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2012高三数学(理)二轮复习练习:专题阶段评估6



专题阶段评估(六 专题阶段评估 六)
(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) i-2 1.复数 =( 1+2i A.i 4 3 C.- - i 5 5 解析: i-2 (i-2)(1-2i) 5i = = =i. 1+2i (1+2i)(1-

2i) 5 ) B.-i 4 3 D.- + i 5 5

答案: A 2.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽样 的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高二年级 的学生中应抽取的人数为( A.6 C.10 ) B.8 D.12
[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

30 解析: 设样本容量为 N,则 N× =6,∴N=14, 70 ∴高二年级所抽人数为 14× 答案: B 3.如图是某学校学生体重的频率分布直方图, 已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比 为 1∶2∶3,第 2 小组的频数为 10,则抽取的学生人数是 ( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析: 0.75× 前三组的频率之和等于 1-(0.012 5+0.037 5)×5=0.75,第 二小组的频率是 40 =8. 70

2 10 =0.25,设样本容量为 n,则 =0.25,即 n=40. n 1+2+3

答案: D 4.(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|的值为( A.1 C.243 B.64 D.729 )

解析: |a0|+|a1|+…+|a6|即为(1+2x)6 展开式中各项系数的和,在(1-2x)6 中,令 x=- 1,则|a0|+|a1|+…+|a6|=(1+2)6=36=729. 答案: D 5.已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(2,σ2),P(ξ≤4)=0.84,则 P(ξ≤0)=( A.0.16 C.0.68 B.0.32 D.0.84 )

解析: ∵P(ξ≤4)=0.84,?=2,∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=1-0.84=0.16,故选 A.

答案: A 6.阅读右边的程序 框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( A.3 C.5 解析: B.4 D.6 由 a=1,i=0→i=0+1=1,a=1×1+1=2→i=1+1=2,a=2×2+1=5→i )

=2+1=3,a=3×5+1=16→i=3+1=4,a=4×16+1=65>50,∴输出 4. 答案: B
[来源:学科网 ZXXK]

7.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54









根据上表可得回归方程y =bx+a中的b为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额 为( ) A.63.6 万元 C.67.7 万元 B.65.5 万元 D.72.0 万元

4+2+3+5 7 解析: ∵ x = = =3.5, 4 2 y=


49+26+39+54 168 = =42, 4 4
∧ ∧

又y =bx+a必过( x , y ),
∧ ∧ 7 ∴42= ×9.4+a,∴a=9.1. 2 ∧

∴线性回归方程为y =9.4x+9.1.


∴当 x=6 时,y =9.4×6+9.1=65.5(万元). 答案: B 8.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参加环保知识测试, 得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 mo,平均值为 x ,则( )

[来源:学§科§网]

A.me=mo= x C.me<mo< x

B.me=mo< x D.mo<me< x

5+6 解析: 30 个数中第 15 个数是 5,第 16 个数是 6,所以中位数为 =5.5,众数为 5, 2 x= 3×2+4×3+5×10+6×6+7×3+8×2+9×2+10×2 179 = . 30 30

答案: D 9.(2011·江西井冈山)有甲、乙、丙三项任务,甲需 2 人承担,乙、丙各需 1 人承担,从 10 人中选派 4 人承担这项任务,不同的选法有( A.1 260 种 C.2 520 种 )

B.2 025 种 D.5 040 种
[来源:学|科|网 Z|X|X|K]

解析: 第一步,从 10 人中选派 2 人承担任务甲,有 C102 种选派方法;第二步,从余下 的 8 人中选派 1 人承担任务乙,有 C81 种选派方法;第三步,再从余下的 7 人中选派 1 人承担 任务丙,有 C71 种选派方法.根据分步乘法计数原理易得选派方法种数为 C102·C81·C71=2 520. 答案: C

1 10.下面是求 (共 6 个 2)的值的算法的程序框图,图中的判断框中应填( 1 2+ 1 2+?+ 2

)

A.i≤5? C.i≥5?

B.i<5? D.i>5?

解析: 由于所给计算的表达式中共有 6 个 2,故只需 5 次循环即可,由此控制循环次数 的变量 i 应满足 i≤5.故选 A. 答案: A 1 11.在区间(0,1)内任取两个实数,则这两个实数的和大于 的概率为( 3 17 A. 18 2 C. 9 7 B. 9 1 D. 18 )

? ?0<x<1 1 解析: 设这两个实数分别为 x,y,则? ,满足 x+y> 的 3 ?0<y<1 ?

1 1 1 部分如图中阴影部分所示. 所以这两个实数的和大于 的概率为 1- × 3 2 3 1 17 × = ,故选 A. 3 18 答案: A 12.有 10 件产品,其中 3 件是次品,从中任取两件,若 ξ 表示取到次品的个数,则 Eξ 等于( 3 A. 5 14 C. 15 ) 8 B. 15 D.1

C 32 C 71C 31 解析: ξ=1 时,P= ;ξ=2 时,P= 2, C102 C10

C 71C 31 C32 7×3+2×3 3 ∴Eξ=1× = = ,故选 A. 2 +2× C10 C102 C102 5 答案: A 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),则 z 的实 部是________. 解析: 设 z=a+bi(a、b∈R).由 i(z+1)=-3+2i,得-b+(a+1)i=-3+2i,∴a+1 =2,∴a=1. 答案: 1 14.若 C273n 1=C27n 6(n∈N*),则?
+ +

? x- 2 ?n 3 ? 的展开式中的常数项是________.(用数字 x? ? ?- 2 ?r r 3 ? =C5 (- x? ?

作答) 解析: 由 C273n 1=C27n
+ +6

得 3n+1+n+6=27, n=5, r+1= C5r( x)5-r? T

15-5r ,令 15-5r=0,得 r=3, 2)r·x 6 ∴T4=C53(-2)3=-80. 答案: -80 15. 若执行如图所示的框图, 输入 x1=1, 2=2,x3=3,x =2, x 则输出的数等于________.

解析: 通过框图可以看出本题的实质是求数据 x1,x2,x3 的方差,根据方差公式,得 S 1 2 = [(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]= . 3 3 答案: 2 3

16.先后投掷骰子两次,记所得的点数分别为 x,y,则点(x,y)在直线 x+y=n(n=5,6,7,8) 上的概率为 Pn,则概率最大的是________,这个最大值是________. 解析: 根据分析,基本事件的个数是 36.

4 在直线 x+y=5 上的点是(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),P5= ; 36 5 在直线 x+y=6 上的点是(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),P6= ; 36 6 在直线 x+y=7 上的点是(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),P7= ; 36 5 在直线 x+y=8 上的点是(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2),P8= . 36 1 故概率最大的是 P7= . 6 答案: P7 1 6

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 17.(本小题满分 10 分)某班主任对全班 50 名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行 了调查,发现积极参加班级管理工作的而且学习积极性高的有 18 人,积极参加班级工作而且 学习积极性一般的有 6 人,不太积极参加班级管理工作但学习积极性高的有 7 人,不太积极 参加班级管理工作而且学习积极性一般的有 19 人. (1)如果随机抽查这个班的一名学生,那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少? 抽到不太积极参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少? (2)试运用独立性检验的思想方法 分析:学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有 关?并说明理由. 24 12 解析: (1)积极参加班级工作的学生有 24 人,总人数为 50 人,概率为 = ;不太积 50 25 19 极参加班级工作且学习一般的学生有 19 人,概率为 . 50 (2) 根据已知数据,则 2×2 列联表如下: 积极参加班级工作 学习积极性高 学习积极性一般 合计 18 6 24 不太积极参加班级工作 7 19 26 合计 25 25 50

假设学习积极性与对待班级态度 无关,得 50×(18×19-6×7)2 150 K2(χ2)= = ≈11.5, 13 25×25×24×26 ∵K2(χ2)>6.635, ∴有 99%的把握说明学习积极性与对待班级工作的态度有关系. 18.(本小题满分 12 分)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程 度(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表:

学历 本科 研究生

35 岁以下 80 x

35~50 岁 30 20

50 岁以上 20 y

(1)用分层抽样的方法在 35~50 岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为 5 的样本,将 该样本看成一个总体,从中任取 2 人,求至少有 1 人的学历为研究生的概率; (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取 N 个人, 其中 35 岁以 下 48 人,50 岁以上 10 人,再从这 N 个人中随机抽取出 1 人,此人的年龄为 50 岁以上的概率 为 5 ,求 x、y 的值. 39 解析: (1)用分层抽样的方法在 35~50 岁中抽取一个容量为 5 的样本,设抽取学历为本 科的人数为 m. ∴ 30 m = ,解得 m=3. 50 5

∴抽取了学历为研究生的有 2 人,分别记作 S1、S2;学历为本科的有 3 人,分别记作 B1、 B2、B3. 从中任取 2 人的所有基本事件共 10 个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2,B1),(S2,B2), (S2,B3),(S1,S2),(B1,B2),(B2,B3),(B1,B3). 其中至少有 1 人的学历为研究生的基本事件有 7 个:(S1,B1),(S1,B2),(S1,B3),(S2, B1),(S2,B2),(S2,B3),(S1,S2). 7 ∴从中任取 2 人,至少有 1 人的学历为研究生的概率为 . 10 10 5 (2)依题意得: = ,解得 N=78. N 39 ∴35~50 岁中被抽取的人数为 78-48-10=20. ∴ 48 20 10 = = , 80+x 50 20+y

∴x=40,y=5. 19.(本小题满分 12 分)某校从参加某次“广州亚运”知识竞赛的同学中,选取 60 名同学 将其成绩(百分制)(均为整数),分成 6 组后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息, 回答下列问题:

(1)求分数在[70,80)内的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均 分; (3)若从 60 名学生中随机抽取 2 人,抽到的学生成绩在[40,70)记 0 分,在[70,100)记 1 分, 用 ξ 表示抽取结束后的总记分,求 ξ 的分布列和数学期望. 解析: (1)设分数在[70,80)内的频率为 x,根据频率分布直方图,则有(0.01+0.015×2+ 0.025+0.005)×10+x=1,可得 x=0.3,所以频率分布直方图如图所示.

(2)平均分为: x =45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71. (3)学生成绩在[40,70)的有 0.4×60=24 人, 在[70,100]的有 0.6×60=36 人. 并且 ξ 的可能 取值是 0,1,2. C242 46 则 P(ξ=0)= 2= ; C60 295 C241C361 144 P(ξ=1)= = ; C602 295 C362 105 P(ξ=2)= 2= . C60 295 所以 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2

P

46 295

144 295

105 295

46 144 105 354 Eξ=0× +1× +2× = . 295 295 295 295 20.(本小题满分 12 分)某商场准备在五一期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决 定从 2 种服装,2 种家电,3 种日用品这 3 类商品中,任意选出 3 种商品进行促销活动. (1)试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率; (2)商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提 高 150 元,同时,若顾客购买该商品,则允许有 3 次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获 1 得数额为 m 元的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 ,请问:商场应将每次中奖 2 奖金数额 m 最高定为多少元,才能使促销方案对商场有利? 解析: (1)从 2 种服装,2 种家电,3 种日用品中,任选出 3 种商品一共有 C73 种选法, 选出的 3 种商品中没有日用商品的选法有 C43 种, 所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品 C43 31 的概率为 P=1- 3= . C7 35 (2)顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一个随机变量,设为 X,其所有可能值为 0, m,2m,3m. 当 X=0 时,表示顾客在三次抽奖中都没有获奖, 1 1 1 所以 P(X=0)=C30?2?0·?2?3= , ? ? ? ? 8 1 1 3 同理可得 P(X=m)=C31?2?1·?2?2= , ? ? ? ? 8 1 1 3 P(X=2m)=C32?2?2·?2?1= , ? ? ? ? 8 1 1 1 P(X=3m)=C33?2?3·?2?0= . ? ? ? ? 8 所以顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是 1 3 3 1 EX=0× +m× +2m× +3m× =1.5m. 8 8 8 8 要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额,所 以 1.5m≤150,即 m≤100.故商场应将中奖奖金数额最高定为 100 元,才能使促销方案对商场 有利. 21.(本小题满分 12 分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之 间的关系进行分析研究,他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每 天每 100 颗种子中的发芽数,得到如下资料: 日期 温差 x(℃) 12 月 1 日 10 12 月 2 日 11 12 月 3 日 13 12 月 4 日 12 12 月 5 日 8
[来源:学科网 ZXXK]

发芽数 y(颗)

23

25

30

26

16

该农科所确定的研究方案是:先从这 5 组数据中选取 2 组,用剩下的 3 组数据求线性回 归方程,再对被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率; (2)若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的 2 组数据,请根据 12 月 2 日至 12 月 4 日的数据,


求出 y 关于 x 的线性回归方程y =bx+a; (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗,则认为 得到的线性回归方程是可靠的,试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠? 解析: (1)设“抽到不相邻两组数据”为事件 A,因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10 种情况,每种情况都是等可能出现的,其中抽到相邻 2 组数据的情况有 4 种, 4 3 所以 P(A)=1- = . 10 5 (2)由数据,求得 x =12, y =27. 5 由公式,求得 b= ,a= y -b x =-3. 2
∧ 5 所以 y 关于 x 的线性回归方程为y = x-3. 2 ∧ 5 (3)当 x=10 时,y = ×10-3=22,|22-23|<2; 2 ∧ 5 同样,当 x=8 时,y = ×8-3=17,|17-16|<2. 2

所以,该研究所得到的线性回归方程是可靠的. 22.(本小题满分 12 分)2011 年 3 月,日本发生了 9.0 级地震,地震引发了海啸及核泄漏.某国际组织计划派出 12 名心理专家和 18 名核专家赴日本工作,临行前对这 30 名专家进行了总分为 1 000 分的综合素质测评,测评成绩 用茎叶图进行了记录,如图(单位:分).规定测评成绩在 976 分以上(包括 976 分)为“尖端专家”,测评成绩在 976 分以下为“高级专家”,且只有核 专家中的“尖端专家”才可以独立开展工作.这些专家先飞抵日本的城市 E,再分乘三辆汽车 到达工作地点福岛县.已知从城市 E 到福岛县有三条公路,因地震破坏了道路,汽车可能受 阻.据了解:汽车走公路Ⅰ或Ⅱ顺利到达的概率都为 9 2 ;走公路Ⅲ顺利到达的概率为 ,甲、 10 5

乙、丙三辆车分别走公路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ,且三辆汽车是否顺利到达相互之间没有影响. (1)如果用分层抽样的方法从“尖端专家”和“高级专家”中选取 6 人, 再从这 6 人中选 2 人,那么至少有一人是“尖端专家”的概率是多少? (2)求至少有两辆汽车顺利到达福岛县的概率;

(3)若从所有“尖端专家”中选 3 名志愿者,用 ξ 表示所选志愿者中能独立开展工作的人 数,试写出 ξ 的分布列,并求 ξ 的数学期望. 解析: (1)根据茎叶图可知,“尖端专家”有 10 人,“高级专家”有 20 人, 6 1 每位专家被抽中的概率是 = , 30 5 1 所以用分层抽样的方法选取 6 人,选出的“尖端专家”有 10× =2 人,“高级 专家”有 5 1 20× =4 人. 5 记事件 A 表示“至少一名‘尖端专家’被选中”,则它的对立事件 A 表示“没有一名 2 3 C 42 ‘尖端专家’被选中”,则 P(A)=1- 2=1- = . C6 5 5 3 因此,至少有一人是“尖端专家”的概率是 . 5 (2)记“汽车甲走公路Ⅰ顺利到达”为事件 B,“汽车乙走公路Ⅱ顺利到达”为事件 C, “汽车丙走公路Ⅲ顺利到达”为事件 D.则至少有两辆汽车顺利到达福岛县的概率 P=P(BC D )+P(B C D)+P( B CD)+P(BCD) = 9 9 3 9 1 2 1 9 2 9 9 2 441 × × + × × + × × + × × = . 10 10 5 10 10 5 10 10 5 10 10 5 500

(3)由茎叶图知,心理专家中的“尖端专家”为 7 人,核专家中的“尖端专家”为 3 人, 依题意,ξ 的可能取值为 0,1,2,3,则 C 73 7 C31C72 21 C 32C 71 7 C 33 1 P(ξ =0)= 3= ,P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= ,P(ξ=3)= 3= . 3 = 3 = C10 24 C10 40 C10 40 C10 120 因此 ξ 的分布列为 ξ P 0 7 24 1 21 40 2 7 40 3 1 120

7 21 7 1 9 所以 Eξ=0× +1× +2× +3× = . 24 40 40 120 10

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