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4函数思想在不等式证明中的应用


不等式证明中的函数思想
函数思想在不等式问题中有着广泛的应用,在证明不等式时,先认真观察不 等式的结构特征, 或者经过适当的变形后再观察,然后构造出一个与该不等式有 关的辅助函数,利用辅助函数的有关性质,将不等式问题转化为函数问题,从而 拓宽解题思路,降低问题的难度。 ‘构造函数法’是一种创造性的数学思想方法, 它的应用不仅体现在证明不等式上,还对于训练学生的数学思维,提高解题能力 等方面有着很大的帮助。 一 构造一次函数 例1 分析 已知 x 、 y 、 z ? ? 0,1 ? ,求证 x ? 1 ? y ? ? y ? 1 ? z ? ? z ?1 ? x ? ? 1 因为 x 、 y 、z 在不等式中的地位可以轮换,所以可以以任何一个作为

自变量,构造一次函数 证明:原不等式可化为 ? 1 ? y ? z ? x ? ?1 ? y ? ? z ? 1 ? ? 0 构造函数 f ? x ? ? ? 1 ? y ? z ? x ? ?1 ? y ? ? z ? 1 ?
x ? ? 0,1 ?

因此只需要证明 f ? x ? ? 0 在 x ? ? 0,1 ? 时恒成立,又∵ y 、 z ? ? 0,1 ? 所以 (1)当 1 ? y ? z ? 0 时, (2)当 1 ? y ? z ? 0 时,
f

? x? ? ?1

? y? ?

z?1 ? z ?? 1

?0 ?0

f ?0? ?

? 1 ? y? ?

f ? 1 ? ? ? yz ? 0

又因为一次函数的单调性,所以 f ? x ? ? 0 在 x ? ? 0,1 ? 时恒成立 综上, f ? x ? ? 0 在 x ? ? 0,1 ? 时恒成立,故原不等式得证。 , 二 构造二次函数 设函数 f ? x ? ? a x2 ? b x ? c a ? 0 ? ,方程 f ? x ? ? x ? 0 两根 x1 , x 2 满足 ?
1 a

例 2
0 ? x1 ? x 2 ?

,当 x ? ? x1 , x 2 ? 时,求证 x1 ? f ? x ? ? x 2

分析

分析已知条件,构造相应的二次函数 由 x1 , x 2 为方程 f ? x ? ? x ? 0 的两根,所以 当 x ? ? x1 , x 2 ? 时,由 0 ? x1 ? x 2 ?
1 a

证明:令 F ? x ? ? f ? x ? ? x

F ? x ? ? a ? x ? x1 ? ? x ? x 2 ?

又 x1 ? f ? x ? ? x 1 ? ? x ? F ? x ? ? ? x 1 ? x ? a ? x 1 ? x ? ? x ? x 2 ? ? ? = ? x 1 ? x ? ?1 ? a ? x ? x 2 ? ? ? ?

∵ 0 ? x1 ? x ? x 2 ?

1 a

? x1 ? x ? 0, 1 ? ax 2 ? ax ? 0

得 x1 ? f ? x ? ? 0 即 x 1 ? f ( x )



又∵ x 2 ? f ? x ? ? x 2 ? ? x ? F ? x ? ? ? x 2 ? x ? a ? x1 ? x ? ? x ? x 2 ? ? ? = ? x 2 ? x ? ?1 ? a ? x ? x 1 ? ? ? ?
∵ 0 ? x1 ? x ? x 2 ? 1 a
? x 2 ? x ? 0, 1 ? ax1 ? ax ? 0

得 x2 ? f ? x ? ? 0 三 例3 分析



由①②得

x1 ? f

?x? ?

x2

构造指(对)数型函数 已知实数 x ? 2 ,求证
6 ? 8 ? 1 0
x x x

利用指数函数的单调性证明
x x

?3? ?4? 证明:原不等式可化为 ? ? ? ? ? ? 1 ?5? ?5?

构造函数 f ? x ? ? ? ? ? ? ?
?5? ?5?

?3?

x

?4?

x

因它是减函数,且 f ? 2 ? ? 1

又 x ? 2 ,则 f ? x ? ? f ? 2 ? ? 1
?3? ?4? 即 ? ? ? ? ? ? 1 ,故原不等式成立 ?5? ?5?
x x

例4 分析

设 a 、b 、c 为互不相等的正数,求证 a 2 a b 2 b c 2 c ? a b ? c b a ? c c a ? b 利用对数函数的单调性证明

证明:构造对数函数 f ? x ? ? lg x , f ? x ? ? lg x 在 ? 0, ? ? ? 上是增函数 因为 a ? b 与 ? lg a ? lg b ? 同号, 所以 同理有
(a ? b) ( l g ? a (b ? c ) ( l g ? b (c ? a ) ( l g ? c lb ?) g lc ?) g la ?) g 0 0 0

将上面三个同向不等式相加,左边展开并加以整理得
2 a l ga? 2 l g? b b 2 c l? c g a lb c g ? b l ?a c g c l ga b

a b c

2a

2b

2c

?a

b?c

b

a?c

c

a?b

所以原题得证

四 例4 分析

构造三角函数 求证
1? x 1? x
2 2

?

2x 1? x
2

?

3 2

利用三角函数的有界性解决问题
? ?

证明:令 x ? tan ? , ? ? ? ?

? ? ?
, 2 2 ?

? 则

1? x 1? x

2 2

?

2x 1? x
2

? co s 2? ? 2 sin ?

= 1 ? 2 sin 2 ? ? 2 sin ? = ? 2 (sin ? ? ) 2 ?
2 1 3 2 ? 3 2
3 3

当 sin ? ? ?

1 2

即? ? ?

?
6

时取等号

此时 x ? tan ( ?

?
6

)? ?

故原题得证

此外,有些不等式从形式上观察,好象无法用构造函数法证明,但只要我们 认真观察,善于等价转化,对不等式加以适当的整理变形,有的时候也可以构造 合适的函数来证明。


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