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9.2.2.2 直线与平面平行判定以及性质(2)


9.2.2 直线、平面平行的判定及 其性质(2)

a
直线与平面平行的判定定理:

b

?

若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.

符号语言:

a ??? ? b ? ? ? ? a / /? a / /b ? ?

直线与平面有哪些性 质呢?

教室内日光灯管所在直线与地面平行,如何在地面上作一条直线与灯管 所在的直线平行?

如果一条直线和一个平面平行,那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位 置关系? 平行或异面

l

?

b

a

如果直线a与平面

平行,那么经过直线a 的平面与平面 平行或相交

?

?

有几种位置关系?

a

a

α

α

如果直线a与平面 平行,经过直线a的平面与平面 相交于直线b,那么直线a、b的位置关系如何?

?

?

如图:

a / /? , a ? ? , ? ? ? ? b

a / /b
a
b
?

证明: ?? ? ? ? b,? b ? ? 又 ? a / /? ? a与b无公共点 又? a ? ? , b ? ? ? a / / b.

α

直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该

直线平行.
符号语言:

? ?? ?b

a / /? a??

β

a
b

a / /b.
α

直线与平面平行的性质定理的认识
线面平行 作用:①作平行线的方法; ②判定直线与直线平行的重要依据. 线线平行

关键:寻找平面与平面的交线.

β α

a

b

例1

如图所示的一块木料中,棱BC平行于面

(1)要经过面

? P和棱BC将木料锯开,应怎样画线? A?C内一点

A?C.?

(2)所画的线与平面AC是什么位置关系?

D′ F A′ E D P B′ C′

C
B

A

解:(1)过点P作EF∥ 连接BE,CF,则EF,BE, CF就是应画的线.

B?C?,

分别交棱 A?B?,C?D?于点E,F.

点拨:过点P作BC的平行线.

(2)所画的线与平面AC是什么位置关系?
D′ A′ E D A P B′ F C′

C
B

因为棱BC平行于平面A'C',平面BC'与平面A'C'交于B'C',所以BC∥B'C',由 (1)知,EF∥B'C',所以,EF∥BC, EF?平面AC,BC 平面AC.所以,EF//平面AC.BE、CF显然都与平面AC相交. ?

例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面, 求证:另一条也平行于这个平面.

第一步:将原题改写成数学符号语言; 如图,已知直线a,b和平面α ,a∥b, a∥α , a,b都在平面α外 . 求证:b∥α .

a
第二步:分析,作辅助平面;

b

α

c

第三步:书写证明过程.
证明:过a作平面β,使它与平面α相交,交线为c. ∵a//α,a β,α∩β=c, ∴ a// c. 又∵ a//b, ∴ b//c. 又∵ c α, b ? α, ∴ b// α. ?

?

a α c

b

1.直线a ∥平面α ,平面α 内有n条互相平行的直线,那 么这n条直线和直线a( (A)全平行. (B)全异面. (C)全平行或全异面. (D)不全平行或不全异面. ). C

2.判断下列语句的真假.

设a、b为直线,α 为平面,若a∥b,且b在α 内,则a∥α .

(√)

a α

b

l∥平面 ?,? 内一定有直线与直线 l 平行,你能 快速地找出一条与 l平行的直线吗?
3.直线

β

l

?

m

4.已知ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点, M是PC的中点,在DM上取一点G,画出过G和AP的平面.

P
M

G
D H C

O
A B

性质定理

直线与平面平行 的性质 应用: 判断线线平行

线面平行?线线平行


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