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辽宁省丹东市2015年高三总复习质量测试(一)数学理



2015 年丹东市高三总复习质量测试(一)

数学(理科)
命题:宋润生 周宝喜 齐丹 审核:宋润生 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,第 I 卷 1 至 3 页,第 II 卷 4 至 6 页.其 中第 II 卷第(22)题~第(24)题为选考题,其它题为必考题.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交 回.

/>第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. (1)在复平面内,复数 z ? (A)第一象限

1 所对应的点在 1? i
(C)第三象限 (D)第四象限

(B)第二象限

(2)已知集合 A ? {x | x ? 2} , B ? {x | x ? 2m2} ,且 A ? ? R B ,那么 m 的值可以是 (A) 1 (B) 0 (C) ?1 (D) ? 2

(3)已知向量 a ? (1, 2) , b ? (1, 0) , c ? (3, 4) ,若 (b + xa) ? c ,则实数 x ? (A) ?

3 11

(B) ?

11 3

(C)

1 2

(D)

3 5

(4)下列结论中正确的是 (A)若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 0
2 (B)在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1, ? ) (? ? 0) ,若 ? 位于区

域 (0,1) 的概率为 0.4 ,则 ? 位于区域 (1, ??) 内的概率为 0.6 (C) 从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测, 这样的抽样是分层抽样 (D)利用随机变量 ? 来判断“两个独立事件 X,Y 的关系”时,算出的 ? 值越大,判断“X 开始
2 2

与 Y 有关”的把握就越大 (5)给出右面的程序框图 ,若输入的 x 值为 ?5 , 则输出的 y 值是
·1 ·

输入 x
1 ( )x ? 2 2




x ? x?2

y ? log 2 x2

(A) ?2 (B) ?1 (C) 0 (D) 1 (6)某由圆柱切割获得的几何体的三视图如图所示,其中俯视图是中心角为 60 ? 的扇形, 则该几何体的侧面积为

10 ? 3 10 (B) 6 ? ? 3
(A) 12 ? (C) 12 ? 2? (D) 6 ? 4?
正视图 侧视图

(7)如图,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B , C 的俯角分别为 75 , 30 ,此时气球的高是

60 m,则河流的宽度 BC 等于
(A) 30( 3 ? 1) m (B) 120( 3 ?1) m (C) 180( 2 ?1) m A

俯视图

30° 60m 75° B (D) 240( 3 ?1) m C

?x ? y ? 7 ? 0 ? (8)设 x , y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?
(A) 5 (B) 8 (C) 10 (D) 12

(9)在平面直角坐标系中,点 M (3, m) 在角 ? 的终边上,点 N (2m, 4) 在角 ? ? 终边上,则 m ? (A) ?6 或 1 (B) ?1 或 6 (C) 6 (D) 1

?
4



(10)如图所示,函数 f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0,| ? |?

?
2

) 的部分图象,已知

x1 , x2 ? ( , ? ) ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ? 3 (A) ?1
·2 ·

?

(B) ? (C) (D)

3 2

1 2

3 2

(11)经过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F 作该双曲线一条渐近线的垂 a 2 b2 2 2 线与两条渐近线相交于 M , N 两点,若 O 是坐标原点,△ OMN 的面积是 a , 3
则该双曲线的离心率是

(A) 2

(B) 5
2

(C)

5 2

(D)

6 2

(12)关于函数 f ( x) ? x (ln x ? a) ? a ,给出以下 4 个结论: ① ?a ? 0, ?x ? 0, f ( x) ? 0 ; ③ ?a ? 0, ?x ? 0, f ( x) ? 0 ; 其中正确结论的个数是 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 ② ?a ? 0, ?x ? 0, f ( x) ? 0 ; ④ ?a ? 0, ?x ? 0, f ( x) ? 0 .

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分, 第 (13) 题~第 (21) 题为必考题, 每个试题考生都必须做答. 第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
2 3 (13) ( x ? 2 y ) 的展开式中 x y 的系数是
5

1 2



x (14)已知 f ( x ) , g ( x) 分别是 R 上的奇函数和偶函数,若 f ( x) ? g ( x) ? log2 (1 ? 2 ) ,

则 f (1) ?


2

(15)已知抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点是 F ,点 M (0, 2) ,线段 MF 与 C 的交点是 N ,过

N 作 C 准线的垂线,垂足是 Q ,若 ?MQF ? 90 ,则 p ?
(16)四面体 ABCD 的体积是



1 ,△ ABC 是斜边 AB ? 2 的等腰直角三角形,若点 A , 6 B , C , D 都在半径为 2 的同一球面上,则 D 与 AB 中点的距离是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)
·3 ·

数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 . (I)设 bn ? an?1 ? an ,证明 {bn } 是等差数列; (II)求 {an } 的通项公式.

(18) (本小题满分 12 分)

2 如图,正三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,底面边长为 ,
侧棱长为 2 , D 为 AC 1 1 中点. (I)求证: BC1 ∥平面 AB1D ; (II)求二面角 A 1 ? AB 1 ? D 的余弦值. A A1

D

C1 B1 C B

(19) (本小题满分 12 分) 某校理科实验班的 100 名学生期中考试的语文数学成绩都不低于 100 分,其中语文成绩的频率 分布直方图如图所示,成绩分组区间是:[100,110) ,[110,120) ,[120,130) ,[130,140) ,[140,150].
频率/组距

0.040

0.030 0.020

0.005 100 110 120 130 140 150
成绩(分数)

这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数 x 与数学成绩相应分数段的人数 y 之比如下表所示: 分组区间 [100,110) 1:2 [110,120) 2:1 [120,130) 3:4 [130,140) 1:1

x: y

(I)估计这 100 名学生数学成绩的中位数; (II)从数学成绩在[130,150] 的学生中随机选取 2 人,该 2 人中数学成绩在[140,150]的人数 为 X ,求 X 的数学期望 EX .

·4 ·

(20) (本小题满分 12 分) 已知椭圆

x2 y 2 2 10 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点为 F2 (1, 0) ,点 H (2, ) 在椭圆上. 2 a b 3

(I)求椭圆的方程; (II)点 M 在圆 x2 ? y 2 ? b2 上,且 M 在第一象限, 圆 x2 ? y 2 ? b2 的切线交椭圆于 P , Q 两点,求证:△ 周长是定值. 过 M 作

PF2Q 的

(21) (本小题满分 12 分) 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? 1 ? (1 ? x) ln(kx) 的极值点, e 自然对数底数. (I)求 k 值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (II)是否存在 m ? (1, ??) ,使得当 a ? m 时,不等式 (a ? x)ln(a ? x) ? ae x ln a 对任意正实数

x 都成立?请说明理由.

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 A,B,C,D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 切点,AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点. (I)求证:BD 平分∠ABC; (II)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长. 的切线, D为

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的 极坐标方程为 ? ? 4 2 ? cos(? ?
2

?
4

)?6 ?0.

(I)求 C 的参数方程; (II)若点 P( x, y ) 在曲线 C 上,求 x ? y 的最大值和最小值.
·5 ·

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 | ax ? 1| ? | ax ? a |? 1(a ? 0) . (I)当 a ? 1 时,求此不等式的解集; (II)若此不等式的解集为 R ,求实数 a 的取值范围.

2015 年丹东市高三总复习质量测试(一)

数学(理科)试题参考答案与评分参考
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要 考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 二、对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答末改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. (1)A (7)B (2)B (8)C (3)A (9)D (4)D (10)D (5)C (11)C (6)C (12)D

(11)题引申:如果把题中的“ a ? b ? 0 ”改成“ a ? 0, b ? 0 ” ,答案是 (12)题①②④是正确的. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. (13) ?20 (14)

5 或 5. 2

1 2

(15) 2

(16) 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分. (17) (本小题满分 12 分) 解:(I)由 an?2 ? 2an?1 ? an ? 2 得

bn?1 ? bn ? an?2 ? 2an?1 ? an ? 2an?1 ? an ? 2 ? 2an?1 ? an ? 2 ,
∴ {bn } 是首项为 1,公差为 2 的等差数列; (II)由(I)得 bn ? 2n ? 1,于是 an?1 ? an ? 2n ?1 ,
·6 ·

????(6 分)

当 n ? 2 时, an ? [(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ?

? (an ? an?1 )] ? a1

? [(1 ? 3 ?

? (2n ? 3)] ? 1

? (n ?1)2 ? 1
而 a1 ? 1 ,∴ {an } 的通项公式 an ? (n ?1)2 ? 1 . 【注意】 “累加”法,不要忘记验证 n ? 1 情形. (18) (本小题满分 12 分) (I)证明:如图,连结 A1B 与 AB1 交于 E,连结 DE,则 E 为 A1B 的中点, ∴ BC1∥ DE, DE ? 平面 AB1D , BC1 ? 平面 AB1D , ∴BC1 ∥平面 AB1D ; (II)方法 1: 过 D 作 DF⊥ A1B1 于 F,由正三棱柱的性质,AA1⊥ DF, ∴ DF⊥ 平面 ABB1A1,连结 EF,DE, ∴ DE⊥ AB1,∴ 可得 EF⊥ AB1, 则∠ DEF 为二面角 A1-AB1-D 的平面角, 在正三角形 A1B1C1 中,∵ D 是 A1C1 的中点, ∴B1D ? ????(6 分) ????(12 分)

????(8 分)

3 A1B1 = 3 , 2

2 又在直角三角形 AA1D 中,∵ AD= AA2 1+A1D = 3 ,

∴ AD=B1D,可求得 DF ?

3 , 2 3 , 2
????(12 分)

∵ △ B1FE∽ △ B1AA1,得 EF ?

∴ cos∠ DEF=

2 2 ,即二面角 A1-AB1-D 的余弦值为 . 2 2

方法 2: 建立如图所示空间直角坐标系, 则 A(0, ?1, 0) , B1 (0,1, 2) ,

C1 (? 3,0, 2) , A1 (0, ?1, 2) ,
·7 ·

1 D(? 3, ? , 2) , 2
∴ AB1 =(0,1, 2 ) , BD1 =(- 3 a,-

3 ,0) , 2

设 n1=(x,y,z)是平面 AB1D 的一个法向量,

?2 y ? 2 z ? 0, ? ?n1·AB1 =0 ? 则可得 ? ,即 ? . 3 3 n · B D = 0 ? ? x ? y ? 0. 1 1 ? ? ? 2 2
, ? ,2 ) ∴ n1=(- 3,1,- 2) . D(? 3 1 2


又平面 ABB1A1 的一个法向量 n2= OC =(- 3 ,0,0) , 2 n1· n2 设 n1 与 n2 的夹角是 θ,则 cosθ= = , |n1|· |n2| 2 又可知二面角 A1-AB1-D 是锐角, ∴ 二面角 A1-AB1-D 的余弦值为 (19) (本小题满分 12 分) 解:(I)∵ 0.05 ? 2 ? 0.4 ? 2 . 2 ????(12 分)

1 4 ? 0.3 ? ? 0.7 ? 0.5 , 0.7 ? 0.5 ? 0.2 , 2 3 0.2 ∴这 100 名学生数学成绩的中位数是 130 ? 10 ? ? 125 ; ????(6 分) 4 0.3 ? 3
(II)∵数学成绩在[100,140)之内的人数为

1 4 (2 ? 0.05 ? ? 0.4 ? ? 0.3 ? 0.2) ?100 ? 90 2 3 ∴数学成绩在[140,150]的人数为 100 ? 90 ? 10 人, 而数学成绩在[130,140)的人数为 0.2 ?100 ? 20 人, X 可取 0,1,2,

P( X ? 0) ?
X 分布列

0 2 1 1 2 0 C10 C20 C10 C20 C10 C20 38 40 3 , , , ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? 2 2 2 C30 87 C30 87 C30 29

X
P

0

1

2

38 87 38 40 3 2 ? 1? ? 2 ? ? . ∴ EX ? 0 ? 87 87 29 3

40 87

3 29
????(12 分)

【引申】本题还可以这样设问:根据题中的数据,分析比较这个班级的语文成绩数学成绩. 可以从以下几个方面选择回答: ①由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的中位数,比较其大小,写出一个统计结论;
·8 ·

②比较语文成绩数学成绩 130 或 140 以上人数的多少,写出一个统计结论; ③由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的众数(或从形成单峰处) ,比较其大小,写出一个统计结 论; ④由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的平均分,比较其大小,写出一个统计结论; ⑤由直方图分别估计出语文成绩数学成绩的方差,比较其大小,写出一个统计结论. (20) (本小题满分 12 分) 解: (I)根据已知,椭圆的左右焦点为分别是 F1 (?1,0) , F2 (1, 0) , c ? 1 , ∵ H (2,

2 10 ) 在椭圆上, 3

∴ 2a ? HF1 ? HF2 ? (2 ? 1)2 ? (

2 10 2 2 10 2 ) ? (2 ? 1)2 ? ( ) ?6, 3 3

a ? 3, b ? 2 2 ,
椭圆的方程是

x2 y 2 ? ? 1; 9 8 x12 y12 ? ? 1, 9 8

????(6 分)

(II)方法 1:设 P ? x1 , y1 ? , Q( x2 , y2 ) ,则

PF2 ?

? x1 ?1?

2

? y12 ?

? x1 ? 1?
x1 , 3

2

? 8(1 ?

x12 x ) ? ( 1 ? 3)2 , 9 3

∵ 0 ? x1 ? 3 ,∴ PF2 ? 3 ? 在圆中, M 是切点,

∴ PM ? | OP | ? | OM | ?
2 2

x12 ? y12 ? 8 ? x12 ? 8(1 ?

x12 1 ) ? 8 ? x1 , 9 3

∴ PF2 ? PM ? 3 ?

1 1 x1 ? x1 ? 3 , 3 3

同理 QF2 ? QM ? 3 ,∴ F2 P ? F2Q ? PQ ? 3 ? 3 ? 6 , 因此△ PF2Q 的周长是定值 6 . 方法 2:设 PQ 的方程为 y ? kx ? m(k ? 0, m ? 0) , ????(12 分)

·9 ·

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 x2 ,得 (8 ? 9k 2 ) x 2 ? 18kmx? 9m2 ? 72 ? 0 ?1 ? ? 8 ?9
? 18km 9m 2 ? 72 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2
2 2 ∴ | PQ |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 | ? 1 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2

? 1? k 2 (

?18km 2 9m2 ? 72 ) ? 4 ? 8 ? 9k 2 8 ? 9k 2

? 1? k 2

4 ? 9 ? 8 ? (9k 2 ? m2 ? 8) , (8 ? 9k 2 )2
2 2

∵ PQ 与圆 x ? y ? 8 相切,∴ ∴ | PQ |? ? ∵ PF2 ?

m 1? k
2

? 2 2 ,即 m ? 2 2 1 ? k 2 ,

6km , 8 ? 9k 2

? x1 ?1? ? y12 ?
2

? x1 ? 1? ? 8(1 ?
2

x12 x ) ? ( 1 ? 3)2 , 9 3

x1 x 1 ,同理 QF2 ? (9 ? x2 ) ? 3 ? 2 , 3 3 3 x ? x2 6km 6km 6km ? ? 6? ? ? 6, ∴ F2 P ? F2Q ? PQ ? 6 ? 1 2 2 3 8 ? 9k 8 ? 9k 8 ? 9k 2
∵ 0 ? x1 ? 3 ,∴ PF2 ? 3 ? 因此△ PF2Q 的周长是定值 6 . (21) (本小题满分 12 分) 解: (I) f ?( x) ? ? ln(kx) ? ????(12 分)

1? x ,由题意 f ?(1) ? 0 ,得 k ? 1 , x

????(2 分)

此时 f ( x) ? 1 ? (1 ? x) ln x ,定义域是 (0, ??) , 令 g ( x) ? f ?( x) ? ? ln x ?

1? x x ?1 , g ?( x ) ? ? 2 x x

∵g ?( x) ? 0 ,∴g ( x) 在 (0, ??) 是减函数,且 g (1) ? 0 , 因此当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? g ( x) ? 0 ,当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? g ( x) ? 0 , ∴ f ( x ) 在 (0,1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数;
·10·

????(6 分)

(II)不等式 (a ? x)ln(a ? x) ? ae x ln a 可以化为 设 h( x) ?

(a ? x) ln(a ? x) a ln a ? a , ea ? x e

x ln x ,则 h(a ? x) ? h(a) , ex
????(8 分)

即判断是否存在 m ? (1, ??) ,使 h( x) 在 (m, ??) 是减函数, ∵h?( x) ?

1? (1? x)ln x f ( x) ? x , ex e

∵f (

1 2 ? e2 ) ? ? 0 , f (1) ? 1 ? 0 , f (e) ? 2 ? e ? 0 , e2 e2

∴h?( x) 在 (0,1) 和 (1, ??) 上各有一个零点,分别设为 x1 和 x2 ,列表:

x
h?( x)

(0, x1 )
?

x1
0
极小

( x1 , x2 )

x2
0
极大

( x2 , ??)
?

?

h( x)

∴h( x) 在 ( x1 , x2 ) 是增函数,在 ( x2 , ??) 是减函数, ∵x2 ? (1, ??) ,∴ 存在这样的 m 值,且 m ? x2 . ????(12 分)

【注意】 “当 a ? m 时,不等式 h(a ? x) ? h(a) 对任意正实数 x 都成立”这句话符合必修 1 中函数单 调性定义,说明 h( x) 在 (m, ??) 是减函数. (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 证明: (I)? DE // AC,? ?CDE ? ?ACD , 又? DE 切圆 O 于点 D ,? ?CDE ? ?CBD , ? ?ACD ? ?CBD ,而 ?ACD ? ?ABD , ? ?CBD ? ?ABD ,即 BD 平分∠ABC; (II)由(I)知 ?CBD ? ?ABD ,又? ?CBD ? ?CAD , ? ?ABD ? ?CAD 又? ?ADH 为公共角, AH AD ? ∴ ?DBA 与 ?DAH 相似,? , AB BD ∵AB=4,AD=6,BD=8,∴AH=3. (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (I) C 的极坐标方程化为 ? ? 4? cos? ? 4? sin ? ? 6 ? 0 ,
2

????(5 分)

????(10 分)

·11·

∴ C 的直角坐标方程是 x2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 6 ? 0 , 即 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ,
C 的参数方程是 ?

? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

, ? 是参数;

????(5 分)

(II)由 ?

? ? x ? 2 ? 2 cos ? ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

( ? 是参数)得到 x ? y ? 4 ? 2sin(? ?

?
4

)

∴ x ? y 的最大值是 6,最小值是 2. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解: (I)当 a ? 1 时,此不等式为 x ? 1 ?

????(10 分)

1 1 3 ,解得 x ? 或x ? , 2 2 2
????(5 分)

∴不等式的解集为 ( ??, ] [ , ??) ; (II)∵ ax ?1 ? ax ? a ? a ?1 , ∴原不等式解集为 R 等价于 a ? 1 ? 1 ,∵ a ? 0 ,∴ a ? 2 , ∴实数 a 的取值范围为 [2, ??) .

1 2

3 2

????(10 分)

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·12·



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