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专题2 不等式


专题 2 不等式 自主招生常见的不等式试题类型主要包括:不等式的证明、解不等式、不等式的应用, 其中不等式的证明是难点, 也是重点. 证明不等式的基本方法主要有: 比较法 (作差, 作商) 、 放缩法、反证法、数学归纳法、变量代换法、构造法(构造函数,构造图形)等.它的关键 在于恰当的变形和转化,除此之外,也涉及均值不等式和柯西不等式.构造适当的模型来处 理不等式问题,也是自主招生考试试题中的热点.总之,不等式试题的特点是形式多样,解 法灵活,解题时应重视转化,善于运用技巧. 要点概括 1.均值不等式. 设 a1 , a2 ,..., an 是 n 个正实数,记
2 2 a12 ? a2 ? ... ? an , Qn ? n

An ?

a1 ? a2 ? ... ? an , n

Gn ? n a1a2 ...an ,
Hn ? n 1 1 1 ? ? ... ? a1 a2 an


则有 Qn ? An ? Gn ? Hn ,其中等号成立的条件是: a1 ? a2 ? ... ? an . 2.柯西不等式, 设 a1 , a2 ,..., an ; b1 , b2 ,..., bn 是 2n 个实数,则有
2 2 2 2 (a12 ? a2 ? ... ? an )(b12 ? b2 ? ... ? bn ) ? (a1b1 ? a2b2 ? ... ? anbn )2
n n n

即(

? ai2 )(? bi2 ) ? (? aibi )2 ,其中等号成立的条件是 ai ? ?bi (i ? 1, 2,..., n) ,? 是一个常
i ?1 i ?1 i ?1

数. 3.柯西不等式的几个绪论. (1) b1 ? b2 ? ... ? bn ? 1 时,柯西不等式即为
2 2 n(a12 ? a 2 ? . .? . an 2 ? ) a( ?a ? ?.a . n. . ) 1 2
2 2 a12 ? a2 ? ... ? an a ? a ? ... ? an . ? 1 2 n n

若 ai (i ? 1, 2,..., n) 是正实数,则

(2)当 bi ?

1 (i ? 1, 2,..., n) 时,则柯西不等式即为 ai 1 1 1 2 ? 2 ? ... ? 2 ) ? n . 2 a1 a2 an

2 (a12 ? a22 ? ... ? an )(

(3)若 ai、bi (i ? 1, 2,..., n) 是正实数,则

(

a a1 a2 ? ? ... ? n )(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? ( a1 ? a2 ? ... ? an ) 2 b1 b2 bn

热点透视 不等式问题是当前各高校自主招生考试中必定涉及的内容.该类题型要求考生在掌握 相关知识及技能的同时,还必须了解和掌握常见不等式的解题策略,这些策略包括特征观 察、数式比较、等价转化、函数单调性、有效放缩、合理构造、数学归纳法、重要不等式的 运用等. 1.解不等式问题. 解不等式,需要同解变形,同解变形时需要保证每一步的转化都是等价转化.要密切关 注不等式的结构形式,采取正确的应对策略和方法,才能有针对性地解题.例如,2004 年 同济大学自主招生, 2008 年浙江大学自主招生, 2007 年上海交通大学冬令营, 2008 年、 2009 年、2010 年复旦大学的自主招生考试的试题都有这类题型. 2.证明不等式, 由于证明不等式的试题形式多样,方法灵活,对代数式的变形技能要求高,因此不等式 的证明历来是自主招生考试的热点. 其中, 利用均值不等式和柯西不等式来证明是较为常见 的处理方法;而放缩、构造等方法,是更高层次的变形技能.例如,2008 年浙江大学自主 招生考试,2008 年北京大学自主招生考试的试题,2009 年清华大学自主招生考试等均出现 该类题型. 3.不等式的应用, 这类问题主要以求相应的最值,求取值范围,以及探讨函数性质的形式给出,常用的解 题方法包括等价转化的代数方法,以及数形结合的思想方法.具体解题时应灵活应对.例 如,2007 年、2008 年上海交通大学冬令营,2008 年清华大学自主招生考试,2010 年复旦大 学自主招生考试的试题等均出现过该类题型. 例题精析 例 1(2010 年浙江大学自主招生)

x1 , x2 ,..., xn 是 小 于

1

的 正 数 , 且

x1 ? x2 ? ... ? xn ? 1 , 求 证 :

1 1 1 ? ?. .? . > . 4 3 3 x1 ? x 1 x 2? x 2 xn ? xn 3
【回顾】方法二的证明,抓住了问题的本质,证明的过程简洁而优美,但①式成立不容 易想到.

例 2(2009 北京大学自主招生) 已知对任意的 a cos x ? b cos 2 x ? ?1 恒成立,求 a ? b 的最大值. 【回顾】通过换元,转化为二次不等式在给定范围上恒成立问题.寻求二次不等式恒 立的条件,及解不等式组都是解题的易错点. 例 3(2009 年南京大学自主招生) P 为△ABC 内一点,它到三边 BC、CA、AB 的距离分别为 d1、d2、d3 .S 为△ABC 的面积. 求证:

a b c (a ? b ? c) 2 (这里 a、b、c 分别表示 BC、CA、AB 的长) . ? ? ? d1 d2 d3 2S

(回顾】本题熟练使用柯西不等式是证明的关键. 例 4(2008 年浙江大学自主招生) 已知 x>0,y>0,a ? x ? y, b ?

x 2 ? xy ? y 2 , c ? m xy .是否存在正数 m.使得对于任意正

数 x、 y 可使 a、b、c 为三边构成三角形?如果存在,求出 m 的取值范围;如果不存在, 请说明理由. 【回顾】 本题中利用构成三角形的条件得出不等式组并不难, 但解出不等式组对考生的 能力要求较高. 例 5(2003 复旦大学保送生)

a1 , a2 ,..., an 是各不相同的正整数, a ? 2 .
求证: (

1 a 1 1 1 ) ? ( )a ? ( )a ? ... ? ( )a <2 . a1 a2 a3 an

【回顾】本题通过观察不等式的特征,合理联想幂函数和指数函数的单调性,再合理放 缩,使不等式得以证明.熟悉幂函数和指数函数的性质,并会灵活运用是解题关键. 例 6(2008 年北京大学自主招生) 实 数

ai、bi (i ?

1

,满

2足 ,

a1 ? 3

)a2 ?

a3 ?

, b 1?

b2 ?

b3

a1a2 ? a2a3 ? a3a1 ? b1b2 ? b2b3 ? b3b1 , min(a1, a2 , a3 ) ? min(b1, b2 , b3 ) .
求证: max(a1 , a2 , a3 ) ? max(b1, b2 , b3 ) . 【回顾】本题是一道难度较大的试题,利用反证法,构造函数,来完成证明需要相当的 技巧,平时应多加强这方面的练习.

巩固提升 一、选择题 1. ( 2010 年 复 旦 大 学 自 主 招 生 ) 设 实 数 x、y ? 0 , 且 满 足 2x+y=5 , 则 函 数
2 f ( x, y)? x ? xy ?2 x ? 2 的最大值是 y

(A)

97 195 49 25 ;(B) ;(C) ;(D) . 16 4 8 2 1 ,且它的外接圆半径为 1, 4

2.(2008 年复旦大学自主招生)已知一个三角形的面积为

a、b、c 分别是该三角形的三边长, 若u ?
(A)u>v; (B)u=v;

1 1 1 ? ? , v ? a ? b ? c 则 u 和 v 的关系是 a b c
(D)不能确定.

(C)u<v;

3.(2009 年复旦大学自主招生)若 x ? y ? 1,0 ? a ? b ? 1, 则下列各式中一定成立的是 (A) xa ? yb ; (B) xa ? yb ; (C) a ? b ;
x y

(D) a ? b .
x y

z 4. ( 2009 年 复 旦 大 学 自 主 招 生 ) 设 x ? y ? z ? 0, 且 有 x y ?

? y

z ? 1 2 ,则

log4 x ? log2 y ? log2 z 的最大值是
(A)3; (B)4; (C)5; (D)6.
2

5.(2009 年复旦大学自主招生)若实数 x 满足:对任意正数 a ? 0, 均有 x ? 1 ? a. 则 x 的取 值范围是 (A)(-1,1); (B) ??1,1? ;(C) (? 1 ? a , 1 ? a ) ;(D)不能确定. 6. (2009 年复旦大学自主招生)设实数 a、b、c ? 0, 且 不等式一定成立的是 (A) b ? ac ;(B) b ? ac ;(C) a ? b ? c ;(D) b ?
2 2 2 2

bc ca ab , , 成等差数列,则下列 a b c

a?c . 2

7. ( 2007 年 复 旦 大 学 自 主 招 生 ) 当 a和b 取 遍 所 有 实 数 时 , 函 数

f (a, b) ? (a ? 5 ? 3 cos b )2 ? (a ? 2 sin b )2 所能取到的最小值为
(A)1; (B)2; (C)3; (D)4.

8. (2007 年武汉大学自主招生) 已知函数 f ( x) ? ?

?? x 2 , x ? 0; ? ? x, x ? 0,

不等式 f ( x) ? 2 ? 0 的解集为

(A) (??, 2) ;(B) (??, ? 2) ;(C)(-2,2);(D) (?2, 2) .

9.(2006 年复旦大学自主招生)下列不等式正确的是 (A) 16 ?

?
k ?1

120

120 1 1 ? 17 ;(B) 18 ? ? ? 19 ; k k k ?1 120 1 1 ? 21 ;(D) 22 ? ? ? 23 . k k k ?1

(C) 20 ?

?
k ?1

120

10.(2007 年全国数学联赛一试) 若实数 a 使得不等式 2x ? a ? 3x ? 2a ? a2 对任意实数 x 恒成立,则满足条件的 a 所组成的集合是 (A) ? ? , ? ;(B) ? ? , ? ;(C) ? ? , ? ;(D) ? ?3,3? . 3 3 2 2 4 3 二、填空题 11. (2008 年南开大学自主招生) 已知正数 a、b、c 满足: a ? ab ? ac ? bc ? 6 ? 2 5 ,
2

? 1 1? ? ?

? 1 1? ? ?

? 1 1? ? ?

则 3a ? b ? 2c 的最小值是______________. 12. (2008 年南开大学自主招生)若对任意实数 x 都有 f ( x) ? loga (2 ? ex?1 ) ? ?1, 则 实数 x 的取值范围是______________. 13. (2006 年武汉大学自主招生)已知不等式 ?9 ? 立,则 p=______________. 14. (2004 年上海交通大学自主招生)已知 x、y、z 是非负整数,且 x ? y ? z ? 10 ,

3x 2 ? px ? 6 ? 6 对任意实数 x 恒成 x2 ? x ? 1

x ? 2y ? 3z ? 30 ,则 x ? 5y ? 3z 值是______________.
三、解答题

a、b、c 是 x、y、z 的一个排列. 15. (2009 年清华大学自主招生) 已知 x、y、z ? 0 , 求
证:

a b c ? ? ? 3. x y z
4 4

16. (2006 年清华大学自主招生)已知 a、 b 为非负实数, M ? a ? b , a ? b ? 1. .求 M 的最值. 17 . ( 2008 年 南 开 大 学 自 主 招 生 ) 设 a、b、c 为 正 数 , 且 a ? b ? c ? 1 . 求

(a ?

1 2 1 1 ) ? (b ? 2 ) ?c ( ? 2 ) 的最小值. a b c

18. (2008 年浙江大学自主招生)已知 a ? 0, b ? 0 .

求证:

1 1 1 ? ? ... ? ? a ? b a ? 2b a ? nb

n b 2n ? 1 (a ? )(a ? b) 2 2

19. (2007 年浙江省高中数学竞赛)设正实数 a、b、c 及非负实数 x、 y 满足条件:

a6 ? b6 ? c6 ? 3, ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2. 求 I ?
值,并给出证明.

1 1 1 的最小 ? 3 ? 3 3 2 3 2 2a x ? b y 2b x ? c y 2c x ? a 3 y 2
3

20.已知 1 ? ai ? 7, i ? 1,2,..., n, 其中正整数 n≥2. (1)求证:对于一切的正整数 i ,都有
n

1 1 2 ? ? ; 2 a ? 1 7 ? ai 3
2 i

(2)求 S ?

?
i ?1

1 (ai2 ? 1)(7 ? ai2?1 )

的最小值,其中约定 an?1 ? a1 .


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