 2)( k ?1) 个. + ? m (4) 方 程 x1 + 2x ? n +x ( n, m ? N ? ) 满 足 条 件 xi ? k ( k ? N ? , 2 ? i ? n ?1 ) 的 正 整 数 解 有 n n? 2 C n ?1 ? C 1 n ? 1? C C 2 n ?? C ? 1 1 ? ) ?? ( C 个. n2?C 1
m ?1 n ? m ?1 m ?1
n? 1 m? 2 n? m? 2 n? k? 2 n2 ? 3 m? n? k? 2 1 n? ( 2

m? )

? n

?

k

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

161.二项式定理
0 1 2 r n ( a ? b ) n ? C n a n ? C n a n ?1b ? C n a n ? 2 b 2 ? ? ? C n a n ? r b r ? ? ? C n b n

;

二项展开式的通项公式 r Tr ?1 ? C n a n ? r b r ( r ? 0,2 ?,n) . 1, 162.等可能性事件的概率 m P ( A) ? .
n

163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率
k Pn ( k ) ? C n P k (1 ? P ) n ? k .

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) Pi ? 0(i ? 1, 2,?) ; (2) P1 ? P2 ? ? ? 1 . 169.数学期望
E? ? x1 P ? x2 P2 ? ? ? xn Pn ? ? 1

170.数学期望的性质 (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b . (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np . (3) 若 ? 服 从 几 何 分 布 , 且 P (? ? k ) ? g (k , p ) ? q k ?1 p , 则
E? ? 1 p

.
2 2 2

171.方差
D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p 2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? p n ? ?

172.标准差 ?? = D ? . 173.方差的性质
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(1) D ? a? ? b ? ? a 2 D? ; (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np (1 ? p) . (3) 若 ? 服 从 几 何 分 布 , 且 P (? ? k ) ? g (k , p ) ? q k ?1 p , 则
D? ? q p2

.
2 2

174.方差与期望的关系 D? ? E? ? ? E? ? . 175.正态分布密度函数
f ? x? ? 1 2? 6
?

? x?? ?
26
2

2

e

, x ? ? ?? , ?? ? ,式中的实数μ, ?

( ? >0)是

参数,分别表示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数
f ? x? ? 1 2? 6 e
? x2 2

, x ? ? ?? , ?? ? .

177.对于 N ( ? , ? 2 ) ,取值小于 x 的概率
? x?? ? F ? x? ? ? ? ?. ? ? ? P ? x1 ? x 0 ? x 2 ? ? P ? x ? x 2 ? ? P ? x ? x1 ?
? F ? x2 ? ? F ? x1 ?

? x ?? ? ?? 2 ? ?

? ? x1 ? ? ? ???? ?. ? ? ? ?
n

178.回归直线方程
n ? ? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? i ?1 ? n ? ? a ? bx ,其中 ?b ? 2 y ? ? ? xi ? x ? ? i ?1 ? ? a ? y ? bx

?x y
i i ?1 n

i

? nx y ? nx 2

?x
i ?1

2 i

.

179.相关系数
r?

? ? xi ? x ?? yi ? y ?
i ?1

n

? (x
i ?1

n

i

? x ) 2 ? ( yi ? y ) 2
i ?1

n

?

??x
i ?1 n i ?1

n

i

? x ?? yi ? y ?
n

.

( ? xi 2 ? nx 2 )( ? yi 2 ? ny 2 )
i ?1

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

?0 (1) lim q ? ?1 ? n?? ?不存在 ?
n

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或 q ? ? 1

.
(k ? t ) (k ? t ) (k ? t )

?0 ? ak n k ? ak ?1n k ?1 ? ? ? a0 ? at (2) lim t ?? n ?? b n ? b n t ?1 ? ? ? b t t ?1 0 ? bk ?不存在 ?

.

(3) S ? lim n ??

a1 1 ? q n 1? q

?

??

a1 1? q

( S 无穷等比数列 ?a1q n ?1 ? ( | q |? 1 )

的和). 181. 函数的极限定理
x ? x0

lim f ( x ) ? a ? lim? f ( x ) ? lim? f ( x ) ? a .
x ? x0 x ? x0

182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x) ? f ( x) ? h( x) ; (2) xlim g ( x ) ? a , xlim h ( x ) ? a (常数), ?x ?x
0 0

则 xlim ?x

f ( x) ? a .

0

本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. 183.几个常用极限 (1) lim 1 ? 0 , lim a n ? 0 ( | a |? 1 ) ; n?? n ??
n

(2) xlim x ? x0 , xlim 1 ? ?x ?x
0

1 x0

0

x

.

184.两个重要的极限 (1) lim sin x ? 1 ; x?0
x

(2) lim ? 1 ? 1 ? ? ? x ??
? x?

x

? e (e=2.718281845…).

185.函数极限的四则运算法则 若 xlim f ( x ) ? a , xlim g ( x ) ? b ,则 ?x ?x
0 0

(1) xlim ? f ? x ? ? g ? x ?? ? a ? b ; ? ?x ?
0

(2) xlim ? f ? x ? ? g ? x ?? ? a ? b ; ? ?x ?
f x (3) xlim ? ? ? a ? b ? 0 ? . ?x
0

0

g ? x?

b

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

186.数列极限的四则运算法则 若 lim a ? a , lim b ? b ,则
n ?? n n ?? n

(1) lim ? an ? bn ? ? a ? b ; n?? (2) lim ? an ? bn ? ? a ? b ; n?? (3) lim an n ??
bn ? a b

?b ? 0?

lim (4) lim ? c ? an ? ? n ?? c ? nlim an ? c ? a ( c 是常数). n ?? ??

187. f (x ) 在 x0 处的导数(或变化率或微商)
f ?( x0 ) ? y ?
x ? x0

? lim

?y ?x

?x ? 0

? lim

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?x

?x ? 0

.

188.瞬时速度
? ? s ?(t ) ? lim
?s ?t
?t ? 0

? lim

s ( t ? ? t ) ? s (t ) ?t

?t ? 0

. .
f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ?x

189.瞬时加速度
a ? v?(t ) ? lim ?v ?t
?t ? 0

? lim

v ( t ? ? t ) ? v (t ) ?t ?y ?x

?t ? 0

190. f ( x ) 在 ( a, b) 的导数
f ?( x ) ? y ? ? dy dx ? df dx ? lim
?x ? 0

? lim

?x ? 0

.

191. 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义 函数 y ? f (x) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f (x) 在 P ( x0 , f ( x0 )) 处 的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) . 192.几种常见函数的导数 (1) C? ? 0 (C 为常数). (2) ( xn ) ' ? nx n ?1 (n ? Q ) . (3) (sin x)? ? cos x . (4) (cos x)? ? ? sin x . (5)
(ln x )? ?
x x

1 x

; (log a x )? ? 1 log a e .
x
x x

(6) (e )? ? e ; (a )? ? a ln a . 193.导数的运算法则 (1) (u ? v )' ? u ' ? v ' . (2) (uv )' ? u 'v ? uv ' . (3) ( u ) ' ? u v ?2 uv
' '

v

v

(v ? 0) .

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

194.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x ) 在点 x 处有导数 u x ' ? ? ' ( x ) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有导数 yu ' ? f ' (u ) ,则复合函数 y ? f (? ( x)) 在点 x 处有导数,且 y x' ? yu' ? u x' ,或写作 f x' (? ( x)) ? f ' (u )? ' ( x) . 195.常用的近似计算公式(当 (1) (2) 、
(1 ? x )? ? 1 ? ? x (? ? R ) ;
x

充小时)

1? x ?1?

1 1 x ; n 1? x ?1? x ; 2 n

1 ?1? x; 1? x

(3) e x ? 1 ? x ; (4) ln (1 ? x ) ? x ; (5) sin x ? x ( x 为弧度) ; (6) tan x ? x ( x 为弧度) ; (7) arctan x ? x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f (x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 197.复数的相等 a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 198.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a 2 ? b 2 . 199.复数的四则运算法则 (1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ; (4) (a ? bi) ? (c ? di) ? ac ? bd ? bc ? ad i(c ? di ? 0) . 2 2 2 2
c ?d c ?d

200.复数的乘法的运算律
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

对于任何 z1 , z2 , z3 ? C ,有 交换律: z1 ? z2 ? z2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) . 分配律: z1 ? ( z2 ? z3 ) ? z1 ? z2 ? z1 ? z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式 d ?| z1 ? z 2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z 2 ? x2 ? y2i ). 202.向量的垂直 ???? ? ???? ? 非零复数 z1 ? a ? bi , z2 ? c ? di 对应的向量分别是 OZ1 , OZ 2 , 则
???? ???? ? ? OZ 1 ? OZ 2

?

z1 ? z 2

的 实 部 为 零

?

z2 z1

为 纯 虚 数 (λ

? | z1 ? z 2 |2 ?| z1 |2 ? | z 2 |2 ? | z1 ? z 2 |2 ?| z1 |2 ? | z 2 |2 ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ? iz 2

为非零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 , ①若 ? ? b
2

? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?

?b ? b 2 ? 4 ac 2a b

;

②若 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ?

2a

;
? b ? ? (b 2 ? 4 ac )i 2a

③若 ? ? b 2 ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数 集 C 内有且仅有两个共轭复数根 x ?
(b 2 ? 4 ac ? 0) .

1.集合元素具有①确定性②互异性③无序性 2.集合表示方法①列举法 ②描述法 ③韦恩图 ④数轴法 3.集合的运算 ⑴ A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ⑵ Cu(A∩B)=CuA∪CuB

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

Cu(A∪B)=CuA∩CuB 4.集合的性质 ⑴n 元集合的子集数:2n 真子集数:2n-1;非空真子集数:2n-2 高中数学概念总结 一、 函数 1、 若集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个 数为 ,所有非空真子集的个数是 。 二次函数 的图象的对称轴方程是 ,顶点坐标是 。用待定 系数法求二次函数的解析式时,解析式的设法有三种形式, 即 , 和 2、 幂函数 致图象是 (顶点式) 。 ,当 n 为正奇数,m 为正偶数,m<n 时,其大

3、 函数 的大致图象是

由图象知,函数的值域是 ,单调递增区间是 ,单调递减区 间是 。 二、 三角函数 1、 以角 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴正半轴建立直角
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

坐标系,在角 的终边上任取一个异于原点的点 ,点 P 到原 点的距离记为 ,则 sin = ,cos = ,tg = ,ctg = ,sec = , csc = 。 2、同角三角函数的关系中,平方关系是: , , ; 倒数关系是: , , ; 相除关系是: , 。 3、诱导公式可用十个字概括为:奇变偶不变,符号看象限。 如: , = , 4、 函数 。

的最大值是 ,最小值是 ,周期是 ,频率是 ,

相位是 ,初相是 ;其图象的对称轴是直线 ,凡是该图象 与直线 的交点都是该图象的对称中心。 5、 三角函数的单调区间: 的递增区间是 递减区间是 6、 ,递减区间是 ; 的递增区间是 。 ,

, 的递增区间是

, 的递减区间是

7、二倍角公式是:sin2 = cos2 = = = tg2 = 。 8、三倍角公式是:sin3 = 9、半角公式是:sin = cos3 = cos =

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

tg = = = 。 10、升幂公式是: 11、降幂公式是: 12、万能公式:sin = 13、sin( )sin( )= , cos( )cos( )= = 。 14、 = ; = ; = 。 15、 = 。 16、sin180= 。 17、特殊角的三角函数值: 。 。 cos = tg =

0 sin cos tg ctg 0 0 1 1 不存在 1 0 0 0

不存在 0 不存在 1 0 不存在 0

18、正弦定理是(其中 R 表示三角形的外接圆半径) : 19、由余弦定理第一形式, = 由余弦定理第二形式,cosB=
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

20、△ABC 的面积用 S 表示,外接圆半径用 R 表示,内切圆 半径用 r 表示,半周长用 p 表示则: ① ;② ; ③ ;④ ; ⑤ ;⑥ 21、三角学中的射影定理:在△ABC 中, ,… 22、在△ABC 中, ,… 23、在△ABC 中:

24、积化和差公式: ① , ② , ③ , ④ 。 25、和差化积公式: ① , ② , ③ , ④ 。 三、 反三角函数 1、 的定义域是[-1,1],值域是 ,奇函数,增函数;
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

的定义域是[-1,1],值域是 ,非奇非偶,减函数; 的定义域是 R,值域是 ,奇函数,增函数; 的定义域是 R,值域是 ,非奇非偶,减函数。 2、当 ;

对任意的 ,有:

当 。 3、最简三角方程的解集:

四、 不等式 1、若 n 为正奇数,由 可推出 吗? ( 能 ) 若 n 为正偶数呢? ( 均为非负数时才能) (不能) ( 能 ) (能,但有条件)

2、同向不等式能相减,相除吗 能相加吗? 能相乘吗? 3、两个正数的均值不等式是: 三个正数的均值不等式是: n 个正数的均值不等式是:

4、两个正数 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

方根之间的关系是

6、 双向不等式是: 左边在 时取得等号,右边在 时取得等号。 五、 数列 1、等差数列的通项公式是 ,前 n 项和公式是: 2、等比数列的通项公式是 , 前 n 项和公式是: 3、当等比数列 的公比 q 满足 <1 时, =S= 。一般地,如果 无穷数列 的前 n 项和的极限 存在,就把这个极限称为这个 数列的各项和(或所有项的和) ,用 S 表示,即 S= 。 4、若 m、n、p、q∈N,且 ,那么:当数列 是等差数列时, 有 ;当数列 是等比数列时,有 。 5、 等差数列 中,若 Sn=10,S2n=30,则 S3n=60; 6、等比数列 中,若 Sn=10,S2n=30,则 S3n=70; 六、 复数 1、 2、 怎样计算?(先求 n 被 4 除所得的余数, ) 是 1 的两个虚立方根,并且: = 。

3、 复数集内的三角形不等式是: ,其中左边在复数 z1、 z2 对应的向量共线且反向(同向)时取等号,右边在复数
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

z1、z2 对应的向量共线且同向(反向)时取等号。 4、 棣莫佛定理是: 5、 若非零复数 ,则 z 的 n 次方根有 n 个,即:

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系? 都位于圆心在原点,半径为 的圆上,并且把这个圆 n 等分。 6、 若 ,复数 z1、z2 对应的点分别是 A、B,则△AOB(O 为坐标原点)的面积是 。 7、 = 。

8、 复平面内复数 z 对应的点的几个基本轨迹: ① 轨迹为一条射线。 ② 轨迹为一条射线。 ③ 轨迹是一个圆。 ④ 轨迹是一条直线。 ⑤ 轨迹有三种可能情形:a)当 时,轨迹为椭圆;b)当 时,轨迹为一条线段;c)当 时,轨迹不存在。 ⑥ 轨迹有三种可能情形:a)当 时,轨迹为双曲线;b) 当 时,轨迹为两条射线;c) 当 时,轨迹不存在。 七、 排列组合、二项式定理 1、 加法原理、乘法原理各适用于什么情形?有什么特点? 加法分类,类类独立;乘法分步,步步相关。 2、排列数公式是: = = ;
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

排列数与组合数的关系是: 组合数公式是: = = ; 组合数性质: = = = + =

3、 二项式定理: 八、 解析几何 1、 沙尔公式:

二项展开式的通项公式:

2、 数轴上两点间距离公式: 3、 直角坐标平面内的两点间距离公式: 4、 若点 P 分有向线段 成定比λ,则λ= 5、 若点 ,点 P 分有向线段 成定比λ,则:λ= = ; = = 若 ,则△ABC 的重心 G 的坐标是 。 6、求直线斜率的定义式为 k= ,两点式为 k= 。 7、直线方程的几种形式: 点斜式: , 斜截式: 两点式: , 截距式: 一般式: 经过两条直线 的交点的直线系方程是: 8、 直线 ,则从直线 到直线 的角θ满足:
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

直线 与 的夹角θ满足: 直线 ,则从直线 到直线 的角θ满足: 直线 与 的夹角θ满足: 9、 点 到直线 的距离:

10、两条平行直线 距离是

11、圆的标准方程是: 圆的一般方程是: 其中,半径是 ,圆心坐标是 思考:方程 在 和 时各表示怎样的图形? 12、若 ,则以线段 AB 为直径的圆的方程是

经过两个圆 , 的交点的圆系方程是:

经过直线 与圆 的交点的圆系方程是: 13、圆 为切点的切线方程是

一般地,曲线 为切点的切线方程是: 。例如,抛物线 的 以点 为切点的切线方程是: ,即: 。
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

注意:这个结论只能用来做选择题或者填空题,若是做解答 题,只能按照求切线方程的常规过程去做。 14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种,即: ①判别式法:Δ>0,=0,<0,等价于直线与圆相交、相 切、相离; ②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系:距离大于 半径、等于半径、小于半径,等价于直线与圆相离、相切、 相交。 15、抛物线标准方程的四种形式是:

16、抛物线 的焦点坐标是: ,准线方程是: 。 若点 是抛物线 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离 (称为焦半径)是: ,过该抛物线的焦点且垂直于抛物线 对称轴的弦(称为通径)的长是: 。 17、椭圆标准方程的两种形式是: 和 。 18、椭圆 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通

径的长是 。其中 。 19、若点 是椭圆 半径的长是 和 。 20、双曲线标准方程的两种形式是: 和 。
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

上一点, 是其左、右焦点,则点 P 的焦

21、双曲线 的焦点坐标是 ,准线方程是 ,离心率是 ,通 径的长是 ,渐近线方程是 。其中 。 22、与双曲线 共渐近线的双曲线系方程是 焦点的双曲线系方程是 。 23、若直线 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则弦长为 ; 。与双曲线 共

若直线 与圆锥曲线交于两点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则弦长为 。

24、圆锥曲线的焦参数 p 的几何意义是焦点到准线的距离, 对于椭圆和双曲线都有: 。 25、平移坐标轴,使新坐标系的原点 在原坐标系下的坐标 是(h,k) ,若点 P 在原坐标系下的坐标是 在新坐标系下的 坐标是 ,则 = , = 。 九、 极坐标、参数方程 1、 经过点 的直线参数方程的一般形式是: 。 2、 若直线 经过点 ,则直线参数方程的标准形式是: 。 其中点 P 对应的参数 t 的几何意义是:有向线段 的数量。 若点 P1、P2、P 是直线 上的点,它们在上述参数方程中对 应的参数分别是 则: ;当点 P 分有向线段 时, ;当点 P 是线段 P1P2 的中点时, 。 3、圆心在点 ,半径为 的圆的参数方程是: 。 3、 若以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

极坐标系,点 P 的极坐标为 直角坐标为 ,则



, 。

4、 经过极点,倾斜角为 的直线的极坐标方程是: , 经过点 ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是: , 经过点 且平行于极轴的直线的极坐标方程是: , 经过点 且倾斜角为 的直线的极坐标方程是: 。 5、 圆心在极点,半径为 r 的圆的极坐标方程是 ; 圆心在点 的圆的极坐标方程是 ; 圆心在点 的圆的极坐标方程是 ; 圆心在点 ,半径为 的圆的极坐标方程是 。 6、 若点 M 、N ,则 十、 立体几何 1、求二面角的射影公式是 ,其中各个符号的含义是: 是 二面角的一个面内图形 F 的面积, 是图形 F 在二面角的另 一个面内的射影, 是二面角的大小。 2、若直线 在平面 内的射影是直线 ,直线 m 是平面 内经 过 的斜足的一条直线, 与 所成的角为 , 与 m 所成的角 为 , 与 m 所成的角为θ,则这三个角之间的关系是 。 。

3、体积公式: 柱体: ,圆柱体: 。 斜棱柱体积: (其中, 是直截面面积, 是侧棱长) ; 锥体: ,圆锥体: 。 台体: , 圆台体:

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

球体: 。 4、 侧面积: 直棱柱侧面积: ,斜棱柱侧面积: ; 正棱锥侧面积: ,正棱台侧面积: ; 圆柱侧面积: ,圆锥侧面积: , 圆台侧面积: ,球的表面积: 。 5、几个基本公式: 弧长公式: ( 是圆心角的弧度数, >0) ; 扇形面积公式: ;

圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角公式: ; 圆台侧面展开图(扇环)的圆心角公式: 。 经过圆锥顶点的最大截面的面积为(圆锥的母线长为 , 轴截面顶角是θ) :

十一、比例的几个性质 1、比例基本性质: 2、反比定理: 3、更比定理: 5、 合比定理; 6、 分比定理: 7、 合分比定理: 8、 分合比定理:
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

9、 等比定理:若 , ,则 。 十二、复合二次根式的化简

当 是一个完全平方数时,对形如 的根式使用上述公式化简 比较方便。

⑵并集元素个数: n(A∪B)=nA+nB-n(A∩B) 5.N 自然数集或非负整数集 Z 整数集 Q 有理数集 R 实数集 6.简易逻辑中符合命题的真值表 p 非p 真 假 假 真 二.函数 1.二次函数的极点坐标: 函数 的顶点坐标为 2.函数 的单调性: 在 处取极值 3.函数的奇偶性:
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

在定义域内,若 ,则为偶函数;若 则为奇函数。

1.诱导公式

sin(-a)=-sin(a)

cos(-a)=cos(a)

sin(π2-a)=cos(a)

cos(π2-a)=sin(a)

sin(π2+a)=cos(a)

cos(π2+a)=-sin(a)

sin(π-a)=sin(a)
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

cos(π-a)=-cos(a)

sin(π+a)=-sin(a)

cos(π+a)=-cos(a)

2.两角和与差的三角函数

sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b)

cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)

sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)

cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)

tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b)

tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b)
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

3.和差化积公式

sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2)

sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)

cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2)

cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2)

4.二倍角公式

sin(2a)=2sin(a)cos(b)

cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a)

5.半角公式

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

sin2(a2)=1-cos(a)2

cos2(a2)=1+cos(a)2

tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a)

6.万能公式

sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2)

cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2)

tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2)

7.其它公式(推导出来的 )

a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中 tan(c)=ba

a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=ab

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

1+sin(a)=(sin(a2)+cos(a2))2

1-sin(a)=(sin(a2)-cos(a2))2

回答者: 吴域ぁ慕紫 - 二级

2007-7-23 21:57

可以下载 HTML 文件,总结得很好,很方便 http://www.ggjy.net/xspd/xsbk/200408/815.html 数学高考基础知识、常见结论详解

一、集合与简易逻辑: 一、理解集合中的有关概念 (1)集合中元素的特征: 确定性 , 互异性 , 无序性 。 集合元素的互异性:如: , ,求 ; (2)集合与元素的关系用符号 , 表示。 (3)常用数集的符号表示:自然数集 ;正整数集 、 ;整 数集 ;有理数集 、实数集 。 (4)集合的表示法: 列举法 , 描述法 , 韦恩图 。 注意:区分集合中元素的形式:如: ; ; ; ; ; ; (5)空集是指不含任何元素的集合。 、 和 的区别;0 与 ( 三者间的关系)
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。 注意:条件为 ,在讨论的时候不要遗忘了 的情况。 如: ,如果 ,求 的取值。 二、集合间的关系及其运算 (1)符号“ ”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中 的体现 点与直线(面)的关系 ; 符号“ ”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体 现 面与直线(面)的关系 。 (2) ; ;

(3)对于任意集合 ,则: ① ; ; ; ② ; ; ; ; ③ ; ; (4)①若 为偶数,则 ;若 为奇数,则 ; ②若 被 3 除余 0,则 ;若 被 3 除余 1,则 ;若 被 3 除余 2,则 ; 三、集合中元素的个数的计算: (1)若集合 中有 个元素,则集合 的所有不同的子集个数 为_________,所有真子集的个数是__________,所有非空 真子集的个数是 。
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(2) 中元素的个数的计算公式为: ; (3)韦恩图的运用: 四、 满足条件 , 满足条件 , 若 ;则 是 的充分非必要条件 ; 若 ;则 是 的必要非充分条件 ; 若 ;则 是 的充要条件 ; 若 ;则 是 的既非充分又非必要条件 ; 五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的 ; 注意: “若 ,则 ”在解题中的运用, 如: ”是“ ”的 条件。 “ 六、反证法:当证明“若 ,则 ”感到困难时,改证它的等 价命题“若 则 ”成立, 步骤:1、假设结论反面成立;2、从这个假设出发,推理论 证,得出矛盾;3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论 正确。 矛盾的来源:1、与原命题的条件矛盾;2、导出与假设相矛 盾的命题;3、导出一个恒假命题。 适用与待证命题的结论涉及 “不可能” 、 “不是” 、 “至少” 、 “至 多”“唯一”等字眼时。 、 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个 否定

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有 n 个 任意两 个 否定

二、函数 一、映射与函数: (1)映射的概念: (2)一一映射: (3)函数的概念: 如:若 , ;问: 到 的映射有 个, 到 的映射有 个; 到 的函数有 个,若 ,则 到 的一一映射有 个。 函数 的图象与直线 交点的个数为 个。 二、函数的三要素: , , 。 相同函数的判断方法:① ;② (两点必须同时具备) (1)函数解析式的求法: ①定义法(拼凑) :②换元法:③待定系数法:④赋值法: (2)函数定义域的求法: ① ,则 ; ② 则 ; ③ ,则 ; ④如: ,则 ; ⑤含参问题的定义域要分类讨论; 如:已知函数 的定义域是 ,求 的定义域。 ⑥对于实际问题, 在求出函数解析式后; 必须求出其定义域, 此时的定义域要根据实际意义来确定。如:已知扇形的周长 为 20,半径为 ,扇形面积为 ,则 ;定义域为 。
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(3)函数值域的求法: ①配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值; 常转化为型如: 的形式; ②逆求法(反求法) :通过反解,用 来表示 ,再由 的取值 范围, 通过解不等式, 得出 的取值范围; 常用来解, 型如: ; ④换元法: 通过变量代换转化为能求值域的函数, 化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函 数有界性来求值域; ⑥基本不等式法:转化成型如: ,利用平均值不等式公式 来求值域; ⑦单调性法: 函数为单调函数, 可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来 求值域。 求下列函数的值域:① (2 种方法) ; ② (2 种方法) ;③ (2 种方法) ; 三、函数的性质: 函数的单调性、奇偶性、周期性 单调性:定义:注意定义是相对与某个具体的区间而言。 判定方法有:定义法(作差比较和作商比较) 导数法(适用于多项式函数) 复合函数法和图像法。 应用:比较大小,证明不等式,解不等式。
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

奇偶性:定义:注意区间是否关于原点对称,比较 f(x) 与 f(-x)的关系。f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)为偶函数; f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)为奇函数。 判别方法:定义法, 图像法 ,复合函数法 应用:把函数值进行转化求解。 周期性:定义:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足: f(x+T)=f(x),则 T 为函数 f(x)的周期。 其他:若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足:f(x+a)=f(x -a),则 2a 为函数 f(x)的周期. 应用:求函数值和某个区间上的函数解析式。 四、图形变换:函数图像变换: (重点)要求掌握常见基本 函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律。 常见图像变化规律: (注意平移变化能够用向量的语言解释, 和按向量平移联系起来思考) 平移变换 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b 注意: (ⅰ)有系数,要先提取系数。如:把函数 y=f(2x) 经过 平移得到函数 y=f(2x+4)的图象。 (ⅱ)会结合向量的平移,理解按照向量 (m,n)平移的 意义。 对称变换 y=f(x)→y=f(-x),关于 y 轴对称 y=f(x)→y=-f(x) ,关于 x 轴对称 y=f(x)→y=f|x|,把 x 轴上方的图象保留, 轴下方的图象关 x
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

于 x 轴对称 y=f(x)→y=|f(x)|把 y 轴右边的图象保留,然后将 y 轴右边 部分关于 y 轴对称。 (注意:它是一个偶函数) 伸缩变换:y=f(x)→y=f(ωx), y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换。 一个重要结论:若 f(a-x)=f(a+x),则函数 y=f(x)的图像 关于直线 x=a 对称; 如: 的图象如图,作出下列函数图象: (1) ; (2) ; (3) ; (4) ; (5) ; (6) ; (7) ; (8) ; (9) 。 五、反函数: (1)定义: (2)函数存在反函数的条件: ; (3)互为反函数的定义域与值域的关系: ; (4)求反函数的步骤:①将 看成关于 的方程,解出 ,若 有两解,要注意解的选择;②将 互换,得 ;③写出反函数 的定义域(即 的值域) 。 (5)互为反函数的图象间的关系: ; (6)原函数与反函数具有相同的单调性;
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(7)原函数为奇函数,则其反函数仍为奇函数;原函数为 偶函数,它一定不存在反函数。 如:求下列函数的反函数: ; ; 七、常用的初等函数: (1)一元一次函数: ,当 时,是增函数;当 时,是减函 数; (2)一元二次函数: 一般式: ;对称轴方程是 ;顶点为 ; 两点式: ;对称轴方程是 ;与 轴的交点为 ; 顶点式: ;对称轴方程是 ;顶点为 ; ①一元二次函数的单调性: 当 时: 为增函数; 为减函数;当 时: 为增函数; 为减 函数; ②二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 的形式, Ⅰ、若顶点的横坐标在给定的区间上,则 时:在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点 处取得; 时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点 处取得; Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上,则 时:最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离 对称轴较远的端点处取得;
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

时:最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离 对称轴较远的端点处取得; 有三个类型题型: (1)顶点固定,区间也固定。如: (2)顶点含参数(即顶点变动),区间固定,这时要讨论顶点 横坐标何时在区间之内,何时在区间之外。 (3)顶点固定,区间变动,这时要讨论区间中的参数. ③二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 的 两根为 ;则: 根的情况 等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根 充要条件 注意:若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况,可先利用在 开区间 上实根分布的情况,得出结果,在令 和 检查端点 的情况。 (3)反比例函数: (4)指数函数: 指数运算法则: ; ; 。 指数函数:y= (a>o,a≠1),图象恒过点(0,1) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种情 况进行讨论,要能够画出函数图象的简图。
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(5)对数函数: 指数运算法则: ; ; ; 对数函数:y= (a>o,a≠1) 图象恒过点(1,0) ,单调性与 a 的值有关,在解题中,往往要对 a 分 a>1 和 0<a<1 两种情况 进行讨论,要能够画出函数图象的简图。 注意: (1) 与 的图象关系是 ; (2)比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的 指数或对数函数,若底数不相同时转化为同底数的指数或对 数,还要注意与 1 比较或与 0 比较。 (3)已知函数 的定义域为 ,求 的取值范围。 已知函数 的值域为 ,求 的取值范围。 六、 的图象: 定义域: ;值域: ; 奇偶性: ; 单调性: 是增函数; 是减函数。 七、补充内容: 抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型: ① 正比例函数 ② ; ; ③ ; ; ④ ; 三、导 数 1.求导法则:
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

(c)/=0 这里 c 是常数。即常数的导数值为 0。 (xn)/=nxn-1 特别地:(x)/=1 (x-1)/= ( )/=-x-2 (f(x) ±g(x))/= f/(x)±g/(x) (k?f(x))/= k?f/(x) 2.导数的几何物理意义: k=f/(x0)表示过曲线 y=f(x)上的点 P(x0,f(x0))的切线的 斜率。 V=s/(t) 表示即时速度。a=v/(t) 表示加速度。 3.导数的应用: ①求切线的斜率。 ②导数与函数的单调性的关系 一 与 为增函数的关系。 能推出 为增函数,但反之不一定。如函数 在 上单调递增, 但 ,∴ 是 为增函数的充分不必要条件。 二 时, 与 为增函数的关系。 若将 的根作为分界点,因为规定 ,即抠去了分界点,此时 为增函数,就一定有 。∴当 时, 是 为增函数的充分必要 条件。 三 与 为增函数的关系。 为增函数, 一定可以推出 , 但反之不一定, 因为 , 即为 或 。 当函数在某个区间内恒有 , 为常数, 则 函数不具有单调性。 ∴ 是 为增函数的必要不充分条件。 函数的单调性是函数一条重要性质,也是高中阶段研究的重
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

点,我们一定要把握好以上三个关系,用导数判断好函数的 单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题,都一律用 开区间作为单调区间,避免讨论以上问题,也简化了问题。 但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题,要谨慎处理。 四单调区间的求解过程,已知 (1)分析 的定义域;(2) 求导数 (3)解不等式 ,解集在定义域内的部分为增区间 (4)解不等式 ,解集在定义域内的部分为减区间。 我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个 关系,才能准确无误地判断函数的单调性。以下以增函数为 例作简单的分析,前提条件都是函数 在某个区间内可导。 ③求极值、求最值。 注意:极值≠最值。函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值为极 大值和 f(a) 、 f(b)中最大的一个。 最小值为极小值和 f(a) 、 f(b)中最小的一个。 f/(x0)=0 不能得到当 x=x0 时,函数有极值。 但是,当 x=x0 时,函数有极值 f/(x0)=0 判断极值,还需结合函数的单调性说明。 4.导数的常规问题: (1)刻画函数(比初等方法精确细微) ; (2)同几何中切线联系(导数方法可用于研究平面曲线的 切线) ; (3)应用问题(初等方法往往技巧性要求较高,而导数方
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

法显得简便)等关于 次多项式的导数问题属于较难类型。 2.关于函数特征,最值问题较多,所以有必要专项讨论, 导数法求最值要比初等方法快捷简便。 3.导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型, 也是高考中考察综合能力的一个方向,应引起注意。 四、不等式 一、不等式的基本性质: 注意:(1)特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法, 此法尤其适用于不成立的命题。 (2)注意课本上的几个性质,另外需要特别注意: ①若 ab>0,则 。即不等式两边同号时,不等式两边取倒数, 不等号方向要改变。 ②如果对不等式两边同时乘以一个代数式,要注意它的正负 号,如果正负号未定,要注意分类讨论。 ③图象法:利用有关函数的图象(指数函数、对数函数、二 次函数、三角函数的图象) ,直接比较大小。 ④中介值法:先把要比较的代数式与“0”比,与“1”比, 然后再比较它们的大小 二、均值不等式:两个数的算术平均数不小于它们的几何平 均数。 若 ,则 (当且仅当 时取等号) 基本变形:① ; ;
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

②若 ,则 , 基本应用:①放缩,变形; ②求函数最值:注意:①一正二定三取等;②积定和小,和 定积大。 当 (常数) ,当且仅当 时, ; 当 (常数) ,当且仅当 时, ; 常用的方法为:拆、凑、平方; 如:①函数 的最小值 。 ②若正数 满足 ,则 的最小值 。 三、绝对值不等式: 注意:上述等号“=”成立的条件; 四、常用的基本不等式: (1)设 ,则 (当且仅当 时取等号) (2) (当且仅当 时取等号) (当且仅当 时取等号) ; (3) ; ; 五、证明不等式常用方法: (1)比较法:作差比较: 作差比较的步骤: ⑴作差:对要比较大小的两个数(或式)作差。 ⑵变形:对差进行因式分解或配方成几个数(或式)的完全 平方和。 ⑶判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

号。 注意:若两个正数作差比较有困难,可以通过它们的平方差 来比较大小。 (2)综合法:由因导果。 (3)分析法:执果索因。基本步骤:要证……只需证……, 只需证…… (4)反证法:正难则反。 (5)放缩法:将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目 的。 放缩法的方法有: ⑴添加或舍去一些项,如: ; ⑵将分子或分母放大(或缩小) ⑶利用基本不等式,如: ;

⑷利用常用结论: Ⅰ、 ; Ⅱ、 ; (程度大) Ⅲ、 ; (程度小) (6)换元法:换元的目的就是减少不等式中变量,以使问 题化难为易, 化繁为简, 常用的换元有三角换元和代数换元。 如: 已知 ,可设 ;
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

已知 ,可设 ( ); 已知 ,可设 ; 已知 ,可设 ; (7)构造法:通过构造函数、方程、数列、向量或不等式 来证明不等式; 六、不等式的解法: (1)一元一次不等式: Ⅰ、 :⑴若 ,则 ;⑵若 ,则 ; Ⅱ、 :⑴若 ,则 ;⑵若 ,则 ; (2)一元二次不等式: 一元二次不等式二次项系数小于零 的,同解变形为二次项系数大于零;注:要对 进行讨论: (5)绝对值不等式:若 ,则 ; ; 注意:(1).几何意义: : ; : ; (2)解有关绝对值的问题,考虑去绝对值,去绝对值的方法 有: ⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对 值;①若 则 ;②若 则 ;③若 则 ; (3).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非 负值。 (4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨 论”的方法来解。 (6)分式不等式的解法:通解变形为整式不等式;
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

⑴ ;⑵ ; ⑶ ;⑷ ; (7)不等式组的解法:分别求出不等式组中,每个不等式 的解集,然后求其交集,即是这个不等式组的解集,在求交 集中,通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上,取它们 的公共部分。 (8)解含有参数的不等式: 解含参数的不等式时,首先应注意考察是否需要进行分类讨 论.如果遇到下述情况则一般需要讨论: ①不等式两端乘除一个含参数的式子时,则需讨论这个式子 的正、负、零性. ②在求解过程中, 需要使用指数函数、 对数函数的单调性时, 则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时,需要考虑相应的二次 函数的开口方向,对应的一元二次方程根的状况(有时要分 析△) ,比较两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数, 要分 、 、 讨论。

五、数列 本章是高考命题的主体内容之一,应切实进行全面、深入地 复习,并在此基础上,突出解决下述几个问题: (1)等差、 等比数列的证明须用定义证明,值得注意的是,若给出一个
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

数列的前 项和 ,则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 . (2)数列计算是本章的中心内容,利用等差数列和等比数 列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算,是 高考命题重点考查的内容.(3)解答有关数列问题时,经常 要运用各种数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题, 是我们复习应达到的目标. ①函数思想:等差等比数列的通 项公式求和公式都可以看作是 的函数,所以等差等比数列 的某些问题可以化为函数问题求解. ②分类讨论思想: 用等比数列求和公式应分为 及 ; 已知 求 时,也要进行分类; ③整体思想:在解数列问题时,应注意摆脱呆板使用公式求 解的思维定势,运用整 体思想求解. (4)在解答有关的数列应用题时,要认真地进行分析,将 实际问题抽象化,转化为数学问题,再利用有关数列知识和 方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用,决不 是简单地模仿和套用所能完成的.特别注意与年份有关的等 比数列的第几项不要弄错. 一、基本概念: 1、 数列的定义及表示方法: 2、 数列的项与项数: 3、 有穷数列与无穷数列:
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

4、 递增(减) 、摆动、循环数列: 5、 数列{an}的通项公式 an: 6、 数列的前 n 项和公式 Sn: 7、 等差数列、公差 d、等差数列的结构: 8、 等比数列、公比 q、等比数列的结构: 二、基本公式: 9、一般数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系:an= 10、等差数列的通项公式:an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其 中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项) 当 d≠0 时,an 是关于 n 的一次式;当 d=0 时,an 是一个常数。 11、等差数列的前 n 项和公式:Sn= Sn= Sn= 当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次式且常数项为 0;当 d=0 时 (a1≠0) ,Sn=na1 是关于 n 的正比例式。

12、等比数列的通项公式: an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中 a1 为首项、ak 为已知的第 k 项,an≠0) 13、等比数列的前 n 项和公式:当 q=1 时,Sn=n a1 (是关 于 n 的正比例式); 当 q≠1 时,Sn= Sn= 三、有关等差、等比数列的结论 14、等差数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、 S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

15、等差数列{an}中,若 m+n=p+q,则 16、等比数列{an}中,若 m+n=p+q,则 17、等比数列{an}的任意连续 m 项的和构成的数列 Sm、 S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。 18、 两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、 {an-bn} 仍为等差数列。 19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列 {an bn}、 、 仍为等比数列。 20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数 列。 21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数 列。 22、三个数成等差的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设 法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 23、三个数成等比的设法:a/q,a,aq; 四个数成等比的错误设法:a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?) 24、{an}为等差数列,则 (c>0)是等比数列。 25、{bn}(bn>0)是等比数列,则{logcbn} (c>0 且 c 1) 是 等差数列。 26. 在等差数列 中: (1)若项数为 ,则 (2)若数为 则, ,
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

27. 在等比数列 中: (1) 若项数为 ,则 (2)若数为 则, 四、数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减 法、倒序相加法等。关键是找数列的通项结构。 28、分组法求数列的和:如 an=2n+3n 29、错位相减法求和:如 an=(2n-1)2n 30、裂项法求和:如 an=1/n(n+1) 31、倒序相加法求和:如 an= 32、求数列{an}的最大、最小项的方法: ① an+1-an=…… 如 an= -2n2+29n-3 ② (an>0) 如 an= ③ an=f(n) 研究函数 f(n)的增减性 如 an= 33、在等差数列 中,有关 Sn 的最值问题——常用邻项变号法 求解: (1)当 >0,d<0 时,满足 的项数 m 使得 取最大值. (2)当 <0,d>0 时,满足 的项数 m 使得 取最小值。 在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 六、平面向量 1.基本概念: 向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共 线向量、相等向量。
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

2. 加法与减法的代数运算: (1) . (2)若 a=( ),b=( )则 a b=( ) . 向量加法与减法的几何表示: 平行四边形法则、 三角形法则。 以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形 ABCD,则两条对角线的 向量 = + , = - , = - 且有| |-| |≤| |≤| |+| |. 向量加法有如下规律: + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律); +0= +(- )=0. 3.实数与向量的积:实数 与向量 的积是一个向量。 (1)| |=| |·| |; (2) 当 >0 时, 与 的方向相同;当 <0 时, 与 的方向 相反;当 =0 时, =0. (3)若 =( ) ,则 · =( ) . 两个向量共线的充要条件: (1) 向量 b 与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实 数 ,使得 b= . (2) 若 =( ),b=( )则 ‖b . 平面向量基本定理: 若 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一 平面内的任一向量 , 有且只有一对实数 , , 使得 = e1+ e2.
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

4.P 分有向线段 所成的比: 设 P1、P2 是直线 上两个点,点 P 是 上不同于 P1、P2 的任 意一点,则存在一个实数 使 = , 叫做点 P 分有向线段 所 成的比。 当点 P 在线段 上时, >0;当点 P 在线段 或 的延长线上 时, <0; 分点坐标公式:若 = ; 的坐标分别为( ),( ),( ) ; 则 ( ≠-1) 中点坐标公式: . , 5. 向量的数量积: (1) .向量的夹角: 已知两个非零向量 与 b,作 = , =b,则∠AOB= ( )叫做向 量 与 b 的夹角。 (2) .两个向量的数量积: 已知两个非零向量 与 b,它们的夹角为 ,则 ·b=| |·| b|cos . 其中|b|cos 称为向量 b 在 方向上的投影. (3) .向量的数量积的性质: 若 =( ),b=( )则 e· = ·e=| |cos (e 为单位向量); ⊥b ·b=0 ( ,b 为非零向量);| |= ; cos = = . (4) .向量的数量积的运算律: ·b=b· ;( )·b= ( ·b)= ·( b);( +b)·c= ·c+b·c.
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

6.主要思想与方法: 本章主要树立数形转化和结合的观点, 以数代形, 以形观数, 用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关 系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的 模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等。由 于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、 解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点。 七、立体几何 1.平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共 线、共面问题。 能够用斜二测法作图。 2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念; 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离;证明两条直线 是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 ①位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行 问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些? ④直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影,范围 是{00.900} ⑤三垂线定理及其逆定理:每年高考试题都要考查这个定理.
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形 的度量.如:证明异面直线垂直,确定二面角的平面角,确 定点到直线的垂线. 4.平面与平面 (1)位置关系:平行、相交, (垂直是相交的一种特殊情况) (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已 知两平面垂直,一般是依据性质定理,可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→ (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法: ①定义法,一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜 三角形; ②垂线、斜线、射影法,一般要求平面的垂线好找,一般在 计算时要解一个直角三角形。 ③射影面积法,一般是二面交的两个面只有一个公共点,两 个面的交线不容易找到时用此法?

具体的公式 http://www.ggjy.net/xspd/xsbk/200408/815.html 高中数学公式大全 http://www.xyjy.cn/Article/UploadFiles/200510/20051
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

013100307519.doc 高中数学常用公式及常用结论

高中数学常用公式及常用结论

高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系 , . 2.德摩根公式 . 3.包含关系

4.容斥原理

. 5.集合 的子集个数共有 个;真子集有 –1 个;非空子集有
状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。

–1 个;非空的真子集有 –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 ; (2)顶点式 ; (3)零点式 . 7.解连不等式 常有以下转化形式

. 8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的 一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实 根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 .

状元源打造最全的免费高考复习、学业水平考试复习资料,更多资料请到状元源下载。



更多相关文章:
高中高考数学公式大全
高中高考数学公式大全_高一数学_数学_高中教育_教育专区。亲自整理的高中数学所有...所以 sin(2π -α )=-sinα 总结记忆:将α 看成是锐角,奇变偶不变,符号...
2014高考数学公式大全(最全面,最详细)
2014高考数学公式大全(最全面,最详细)抛物线:y = ax *+ bx + c 就是 y ...应届生求职季宝典 英文个人简历模板 创意简历模板汇集 推理型题分析与总结+...
2016年高考数学公式总结精华版
2016年高考数学公式总结精华版_高考_高中教育_教育专区。2016年高考数学公式总结精华版 2016 年高考数学知识总结精华 1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A...
高考数学公式大全(最全面_最详细)
高考数学公式大全(最全面_最详细)_高考_高中教育_教育专区。最全面,最详细的高考数学公式大全高考数学公式大全(最全面,最详细)抛物线:y = ax *+ bx + c 就是...
高中文科数学公式及知识点总结大全(精华版)
高中文科数学公式及知识点总结大全(精华版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设 x1、x2 ?...
高考数学公式大全
高考数学公式大全 一、集合 1.集合的运算符号:交集“ ? ” ,并集“ ? ”...由题型来讲解和总结 四、均值不等式①a ? b ? 2 ab, (a ? 0, b ? ...
高考文科数学公式大全
高考文科数学公式大全_数学_高中教育_教育专区。一、函数、导数 1、函数的单调性...高考文科数学公式 6页 免费 高考文科数学公式汇总(精... 6页 2下载券 高考文...
高考数学公式大全
23页 1下载券 高考数学常用公式大全 28页 4下载券喜欢此文档的还喜欢 ...有共轭复数根 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-...
高考数学公式大全(完整版)
高考数学公式大全(完整版)_数学_高中教育_教育专区。高考所有数学公式 高中数学常用公式及常用结论 1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A...
高考数学公式总结
高考数学常用公式汇总一、 函数 n 1、 若集合 A 中有 n (n ∈ N ) 个元素,则集合 A 的所有不同的子集个数为 2 ,所有非空真子集 的个数是 2 ? ...
更多相关标签:
初中数学公式大全总结    高考数学公式总结    高一数学公式大全总结    高中数学公式大全总结    高考数学公式大全理科    高考数学公式大全    高考文科数学公式大全    初一数学公式大全总结    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图