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2017-2018学年度第一学期第一次月考高二数学试题



高二数学(《解三角形》与《数列》)
(满分:150 分 时间:120 分钟) 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) … 1、数列 1,-3,5,-7,9, 的一个通项公式为 ( ) A

an ? 2n ? 1 B

an ? (?1) n (1 ? 2n) C

an ? (?1) n (2n ? 1)


D

an ? (?1) n (2n ? 1)

2.已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? A. ?

1 ,则公比 q =( 4
C.2 )

1 2
1 4

B. ? 2

D.

1 2
2 3


3.若?ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 cosC=( A. ? B.

1 4

C. ?

2 3

D.

4.设数 {an } 是单调递增的等差数列,前三项的和为 12,前三项的积为 48,则它的首项是( A.1 B.2 C. ? 2 D.4 5.在各项均为正数的等比数列 ?bn ? 中,若 b7 ? b8 ? 3 ,则 log3 b1 ? log3 b2 ? …… ? log3 b14 等于( (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 6.在 ? ABC 中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( 0 0 0 A. b=10, A=45 , C=60 B. a=6, c=5, B=60 0 0 C. a=7, b=5, A=60 D. a=14, b=16, A=45 7.在数列 {an } 中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an ? ( A. 2 ? ln n B. 2 ? (n ? 1) ln n C. 2 ? n ln n )



1 n

) D. 1 ? n ? ln n )

8.在 ?ABC 中,若 a cos B ? b cos A ,则 ?ABC 的形状一定是( A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形

D.等腰三角形 )

9.在 200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30°,60°,则塔高为( A

王新敞
奎屯

新疆

400 m? 3

B

王新敞
奎屯

新疆

400 3 m? 3

C

王新敞
奎屯

新疆

200 3 m? 3

D

王新敞
奎屯

新疆

200 m 3
( )

10.等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,且

a Sn 2n ,则 5 ? b5 Tn 3n ? 1
D
2

A

2 3

B

9 14

C

20 31

7 9


11. 已知 {an }为公比 q>1 的等比数列, 若 a2005和a2006 是方程 4 x - 8x + 3 = 0 的两根, 则 a2007 + a2008 的值是 ( 12 . 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1, 前 n 项 和 为 Sn , 且 点 P(an ,an?1 )n (? N A 18 B 19 C 20 D 21
*

在 ) 直 线 x ? y ?1 ? 0 上 , 则

1 1 1 1 ) ? ? ? ? ? =( S1 S2 S3 Sn n( n ? 1) 2 A. B. 2 n(n ? 1)

C.

2n n ?1

D.

n 2(n ? 1)
1

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.已知 ?an ? 为等差数列, a3 ? a8 ? 22 , a6 ? 7 ,则 a5 ? ____________ 14. 已知数列{an}的前 n 项和是 Sn = n2 + n + 1, 则数列的通项 an=__
2 2 2

15.在△ABC 中,若 a +b <c ,且 sin C =

3 ,则∠C = 2
3 ,那么 b = 2

16.△ABC 中,a、b、c 成等差数列,∠B=30°, S ?ABC = 三、解答题:(本大题分 6 小题共 74 分) 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 a ?

3 , b ? 2 ,B=45? 求 A、C 及 c

18.(本小题满分 12 分)等比数列 ?an ? 中, S 2 ? 7 , S 6 ? 91,求 S 4 .

19. (本小题满分 12 分)在 △ ABC 中,内角 A,B,C 对边的边长分别是 a,b,c ,已知 c ? 2 , C ? 若 △ ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ;(Ⅱ)若 sin B ? 2sin A ,求 △ ABC 的面积.

? .(Ⅰ) 3

2

20.(12 分)已知 ?an ? 是等差数列,其中 a1 ? 25, a4 ? 16 (1)求 ?an ? 的通项; (2)求 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an 的值。

21. (12 分)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A 1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里,当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航
3
?

行到甲船的北偏西 120 方向的 B2 处, 此时两船相距 10 2 海里, 问乙船每小时航行多少海里?(结论保留根号形式) 北

?

120?

A2

B2 B1


105? A 1


22.(本小题满分 14 分)设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项都为正数的等比数列,且 a1 ? b1 ? 1 , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13
(Ⅰ)求 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

高二数学月考(《解三角形》与《数列》)
参考答案: 一、选择题:B D A B C D A, D A B C C 4

二、填空题:13、 15

14.

an =

15、

2? 3

16、

3 ?1

三、解答题: 18.(本小题满分 12 分) 解法一:∵ S 2

? 7 , S6 ? 91,易知 q ? 1 ,…………………………………..(2 分)

?a1 (1 ? q) ? 7 ? ? a1 (1 ? q 6 ) ? 1 ? q ? 91 ?
∴q
4



a1 (1 ? q)(1 ? q)(1 ? q 2 ? q 4 ) ? 91 1? q

? q 2 ? 12 ? 0 ,∴ q 2 ? 3 ,
? a1 (1 ? q 4 ) ? a1 (1 ? q)(1 ? q 2 ) ? 7 ? (1 ? 3) ? 28.…………………(12 分) 1? q

∴ S4

解法二:设数列 ∵ S2

?an ?的公比为 q,

? 7 , S6 ? 91,
∴?

∴?

?a1 ? a 2 ? 7 ?a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? a6 ? 91
4

?a1 ? a2 ? 7
2 4 ?7 ? 7q ? 7q ? 91

∴q

? q 2 ? 12 ? 0

∴q

2

? 3,

a1 (1 ? q 4 ) ∴ S4 ? ? a1 (1 ? q)(1 ? q 2 ) ? 7 ? (1 ? 3) ? 28. 1? q
解法三:∵数列 ∴ S2 , S4 ∴ (S 4

?an ?为等比数列,

? S 2 , S 6 ? S 4 也为等比数列,即 7, S 4 ? 7 , 91 ? S 4 成等比数列,

? 7) 2 ? 7(91? S 4 ) ,
? 28 或 S 4 ? ?21

解得 S 4 ∵ S4 ∴ S4

? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a1 ? a2 ? a1q 2 ? a2 q 2 ? 0
? 28 .
2

19. 解:(Ⅰ)由余弦定理得, a 又因为 △ ABC 的面积等于

? b2 ? ab ? 4 ,
4分

1 3 ,所以 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . ··········· 2

?a 2 ? b2 ? ab ? 4, 联立方程组 ? 解得 a ? 2 , b ? 2 . ··················· ?ab ? 4,

6分

5

(Ⅱ)由正弦定理,已知条件化为 b 联立方程组 ?

? 2a , ························

8分

?a 2 ? b2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,
?

解得 a

?

2 3 4 3 ,b ? . 3 3
12 分

所以 △ ABC 的面积 S

1 2 3 .······················ ab sin C ? 2 3

20.解:(1)? a4

? a1 ? 3d ? d ? ?3
?9 1 3

? an ? 28 ? 3n

……4 分

(2)? 28 ? 3n ? 0 ? n ∴数列

?an ? 从第 10 项开始小于 0



?28 ? 3n, (n ? 9) an ? 28 ? 3n ? ? ?3n ? 28, (n ? 10)
? 9 时, a1 ? a2 ? ? ? an ?

当n

a1 ? an 2

?n ?

25 ? 28 ? 3n 53n ? 3n 2 ?n ? 2 2



当 n ? 10 时,

a1 ? a2 ? ?? an ? ( a1 ? a2 ? ?? a9 ) ? ( a10 ? a11 ? ?? an )
?
?

a1 ? a9 2

?9?

a10 ? a n 2

? (n ? 9)

25 ? 1 2 ? 3n ? 28 ?9? ? ( n ? 9) 2 2 (3n ? 26)( n ? 9) ? 117 ? 2

3n 2 ? 53n ? 468 ? 2

? 53n ? 3n 2 , (n ? 9) ? ? 2 ∴ a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 2 ? 3n ? 53n ? 468, (n ? 10) ? 2 ?
21.解法一:如图,连结 A 1B 1 ,由已知

……12 分

A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ? 30 2 ?

20 ? 10 2 , 60


? A1 A2 ? A2 B1 ,

又 ∠A 1A 2 B2

? 180? ?120? ? 60? ,
…………4 分

?△A1 A2 B2 是等边三角形,

120? A 2

? A1B2 ? A1 A2 ? 10 2 ,
由已知,

B2 B1
…………6 分

105?

A1

A1B1 ? 20 , ∠B1 A1B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,





6

在 △A 1 B2 B1 中,由余弦定理,

2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B2 ?A1B2 ? cos 45? ? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

2 ? 200 . 2

? B1B2 ? 10 2 .
因此,乙船的速度的大小为

…………10 分

10 2 ? 60 ? 30 2 (海里/小时) 20
…………12 分

答:乙船每小时航行 30

2 海里.

22

解 : ( Ⅰ ) 设

?an ?

的 公 差 为

d



?bn ?

的 公 比 为

q

, 则 依 题 意 有

q?0



4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, …………………………………………………………………3 分 ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13,

解得 d 所以 an

? 2 , q ? 2 .……………………………………………………………4 分

? 1 ? (n ?1)d ? 2n ?1 ,………………………………………………5 分

bn ? qn?1 ? 2n?1 .…………………………………………………………………6 分
(Ⅱ)

an 2n ? 1 ? n?1 .……………………………………………………………7 分 bn 2

3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? 2 ? ? ? n ?2 ? n ?1 ,①……………………………………9 分 1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2Sn ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 ,②……………………………………11 分 2 2 2 2 2 2 2n ? 1 ②-①得 S n ? 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 2 ? ,…………………………12 分 2 2 2 2n ?1 Sn ? 1 ?

1 ? 2n ? 1 ? 1 1 ? 2 ? 2 ? ?1 ? ? 2 ? ? ? n?2 ? ? n?1 2 ? 2 ? 2 2

1 n ?1 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 1 2 1? 2 2n ? 3 ? 6 ? n ?1 .……………………………………………………………………14 分 2 1?

7



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