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天津市和平区2015届高三第二次模拟考试 数学文



温馨提示:本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分。考试时间 120 分钟。祝同学们考试顺利!

第Ⅰ卷
注意事项:

选择题(共 40 分)

1. 答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动,用橡皮擦干净 后,再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3. 本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式:
? 如果事件

A, B 互斥,那么

? 如果事件

A, B 相互独立,那么

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .
? 柱体的体积公式 V

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) .
? 球的体积公式 V

? Sh . 其中 S 表示

4 ? ?R 3 . 其中 R 表示 3

柱体的底面积, h 表示柱体的高.

球的半径.

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)已知

a?i 1 ? ? b(1 ? i) (其中 i 为虚数单位, a, b ? R),则 a 等于 1? i 2
(B) 2 (C) ?1 (D)

(A) ?2

1 2

2 (2)已知命题 p : ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ≤ 0 ,则 ?p 为

2 (A) ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0

2 (B) ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0

(C) ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ? 0

(D) ?x ? R, x 2 ? x ? 1 ≥ 0

? ? x ? y ? 3≤ 0, (3)设非负实数 x, y 满足约束条件 ? 则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值为 ? ?2 x ? y ? 4 ≤0.

(A) 12

(B) 9

(C) 8

(D) 4

(4)已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin(x ? ? ) ? 1 ( 0 ? ? ? ? ),若 f ( ) ? 1 ,则 f ( x) 的最小正周期为 3 3? (A) ? (B) (C) 2? (D) 4? 2 (5)过双曲线
x2 y2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 上一点 P 作直线 PA, PB 交双曲线于 A, B 两点,且斜率分别 a2 b2

?

为 k1 , k 2 ,若直线 AB 过原点, k1 ? k2 ? 2 ,则双曲线的离心率 e 等于 (A) 3 (B) 3 (C)
6 2

(D)

3 2

? ? ln(? x), x ? 0, (6)设函数 f ( x) ? ? 若 f (m) ? f (?m) ,则实数 m 的取值范围是 ? ?? ln x, x ? 0. (A) (?1, 0) ? (0, 1) (B) (??, ?1) ? (0, 1)

(C) (?1, 0) ? (1, ??)

(D) (??, ?1) ? (1, ??)

(7)如图,已知圆 O 半径是 3 , PAB 和 PCD 是圆 O 的两条 PAB 过 O 点,若 PB ? 10 , PD ? 8 ,给出下列四个结论: CD ? 3 ;② BC ? 5 ;③ BD ? 2 AC ;④ ?CBD ? 30? . B 确结论的序号是 (A)①③ (B)①④ (C)①②③ (D)①③④

D

C O
?

A

P

割线,且 ① 则所有正

(8)若函数 f ( x) ? x 2 ? 4 x ? 3 ? kx ? 2 恰有 3 个零点,则实数 k 的值为

2 或 ?2 3 2 (C) ? 或 4 ? 2 5 3
(A) ?

2 或4?2 5 3 2 (D) ? 或 4 ? 2 5 或 4 ? 2 5 3
(B) ?

第Ⅱ卷
注意事项:

非选择题(共 110 分)

1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上,答在本试卷上的无效。 2. 本卷共 12 小题,共 110 分。 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷上. (9)已知某校高三年级有 140 名学生,其中文科生 40 人, 其余是理科生,现采用分层抽样的方法从中抽取 14
正视图

2 2
4
侧视图

名学生进行调研,则抽取的理科生的人数为

.

(10)一个几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何 体的体积为 cm?.
4
俯视图

(11)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出 S 的 值为 .

开始

S ? 2, i ? 1

i ? 6?



(12)已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且 f ( x) 的图象关 于 x ? 1 对称,当 x ?[0, 1] 时, f ( x) ? e x ? 1 ,则在区 间 [0, 5] 上方程 f ( x) ? 1 ? 0 实根的个数为 (13)如图,在△ ABC 中, AD ? 若 AP ? ? AB ? ? AC ,则 .



1 S? 1? S

输出S
结束

i ? i ?1

2 1 AC , BP ? BD , 3 3
.

C
D P A B

? 的值为 ?

(14)已知 Sn ? 3 ? 7 ? 13 ? ? ? (2n ? 2n ? 1) , S10 ? a ? b ? c ,其中 a, b, c ? N*,则 a ? b ? c 的 最小值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分 13 分) 现有 8 名区级学科竞赛优胜者,其中有语文学科 A1、A2、A3 ,数学学科 B1、B2、B3 ,英语学科 C1、C2 . 从中选出语文、数学、英语学科竞赛优胜者各 1 名组成一个小组参加市级学科竞赛,已知各学科中每 名优胜者被选中的机会均等. (Ⅰ)列举出组成这个小组所有可能的结果; (Ⅱ)求 A3 和 B3 均没有被选中的概率; (Ⅲ)求 B1 和 C1 中至少有一人被选中的概率.

(16) (本小题满分 13 分) 在△ ABC 中,角 A, B, C 为三个内角,已知 cos A ? (Ⅰ)求 AC 的长; (Ⅱ)设 D 为 AB 的中点,求 CD 的长.

5 1 , cos B ? , BC ? 5 . 7 5

(17) (本小题满分 13 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是平行四边形, AB ? BD ,

P

PD ? 平面 ABCD,且 PD ? AB , E 为 PA 的中点.
(Ⅰ)求证: CD ? PB ; (Ⅱ)求证: PC // 平面 BED ; (Ⅲ)求二面角 E ? BD ? A 的大小.

E D

C

A

B

(18) (本小题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 6 , an ?1 ? an ? 6an ?1 ? 9 ? 0 , n ? N*且 n ≥ 2 . (Ⅰ)求证: 数列 {

1 } 为等差数列; an ? 3

(Ⅱ)求数列 {an } 的通项公式;

(Ⅲ)设 bn ?

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . (n ? 1) 2

(19) (本小题满分 14 分) 如图,椭圆 C :
x2 y2 1 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,离心率 e ? .过 F2 的直线 2 a b 2

交椭圆 C 于 A 、 B 两点,且△ ABF 1 的周长为 8 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相切于 P 点,且与 直线 x ? ?4 相交于 Q 点,求证:直线 PF1 垂直于直线 QF1 .
F1

y A

O F2
B

x

(20) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? (2a ? 1) x ? ln x , a ? R. (Ⅰ) 当 a ? 1 时,求 f ( x ) 的单调区间和极值; (Ⅱ) 若关于 x 的方程 f ( x) ? 2ax2 ? 2(a ? 1) x 恰有两个不等的实根,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ) 设 g ( x) ? e x ? x ? 1 , 当 a ≤ 0 时, 若对于任意的 x1 ? (0, ??) , x 2 ? R,不等式 f ( x1 ) ≤ g ( x2 ) 恒 成立,求实数 a 的取值范围.

和平区 2014-2015 学年度第二学期高三年级第二次质量调查数学(文 理)学科试卷参考答案及评分标准
一、选择题 (每小题 5 分,共 40 分) (1)D (2)C (3)B (4)A (5)A (6)B (7)D (8)C

二、填空题 (每小题 5 分,共 30 分) 题号 文科 (9) (10) 28 ? 3 (11) 1 2 (12) (13) (14)

10

3

3

68

理科

28 ? 3

32 3

(2, ??)

12 7

2 5 5

68

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (本题 13 分)文科 (Ⅰ)解: 依题意,从 8 名学科竞赛优胜者中选出 3 名组成一个小组所有可能的结果为:

{A1, B1, C1} , {A1, B1, C2} , {A1, B2 , C1} , {A1, B2 , C2} , {A1 , B3 , C1} , {A1, B3 , C2} , {A2 , B1, C1} , {A2 , B1, C2} , {A2 , B2 , C1} , {A2 , B2 , C2 } , {A2 , B3 , C1} , {A2 , B3 , C2 } , {A3 , B1, C1} , {A3 , B1, C2} , {A3 , B2 , C1} , {A3 , B2 , C2 } , {A3 , B3 , C1} , {A3 , B3 , C2 } ,共 18 种.
??????(6 分)

(Ⅱ)解: 用 M 表示“ A3 和 B3 均没有被选中”,其所有可能的结果为:

{A1, B1, C1} , {A1, B1, C2} , {A1, B2 , C1} , {A1, B2 , C2} , {A2 , B1, C1} , {A2 , B1, C2} , {A2 , B2 , C1} , {A2 , B2 , C2 } ,共 8 种. ?(8 分)
∴ P( M ) ?

8 4 ? . 18 9

??????(10 分)

(Ⅲ) 解: 用 N 表示 “ B1 和 C1 中至少有一人被选中” ,则其对立事件 N 表示 “ B1 和 C1 均没有被选中” ,N 包含的基本事件有:

{A1, B2 , C2} , {A1, B3 , C2} , {A2 , B2 , C2 } , {A2 , B3 , C2 } , {A3 , B2 , C2 } , {A3 , B3 , C2 } ,共 6 种.
则 P( N ) ? ??????(11 分)

6 1 ? . 18 3
1 2 ? . 3 3
??????(13 分)

∴ P( N ) ? 1 ? P( N ) ? 1 ? (15) (本题 13 分)理科

? 1 (Ⅰ)解: 依题意 f (0) ? a ? b ? 1 , f ( ) ? 1 ? a ? b ? 1 , 4 2 a ? b ? 1 , ? 由? 解得 a ? 2, b ? ?1 . ?a ? 2b ? 0,
则 f ( x) ? sin(2 x ?

??????(2 分) ??????(4 分)

?
3

) ? sin(2 x ? ) ? 2 cos2 x ? 1 3 3 ? cos 2x ? sin

?

? sin 2x ? cos

?

?
3

? sin 2x ? cos

?
3

? cos 2x ? sin

? sin 2 x ? cos 2 x

? cos 2x 3 ??????(6 分)
??????(8 分)

?

? 2 sin(2 x ? ) . 4
∴ f ( x) 的最小正周期 T ?

?

2? ?? . 2

??????(9 分)

(Ⅱ)解:∵ f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?
4

) 在区间 [?

?
4

,

?
8

] 上是增函数,
??????(11 分)

在区间 [ , ] 上是减函数, 8 4 且 f (? ) ? ?1, f ( ) ? 2 , f ( ) ? 1 , 4 8 4 ∴函数 f ( x) 在区间 [? (16) (本题 13 分)文科 (Ⅰ)解: ∵在△ ABC 中, cos A ? ∴ sin A ? 1 ? cos2 A ?

?

?

?

?

?

?
4

,

?
4

] 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 .

??(13 分)

5 1 , cos B ? , 7 5

2 6 2 6 , sin B ? 1 ? cos2 B ? . ??????(2 分) 7 5 AC BC 由正弦定理得 , ??????(4 分) ? sin B sin A

BC ? sin B ? 即 AC ? sin A

5?

2 6 5 ?7. 2 6 7

??????(6 分)

(Ⅱ)解: 在△ ABC 中, AC ? 7 , BC ? 5 , cos B ?

1 , 5
??????(8 分)

由余弦定理得 AC2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC ? cos B , 1 即 49 ? AB2 ? 25 ? 2 AB ? 5 ? , 5 整理得 AB2 ? 2 AB ? 24 ? 0 ,解得 AB ? 6 . 1 1 ∵在△ BCD 中, BD ? AB ? 3 , BC ? 5 , cos B ? , 2 5

??????(10 分)

∴由余弦定理得 CD 2 ? BD2 ? BC 2 ? 2BD ? BC ? cos B , ??????(11 分) 1 即 CD 2 ? 9 ? 25 ? 2 ? 3 ? 5 ? ? 28 . 5 ∴ CD ? 2 7 . ??????(13 分) (16) (本题 13 分)理科 (Ⅰ)解: 设“一次取出的 3 张牌中的花色互不相同”的事件记为 A , ???(1 分) C 3 ? C1 ? C1 ? C1 108 27 ? 则 P( A) ? 4 3 3 3 3 ? . ??????(5 分) 220 55 C12 (Ⅱ)解: 由题意,随机变量 X 的所有可能值为 0, 1, 2, 3 .
P( X ? 0) ? P( X ? 1) ? P( X ? 2) ?
3 C9 84 21 ? ? , 3 C12 220 55 1 2 C3 ? C9 3 ? 36 27 ? ? , 3 220 55 C12 2 1 C3 ? C9 3 ? 9 27 ? ? , 3 220 220 C12

??????(6 分) ??????(7 分) ??????(8 分) ??????(9 分)

P( X ? 3) ?

3 C3 1 . ? 3 C12 220

??????(10 分)

∴随机变量 X 的分布列是: 2 3 27 1 ????(11 分) P 220 220 21 27 27 1 165 3 ∴数学期望 E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? ? . ?(13 分) 55 55 220 220 220 4

X

0 21 55

1 27 55

(17) (本题 13 分)文科 (Ⅰ)证明:∵ PD ? 平面 ABCD, CD ? 平面 ABCD, ∴ CD ? PD . ∵ CD // AB , AB ? BD , ∴ CD ? BD . ∵ PD ? BD ? D , ∴ CD ? 平面 PBD . ∵ PB ? 平面 PBD , ∴ CD ? PB . (Ⅱ)证明:如图,连接 AC ,与 BD 相交于点 O ,连接 EO . ∵四边形 ABCD是平行四边形, ∴ O 为 AC 的中点. ∵ E 为 PA 的中点, ∴ EO // PC . ∵ EO ? 平面 BED , PC ? 平面 BED , ∴ PC // 平面 BED . (Ⅲ)解: 如图,作 OF // AB ,交 AD 于 F 点, 则 F 为 AD 的中点. ????(9 分) ∵ AB ? BD , OF // AB , ∴ OF ? BD . ??????(10 分) 连接 EF ,则 EF // PD , ∵ PD ? 平面 ABCD, BD ? 平面 ABCD, ∴ PD ? BD ,从而 EF ? BD. ∴ BD ? 平面 EOF . A ∴ ?EOF 是二面角 E ? BD ? A 的平面角. 1 1 ∵ PD ? AB , EF ? PD , OF ? AB , 2 2 ∴ EF ? OF . ∵ EF ? OF , ∴ ?EOF ? 45? . ∴二面角 E ? BD ? A 的大小为 45? . (17) (本题 13 分) 理科 依题意,以点 B 为原点建立空间直角坐标系(如图), 设 AB ? 2 ,可得 B(0, 0, 0) , A(2, 0, 0) , C(0, 2, 0) , ??????(8 分) P ??????(6 分) ??????(5 分) ??????(4 分) ??????(3 分) ??????(2 分) ??????(1 分)

E D F

C

O

B ??????(11 分)

??????(12 分) ??????(13 分)

A1 (2, 0, 1) , C1 (0, 2, 1) , D(0, 1, 0) .

??????(1 分)

(Ⅰ)证明:∵ AD ? (?2, 1, 0) , AC1 ? (?2, 2, 1) , A1B ? (?2, 0, ?1) . 设平面 ADC1 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
? ?? 2 x ? y ? 0, ? n ? AD ? 0, 则有 ? 即? n ? ?? 2 x ? 2 y ? z ? 0. ? ? AC1 ? 0. A 令 x ? 1 ,得 n ? (1, 2, ?2) . ??(4 分) 1

????(2 分)
z
C1

B1

E B D

∵ A1B ? n ? (?2) ?1 ? 0 ? 2 ? (?1) ? (?2) ? 0 , ∴ A1B ? n . ??????(5 分) ∵ A1 B ? 平面 ADC1 , ∴ A1B // 平面 ADC1 . (Ⅱ)解: 易知平面 ADC 的一个法向量 m ? (0, 0, 1) , 由(Ⅰ)可知平面 ADC1 的法向量 n ? (1, 2, ?2) , ∴ cos? m , n ? ?
m?n ?2 2 ? ?? . m ? n 1? 3 3

C y

A x
??????(6 分)

??????(8 分)

∵二面角 C ? AD ? C1 是锐二面角, ∴二面角 C ? AD ? C1 的余弦值为

2 . 3

??????(9 分) ??????(10 分) ??????(12 分) ??????(13 分)

(Ⅲ)解: ∵ E (1, 0, 1) , AE ? (?1, 0, 1) , DC1 ? (0, 1, 1) , ∴ cos? AE, DC1 ? ?

AE ? DC1 AE ? DC1

?

1 1 ? . 2? 2 2

∴ AE 与 DC1 所成的角为 60? . (18) (本题 13 分) (Ⅰ)证明:∵ an ?1 ? an ? 6an ?1 ? 9 ? 0 , ∴ an?1 (an ? 3) ? 3(an?1 ? 3) ? 0 . ∴ an ?1 (an ? 3) ? 3(an ?1 ? 3) . 由 a1 ? 3 ? 0 ,可知 an ? 3 ? 0 , ∴ 即 ∵
an ?1 1 1 1 ? ? ? . an ? 3 3(an ?1 ? 3) 3 an ?1 ? 3 1 1 1 ? ? . an ? 3 an?1 ? 3 3

??????(2 分)

??????(4 分) ??????(5 分)

1 1 ? , a1 ? 3 3 1 1 1 ∴数列 { } 是首项为 ,公差为 的等差数列. 3 3 an ? 3 1 1 1 n ? ? (n ? 1) ? , (Ⅱ)解: 由(Ⅰ)得 an ? 3 3 3 3
∴数列 {an } 的通项公式 an ?

??????(6 分) ??????(7 分)

3(n ? 1) . ??????(9 分) n an 3(n ? 1) 1 3 1 1 ? ? ? ? 3( ? ) ,????(11 分) (Ⅲ)解: ∵ bn ? 2 2 n n(n ? 1) n n ?1 (n ? 1) (n ? 1)

∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn

1 1 1 1 1 1 1 ? 3[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] 2 2 3 3 4 n n ?1 1 3n . ??????(13 分) ? 3(1 ? )? n ?1 n ?1 (19) (本题 14 分) (Ⅰ)解:∵ AB ? AF 1 ? BF 1 ? 8 ,即 AF 1 ? AF 2 ? BF 1 ? BF 2 ?8 ,
而 AF 1 ? AF 2 ? BF 1 ? BF 2 ? 2a , ∴ 4a ? 8 ,即 a ? 2 . c 1 ∵e ? ? , a 2 ∴ c ? 1 ,则 b ? a 2 ? c 2 ? 3 . ∴椭圆 C 的方程为
x y ? ? 1. 4 3
2 2

??????(1 分) ??????(2 分)

??????(4 分) ??????(5 分)

? y ? kx ? m, ? (Ⅱ)证明:由 ? x 2 y 2 得 (4k 2 ? 3) x 2 ? 8kmx ? 4m2 ? 12 ? 0 . ? ? 1, ? 3 ?4
即 ? ? 64k 2m2 ? 4(4k 2 ? 3)(4m2 ? 12) ? 0 , 整理得 4k 2 ? 3 ? m2 . 此时 x0 ? ?
2

?????(6 分)

如图,设 P 点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,依题意 m ? 0 且 ? ? 0 , ??????(7 分) ??????(8 分)

4k 3 4km 4k ?m? , , y0 ? kx0 ? m ? ? ?? 2 m m m 4k ? 3

4k 3 ∴ P 点的坐标为 (? , ) . m m
? y ? kx ? m, 由? 解得 y ? ?4k ? m . ? x ? ?4,

??(10 分)

P
Q

y A
F1

O F2
B

x

∴ Q 点的坐标为 (?4, ?4k ? m) .

??(12 分)

x ? ?4

由 F1 (?1, 0) 求得 k PF1 ∴ kPF1 ? kQF1 ? ?1 .

3 ?0 3 ?4k ? m ? 0 m ? 4k , kQF1 ? , ? m ? ?? 4k ? 4 ?1 3 ? ? 1 m ? 4k m

∴直线 PF1 垂直于直线 QF1 . (20) (本题 14 分) (Ⅰ)解:当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? x2 ? 3x ? ln x , 则 f ' ( x) ?
2 x 2 ? 3x ? 1 ( 2 x ? 1)( x ? 1) ? . x x

??????(14 分)

??????(1 分)

令 f ' ( x ) ? 0 ,得 x1 ?

1 , x2 ? 1 , 2

当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x) f ( x)

(0,
+

1 ) 2

1 2

1 ( , 1) 2


1

(1, ??)

0
极大值

0
极小值

+ ↗ ??(2 分)



∴ f ( x ) 在 (0, 当x?

1 1 ) 和 (1, ??) 上单调递增,在 ( , 1) 上单调递减. 2 2

1 1 5 时, f ( x)极大值 ? f ( ) ? ? ? ln 2 , 2 2 4
??????(4 分)

当 x ? 1 时, f ( x )极小值 ? f (1) ? ?2 . (Ⅱ)解:依题意 ax2 ? (2a ? 1) x ? ln x ? 2ax2 ? 2(a ? 1) x , 即 ax2 ? x ? ln x ? 0 . 则 a ?

ln x ? x . x2

??????(5 分)

1 ( ? 1) x 2 ? 2 x (ln x ? x ) 1 ? x ? 2 ln x ln x ? x ? 令 r( x) ? ,则 r ' ( x ) ? x . ?(6 分) 4 2 x x3 x

当 0 ? x ? 1 时, r' ( x ) ? 0 ,故 r( x ) 单调递增(如图),

y
1 1

1 且 r( ) ? e

?1? 1 e2

1 e ? ?e 2 ? e ? 0 ;

y ?a

O

x

y ? r( x)

当 x ? 1 时, r' ( x ) ? 0 ,故 r( x ) 单调递减,且

ln x ? x ?0. x2
??????(8 分)

∴函数 r( x ) 在 x ? 1 处取得最大值 r( x )max ? r(1) ? 1 . 故要使 y ?

ln x ? x 与 y ? a 恰有两个不同的交点,只需 0 ? a ? 1 . x2
??????(9 分)

∴实数 a 的取值范围是 (0, 1) . (Ⅲ)文科 解:由 g ( x) ? e x ? x ? 1 ,得 g ' ( x) ? e x ? 1 , 由 g ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 0 ;由 g ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 0 , ∴ g ( x ) 在 ( ??, 0) 上是减函数,在 (0, ??) 上是增函数. 故 g ( x ) min ? g (0) ? 0 .

对于任意的 x1 ? (0, ??) , x 2 ? R,不等式 f ( x1 ) ≤ g ( x2 ) 恒成立, 则有 f ( x1 ) ≤ g (0) ? 0 恒成立. 即不等式 f ( x ) ≤ 0 对于任意的 x ? (0, ??) 恒成立.

f ' ( x) ?

2ax2 ? ( 2a ? 1) x ? 1 ( 2ax ? 1)( x ? 1) ? , x x

⑴ 当 a ? 0 时, f ' ( x ) ?

1? x , x

由 f ' ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ;由 f ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 , ∴ f ( x ) 在 (0, 1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数. ∵ f ( x )max ? f (1) ? ?1 ? 0 , ∴ a ? 0 符合题意. ⑵ 当 a ? 0 时, f ' ( x ) ? ??????(11 分)

(2ax ? 1)( x ? 1) , x

由 f ' ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ;由 f ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 , ∴ f ( x ) 在 (0, 1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数. 由 f ( x )max ? f (1) ? ?a ? 1 ≤ 0 ,解得 ?1 ≤ a ? 0 , ∴ ?1 ≤ a ? 0 符合题意. 综上所述,实数 a 的取值范围是 [?1, 0] . (Ⅲ)理科 解:由 g ( x) ? e x ? x ? 1 ,得 g ' ( x) ? e x ? 1 , 由 g ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 0 ;由 g ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 0 , ∴ g ( x ) 在 ( ??, 0) 上是减函数,在 (0, ??) 上是增函数. 故 g ( x ) min ? g (0) ? 0 . 对于任意的 x1 ? (0, ??) , x 2 ? R,不等式 f ( x1 ) ≤ g ( x2 ) 恒成立, 则有 f ( x1 ) ≤ g (0) ? 0 恒成立. 即不等式 f ( x ) ≤ 0 对于任意的 x ? (0, ??) 恒成立.
2ax2 ? ( 2a ? 1) x ? 1 ( 2ax ? 1)( x ? 1) ? , x x 1? x ⑴ 当 a ? 0 时, f ' ( x ) ? , x 由 f ' ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ;由 f ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 , f ' ( x) ?

??????(14 分)

∴ f ( x ) 在 (0, 1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数. ∵ f ( x )max ? f (1) ? ?1 ? 0 , ∴ a ? 0 符合题意. ??????(10 分)

(2ax ? 1)( x ? 1) , x 由 f ' ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 ;由 f ' ( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ,
⑵ 当 a ? 0 时, f ' ( x ) ? ∴ f ( x ) 在 (0, 1) 上是增函数,在 (1, ??) 上是减函数. 由 f ( x )max ? f (1) ? ?a ? 1 ≤ 0 ,解得 ?1 ≤ a ? 0 , ∴ ?1 ≤ a ? 0 符合题意. ??????(12 分)

⑶ 当 a ? 0 时, f ' ( x ) ? ① 当0? a ?

(2ax ? 1)( x ? 1) 1 ,由 f ' ( x ) ? 0 ,得 x1 ? , x2 ? 1 , 2a x

1 时, x1 ? 1 , 2 1 1 ;由 f ' ( x ) ? 0 ,得 1 ? x ? , 2a 2a

由 f ' ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 x ? ∴ f ( x) 在 (

1 , ??) 上是增函数,与 f ( x ) ≤ 0 对于任意 x ? (0, ??) 恒成立矛盾. 2a ( x ? 1) 2 1 ②当 a ? 时, f ' ( x ) ? ≥ 0 , f ( x ) 在 (0, ?? ) 上是增函数, x 2 与 f ( x ) ≤ 0 对于任意的 x ? (0, ??) 恒成立矛盾.
1 时, 0 ? x1 ? 1 , 2 1 1 由 f ' ( x ) ? 0 ,得 0 ? x ? 或 x ? 1 ;由 f ' ( x ) ? 0 ,得 ? x ? 1, 2a 2a ∴ f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数,与 f ( x ) ≤ 0 对于任意 x ? (0, ??) 恒成立矛盾.
③ 当a ? 综上所述,实数 a 的取值范围是 [?1, 0] . ??????(14 分)



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