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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质教案1(人教A必修4)



1.4.2(第二课时)
王新敞
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正弦函数的性质

教学目标: 1. 理解正弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义; 2 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间; 教学重点:正、余弦函数的性质 教学难点:正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学方法与学习指导策略建议:讲正弦函数的性质时,要从多方面讲解,一方面要用正弦函 数的定义,从理论上分析推导;用诱导公式证明正弦函数是周期函数,且周期为 2k? ,
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k ? Z且k ? 0 等等。另一方面要观察图形,使学生对这些性质有直观印象。教师在讲课时,
可充分利用多媒体设备,让学生观察、理解、记忆。 教 学 环 节 复 习 引 入 教学内容 师生互动 设计意图

复习正弦曲线、三角函数定义、正弦线

教师提问,学生回答。 为本节课 的讲解新 课 作 准 备。

由正弦函数的作图过程以及正弦函 概 念 形 成 数的定义, 容易得出正弦函数 y ? sin x 还有 以下重要性质: (1)定义域: 正弦函数的定义域都是实数集 R[或(- ∞,+∞)] , 分别记作: y=sinx,x∈R (2)值域 因为正弦线的长度小于或等于单位圆的 半径的长度;从正弦曲线可以看出,正弦曲 教师提问:定义域、值 域分别是什么?并说 明理由。 学生回答:从函数图象 和正弦函数定义以及 正弦线的知识,可以知 道定义域为 x∈R, 值域 [-1,1] 。 教师提问:任意一 个周期函数是否都有 线分布在两条平行线 y ? 1 和 y ? ?1 之间, 所 最小正周期? 以|sinx|≤1,即 学生回答:否。反 -1≤sinx≤1 也就是说, 正弦函数的值域都是 例: f ( x) ? C [-1,1] 正弦函数 y=sinx,x∈R
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1. 希 望 学 生不仅能 够知道正 弦函数的 定义域和 值域,而 且能够体 会知识间 的联系, 知其然更 知其所以 然。

①当且仅当 x= 弦函数取得最大值 1
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? +2kπ ,k∈Z 时,正 2 ? +2kπ ,k∈Z 时, 2
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②当且仅当 x=-

正弦函数取得最小值-1 (3)周期性 由 sin(x+2kπ )=sinx (k∈Z)知: 正弦函数值是按照一定规律不断重复地 取得的 当自变量 x 的值每增加或减少 2? 的 整数倍时,正弦函数的值重复出现。在单位 圆中,当角的终边饶原点转动到原处时,正 弦线的数量(长度和符号)不发生变化,以 及正弦曲线连续不断无限延伸的形状都是这 一性质的几何表示。这种性质称为三角函数 的周期性。 一般地,对于函数 f(x),如果存在一个非 零常数 T, 使得当 x 取定义域内的每一个值时, 都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期 函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期 由此可知,2π ,4π ,??,-2π ,- 4π ,??2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是正弦函数的 周期 对于一个周期函数 f(x),如果在它所有的 周期中存在一个最小的正数,那么这个最小 正数就叫做 f(x)的最小正周期
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2. 通 过 讨 论和提问 使学生更 深刻理解 周期的定 义。

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注意: 1?周期函数 x?定义域 M, 则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界; 则定义域无下 T<0 界; 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x) 就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的 (如 y=sinx 2?,4?,?, -2?,-4?,?都是周期)周期 T 中最小的正数 叫做 f (x)的最小正周期 (有些周期函数没有最 小正周期) 根据上述定义,可知:正弦函数是周期 函数,2kπ (k∈Z 且 k≠0)都是它的周期,最 小正周期是 2π (4)奇偶性 由 sin(-x)=-sinx 可知:y=sinx 为奇函数 因此正弦曲线关于原点 O 对称 (5)单调性
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教师提问:函数奇偶性 的定义及图象特征? 学生回答。 教师提问:正弦函数具 有什么样的性质? ? 3? 学生回答。 从 y=sinx,x∈[- , ]的图象上 教师提问:从正弦函数 2 2 可看出: 的图象观察正弦函数 ? ? 具有什么样的单调 当 x∈[- , ]时,曲线逐渐上升, 性? 2 2 sinx 的值由-1 增大到 1 学生回答。
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当 x∈[

? 3? , ]时,曲线逐渐下降, 2 2
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sinx 的值由 1 减小到-1 结合上述周期性可知: 正弦函数在每一个闭区间 [-

? +2kπ ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1 2 ? 3? 增大到 1;在每一个闭区间[ +2kπ , 2 2
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? +2kπ , 2

+2kπ ](k∈Z)上都是减函数,其值从 1 减小 到-1 例 1: sin x ? t ? 3, x ? R , t 的取值 设 求 范围。 解:因为 ? 1 ? sin x ? 1, 所以 ? 1 ? t ? 3 ? 1 由此解得 2 ? t ? 4 学生独立完成,并请两 位同学板演。由学生和 教师共同点评。对于表 格规范,图象正确的学 生给予鼓励和表扬,对 于有不足的学生给予 指导。 巩固本节 课所学知 识。

例 2: 求使下列函数取得最大值的自变 量 x 的集合,并说出最大值是什么
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应 用 举 例 -1

1?y=sin2x,x∈R

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2? y=sin(3x+

? ) 4

解: 1?令 Z=2x,那么 x∈R 必须并且只需 Z ∈R,且使函数 y=sinZ,Z∈R 取得最大值的 集合是{Z|Z=

? +2kπ ,k∈Z} 2 ? 由 2x=Z= +2kπ , 2 ? 得 x= +kπ 4 ? +kπ ,k∈Z} 4

即 使函数 y=sin2x,x∈R 取得最大值的 x 的 集合是{x|x=
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函数 y=sin2x,x∈R 的最大值是 1 2? 当 3x+

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? ? 2k? ? =2k?+ 即 x= ? 4 2 3 12

(k?Z)时 y 的最大值为 0
例 3: 求下列三角函数的周期: y=sin(x+ 1?

? ) 3

2? y=3sin(

x ? + ) 2 5

3? y=|sinx|

解 : 1? 令 z= x+ 即:f (2?+z)=f (z)

? 3

而 sin(2?+z)=sinz

f [(x+2?)+ 周期 T=2? 2?令 z= f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin(
x ? 4? ? ? )=f (x+4?) 2 5

? ? ]=f (x+ ) 3 3



x ? + 则 2 5 x ? + +2?)=3sin( 2 5

∴周期 T=4? 3? T=? 一般地,函数 y=Asin(ω x+φ )(其中

A ? 0, ? ? 0, x ? R ) 的 周 期

T?

2?

?

,下一

节将进一步研究这类函数的性质。 例 4:不通过求值,指出下列各式大于 0 还是小于 0
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? ? )-sin(- ); 18 10 23? 17? (2) sin (- )- sin (- ). 5 4 ? ? ? ? 解:(1)∵- <- <- < . 10 18 2 2 ? ? 且函数 y=sinx,x∈[- , ]是增 2 2
(1)sin(- 函数
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? ? )<sin(- ) 10 18 ? ? 即 sin(- )-sin(- )>0 18 10 23? 23? (2)sin( - ) = - sin =- 5 5
∴sin(- sin

3? 2? 2? ? ? =-sin ? ? ? ? =-sin 5 5 5 ? ? 17? 17? ? )=-sin =-sin 4 4 4 ? 2? ? ∵0< < < 5 4 2
sin(- 且函数 y=sinx,x∈[0,

? ]上是增 2

函数

? 2? <sin 5 4 ? 2? ? - sin ? - sin 5 4 23? 17? ∴sin(- )-sin(- )<0 5 4
∴sin 例 5.函数 y=ksinx+b 的最大值为 2, 最 小值为-4,求 k,b 的值
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? k ?b ? 2 ?k ?3 ?? 解:当 k>0 时 ? ?? k ? b ? ?4 ?b ? ?1

当 k<0 时 ?

?? k ? b ? 2 ? k ? 3 ?? (矛 ? k ? b ? ?4 ?b ? ?1

盾舍去) ∴k=3 b=-1

归 纳 小 结 布 置 作 业

小结:本节课学习了正弦函数的性质,请大 家总结一下理解和记忆的方法。

教师归纳本节课内容

学生回顾 本节课内 容。 复习本节 课内容

P.43,44 练习 A,练习 B

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