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高中数学竞赛讲义(免费)



高中数学竞赛资料 一、高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超出教育部 2000 年《全日制普通高 级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但在方法的要求上有所提高。 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试(二试)与国际数学奥林匹克接轨,在知识方面有所扩展;适 当增加一些教学大纲之外的内容,所增加的内容是: 1.平面几何 几个重要

定理:梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中的几个 特殊点:旁心、费马点,欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换:对称、平移、 旋转。圆的幂和根轴。面积方法,复数方法,向量方法,解析几何方法。 2.代数 周期函数,带绝对值的函数。三角公式,三角恒等式,三角方程,三角不等式,反三角 函数。递归,递归数列及其性质,一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。 第二数学归纳法。平均值不等式,柯西不等式, 排序不等式,切比雪夫不等式, 一元凸函数。 复数及其指数形式、三角形式,欧拉公式,棣莫弗定理,单位根。多项式的除法定理、因式 分解定理,多项式的相等,整系数多项式的有理根*,多项式的插值公式*。 n 次多项式根的个数,根与系数的关系,实系数多项式虚根成对定理。 函数迭代,简单的函数方程* 3. 初等数论 同余,欧几里得除法,裴蜀定理,完全剩余类,二次剩余,不定方程和方程组,高斯函 数[x],费马小定理,格点及其性质,无穷递降法,欧拉定理*,孙子定理*。 4.组合问题 圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式。组合计数,组合几何。抽屉原理。容 斥原理。极端原理。图论问题。集合的划分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。 注:有*号的内容加试中暂不考,但在冬令营中可能考。 三、高中数学竞赛基础知识 第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义 1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母 来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素 x 在集合 A 中,称 x 属于 A, 记为 x ? A ,否则称 x 不属于 A,记作 x ? A 。例如,通常用 N,Z,Q,B,Q+分别表示自 然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用 ? 来 表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法: 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集 合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。 例如{有理数}, {x x ? 0} 分别表示有理数集和正实数集。 定义 2 子集:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素, 则 A 叫做 B 的子集,记为 A ? B ,例如 N ? Z 。规定空集是任何集合的子集,如果 A 是 B 的子集,B 也是 A 的子集,则称 A 与 B 相等。如果 A 是 B 的子集,而且 B 中存在元素不属 于 A,则 A 叫 B 的真子集。

定义 3 交集, A ? B ? {x x ? A且x ? B}. 定义 4 并集, A ? B ? {x x ? A或x ? B}. 定义 5 补集,若 A ? I , 则C1 A ? {x x ? I , 且x ? A}称为 A 在 I 中的补集。 定义 6 差集, A \ B ? {x x ? A, 且x ? B} 。 定义 7 集合 {x a ? x ? b, x ? R, a ? b} 记作开区间 ( a, b) ,集合

{x a ? x ? b, x ? R, a ? b} 记作闭区间 [a, b] ,R 记作 (??,??).
定理 1 集合的性质:对任意集合 A,B,C,有: (1) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ); (2) A ? ( B ? C ) ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; (3) C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B); (4) C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B). 【证明】这里仅证(1) 、 (3) ,其余由读者自己完成。 (1) 若 x ? A ? (B ? C) , 则x? A, 且 x? B 或 x?C , 所以 x ? ( A ? B) 或 x ? ( A ? C ) , 即 x ? ( A ? B) ? ( A ? C ) ; 反之,x ? ( A ? B) ? ( A ? C ) , 则 x ? ( A ? B) 或 x ? ( A ? C ) , 即 x ? A 且 x ? B 或 x ? C ,即 x ? A 且 x ? ( B ? C ) ,即 x ? A ? ( B ? C ). (3) 若 x ? C1 A ? C1 B , 则 x ? C1 A 或 x ? C1 B , 所以 x ? A 或 x ? B , 所以 x ? ( A ? B) , 又 x ? I ,所以 x ? C1 ( A ? B) ,即 C1 A ? C1 B ? C1 ( A ? B) ,反之也有

C1 ( A ? B) ? C1 A ? C1 B.
定理 2 加法原理:做一件事有 n 类办法,第一类办法中有 m1 种不同的方法,第二类办法 中有 m2 种不同的方法,…,第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有

N ? m1 ? m2 ? ? ? mn 种不同的方法。
定理 3 乘法原理:做一件事分 n 个步骤,第一步有 m1 种不同的方法,第二步有 m2 种不同 的方法,…,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有 N ? m1 ? m2 ? ?? mn 种不 同的方法。 二、方法与例题 1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。 例 1 设 M ? {a a ? x ? y , x, y ? Z} ,求证:
2 2

(1) 2k ? 1 ? M , (k ? Z ) ; (2) 4k ? 2 ? M , (k ? Z ) ; (3)若 p ? M , q ? M ,则 pq ? M . [证明](1)因为 k , k ? 1 ? Z ,且 2k ? 1 ? k 2 ? (k ? 1) 2 ,所以 2k ? 1 ? M . (2)假设 4k ? 2 ? M (k ? Z ) ,则存在 x, y ? Z ,使 4k ? 2 ? x 2 ? y 2 , 由于 x ? y 和 x ? y 有相同的奇偶性,所以 x 2 ? y 2 ? ( x ? y)(x ? y) 是奇数或 4 的倍数,不可能等于 4k ? 2 , 假设不成立,所以 4k ? 2 ? M . (3)设 p ? x 2 ? y 2 , q ? a 2 ? b 2 , x, y, a, b ? Z ,则 pq ? ( x 2 ? y 2 )(a 2 ? b2 )

? a 2 a 2 ? y 2b 2 ? x 2b 2 ? y 2 a 2 ? ( xa ? yb) 2 ? ( xb ? ya) 2 ? M
(因为 xa ? ya ? Z , xb ? ya ? Z ) 。 2.利用子集的定义证明集合相等,先证 A ? B ,再证 B ? A ,则 A=B。 例 2 设 A,B 是两个集合,又设集合 M 满足 。 A ? M ? B ? M ? A ? B, A ? B ? M ? A ? B ,求集合 M(用 A,B 表示) 【解】 先证 ( A ? B) ? M , 若 x ? ( A ? B) , 因为 A ? M ? A ? B , 所以 x ? A ? M , x ? M , 所以 ( A ? B) ? M ; 再证 M ? ( A ? B) ,若 x ? M ,则 x ? A ? B ? M ? A ? B. 1)若 x ? A ,则

x ? A ? M ? A ? B ;2)若 x ? B ,则 x ? B ? M ? A ? B 。所以 M ? ( A ? B).
综上, M ? A ? B. 3.分类讨论思想的应用。 例3

A ? {x x 2 ? 3x ? 2 ? 0}, B ? {x x 2 ? ax ? a ? 1 ? 0}, C ? {x x 2 ? mx ? 2 ? 0} ,若

A ? B ? A, A ? C ? C ,求 a , m.
2 【解】依题设, A ? {1,2} ,再由 x ? ax ? a ? 1 ? 0 解得 x ? a ? 1 或 x ? 1 ,

因为 A ? B ? A ,所以 B ? A ,所以 a ? 1 ? A ,所以 a ? 1 ? 1 或 2,所以 a ? 2 或 3。
2 因为 A ? C ? C ,所以 C ? A ,若 C ? ? ,则 ? ? m ? 8 ? 0 ,即 ? 2 2 ? m ? 2 2 ,

若 C ? ? ,则 1 ? C 或 2 ? C ,解得 m ? 3. 综上所述, a ? 2 或 a ? 3 ; m ? 3 或 ? 2 2 ? m ? 2 2 。

4.计数原理的应用。 例 4 集合 A,B,C 是 I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集, (1)若 A ? B ? I , 求有序集合对(A,B)的个数; (2)求 I 的非空真子集的个数。 【解】 (1)集合 I 可划分为三个不相交的子集;A\B,B\A, A ? B, I 中的每个元素恰属于其 中一个子集,10 个元素共有 310 种可能,每一种可能确定一个满足条件的集合对,所以集合 对有 310 个。 (2)I 的子集分三类:空集,非空真子集,集合 I 本身,确定一个子集分十步,第一步,1 或者属于该子集或者不属于,有两种;第二步,2 也有两种,…,第 10 步,0 也有两种,由 乘法原理,子集共有 210 ? 1024个,非空真子集有 1022 个。 5.配对方法。 例 5 给定集合 I ? {1,2,3,?, n} 的 k 个子集: A1 , A2 ,?, Ak ,满足任何两个子集的交集非 空,并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求 k 的值。 【解】将 I 的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得 2
n ?1

对,每一对不能同在

这 k 个子集中,因此, k ? 2n ?1 ;其次,每一对中必有一个在这 k 个子集中出现,否则,若 有一对子集未出现,设为 C1A 与 A,并设 A ? A1 ? ? ,则 A1 ? C1 A ,从而可以在 k 个子
n ?1 n ?1 集中再添加 C1 A ,与已知矛盾,所以 k ? 2 。综上, k ? 2 。

6.竞赛常用方法与例问题。 定理 4 容斥原理;用 A 表示集合 A 的元素个数,则 A ? B ? A ? B ? A ? B ,

需要 xy 此结论可以 A? B ?C ? A ? B ? C ? A? B ? A?C ? B ?C ? A? B ?C ,
推广到 n 个集合的情况,即
n n

?
1?i ? j ? k ? n

? Ai ? ? Ai ? ? Ai ? A j ?
i ?1 i ?1 i? j

?

Ai ? A j ? Ak ? ? ? (?1) n?1 ? Ai .
i ?1

n

定义 8 集合的划分:若 A1 ? A2 ? ? ? An ? I ,且 Ai ? Aj ? ?(1 ? i, j ? n, i ? j) ,则 这些子集的全集叫 I 的一个 n -划分。 定理 5 最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。 定理 6 抽屉原理: 将 mn ? 1 个元素放入 n(n ? 1) 个抽屉, 必有一个抽屉放有不少于 m ? 1 个 元素,也必有一个抽屉放有不多于 m 个元素;将无穷多个元素放入 n 个抽屉必有一个抽屉 放有无穷多个元素。 例 6 求 1,2,3,…,100 中不能被 2,3,5 整除的数的个数。 【解】 记 I ? { 1,2,3,?,100 }, A ? {x1 ? x ? 100, 且x能被2整除( 记为2 x)} ,

B ? {x1 ? x ? 100,3 x}, C ? {x1 ? x ? 100,5 x} ,由容斥原理,
?100? ?100? A? B ?C ? A ? B ? C ? A? B ? B ?C ? C ? A ? A? B ?C ? ? ??? ?? ? 2 ? ? 3 ?
?100? ?100? ?100? ?100? ?100? ? 5 ? ? ? 6 ? ? ? 10 ? ? ? 15 ? ? ? 30 ? ? 74 ,所以不能被 2,3,5 整除的数有 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

I ? A ? B ? C ? 26 个。
例 7 S 是集合{1,2,…,2004}的子集,S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7,问 S 中最 多含有多少个元素? 【解】将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有 一个属于 S,将这 11 个数按连续两个为一组,分成 6 组,其中一组只有一个数,若 S 含有 这 11 个数中至少 6 个,则必有两个数在同一组,与已知矛盾,所以 S 至多含有其中 5 个数。 又因为 2004=182× 11+2,所以 S 一共至多含有 182× 5+2=912 个元素,另一方面,当 恰有 S ? 912, 且 S 满足题目条件, S ? {r r ? 11k ? t, t ? 1,2,4,7,10, r ? 2004 , k ? N} 时, 所以最少含有 912 个元素。 例8 求所有自然数 n(n ? 2) ,使得存在实数 a1 , a2 ,?, an 满足:

{ ai ? a j }1 ? i ? j ? n} ? {1,2, ?,

n(n ? 1) }. 2

【解】 当 n ? 2 时, a1 ? 0, a2 ? 1 ;当 n ? 3 时, a1 ? 0, a2 ? 1, a3 ? 3 ;当 n ? 4 时,

a1 ? 0, a2 ? 2, a3 ? 5, a4 ? 1 。下证当 n ? 5 时,不存在 a1 , a2 ,?, an 满足条件。
令 0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 a n ?

n( n ? 1) . 2

所以必存在某两个下标 i ? j ,使得 ai ? a j ? a n ? 1 ,所以 an ? 1 ? an?1 ? a1 ? an?1 或

an ? 1 ? an ? a2 ,即 a2 ? 1 ,所以 a n ?
(ⅰ)若 a n ?

n(n ? 1) n(n ? 1) , a n ?1 ? a n ? 1或 a n ? , a2 ? 1 。 2 2

n(n ? 1) , a n ?1 ? a n ? 1,考虑 an ? 2 ,有 an ? 2 ? an?2 或 an ? 2 ? an ? a2 , 2

即 a 2 ? 2 ,设 an?2 ? an ? 2 ,则 an?1 ? an?2 ? an ? an?1 ,导致矛盾,故只有 a 2 ? 2. 考虑 an ? 3 ,有 an ? 3 ? an?2 或 an ? 3 ? an ? a3 ,即 a3 ? 3 ,设 an ? 3 ? an?2 ,则

an?1 ? an?2 ? 2 ? a2 ? a0 ,推出矛盾,设 a3 ? 3 ,则 an ? an?1 ? 1 ? a3 ? a2 ,又推出矛盾,
所以 an?2 ? a2 , n ? 4 故当 n ? 5 时,不存在满足条件的实数。

(ⅱ)若 a n ?

n(n ? 1) , a 2 ? 1 ,考虑 an ? 2 ,有 an ? 2 ? an?1 或 an ? 2 ? an ? a3 ,即 2

这时 a3 ? a2 ? a2 ? a1 , 推出矛盾, 故 an?1 ? an ? 2 。 考虑 an ? 3 , 有 an ? 3 ? an?2 a3 ? 2 , 或 an ? 3 ? an ? a3 ,即 a3 =3,于是 a3 ? a2 ? an ? an?1 ,矛盾。因此 an?2 ? an ? 3 ,所以

an?1 ? an?2 ? 1 ? a2 ? a1 ,这又矛盾,所以只有 an?2 ? a2 ,所以 n ? 4 。故当 n ? 5 时,不
存在满足条件的实数。 例 9 设 A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n},在 A 中取三个数,B 中取两个 数组成五个元素的集合 Ai , i ? 1,2, ? ,20, Ai ? A j ? 2,1 ? i ? j ? 20 . 求 n 的最小值。 【解】 nmin ? 16. 设 B 中每个数在所有 Ai 中最多重复出现 k 次,则必有 k ? 4 。若不然,数 m 出现 k 次 (k ? 4) ,则 3k ? 12. 在 m 出现的所有 Ai 中,至少有一个 A 中的数出现 3 次,不妨设它是 1,就有集合{1, a1 , a2 , m, b1 } { 1, a3 , a4 , m, b2 },{1, a5 , a6 , m, b3 } ,其中 ai ? A,1 ? i ? 6 , 为满足题意的集合。ai 必各不相同, 但只能是 2, 3, 4, 5, 6 这 5 个数, 这不可能, 所以 k ? 4. 20 个 Ai 中,B 中的数有 40 个,因此至少是 10 个不同的,所以 n ? 16 。当 n ? 16 时,如下 20 个集合满足要求: {1,2,3,7,8}, {1,3,4,10,11}, {1,4,6,13,16}, {2,3,6,14,16}, {3,4,5,12,16}, {1,2,4,12,14}, {1,3,5,13,14}, {1,5,6,8,11}, {2,4,5,8,10}, {3,4,6,8,9}, {1,2,5,15,16}, {1,3,6,12,15}, {2,3,4,13,15}, {2,4,6,7,11}, {3,5,6,7,10}, {1,2,6,9,10}, {1,4,5,7,9}, {2,3,5,9,11}, {2,5,6,12,13}, {4,5,6,14,15}。

例 10 集合{1,2,…,3n}可以划分成 n 个互不相交的三元集合 {x, y, z} ,其中 x ? y ? 3z , 求满足条件的最小正整数 n. 【解】 设其中第 i 个三元集为 {xi , y, zi }, i ? 1,2,?, n, 则 1+2+…+ 3n ?

? 4z
i ?1

n

i

,

所以

n 3n(3n ? 1) 当 n 为偶数时, 有 8 3n , 所以 n ? 8 , 当 n 为奇数时, 有 8 3n ? 1 , ? 4? z i 。 2 i ?1

所以 n ? 5 ,当 n ? 5 时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6},{9,12,7},{10, 14,8}满足条件,所以 n 的最小值为 5。 第二章 二次函数与命题 一、基础知识

1.二次函数:当 a ? 0 时,y=ax2+bx+c 或 f(x)=ax2+bx+c 称为关于 x 的二次函数,其对称轴 为直线 x=-

b b ,另外配方可得 f(x)=a(x-x0)2+f(x0),其中 x0=,下同。 2a 2a

2.二次函数的性质:当 a>0 时,f(x)的图象开口向上,在区间(-∞,x0]上随自变量 x 增大 函数值减小(简称递减) ,在[x0, -∞)上随自变量增大函数值增大(简称递增) 。当 a<0 时, 情况相反。 3.当 a>0 时,方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0?①和不等式 ax2+bx+c>0?②及 ax2+bx+c<0?③与 函数 f(x)的关系如下(记△=b2-4ac) 。 1)当△>0 时,方程①有两个不等实根,设 x1,x2(x1<x2),不等式②和不等式③的解集分别是 {x|x<x1 或 x>x2}和{x|x1<x<x2},二次函数 f(x)图象与 x 轴有两个不同的交点,f(x)还可写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2). 2)当△=0 时,方程①有两个相等的实根 x1=x2=x0= ? {x|x ? ?

b ,不等式②和不等式③的解集分别是 2a

b }和空集 ? ,f(x)的图象与 x 轴有唯一公共点。 2a

3)当△<0 时,方程①无解,不等式②和不等式③的解集分别是 R 和 ? .f(x)图象与 x 轴无公 共点。 当 a<0 时,请读者自己分析。

4ac ? b 2 b 4. 二次函数的最值: 若 a>0, 当 x=x0 时, f(x)取最小值 f(x0)= ,若 a<0, 则当 x=x0= ? 2a 4a
时,f(x)取最大值 f(x0)=

4ac ? b 2 .对于给定区间[m,n]上的二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),当 4a

x0∈[m, n]时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(x0); 当 x0<m 时。f(x)在[m, n]上的最小值为 f(m); 当 x0>n 时,f(x)在[m, n]上的最小值为 f(n)(以上结论由二次函数图象即可得出) 。 定义 1 能判断真假的语句叫命题,如“3>5”是命题, “萝卜好大”不是命题。不含逻辑联 结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题叫做简单命题,由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合 命题。 注 1 “p 或 q”复合命题只有当 p,q 同为假命题时为假,否则为真命题; “p 且 q”复合命 题只有当 p,q 同时为真命题时为真,否则为假命题;p 与“非 p”即“p”恰好一真一假。 定义 2 原命题:若 p 则 q(p 为条件,q 为结论) ;逆命题:若 q 则 p;否命题:若非 p 则 q; 逆否命题:若非 q 则非 p。 注 2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律,而未必是证明原命题的逆否命题。 定义 3 如果命题“若 p 则 q”为真,则记为 p ? q 否则记作 p ? q.在命题“若 p 则 q”中, 如果已知 p ? q,则 p 是 q 的充分条件;如果 q ? p,则称 p 是 q 的必要条件;如果 p ? q 但 q 不 ? p,则称 p 是 q 的充分非必要条件;如果 p 不 ? q 但 p ? q,则 p 称为 q 的必要非充 分条件;若 p ? q 且 q ? p,则 p 是 q 的充要条件。 二、方法与例题 1.待定系数法。 例 1 设方程 x2-x+1=0 的两根是α ,β ,求满足 f(α )=β ,f(β )=α ,f(1)=1 的二次函数 f(x). 【解】 设 f(x)=ax2+bx+c(a ? 0), 则由已知 f(α )=β ,f(β )=α 相减并整理得(α -β )[(α +β )a+b+1]=0,

因为方程 x2-x+1=0 中△ ? 0, 所以α ? β ,所以(α +β )a+b+1=0. 又α +β =1,所以 a+b+1=0. 又因为 f(1)=a+b+c=1, 所以 c-1=1,所以 c=2. 又 b=-(a+1),所以 f(x)=ax2-(a+1)x+2. 再由 f(α )=β 得 aα 2-(a+1)α +2=β , 所以 aα 2-aα +2=α +β =1,所以 aα 2-aα +1=0. 即 a(α 2-α +1)+1-a=0,即 1-a=0, 所以 a=1, 所以 f(x)=x2-2x+2. 2.方程的思想。 例 2 已知 f(x)=ax2-c 满足-4?f(1)?-1, -1?f(2)?5,求 f(3)的取值范围。 【解】 因为-4?f(1)=a-c?-1, 所以 1?-f(1)=c-a?4.

8 5 f(2)- f(1), 3 3 8 5 8 5 所以 ×(-1)+ ?f(3)? × 5+ × 4, 3 3 3 3
又-1?f(2)=4a-c?5, f(3)= 所以-1?f(3)?20. 3.利用二次函数的性质。 例 3 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R, a ? 0), 若方程 f(x)=x 无实根, 求证: 方程 f(f(x))=x 也无实根。 【证明】若 a>0,因为 f(x)=x 无实根,所以二次函数 g(x)=f(x)-x 图象与 x 轴无公共点且开口 向上,所以对任意的 x∈R,f(x)-x>0 即 f(x)>x,从而 f(f(x))>f(x)。 所以 f(f(x))>x,所以方程 f(f(x))=x 无实根。 注:请读者思考例 3 的逆命题是否正确。 4.利用二次函数表达式解题。 例 4 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程 f(x)=x 的两根 x1, x2 满足 0<x1<x2< (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,求证:x<f(x)<x1; (Ⅱ)设函数 f(x)的图象关于 x=x0 对称,求证:x0<

1 , a

x1 . 2

【证明】 因为 x1, x2 是方程 f(x)-x=0 的两根,所以 f(x)-x=a(x-x1)(x-x2), 即 f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x. (Ⅰ)当 x∈(0, x1)时,x-x1<0, x-x2<0, a>0,所以 f(x)>x. 其次 f(x)-x1=(x-x1)[a(x-x2)+1]=a(x-x1)[x-x2+

1 ]<0,所以 f(x)<x1. a

综上,x<f(x)<x1. (Ⅱ)f(x)=a(x-x1)(x-x2)+x=ax2+[1-a(x1+x2)]x+ax1x2, 所以 x0=

a( x1 ? x 2 ) ? 1 x1 ? x 2 1 ? ? , 2a 2 2a

所以 x0 ?

x1 x2 1 1? 1? ? ? ? ? x2 ? ? ? 0 , 2 2 2a 2 ? a?
x1 . 2

所以 x 0 ?

5.构造二次函数解题。 例 5 已知关于 x 的方程(ax+1)2=a2(a-x2), a>1,求证:方程的正根比 1 小,负根比-1 大。 【证明】 方程化为 2a2x2+2ax+1-a2=0. 构造 f(x)=2a2x2+2ax+1-a2, f(1)=(a+1)2>0, f(-1)=(a-1)2>0, f(0)=1-a2<0, 即△>0, 所以 f(x)在区间(-1,0)和(0,1)上各有一根。 即方程的正根比 1 小,负根比-1 大。 6.定义在区间上的二次函数的最值。

x4 ? x2 ? 5 例 6 当 x 取何值时,函数 y= 取最小值?求出这个最小值。 ( x 2 ? 1) 2
【解】 y=1-

1 1 5 ? u,则 0<u?1。 ,令 2 ? 2 2 x ?1 x ? 1 ( x ? 1)
2

y=5u2-u+1=5 ? u ? 且当 u ?

? ?

1 ? 19 19 , ? ? ? 10 ? 20 20

2

1 19 即 x= ? 3 时,ymin= . 10 20 1 ,求 b 的值。 2

例 7 设变量 x 满足 x2+bx?-x(b<-1),并且 x2+bx 的最小值是 ? 【解】 由 x2+bx?-x(b<-1),得 0?x?-(b+1).

b2 b2 1 b 2 ,? ? ? ,所以 b2=2,所以 b ? ? 2 ⅰ)- ?-(b+1), 即 b?-2 时, x +bx 的最小值为2 4 4 2
(舍去) 。

b >-(b+1),即 b>-2 时,x2+bx 在[0,-(b+1)]上是减函数, 2 1 3 所以 x2+bx 的最小值为 b+1,b+1=- ,b=- . 2 2 3 综上,b=- . 2
ⅱ) 7.一元二次不等式问题的解法。 例 8 已知不等式组 ?

?x 2 ? x ? a ? a 2 ? 0 ?x ? 2a ? 1

①②的整数解恰好有两个,求 a 的取值范围。

【解】 因为方程 x2-x+a-a2=0 的两根为 x1=a, x2=1-a, 若 a?0,则 x1<x2.①的解集为 a<x<1-a,由②得 x>1-2a.

因为 1-2a?1-a,所以 a?0,所以不等式组无解。 若 a>0,ⅰ)当 0<a<

1 时,x1<x2,①的解集为 a<x<1-a. 2

因为 0<a<x<1-a<1,所以不等式组无整数解。

1 时,a=1-a,①无解。 2 1 ⅲ)当 a> 时,a>1-a,由②得 x>1-2a, 2
ⅱ)当 a= 所以不等式组的解集为 1-a<x<a. 又不等式组的整数解恰有 2 个, 所以 a-(1-a)>1 且 a-(1-a)?3, 所以 1<a?2,并且当 1<a?2 时,不等式组恰有两个整数解 0,1。 综上,a 的取值范围是 1<a?2. 8.充分性与必要性。 例 9 设定数 A,B,C 使得不等式 A(x-y)(x-z)+B(y-z)(y-x)+C(z-x)(z-y)?0 ① 对一切实数 x,y,z 都成立,问 A,B,C 应满足怎样的条件?(要求写出充分必要条件,而且 限定用只涉及 A,B,C 的等式或不等式表示条件) 【解】 充要条件为 A,B,C?0 且 A2+B2+C2?2(AB+BC+CA). 先证必要性,①可改写为 A(x-y)2-(B-A-C)(y-z)(x-y)+C(y-z)2?0 ② 若 A=0,则由②对一切 x,y,z∈R 成立,则只有 B=C,再由①知 B=C=0,若 A ? 0,则因为② 恒成立, 所以 A>0, △=(B-A-C)2(y-z)2-4AC(y-z)2?0 恒成立, 所以(B-A-C)2-4AC?0, 即 A2+B2+C2 ?2(AB+BC+CA) 同理有 B?0,C?0,所以必要性成立。 再证充分性,若 A?0,B?0,C?0 且 A2+B2+C2?2(AB+BC+CA), 1)若 A=0,则由 B2+C2?2BC 得(B-C)2?0,所以 B=C,所以△=0,所以②成立,①成立。 2)若 A>0,则由③知△?0,所以②成立,所以①成立。 综上,充分性得证。 9.常用结论。 定理 1 若 a, b∈R, |a|-|b|?|a+b|?|a|+|b|. 【证明】 因为-|a|?a?|a|,-|b|?b?|b|,所以-(|a|+|b|)?a+b?|a|+|b|, 所以|a+b|?|a|+|b|(注:若 m>0,则-m?x?m 等价于|x|?m). 又|a|=|a+b-b|?|a+b|+|-b|, 即|a|-|b|?|a+b|.综上定理 1 得证。 定理 2 若 a,b∈R, 则 a2+b2?2ab;若 x,y∈R+,则 x+y? 2 xy. (证略) 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况,在不等式证明一章中详细论证。 第三章 函数 一、基础知识 定义 1 映射,对于任意两个集合 A,B,依对应法则 f,若对 A 中的任意一个元素 x,在 B 中都有唯一一个元素与之对应,则称 f: A→B 为一个映射。 定义 2 单射,若 f: A→B 是一个映射且对任意 x, y∈A, x ? y, 都有 f(x) ? f(y)则称之为单射。

定义 3 满射,若 f: A→B 是映射且对任意 y∈B,都有一个 x∈A 使得 f(x)=y,则称 f: A→B 是 A 到 B 上的满射。 定义 4 一一映射,若 f: A→B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆 映射,即从 B 到 A 由相反的对应法则 f-1 构成的映射,记作 f-1: A→B。 定义 5 函数,映射 f: A→B 中,若 A,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它的定 义域,若 x∈A, y∈B,且 f(x)=y(即 x 对应 B 中的 y) ,则 y 叫做 x 的象,x 叫 y 的原象。集 合{f(x)|x∈A}叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义 的未知数的取值范围,如函数 y=3 x -1 的定义域为{x|x?0,x∈R}. 定义 6 反函数,若函数 f: A→B(通常记作 y=f(x))是一一映射,则它的逆映射 f-1: A→B 叫原函数的反函数,通常写作 y=f-1(x). 这里求反函数的过程是:在解析式 y=f(x)中反解 x 得 x=f-1(y),然后将 x, y 互换得 y=f-1(x),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数 y=

1 1 的反函数是 y=1- (x ? 0). 1? x x

定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y=x 对称。 定理 2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义 7 函数的性质。 (1)单调性:设函数 f(x)在区间 I 上满足对任意的 x1, x2∈I 并且 x1< x2,总有 f(x1)<f(x2) (f(x)>f(x2)),则称 f(x)在区间 I 上是增(减)函数,区间 I 称为单调增(减)区间。 (2)奇偶性:设函数 y=f(x)的定义域为 D,且 D 是关于原点对称的数集,若对于任意的 x ∈D,都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)是奇函数;若对任意的 x∈D,都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)是偶 函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称。 (3)周期性:对于函数 f(x),如果存在一个不为零的常数 T,使得当 x 取定义域内每一个数 时,f(x+T)=f(x)总成立,则称 f(x)为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在最小 的正数 T0,则这个正数叫做函数 f(x)的最小正周期。 定义 8 如果实数 a<b,则数集{x|a<x<b, x∈R}叫做开区间,记作(a,b) ,集合{x|a?x?b,x ∈R}记作闭区间[a,b],集合{x|a<x?b}记作半开半闭区间(a,b],集合{x|a?x<b}记作半闭半 开区间[a, b),集合{x|x>a}记作开区间(a, +∞) ,集合{x|x?a}记作半开半闭区间(-∞,a]. 定义 9 函数的图象,点集{(x,y)|y=f(x), x∈D}称为函数 y=f(x)的图象,其中 D 为 f(x)的定义 域。通过画图不难得出函数 y=f(x)的图象与其他函数图象之间的关系(a,b>0); (1)向右平移 a 个单位得到 y=f(x-a)的图象; (2)向左平移 a 个单位得到 y=f(x+a)的图象; (3)向下平移 b 个单位得到 y=f(x)-b 的图象; (4)与函数 y=f(-x)的图象关于 y 轴对称; (5)与函数 y=-f(-x) -1 的图象关于原点成中心对称; (6) 与函数 y=f (x)的图象关于直线 y=x 对称; (7) 与函数 y=-f(x) 的图象关于 x 轴对称。 定理 3 复合函数 y=f[g(x)]的单调性,记住四个字: “同增异减” 。例如 y= ∞,2)上是减函数,y=

1 , u=2-x 在(2?x

1 1 在(0,+∞)上是减函数,所以 y= 在(-∞,2)上是增函数。 u 2?x

注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。 二、方法与例题 1.数形结合法。 y 1 例 1 求方程|x-1|= 的正根的个数. 1 x x x 1 x

【解】 分别画出 y=|x-1|和 y=

1 的图象, 由图象可知两者有唯一交点, 所以方程有一个正根。 x

例 2 求函数 f(x)= x ? 3x ? 6 x ? 13 ?
4 2 2 2 2 2

x 4 ? x 2 ? 1 的最大值。
2 2

【解】 f(x)= ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? ( x ? 0) ,记点 P(x, x-2),A(3,2) ,B

(0,1) ,则 f(x)表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差。
2 2 因为|PA|-|PA|?|AB|= 3 ? ( 2 ? 1) ? 10 ,当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点时

等号成立。 所以 f(x)max= 10. 2.函数性质的应用。 例 3 设 x, y∈R,且满足 ?
2 ? ?( x ? 1) ? 1997( x ? 1) ? ?1 3 ? ?( y ? 1) ? 1997( y ? 1) ? 1

,求 x+y.

【解】 设 f(t)=t3+1997t,先证 f(t)在(-∞,+∞)上递增。事实上,若 a<b,则 f(b)-f(a)=b3-a3+1997(b-a)=(b-a)(b2+ba+a2+1997)>0,所以 f(t)递增。 由题设 f(x-1)=-1=f(1-y),所以 x-1=1-y,所以 x+y=2. 例 4 奇函数 f(x)在定义域(-1,1)内是减函数,又 f(1-a)+f(1-a2)<0,求 a 的取值范围。 【解】 因为 f(x) 是奇函数,所以 f(1-a2)=-f(a2-1),由题设 f(1-a)<f(a2-1)。 又 f(x)在定义域(-1,1)上递减,所以-1<1-a<a2-1<1,解得 0<a<1。 例 5 设 f(x)是定义在 (-∞, +∞) 上以 2 为周期的函数, 对 k∈Z, 用 Ik 表示区间(2k-1, 2k+1], 已知当 x∈I0 时,f(x)=x2,求 f(x)在 Ik 上的解析式。 【解】 设 x∈Ik,则 2k-1<x?2k+1, 所以 f(x-2k)=(x-2k)2. 又因为 f(x)是以 2 为周期的函数, 所以当 x∈Ik 时,f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例 6 解方程:(3x-1)( 9x ? 6x ? 5 ? 1)+(2x-3)( 4x ? 12x ? 13 +1)=0.
2 2

【解】 令 m=3x-1, n=2x-3,方程化为 m( m ? 4 +1)+n( n ? 4 +1)=0.
2 2



若 m=0,则由①得 n=0,但 m, n 不同时为 0,所以 m ? 0, n ? 0. ⅰ)若 m>0, 则由①得 n<0, 设 f(t)=t( t ? 4 +1),则 f(t)在 (0, +∞) 上是增函数。 又 f(m)=f(-n),
2

4 5 4 ⅱ)若 m<0,且 n>0。同理有 m+n=0,x= ,但与 m<0 矛盾。 5 4 综上,方程有唯一实数解 x= . 5
所以 m=-n,所以 3x-1+2x-3=0,所以 x= . 3.配方法。 例 7 求函数 y=x+ 2 x ? 1 的值域。

1 [2x+1+2 2 x ? 1 +1]-1 2 1 1 1 = ( 2 x ? 1 +1)-1? -1=- . 2 2 2 1 1 1 当 x=- 时,y 取最小值- ,所以函数值域是[- ,+∞) 。 2 2 2
【解】 y=x+ 2 x ? 1 = 4.换元法。 例 8 求函数 y=( 1 ? x + 1 ? x +2)( 1 ? x 2 +1),x∈[0,1]的值域。 【解】令 1 ? x + 1 ? x =u,因为 x∈[0,1],所以 2?u2=2+2 1 ? x 2 ?4,所以 2 ?u?2,

u2 u?2 2 2?2 u?2 所以 ? ?2,1? ?2,所以 y= ,u ∈[ 2 +2,8]。 2 2 2 2
所以该函数值域为[2+ 2 ,8]。 5.判别式法。 例 9 求函数 y=

x 2 ? 3x ? 4 的值域。 x 2 ? 3x ? 4

【解】由函数解析式得(y-1)x2+3(y+1)x+4y-4=0. ① 当 y ? 1 时,①式是关于 x 的方程有实根。 所以△=9(y+1)2-16(y-1)2?0,解得

1 ?y?1. 7

又当 y=1 时,存在 x=0 使解析式成立, 所以函数值域为[

1 ,7]。 7

6.关于反函数。 例 10 若函数 y=f(x)定义域、值域均为 R,且存在反函数。若 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增,求证: y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。 【证明】设 x1<x2, 且 y1=f-1(x1), y2=f-1(x2),则 x1=f(y1), x2=f(y2),若 y1?y2,则因为 f(x)在(-∞,+ ∞)上递增,所以 x1?x2 与假设矛盾,所以 y1<y2。 即 y=f-1(x)在(-∞,+ ∞)递增。 例 11 设函数 f(x)= 4

4x ? 1 ,解方程:f(x)=f-1(x). 3x ? 2

【解】 首先 f(x)定义域为(-∞,-

2 1 )∪[- ,+∞) ;其次,设 x1, x2 是定义域内变量,且 3 4

x1<x2<-

5( x2 ? x1 ) 2 4 x2 ? 1 4 x1 ? 1 ; = >0, ? 3 3x2 ? 2 3x1 ? 2 (3x2 ? 2)(3x1 ? 2)
2 1 )上递增,同理 f(x)在[- ,+∞)上递增。 3 4

所以 f(x)在(-∞,-

在方程 f(x)=f-1(x)中,记 f(x)=f-1(x)=y,则 y?0,又由 f-1(x)=y 得 f(y)=x,所以 x?0,所以 x,y∈ [-

若 x ? y,设 x<y,则 f(x)=y<f(y)=x,矛盾。 同理若 x>y 也可得出矛盾。所以 x=y. 即 f(x)=x,化简得 3x5+2x4-4x-1=0, 即(x-1)(3x4+5x3+5x2+5x+1)=0, 因为 x?0,所以 3x4+5x3+5x2+5x+1>0,所以 x=1. 第四章 几个初等函数的性质 一、基础知识 1.指数函数及其性质:形如 y=ax(a>0, a ? 1)的函数叫做指数函数,其定义域为 R,值域为 (0,+∞) ,当 0<a<1 时,y=ax 是减函数,当 a>1 时,y=ax 为增函数,它的图象恒过定点(0, 1) 。
1 m

1 ,+∞). 4

2.分数指数幂: a n ? n a , a n ? n a m , a ? n ?

1 ?n 1 。 ,a ? n n a am

m

3. 对数函数及其性质: 形如 y=logax(a>0, a ? 1)的函数叫做对数函数, 其定义域为 (0, +∞) , 值域为 R,图象过定点(1,0) 。当 0<a<1,y=logax 为减函数,当 a>1 时,y=logax 为增函数。 4.对数的性质(M>0, N>0) ; x 1)a =M ? x=logaM(a>0, a ? 1); 2)loga(MN)= loga M+ loga N; 3)loga(
n

M )= loga M- loga N;4)loga Mn=n loga M; , N

5)loga

logc b 1 M = loga M;6)aloga M=M; 7) loga b= (a,b,c>0, a, c ? 1). n logc a
a x

5. 函数 y=x+ (a>0) 的单调递增区间是 ? ?,? a 和 和 0, a 。 (请读者自己用定义证明)

?

? ? a ,???,单调递减区间为 ??

a ,0

?

?

?

6.连续函数的性质:若 a<b, f(x)在[a, b]上连续,且 f(a)·f(b)<0,则 f(x)=0 在(a,b)上至少 有一个实根。 二、方法与例题 1.构造函数解题。 例 1 已知 a, b, c∈(-1, 1),求证:ab+bc+ca+1>0. 【证明】 设 f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1)),则 f(x)是关于 x 的一次函数。

所以要证原不等式成立,只需证 f(-1)>0 且 f(1)>0(因为-1<a<1). 因为 f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0, f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0, 所以 f(a)>0,即 ab+bc+ca+1>0. 例 2 (柯西不等式) 若 a1, a2,?,an 是不全为 0 的实数, b1, b2,?,bn∈R, 则 (
n

?a
i ?1

n

2 i

) · (

?b
i ?1

n

2 i



?(

?a b
i ?1 i

i

)2,等号当且仅当存在 ? ? R,使 ai= ?bi , i=1, 2, ?, n 时成立。
n

【证明】 令 f(x)= (

? ai2 )x2-2( ? ai bi )x+ ? bi2 = ? (ai x ? bi ) 2 ,
i ?1

n

n

n

i ?1

i ?1

i ?1

因为

?a
i ?1

n

2 i

>0,且对任意 x∈R, f(x)?0,

所以△=4(

? ai bi )-4( ? ai2 )( ? bi2 )?0.
i ?1
i ?1 i ?1

n

n

n

展开得(

? ai2 )( ? bi2 )?( ? ai bi )2。
i ?1 i ?1

n

n

n

i ?1

等号成立等价于 f(x)=0 有实根,即存在 ? ,使 ai= ?bi , i=1, 2, ?, n。 例 3 设 x, y∈R+, x+y=c, c 为常数且 c∈(0, 2],求 u= ? x ?

? ?

1 ?? 1? 的最小值。 y? ? ?? ? x ?? y? ?

【解】u= ? x ?

? ?

x y 1 1 1 ?? 1? x y =xy+ ? ? ?xy+ +2· y? ? ? ?? ? ? xy y x xy x ?? y? y x

=xy+

1 +2. xy c2 ( x ? y) 2 c 2 1 ? . ,设 f(t)=t+ ,0<t? t 4 4 4

令 xy=t,则 0<t=xy?

? c2 ? c2 因为 0<c?2,所以 0< ?1,所以 f(t)在 ? ? 0, 4 ? 上单调递减。 4 ? ?
c2 c2 4 c2 4 所以 f(t)min=f( )= + ,所以 u? + +2. 4 4 c2 4 c2
当 x=y=

c2 4 c 时,等号成立. 所以 u 的最小值为 + +2. 2 4 c2

2.指数和对数的运算技巧。 例 4 设 p, q∈R+且满足 log9p= log12q= log16(p+q),求

q 的值。 p

【解】 令 log9p= log12q= log16(p+q)=t,则 p=9 t , q=12 t , p+q=16t,

?4? ?4? 所以 9 +12 =16 ,即 1+ ? ? ? ? ? . ?3? ?3?
t t t

t

2t

1? 5 q 12t ? 4 ? 记 x= ? t ? ? ? ,则 1+x=x2,解得 x ? . 2 p 9 ?3?


t

q q 1? 5 >0,所以 = . 2 p p
1 1 1 1 ? ? ? ,求 x y z w

例 5 对于正整数 a, b, c(a?b?c)和实数 x, y, z, w,若 ax=by=cz=70w,且 证:a+b=c. 【证明】 由 ax=by=cz=70w 取常用对数得 xlga=ylgb=zlgc=wlg70. 所以

1 1 1 1 1 1 lga= lg70, lgb= lg70, lgc= lg70, x z w w w y

相加得

?1 1 1? 1 1 1 1 1 (lga+lgb+lgc)= ? lg70,由题设 ? ? ? , ? ? ? ? ? w x y z w ?x y z?

所以 lga+lgb+lgc=lg70,所以 lgabc=lg70. 所以 abc=70=2×5×7. 若 a=1,则因为 xlga=wlg70,所以 w=0 与题设矛盾,所以 a>1. 又 a?b?c,且 a, b, c 为 70 的正约数,所以只有 a=2, b=5, c=7. 所以 a+b=c. 例 6 已知 x ? 1, ac ? 1, a ? 1, c ? 1. 且 logax+logcx=2logbx,求证 c2=(ac)logab. 【证明】 由题设 logax+logcx=2logbx,化为以 a 为底的对数,得

loga x ?

loga x 2 loga x , ? loga c loga b

因为 ac>0, ac ? 1,所以 logab=logacc2,所以 c2=(ac)logab. 注:指数与对数式互化,取对数,换元,换底公式往往是解题的桥梁。 3.指数与对数方程的解法。 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。 值得注意的是函数单调 性的应用和未知数范围的讨论。 例 7 解方程:3x+4 x +5 x =6 x. 【解】 方程可化为 ? ? ? ? ? ? ? ? =1。设 f(x)= ? ? ? ? ? ? ? ? , 则 f(x)在(-

?1? ?2?

x

?2? ?3?

x

?5? ?6?

x

?1? ?2?

x

?2? ?3?

x

?5? ?6?

x

∞,+∞)上是减函数,因为 f(3)=1,所以方程只有一个解 x=3.
x? y ? ? y 12 ?x 例 8 解方程组: ? (其中 x, y∈R+). x? y 3 ? ?x ?y

【解】 两边取对数,则原方程组可化为 ?

?( x ? y) lg x ? 12lg y . ①② ?( x ? y) lg y ? 3glx

把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx,所以[(x+y)2-36]lgx=0. 由 lgx=0 得 x=1,由(x+y)2-36=0(x, y∈R+)得 x+y=6, 代入①得 lgx=2lgy,即 x=y2,所以 y2+y-6=0. 又 y>0,所以 y=2, x=4. 所以方程组的解为 ?

? ? x1 ? 1 ? ?x ? 4 . ;? 2 ? ? y1 ? 1 ? ? y2 ? 2

例 9 已知 a>0, a ? 1,试求使方程 loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的 k 的取值范围。

?( x ? ak) 2 ? x 2 ? a 2 ? 【解】由对数性质知,原方程的解 x 应满足 ? x ? ak ? 0 .①②③ ?x 2 ? a 2 ? 0 ?
若①、②同时成立,则③必成立, 故只需解 ?

?( x ? ak) 2 ? x 2 ? a 2 ?x ? ak ? 0

.

由①可得 2kx=a(1+k2), ④ 当 k=0 时,④无解;当 k ? 0 时,④的解是 x=

1? k 2 a(1 ? k 2 ) ,代入②得 > k. 2k 2k

若 k<0,则 k2>1,所以 k<-1;若 k>0,则 k2<1,所以 0<k<1. 综上,当 k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时,原方程有解。 第五章 数列 一、基础知识 定义 1 数列,按顺序给出的一列数,例如 1,2,3,?,n,?. 数列分有穷数列和无穷数 列两种,数列{an}的一般形式通常记作 a1, a2, a3,?,an 或 a1, a2, a3,?,an?。其中 a1 叫做数 列的首项,an 是关于 n 的具体表达式,称为数列的通项。 定理 1 若 Sn 表示{an}的前 n 项和,则 S1=a1, 当 n>1 时,an=Sn-Sn-1. 定义 2 等差数列,如果对任意的正整数 n,都有 an+1-an=d(常数) ,则{an}称为等差数列, d 叫做公差。若三个数 a, b, c 成等差数列,即 2b=a+c,则称 b 为 a 和 c 的等差中项,若公差 为 d, 则 a=b-d, c=b+d. 定理 2 等差数列的性质:1)通项公式 an=a1+(n-1)d;2)前 n 项和公式: Sn=

n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d ;3) an-am=(n-m)d, 其中 n, m 为正整数; 4) 若 n+m=p+q, 2 2

则 an+am=ap+aq;5)对任意正整数 p, q,恒有 ap-aq=(p-q)(a2-a1);6)若 A,B 至少有一个不

为零,则{an}是等差数列的充要条件是 Sn=An2+Bn. 定义 3 等比数列,若对任意的正整数 n,都有 比。

a n ?1 ? q ,则{an}称为等比数列,q 叫做公 an

a1 (1 ? q n ) 定理 3 等比数列的性质:1)an=a1q ;2)前 n 项和 Sn,当 q ? 1 时,Sn= ;当 1? q
n-1

q=1 时,Sn=na1;3)如果 a, b, c 成等比数列,即 b2=ac(b ? 0),则 b 叫做 a, c 的等比中项;4) 若 m+n=p+q,则 aman=apaq。 定义 4 极限,给定数列{an}和实数 A,若对任意的 ? >0,存在 M,对任意的 n>M(n∈N), 都有|an-A|< ? ,则称 A 为 n→+∞时数列{an}的极限,记作 lim a n ? A.
n ??

定义 5 无穷递缩等比数列,若等比数列{an}的公比 q 满足|q|<1,则称之为无穷递增等比数 列,其前 n 项和 Sn 的极限(即其所有项的和)为

a1 (由极限的定义可得) 。 1? q

定理 3 第一数学归纳法:给定命题 p(n),若: (1)p(n0)成立; (2)当 p(n)时 n=k 成立时能 推出 p(n)对 n=k+1 成立,则由(1) , (2)可得命题 p(n)对一切自然数 n?n0 成立。 竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法:给定命题 p(n),若: (1)p(n0)成立; (2)当 p(n)对一切 n?k 的自 然数 n 都成立时(k?n0)可推出 p(k+1)成立,则由(1) , (2)可得命题 p(n)对一切自然数 n ?n0 成立。 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn=axn-1+bxn-2,设它的特征方程 x2=ax+b 的两个根为α , β :(1)若α ? β ,则 xn=c1an-1+c2β n-1,其中 c1, c2 由初始条件 x1, x2 的值确定;(2)若α =β , 则 xn=(c1n+c2) α n-1,其中 c1, c2 的值由 x1, x2 的值确定。 二、方法与例题 1.不完全归纳法。 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律, 当然结论未必都是正确的, 但却是人类探 索未知世界的普遍方式。通常解题方式为:特殊→猜想→数学归纳法证明。 例 1 试给出以下几个数列的通项(不要求证明) ;1)0,3,8,15,24,35,?;2)1,5, 19,65,?;3)-1,0,3,8,15,?。 【解】1)an=n2-1;2)an=3n-2n;3)an=n2-2n. 例 2 已知数列{an}满足 a1= 【解】 因为 a1=

1 ,a1+a2+?+an=n2an, n?1,求通项 an. 2

1 ,又 a1+a2=22·a2, 2

所以 a2=

a ?a 1 1 1 ,a3= ? 2 2 ? ,猜想 a n ? (n?1). 3? 2 n(n ? 1) 3? 4 3 ?1
1 ,猜想正确。2)假设当 n?k 时猜想成立。 2 ?1

证明;1)当 n=1 时,a1=

当 n=k+1 时,由归纳假设及题设,a1+ a1+?+a1=[(k+1)2-1] ak+1,,

所以

1 1 1 =k(k+2)ak+1, ? ?? ? 2 ?1 3 ? 2 k ? (k ? 1)
1 1 1 1 1 ? ? ??? ? =k(k+2)ak+1, 2 2 3 k k ?1

即1 ?

所以

1 k =k(k+2)ak+1,所以 ak+1= . k ?1 (k ? 1)(k ? 2) 1 . n(n ? 1)
1 ,求证:对任意 n∈N+,有 an>1. an

由数学归纳法可得猜想成立,所以 a n ?

例 3 设 0<a<1,数列{an}满足 an=1+a, an-1=a+

【证明】 证明更强的结论:1<an?1+a. 1)当 n=1 时,1<a1=1+a,①式成立; 2)假设 n=k 时,①式成立,即 1<an?1+a,则当 n=k+1 时,有

1 ? a ? ak ?1 ?

1 1 1? a ? a2 1? a ?a? ?a ? ? ? 1. 1? a 1? a 1? a ak

由数学归纳法可得①式成立,所以原命题得证。 2.迭代法。 数列的通项 an 或前 n 项和 Sn 中的 n 通常是对任意 n∈N 成立,因此可将其中的 n 换成 n+1 或 n-1 等,这种办法通常称迭代或递推。 例 4 数列{an}满足 an+pan-1+qan-2=0, n?3,q ? 0,求证:存在常数 c,使得
2 2 n an ?1 ? pan?1 ·an+ qan ? cq ? 0. 2 2 2 2 【证明】 an ?1 ? pan?1 ·an+1+ qan?1 ? an? 2 (pan+1+an+2)+ qan ?1 =an+2·(-qan)+ qan ?1 = 2 2 2 2 q(an ?1 ? an an? 2 ) ? q[an?1 +an(pqn+1+qan)]=q( an?1 ? pan?1an ? qan ).

2 2 2 若 a2 ? pa2 a1 ? qa12 =0,则对任意 n, an ?1 ? pan ?1 an + qan =0,取 c=0 即可. 2 2 2 若 a2 公式为 q ? pa2 a1 ? qa12 ? 0,则{ an ?1 ? pan ?1 an + qan }是首项为 a2 ? pa2 a1 ? qa1 ,
2 2

的等比数列。
2 2 n 所以 an ?1 ? pan ?1 an + qan = (a2 ? pa2 a1 ? qa1 ) ·q .

2

2

取 c ? ?(a2 ? pa1 a2 ? qa1 ) ·
2 2

1 即可. q

综上,结论成立。 例 5 已知 a1=0, an+1=5an+ 24 a n ? 1 ,求证:an 都是整数,n∈N+.
2

【证明】

因为 a1=0, a2=1,所以由题设知当 n?1 时 an+1>an.
2

又由 an+1=5an+ 24 a n ? 1 移项、平方得
2 2 an ?1 ? 10an an?1 ? an ? 1 ? 0.



2 2 当 n?2 时,把①式中的 n 换成 n-1 得 an ? 10an an?1 ? an ?1 ? 1 ? 0 ,即 2 2 an ?1 ? 10an an?1 ? an ? 1 ? 0.



2 因为 an-1<an+1,所以①式和②式说明 an-1, an+1 是方程 x2-10anx+ an -1=0 的两个不等根。由韦

达定理得 an+1+ an-1=10an(n?2). 再由 a1=0, a2=1 及③式可知,当 n∈N+时,an 都是整数。 3.数列求和法。 数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。 例 6 已知 an=

1 (n=1, 2, ?),求 S99=a1+a2+?+a99. 4 ? 2100
n

【解】 因为 an+a100-n=

1 1 2 ? 2100 ? 4 n ? 4100?n 1 + = ? 100 , n 100 100 ? n 100 100 100 n 100 ? n 4 ?2 4 ?2 4 ? 2 ? 2 (4 ? 4 ) 2

所以 S99=

1 99 1 99 99 (a n ? a100 ?n ) ? ? 100 ? 101 . ? 2 n ?1 2 2 2

例 7 求和: S n ?

1 1 1 ? . +?+ 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 n(n ? 1)(n ? 2) 1 k ?2?k ? k (k ? 1)(k ? 2) 2k (k ? 1)(k ? 2)

【解】 一般地,

? 1? 1 1 ?, ? ? ? ? 2 ? k (k ? 1) (k ? 1)(k ? 2) ? ?
所以 Sn=

? k (k ? 1)(k ? 2)
k ?1

n

1

?

? 1? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 2 ?1? 2 2 ? 3 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? ? ? 1 ?1 1 ? ? 2 ? 2 (n ? 1)(n ? 2) ? ?
1 1 ? . 4 2(n ? 1)(n ? 2)

?

?

例 8 已知数列{an}满足 a1=a2=1,an+2=an+1+an, Sn 为数列 ?

? an ? 的前 n 项和,求证:Sn<2。 n? ?2 ?

【证明】 由递推公式可知,数列{an}前几项为 1,1,2,3,5,8,13。 因为 S n ?

a 1 1 2 3 5 8 , ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ??? n 2 2 2 2 2 2 2n



所以

a 1 1 2 3 5 。 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? nn 2 2 2 2 2 2 ?1
a ?2 1 1 1 ?1 1 Sn ? ? 2 ? ? 2 ??? n ? 2 2 2 ?2 2 2 n?2 ? an ? ? ? 2 n ?1 , ?



由①-②得

所以

a 1 1 1 S n ? ? S n ?2 ? nn 。 2 2 4 2 ?1

又因为 Sn-2<Sn 且 所以

an >0, 2 n ?1

1 1 1 1 1 S n ? ? Sn, 所以 S n ? , 2 2 4 4 2

所以 Sn<2,得证。 4.特征方程法。 例 9 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an,求 an. 【解】 由特征方程 x2=4x-4 得 x1=x2=2. 故设 an=(α +β n)·2n-1,其中 ?

?3 ? ? ? ? , ?6 ? (? ? 2? ) ? 2

所以α =3,β =0, 所以 an=3·2n-1. 例 10 已知数列{an}满足 a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an,求通项 an. 【解】 由特征方程 x2=2x+3 得 x1=3, x2=-1, 所以 an=α ·3n+β ·(-1)n,其中 ?

?3 ? 3? ? ? , ?6 ? 9? ? ?

3 3 ,β ? ? , 4 4 1 n ?1 n ?1 所以 a n ? [3 ? ( ?1) ·3]。 4
解得α = 5.构造等差或等比数列。 例 11 正数列 a0,a1,?,an,?满足 a n a n ? 2 ? a n ?1 a n ? 2 =2an-1(n?2)且 a0=a1=1,求通项。

【解】 由 a n a n ? 2 ? a n ?1 a n ? 2 ? 2a n ?1 得

an a ? 2 n ?1 =1, a n ?1 an?2



? a ? an ? 1 ? 2? n?1 ? 1?. ? an?2 ? a n?1 ? ?
an a1 +1,则{bn}是首项为 +1=2,公比为 2 的等比数列, a n ?1 a0 an a +1=2n,所以 n =(2n-1)2, a n ?1 a n ?1
n an a a a · n ?1 ? 2 · 1 ·a0= ? ( 2 k ? 1) 2 . a n ?1 a n ? 2 a1 a0 k ?1

令 bn=

所以 bn=

所以 an=
n

注:

?C
i ?1

i

? C1·C2·?·Cn.
2 xn ?2 ,n∈N+, 求通项。 2 xn

例 12

已知数列{xn}满足 x1=2, xn+1=

【解】 考虑函数 f(x)=

x2 ? 2 x2 ? 2 的不动点,由 =x 得 x= ? 2. 2x 2x

2 xn ?2 因为 x1=2, xn+1= ,可知{xn}的每项均为正数。 2 xn
2 又 xn +2? 2 2 xn ,所以 xn+1? 2 (n?1)。又

Xn+1- 2 =

2 xn ?2 (x ? 2)2 , ? 2= n 2 xn 2 xn 2 xn ?2 (x ? 2)2 , ? 2= n 2 xn 2 xn



Xn+1+ 2 =



?x ? 2? 由①÷②得 ?? n ? 。 x n?1 ? 2 ? ? xn ? 2 ? ? x n?1 ? 2


2



x1 ? 2 x1 ? 2

>0,

由③可知对任意 n∈N+,

xn ? 2 xn ? 2

>0 且 lg ?

? x n ?1 ? 2 ? ? xn ? 2 ? ? ? 2 lg ? ?, ? x n ?1 ? 2 ? ? ? xn ? 2 ? ? ? ?

所以 lg ?

? xn ? 2 ? ?2 ? 2 ? ? 是首项为 lg ? ? ,公比为 2 的等比数列。 ? xn ? 2 ? ? ?2 ? 2 ? ?

?2 ? 2 ? xn ? 2 ? 2 ? 2 ? 所以 lg ? 2 n?1 · lg ? ?? ? ,所以 ? 2 ? 2 xn ? 2 x ? 2 ? ? ?2 ? 2 ? n

xn ? 2

2 n ?1



解得 xn ?



(2 ? 2 ) (2 ? 2 )

2 n ?1 2 n ?1

? (2 ? 2 ) ? (2 ? 2 )

2 n ?1 2 n ?1



注:本例解法是借助于不动点,具有普遍意义。 第六章 三角函数 一、基础知识 定义 1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则 角为正角, 若旋转方向为顺时针方向, 则角为负角, 若不旋转则为零角。 角的大小是任意的。 定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对 的圆心角叫做一弧度。360 度=2π 弧度。若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α |=

L , r

其中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数, 在直角坐标平面内, 把角α 的顶点放在原点, 始边与 x 轴的正半轴重合, 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P,设它的坐标为(x,y) ,到原点的距离为 r,则正 弦函数 sinα =

x y y x ,余弦函数 cosα = ,正切函数 tanα = , 余切函数 cotα = , 正割函数 sec r x r y

α =

r r ,余割函数 cscα = . x y
1 1 1 ,sinα = , cosα = ; cot ? csc ? sec ?

定理 1 同角三角函数的基本关系式, 倒数关系: tanα = 商数关系:tanα =

sin ? cos ? , cot ? ? ;乘积关系:tanα ×cosα =sinα ,cotα ×sinα =cos cos ? sin ?

α ;平方关系:sin2α +cos2α =1, tan2α +1=sec2α , cot2α +1=csc2α . 定理 2 诱导公式(Ⅰ)sin(α +π)=-sinα , cos(π+α )=-cosα , tan(π+α )=tanα , cot(π+α )=cot α ;(Ⅱ)sin(-α )=-sinα , cos(-α )=cosα , tan(-α )=-tanα , cot(-α )=cotα ; (Ⅲ)sin(π-α )=sin α , cos(π-α )=-cosα , tan=(π-α )=-tanα , cot(π-α )=-cotα ; (Ⅳ)sin ?

?? ? ? ? ? =cosα , ?2 ?

cos ?

?? ? ?? ? 。 ? ? ? =sinα , tan ? ? ? ? =cotα (奇变偶不变,符号看象限) ?2 ? ?2 ?

定理 3 正弦函数的性质,根据图象可得 y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区间

? ?? ? 3 ? ? ? 2k? ? ,2k? ? ? 上为增函数,在区间 ?2k? ? ,2k? ? ? ? 上为减函数,最小正周期 ? 2 2? 2 2 ? ? ?

为 2 ? . 奇偶数. 有界性:当且仅当 x=2kx+ 取最小值-1。对称性:直线 x=k ? +

? 均为其对称轴,点(k ? , 0)均为其对称中心,值域为 2

? ? 时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k ? - 时, y 2 2

[-1,1]。这里 k∈Z. 定理 4 余弦函数的性质, 根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。 单调区间: 在区间[2kπ, 2kπ+π] 上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性:偶函数。对称性: 直线 x=kπ 均为其对称轴,点 ? k? ?

? ?

?

? ,0 ? 均为其对称中心。有界性:当且仅当 x=2kπ 时,y 2 ?

取最大值 1;当且仅当 x=2kπ-π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。这里 k∈Z.

? ? ? )在开区间(kπ- , kπ+ )上为增 2 2 2 ? 函数, 最小正周期为 π,值域为(-∞,+∞) ,点(kπ,0) , (kπ+ ,0)均为其对称中心。 2 定理 6 两角和与差的基本关系式:cos(α ? β )=cosα cosβ ? sinα sinβ ,sin(α ? β )=sinα
定理 5 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(x ? kπ+ cosβ ? cosα sinβ ; tan(α ? β )=

(tan? ? tan ? ) . (1 ? tan? tan ? )

定理 7 和差化积与积化和差公式: sinα +sinβ =2sin ?

?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ? ? ,sinα -sinβ =2sin ? ? cos ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? cos ? ? , cosα -cosβ =-2sin ? ? sin ? ?, ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?

cosα +cosβ =2cos ? sinα cosβ =

1 1 [sin(α +β )+sin(α -β )],cosα sinβ = [sin(α +β )-sin(α -β )], 2 2 1 1 cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α -β )],sinα sinβ =- [cos(α +β )-cos(α -β )]. 2 2
定理 8 倍角公式:sin2α =2sinα cosα , cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1=1-2sin2α ,

tan2α =

2 tan? . (1 ? tan2 ? )

定理 9 半角公式:sin ?

(1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?? ? ?? ? ,cos ? ? = ? , ?=? 2 2 ?2? ?2?

tan ?

sin ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?? ? ? . = ?=? sin ? (1 ? cos? ) (1 ? cos? ) ?2?

?? ? ?? ? 2 tan? ? 1 ? tan2 ? ? ? 2 ? , cos? ? ?2?, 定理 10 万能公式: sin ? ? ?? ? ?? ? 1 ? tan2 ? ? 1 ? tan2 ? ? ?2? ?2? ?? ? 2 tan? ? ?2? . tan? ? ?? ? 1 ? tan2 ? ? ?2?
定理 11 辅助角公式: 如果 a, b 是实数且 a2+b2 ? 0, 则取始边在 x 轴正半轴, 终边经过点(a, b)的一个角为β ,则 sinβ =

b a ?b
2 2

,cosβ =

a a ? b2
2

,对任意的角α .

2 2 asinα +bcosα = (a ? b ) sin(α +β ).

定理 12 正弦定理:在任意△ABC 中有

a b c ? ? ? 2 R ,其中 a, b, c 分别是 sin A sin B sin C

角 A,B,C 的对边,R 为△ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理:在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C 的 对边。 定理 14 图象之间的关系:y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象;经左右平移得 y=sin(x+ ? )的图象 (相位变换) ; 纵坐标不变, 横坐标变为原来的

1

?

, 得到 y=sin ?x ( ? ? 0 )

的图象(周期变换) ;横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变 换) ;y=Asin( ? x+ ? )( ? >0)的图象(周期变换) ;横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得 到 y=Asinx 的图象(振幅变换) ;y=Asin( ? x+ ? )( ? , 个单位得到 y=Asin ? x 的图象。 定义 4 函数 y=sinx ? ? x ? ??

? >0)(|A|叫作振幅)的图象向右平移

? ?

? ?

? ? ? ?? , ?? ? 的反函数叫反正弦函数,记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1]),函 ? 2 2 ??

数 y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数 y=tanx ? ? x ? ??

? ?

? ? ? ?? , ?? ? 的反函数叫反正切函数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, ? 2 2 ??

π])的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集, 如果 a∈(-1,1), 方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。 方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx ? arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R,方程 tanx=a 的解集是 {x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式:arcsina+arccosa= 定理 16 若 x ? ? 0,

? ? ;arctana+arccota= . 2 2

? ?? ? ,则 sinx<x<tanx. ? 2?

二、方法与例题 1.结合图象解题。 例 1 求方程 sinx=lg|x|的解的个数。 【解】在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=lg|x|的图象(见图) ,由图象可知两者有 6 个交 点,故方程有 6 个解。 2.三角函数性质的应用。 例 2 设 x∈(0, π), 试比较 cos(sinx)与 sin(cosx)的大小。 【解】 若 x ? ?

?? ? ? ? ? , ? ? ,则 cosx?1 且 cosx>-1,所以 cos x ? ? ? ,0? , ?2 ? ? 2 ?

所以 sin(cosx) ?0,又 0<sinx?1, 所以 cos(sinx)>0, 所以 cos(sinx)>sin(cosx). 若 x ? ? 0,?

? ?

??
2? ?

,则因为

sinx+cosx= 2 ?

? 2 ? ? ? ? 2 ? ? 2 (sinxcos +sin cosx)= 2 sin(x+ )? sin x ? cos x ? 2 ? 4 4 4 2 ? ?

2<

? ? -cosx< , 2 2 ? 所以 cos(sinx)>cos( -cosx)=sin(cosx). 2
所以 0<sinx< 综上,当 x∈(0,π)时,总有 cos(sinx)<sin(cosx).

? , 2

? cos ? ? ? cos ? ? ? 例 3 已知α ,β 为锐角,且 x· (α +β - )>0,求证: ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 2. 2 ? ? ? ?
【证明】 若α +β >

x

x

? ? ? ,则 x>0,由α > -β >0 得 cosα <cos( -β )=sinβ , 2 2 2

所以 0<

cos? ? cos ? <1,又 sinα >sin( -β )=cosβ , 所以 0< <1, 2 sin ? sin ?
x x 0 0

? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? 所以 ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 2. ? ? ? ? ? ? ? ?
若α +β <

? ? ? ? ,则 x<0,由 0<α < -β < 得 cosα >cos( -β )=sinβ >0, 2 2 2 2

所以

cos? ? cos ? >1。又 0<sinα <sin( -β )=cosβ ,所以 >1, 2 sin ? sin ?
x x 0 0

? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? ? cos ? ? 所以 ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? sin ? ? ? 2 ,得证。 ? ? ? ? ? ? ? ?

注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。 3.最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先,T=2π 是函数的周期(事实上,因为 cos(-x)=cosx,所以 co|x|=cosx) ;其次, 当且仅当 x=kπ+

? 时,y=0(因为|2cosx|?2<π), 2

所以若最小正周期为 T0,则 T0=mπ, m∈N+,又 sin(2cos0)=sin2 ? sin(2cosπ),所以 T0=2π。 4.三角最值问题。 例 5 已知函数 y=sinx+ 1 ? cos2 x ,求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令 sinx= 2 cos? , 1 ? cos2 x ? 则有 y= 2 cos ? ? 因为

3 ? ?? 2 sin ? ? ? 0 ? ? ? , 4 ? ?4

2 sin ? ? 2 sin(? ?

?
4

).

?
4

?0?

3 ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? , 4 2 4

所以 0 ? sin(? ? 所以当 ? ?

?

? 3 ? ,即 x=2kπ- (k∈Z)时,ymin=0, 2 4 ? (k∈Z)时,ymax=2. 2
2

4

) ? 1,

当? ?

?
4

,即 x=2kπ+

【解法二】 因为 y=sinx+ 1 ? cos x ? =2(因为(a+b)2?2(a2+b2)) ,

2(sin 2 x ? 1 ? cos2 x) ,

且|sinx|?1? 1 ? cos2 x ,所以 0?sinx+ 1 ? cos2 x ?2, 所以当 1 ? cos x =sinx,即 x=2kπ+
2

当 1 ? cos x =-sinx,即 x=2kπ2

例 6 设 0< ? <π,求 sin

?
2

? (k∈Z)时, ymin=0。 2

? (k∈Z)时, ymax=2, 2

(1 ? cos ? ) 的最大值。

【解】因为 0< ? <π,所以 0 ?

?
2

?

?
2

,所以 sin

? ? >0, cos >0. 2 2

所以 sin

? ? ? ? ? 2 ? ? cos2 ? cos2 (1+cos ? )=2sin ·cos2 = 2 ? 2 sin ? 2 2 2 2 2 2
3

? ?? ? 2 ? ? cos2 ? cos2 ? ? 2 sin 2 2 2 ? = 16 ? 4 3 . 2?? 27 9 3 ? ? ? ? ? ?

当且仅当 2sin2

? ? ? ? 2 4 3 =cos2 , 即 tan = 时,sin (1+cos ? )取得最大值 。 2 2 2 2 2 9
A? B A? B A? B ? 2 sin cos , ① 2 2 2

例 7 若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】 因为 sinA+sinB=2sin

sinC+sin

?
3

? 2 sin

C? 2

?
3 cos C? 2

C? 2

?
3 ? 2 sin

C? 2

?
3,


A? B 又因为 sin ? sin 2

?

4 ? ? 由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin ?4sin , 3 3
所以 sinA+sinB+sinC?3sin

3 ? 2 sin

A? B ?C ?

?
3 cos

A? B ?C ? 4

?

3 ? 2 sin ? ,③ 3

? 3 3 = , 3 2

当 A=B=C=

? 3 3 时, (sinA+sinB+sinC)max= . 3 2

注:三角函数的有界性、|sinx|?1、|cosx|?1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯 西不等式、函数的单调性等是解三角最值的常用手段。 5.换元法的使用。 例8 求y ?

sin x cos x 的值域。 1 ? sin x ? cos x

【解】 设 t=sinx+cosx= 2 ? 因为 ? 1 ? sin( x ? 所以 ? 2 ? t ?

? 2 ? 2 ? ? ? 2 sin(x ? ). sin x ? cos x ? 2 ? 2 4 ? ?

?
4

) ? 1,

2.

又因为 t2=1+2sinxcosx,

x2 ?1 t 2 ?1 2 ? t ?1, 所以 sinxcosx= ,所以 y ? 1? t 2 2
所以

? 2 ?1 ?y? 2

2 ?1 . 2

因为 t ? -1,所以

t ?1 ? ?1 ,所以 y ? -1. 2

所以函数值域为 y ? ??

? ?

2 ?1 ? ? 2 ? 1? ,?1? ?? ? 1, ?. ? ? 2 2 ? ? ?

例 9 已知 a0=1, an=

1 ? a n ?1 2 ? 1 a n ?1

(n∈N+),求证:an>

?
2 n?2

.

【证明】 由题设 an>0,令 an=tanan, an∈ ? 0,

? ?? ? ,则 ? 2?

an=

1 ? tan2 a n ?1 ? 1 tan a n ?1

?

sec a n ?1 ? 1 1 ? cos a n ?1 a ? ? tan n ?1 ? tan a n . 2 tan a n ?1 sin a n ?1
n

因为

a n ?1 1 ? ?? ?1? ,an∈ ? 0, ? ,所以 an= a n ?1 ,所以 an= ? ? a0 . 2 2 ? 2? ?2?
n

? ? ?1? 又因为 a0=tana1=1,所以 a0= ,所以 a n ? ? ? · 。 4 4 ?2?
又因为当 0<x<

? ? ? 时,tanx>x,所以 a n ? tan n ? 2 ? n ? 2 . 2 2 2

注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当 x∈ ? 0,

? ?? ? 时,有 tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,证 ? 2?

明是很容易的。 6.图象变换:y=sinx(x∈R)与 y=Asin( ? x+ ? )(A, ? , ? >0). 由 y=sinx 的图象向左平移 ? 个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,然后 再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的

1

?

,得到 y=Asin( ? x+ ? )的图象;也可以由 y=sinx

的图象先保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来

? 个单位,得到 y=Asin( ? x+ ? )的图象。 ? ? 例 10 例 10 已知 f(x)=sin( ? x+ ? )( ? >0, 0? ? ?π)是 R 上的偶函数,其图象关于点


1

,最后向左平移

? ?? ? 3? ? M ? ,0 ? 对称,且在区间 ?0, ? 上是单调函数,求 ? 和 ? 的值。 ? 2? ? 4 ?
【解】 由 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),所以 sin( ? + ? )=sin(- ? x+ ? ),所以 cos ? sinx=0, 对任意 x∈R 成立。 又 0? ? ?π,解得 ? = 因为 f(x)图象关于 M ?

? , 2

3 3 ? 3? ? ,0 ? 对称,所以 f ( ? ? x) ? f ( ? ? x) =0。 4 4 ? 4 ?

取 x=0,得 f ( ? ) =0,所以 sin ?

3 4

?? ? 3? ? ? ? ? 0. 2? ? 4

3? ? 2 ? ? k? ? (k∈Z),即 ? = (2k+1) (k∈Z). 3 4 2 ? ? 又 ? >0,取 k=0 时,此时 f(x)=sin(2x+ )在[0, ]上是减函数; 2 2 ? ? 取 k=1 时, ? =2,此时 f(x)=sin(2x+ )在[0, ]上是减函数; 2 2 ? ? 10 取 k=2 时, ? ≥ ,此时 f(x)=sin( ? x+ )在[0, ]上不是单调函数, 2 2 3 2 综上, ? = 或 2。 3
所以 7.三角公式的应用。 例 11 已知 sin(α-β)= 的值。 【解】 因为 α-β∈ ?

5 5 ?? ? ? 3? ? , sin(α+β)=, 且 α-β∈ ? , ? ? , α+β∈ ? 求 sin2α,cos2β ,2? ? , 13 13 ?2 ? ? 2 ? 12 ?? ? , ? ? ,所以 cos(α-β)=- 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? ? . 13 ?2 ?

又因为 α+β∈ ?

12 ? 3? ? ,2? ? ,所以 cos(α+β)= 1 ? sin 2 (? ? ? ) ? . 13 ? 2 ? 120 , 169

所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 例 12 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且

1 1 2 ,试求 ? ?? cos A cosC cos B

cos

A?C 的值。 2 A?C =cos(600-C), 2

【解】 因为 A=1200-C,所以 cos

1 1 1 1 cos(1200 ? C ) ? cosC 又由于 ? ? ? ? cos A cosC cos(1200 ? C ) cosC cosC cos(1200 ? C )
=

2 cos600 cos(600 ? C ) 1 [cos1200 ? cos(1200 ? 2C )] 2

?

2 cos(600 ? C ) 1 cos(120 ? 2C ) ? 2
0

? ?2 2 ,

2 所以 4 2 cos

A?C A?C ? 2 cos ? 3 2 =0。 2 2

解得 cos

A?C 2 A?C 3 2 或 cos 。 ? ?? 2 2 2 8

又 cos

A?C A?C 2 >0,所以 cos 。 ? 2 2 2
? ?

例 13 求证:tan20 +4cos70 .

sin 20? ? 【解】 tan20 +4cos70 = +4sin20 ? cos20
? ?

?

sin 20? ? 4 sin 20? cos 20? sin 20? ? 2 sin 40? ? cos 20? cos 20? sin 20? ? sin 40? ? sin 40? 2 sin 30? cos10? ? sin 40? ? cos 20? cos 20?

?

sin 80? ? sin 40? 2 sin 60? cos 20? ? ? ? 3. cos 20? cos 20?
第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各 边长, p ?

a?b?c 为半周长。 2 a b c ? ? 1.正弦定理: =2R(R 为△ABC 外接圆半径) 。 sin A sin B sin C 1 1 1 推论 1:△ABC 的面积为 S△ABC= ab sin C ? bc sin A ? ca sin B. 2 2 2
推论 2:在△ABC 中,有 bcosC+ccosB=a. 推论 3:在△ABC 中,A+B= ? ,解 a 满足

a b ? ,则 a=A. sin a sin(? ? a )
1 ab sin C ; 再证推论 2, 因为 B+C= ? -A, 2

正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论 1,由 正弦函数定义, BC 边上的高为 bsinC, 所以 S△ABC=

所以 sin(B+C)=sinA,即 sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a;再证 推论 3, 由正弦定理 等价于 ?

sin a sin(? ? a) a b ? ? , 所以 , 即 sinasin( ? -A)=sin( ? -a)sinA, sin A sin B sin A sin(? ? A)

cos( ? -A+a)=cos( ? -a+A), 因为 0< ? -A+a,? -a+A< ? . 所以只有 ? -A+a= ? -a+A, 所以 a=A,

1 1 [cos( ? -A+a)-cos( ? -A-a)]= ? [cos( ? -a+A)-cos( ? -a-A)] , 等 价 于 2 2

得证。 2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA ? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 ,下面用余弦定理证明几个常 2bc

用的结论。 ( 1 )斯特瓦特定理:在△ ABC 中, D 是 BC 边上任意一点, BD=p , DC=q ,则

b2 p ? c2q AD = ? pq. p?q
2

(1)

【证明】 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ? ADB , 所以 c2=AD2+p2-2AD·pcos ?ADB . ① 2 2 2 同理 b =AD +q -2AD·qcos ?ADC , ② 因为 ? ADB+ ? ADC= ? , 所以 cos ? ADB+cos ? ADC=0, 所以 q×①+p×②得 qc +pb =(p+q)AD +pq(p+q),即 AD =
2 2 2 2

b2 p ? c2q ? pq. p?q 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . 2

注:在(1)式中,若 p=q,则为中线长公式 AD ? (2) 】 】







2 S? ABC ?

?

1 4

b c sin A=

2 2

2

1 4

bc

2 2

(1-cos A)=

2

1 4

bc

2 2

? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) 2 ? 1 2 2 2 2 ?1 ? ? ? [(b+c) -a ][a -(b-c) ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 2 2 4b c ? ? 16
这里 p ?

a?b?c . 2

所以 S△ABC=

p( p ? a)( p ? b)( p ? c).

二、方法与例题 1.面积法。 例 1 (共线关系的张角公式)如图所示,从 O 点发出的三条射线满足 另外 OP, OQ, OR 的长分别为 u, w, v, 这里 α, β, α+β∈(0, ? ), ?POQ ? ? , ?QOR ? ? , 则 P,Q,R 的共线的充要条件是

sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? ? . u v w
【证明】P,Q,R 共线 ? S ΔPQR ? 0 ? S ?OPR ? S ?OPQ ? S ?ORQ

?

1 1 1 uv sin (α+β)= uwsinα+ vwsinβ 2 2 2 sin(? ? ? ) sin ? sin ? ? ? ? ,得证。 w u v

2.正弦定理的应用。 例 2 如 图 所 示 , △ ABC 内 有 一 点 P , 使 得 ? BPC- ? BAC= ? CPA- ? CBA= ? APB- ? ACB。 求证:AP·BC=BP·CA=CP·AB。 【证明】 过点 P 作 PD ? BC,PE ? AC,PF ? AB,垂足分别为 D,E,F,则 P,D, C , E ; P , E , A , F ; P , D , B , F 三 组 四 点 共 圆 , 所 以 ? EDF= ? PDE+ ? PDF= ? PCA+ ? PBA= ? BPC- ? BAC 。 由 题 设 及 ? BPC+ ? CPA+ ? APB=3600 可得 ? BAC+ ? CBA+ ? ACB=1800。 所以 ? BPC- ? BAC= ? CPA- ? CBA= ? APB- ? ACB=600。 所以 ? EDF=600,同理 ? DEF=600,所以△DEF 是正三角形。 所以 DE=EF=DF,由正弦定理,CDsin ? ACB=APsin ? BAC=BPsin ? ABC,两边同时 乘以△ABC 的外接圆直径 2R,得 CP·BA=AP·BC=BP·AC,得证: 例 3 如图所示,△ABC 的各边分别与两圆⊙O1,⊙O2 相切,直线 GF 与 DE 交于 P,求 证:PA ? BC。 【证明】 延长 PA 交 GD 于 M, 因为 O1G ? BC,O2D ? BC,所以只需证

GM O1 A AF ? ? . MD AO2 AE

由正弦定理

AP AF PA AE ? , ? , sin(? ? ?1) sin ? sin(? ? ?2) sin ?

所以

AE sin ?1 sin ? ? ? . AF sin ?2 sin ?

另一方面,

GM PM MD PM ? , ? , sin ? sin ?1 sin ? sin ?2

所以

GM sin ?2 sin ? ? ? , MD sin ?1 sin ?

GM AF ? ,所以 PA//O1G, MD AE 即 PA ? BC,得证。
所以 3.一个常用的代换:在△ABC 中,记点 A,B,C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z,则 a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例 4 在△ABC 中,求证:a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 【证明】 令 a=y+z, b=z+x, c=x+y,则 abc=(x+y)(y+z)(z+x)

? 8 xy ? yz ? zx =8xyz=(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)

=a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)-2abc. 所以 a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) ≤3abc. 4.三角换元。 例 5 设 a, b, c∈R+,且 abc+a+c=b,试求 P ? 【解】 由题设 b ?

2 2 3 ? 2 ? 2 的最大值。 a ?1 b ?1 c ?1
2

a?c ,令 a=tanα, c=tanγ, b=tanβ, 1 ? ac
2
2

10 1? 10 ? 则 tanβ=tan(α+γ), P=2sinγsin(2α+γ)+3cos γ≤ ? 3? sin ? ? ? ? , 3 3? 3 ?
当且仅当 α+β=

? 1 10 2 2 ,sinγ= ,即 a= 时,Pmax= . , b ? 2, c ? 2 3 3 2 4
1 2

例 6 在△ABC 中,若 a+b+c=1,求证: a2+b2+c2+4abc< . 【证明】 设 a=sin2αcos2β, b=cos2αcos2β, c=sin2β, β ? ? 0,

? ?? ?. ? 2?

因为 a, b, c 为三边长,所以 c< 从而 ? ? ? 0,

1 , c>|a-b|, 2

? ?? 2 2 2 ? ,所以 sin β>|cos α·cos β|. 4 ? ?

因为 1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca), 所以 a2+b2+c2+4abc=1-2(ab+bc+ca-2abc). 又 ab+bc+ca-2abc=c(a+b)+ab(1-2c) =sin2βcos2β+sin2αcos2α·cos4β·cos2β

1 [1-cos22β+(1-cos22α)cos4βcos2β] 4 1 1 = + cos2β(cos4β-cos22αcos4β-cos2β) 4 4 1 1 1 > + cos2β(cos4β-sin4β-cos2β)= . 4 4 4 1 所以 a2+b2+c2+4abc< . 2
= 第八章 平面向量 一、基础知识 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表 示向量的模。向量的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书 中用黑体表示向量,如 a. |a|表示向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是 任意的。零向量和零不同,模为 1 的向量称为单位向量。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量) ,规定零向量与任意一个 非零向量平行和结合律。

定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都 满足交换律和结合律。 定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 ? ? 0,使得 a= ? b. f 定理 3 平面向量的基本定理,若平面内的向量 a, b 不共线,则对同一平面内任意向是 c,存在唯一一对实数 x, y,使得 c=xa+yb,其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底,任取一个向量 c,由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y) 叫做 c 坐标。 定义 4 向量 的数量 积, 若非零 向量 a, b 的夹 角为 ? , 则 a, b 的数量 积记 作 a·b=|a|·|b|cos ? =|a|·|b|cos<a, b>,也称内积,其中|b|cos ? 叫做 b 在 a 上的投影(注:投影 可能为负值) 。 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), 2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c, 3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=

x1 x 2 ? y1 y 2
2 2 x12 ? y12 ? x 2 ? y2

(a, b ? 0),

4. a//b ? x1y2=x2y1, a ? b ? x1x2+y1y2=0. 定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1, p2 的一点, 则存在唯一实数 λ, 使P 1 P ? ? PP2 , λ 叫 P 分P 1 P 2 所成的比,若 O 为平面内任意一点,则 OP ?

OP 1 ? ? OP 2 。由此可得若 1? ?

? x ? ?x 2 x? 1 ? x ? x1 y ? y1 ? 1? ? P1,P,P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则 ? .? ? ? . x2 ? x y 2 ? y ? y ? y1 ? ?y 2 ? 1? ? ?
定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形,将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向,平 移|a|= h 2 ? k 2 个单位得到图形 F ' ,这一过程叫做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点,平移 到 F ' 上对应的点为 p' ( x' , y' ) ,则 ?

? x' ? x ? h 称为平移公式。 ? y' ? y ? k
2 2 2 2

定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2· |b|2-|a· b|2= ( x1 ? y1 )(x2 ? y2 ) -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0, 又|a· b|≥0, |a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn),b=(y1, y2, ?, yn),
2 2 2 2 2 同样有 |a · b|≤|a| · |b| ,化简即为柯西不等式: ( x1 ? x2 ? ? ? xn )( y12 ? y2 ? ? ? yn )?

(x1y1+x2y2+?+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0,

所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,?,xn), b=(y1, y2, ?, yn), 同 样 有 |a · b|≤|a| · |b| , 化 简 即 为 柯 西 不 等 式 :
2 2 2 2 ( x12 ? x2 ? ? ? xn )( y12 ? y2 ? ? ? yn ) ? (x1y1+x2y2+?+xnyn)2。

2)对于任意 n 个向量,a1, a2, ?,an,有| a1, a2, ?,an|≤| a1|+|a2|+?+|an|。 二、方向与例题 1.向量定义和运算法则的运用。 例 1 设 O 是正 n 边形 A1A2?An 的中心,求证: OA1 ? OA2 ? ? ? OAn ? O. 【证明】 记 S ? OA1 ? OA2 ? ? ? OAn , 若S ? O, 则将正 n 边形绕中心 O 旋转 后与原正 n 边形重合,所以 S 不变,这不可能,所以 S ? O. 例 2 给定△ABC,求证:G 是△ABC 重心的充要条件是 GA ? GB ? GC ? O. 【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为 D,E,F,延长 AD 至 P,使 DP=GD, 则 AG ? 2GD ? GP. 又因为 BC 与 GP 互相平分, 所以 BPCG 为平行四边形,所以 BG // PC,所以 GB ? CP. 所以 GA ? GB ? GC ? GC ? CP ? PG ? O. 充分性。 若 GA ? GB ? GC ? O , 延长 AG 交 BC 于 D, 使 GP=AG, 连结 CP, 则 GA ? PG. 因为 GC ? PG ? PC ? O ,则 GB ? PC ,所以 GB // CP,所以 AG 平分 BC。 同理 BG 平分 CA。 所以 G 为重心。 例 3 在凸四边形 ABCD 中, P 和 Q 分别为对角线 BD 和 AC 的中点,求证: 2 AB +BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】 如图所示,结结 BQ,QD。 因为 BP ? PQ ? BQ, DP ? PQ ? DQ , 所以 BQ ? DQ ? ( BP ? PQ) ? ( DP ? PQ)
2
2 2 2

2? n

2

2

2

= BP ? DP ? 2 PQ ? 2 BP · PQ ? 2DP ? PQ = BP ? DP ? 2 PQ ? 2( BP ? DP ) ? PQ ? BP ? DP ? 2 PQ . 又因为 BQ ? QC ? BC, BQ ? QA ? BA, QA ? QC ? O,
2 2 2 2 2 2



同理

BA ? BC ? QA ? QC ? 2 BQ , CD ? DA ? QA ? QC ? 2QD ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

② ③
2 2

由①,②,③可得 BA ? BC ? CD ? 4QA ? 2( BQ ? QD )

? AC ? 2(2 BP ? 2 PQ ) ? AC ? BD ? 4 PQ 。得证。
2.证利用定理 2 证明共线。 例 4 △ABC 外心为 O, 垂心为 H,重心为 G。 求证:O, G, H 为共线, 且 OG:GH=1: 2。 【证明】 首先 OG ? OA ? AG ? OA ? = OA ?

2

2

2

2

2

2

2 AM 3

1 1 ( AB ? AC ) ? OA ? (2 AO ? OB ? OC ) 3 3

?

1 (OA ? OB ? OC ). 3

其次设 BO 交外接圆于另一点 E,则连结 CE 后得 CE ? BC . 又 AH ? BC,所以 AH//CE。 又 EA ? AB,CH ? AB,所以 AHCE 为平行四边形。 所以 AH ? EC, 所以 OH ? OA ? AH ? OA ? EC ? OA ? EO ? OC ? OA ? OB ? OC , 所以 OH ? 3OG , 所以 OG 与 OH 共线,所以 O,G,H 共线。 所以 OG:GH=1:2。 3.利用数量积证明垂直。 例 5 给定非零向量 a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a ? b. 【证明】|a+b|=|a-b| ? (a+b)2=(a-b)2 ? a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2 ? a·b=0 ? a ? b. 例 6 已知△ABC 内接于⊙O, AB=AC, D 为 AB 中点, E 为△ACD 重心。 求证: OE ? CD。 【证明】 设 OA ? a, OB ? b, OC ? c , 则 OD ?

1 ( a ? b) , 2

1? 1 1 1 ? 1 OE ? ?a ? c ? (a ? b)? ? c ? a ? b. 3? 2 2 6 ? 3
又 CD ?

1 ( a ? b) ? c , 2

所以 OE ? CD ? ?

1 1 ? ?1 1 ?1 ? a ? c ? b? ? ? a ? b ? c? 3 6 ? ?2 2 ?2 ?

?

1 2 1 2 1 2 1 1 a ? b ? c ? a ?b ? a ?c 4 12 3 3 3 1 ? a·(b-c). (因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2) 3

又因为 AB=AC,OB=OC,所以 OA 为 BC 的中垂线。 所以 a·(b-c)=0. 所以 OE ? CD。 4.向量的坐标运算。 例 7 已知四边形 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于 点 F,求证:AF=AE。 【证明】 如图所示,以 CD 所在的直线为 x 轴,以 C 为原点建立直角坐标系,设正方 形边长为 1,则 A,B 坐标分别为(-1,1)和(0,1) ,设 E 点的坐标为(x, y) ,则 BE =(x, y-1), AC ? (1,?1) ,因为 BE // AC ,所以-x-(y-1)=0. 又因为 | CE |?| AC | ,所以 x2+y2=2. 由①,②解得 x ?

1? 3 1? 3 ,y ? . 2 2

所以 AE ? ?

? 3 ? 3 ?1? 3 ? ?, | AE | 2 ? 4 ? 2 3. ? 2 , ? 2 ? ?

设 F ( x' ,1) ,则 CF ? ( x' ,1) 。由 CF 和 CE 共线得 所以 x' ? ?(2 ? 3) ,即 F (?2 ? 3,1) , 所以 | AF | 2 =4+ 2 3 ?| AE |2 ,所以 AF=AE。

1? 3 1? 3 x'? ? 0. 2 2

第九章 不等式 一、基础知识 不等式的基本性质: (1)a>b ? a-b>0; (2)a>b, b>c ? a>c; (3)a>b ? a+c>b+c; (4)a>b, c>0 ? ac>bc; (5)a>b, c<0 ? ac<bc; (6)a>b>0, c>d>0 ? ac>bd; (7)a>b>0, n∈N+ ? an>bn; (8)a>b>0, n∈N+ ? n a ? n b ;

(9)a>0, |x|<a ? -a<x<a, |x|>a ? x>a 或 x<-a; (10)a, b∈R,则|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|; (11)a, b∈R,则(a-b)2≥0 ? a2+b2≥2ab; (12)x, y, z∈R+,则 x+y≥2 xy , x+y+z ? 33 xyz. 前五条是显然的,以下从第六条开始给出证明。

(6)因为 a>b>0, c>d>0,所以 ac>bc, bc>bd,所以 ac>bd;重复利用性质(6) ,可得性 质(7) ;再证性质(8) ,用反证法,若 n a ? n b ,由性质(7)得 (n a ) n ? (n b ) n ,即 a≤b, 与 a>b 矛盾,所以假设不成立,所以 n a ? n b ;由绝对值的意义知(9)成立;-|a|≤a≤|a|, -|b|≤b≤|b| , 所 以 -(|a|+|b|)≤a+b≤|a|+|b| , 所 以 |a+b|≤|a|+|b| ; 下 面 再 证 ( 10 ) 的 左 边 , 因 为 |a|=|a+b-b|≤|a+b|+|b|,所以|a|-|b|≤|a+b|,所以(10)成立; (11)显然成立;下证(12) ,因为 x+y-2

xy ? ( x ? y ) 2 ≥0,所以 x+y≥ 2 xy ,当且仅当 x=y 时,等号成立,再证另一不
3

等 式 , 令

x ? a, 3 y ? b, 3 z ? c , 因 为 x3+b3+c3-3abc =(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc

=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=

1 (a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2] ≥0,所以 a3+b3+c3≥3abc,即 x+y+z≥ 33 xyz ,等号当且仅当 2
x=y=z 时成立。 二、方法与例题 1.不等式证明的基本方法。 (1)比较法,在证明 A>B 或 A<B 时利用 A-B 与 0 比较大小,或把 1 比较大小,最后得出结论。 例 1 设 a, b, c ∈ R+ , 试 证 : 对 任 意 实 数 x2+y2+z2 ? 2

A (A,B>0)与 B
x, y, z, 有

? a?b abc b?c c?a ? ? xy ? yz ? xz ? ? ?. (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? c a b ?

【证明】 左边-右边= x2+y2+z2 ? 2

ab bc xy ? 2 yz (b ? c)(c ? a) (a ? b)(c ? a)

?2

ca b 2 ab a c xz ? x ?2 xy ? y2 ? y2 ? (a ? b)(b ? c) b?c (b ? c)(c ? a) c?a c?a

2

bc b 2 a 2 ca c yz ? z ? z ?2 xz ? x2 ? (a ? b)(c ? a) a?b a?b (a ? b)(b ? c) b?c
2 2 2

? b a ? ? c b ? ? a c ? ? ? ? ? ? ? ? b ? c x ? c ? a y ? ? ? c ? a y ? a ? b z ? ? ? a ? b z ? b ? c x ? ? 0. ? ? ? ? ? ?
所以左边≥右边,不等式成立。 例 2 若 a<x<1,比较大小:|loga(1-x)|与|loga(1+x)|. 【 解 】 因 为 1-x ? 1 ,





loga(1-x)

?

0,

| loga (1 ? x) | 1 =|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) >log(1-x)(1-x)=1(因为 0<1-x2<1,所以 1 ? x | loga (1 ? x) |
1 >1-x>0, 0<1-x<1). 1? x

所以|loga(1+x)|>|loga(1-x)|. (2)分析法,即从欲证不等式出发,层层推出使之成立的充分条件,直到已知为止, 叙述方式为:要证??,只需证??。 例 3 已知 a, b, c∈R+,求证:a+b+c-3 3 abc ≥a+b ? 2 ab. 【证明】 要证 a+b+c ? 33 c ? a ? b ≥a+b ? 2 ab. 只需证 c ? 2 ab ? 33 abc , 因为 c ? 2 ab ? c ? ab ? ab ? 33 c ? a ? b ? 33 abc ,所以原不等式成立。 例 4 已知实数 a, b, c 满足 0<a≤b≤c≤

2 1 1 1 ,求证: ? ? . 2 c(1 ? c) a(1 ? b) b(1 ? a)

【证明】 因为 0<a≤b≤c≤

1 ,由二次函数性质可证 a(1-a) ≤b(1-b) ≤c(1-c), 2

所以

1 1 1 ? ? , a(1 ? a) b(1 ? b) c(1 ? c) 1 1 2 2 ? ? ? , a(1 ? a) b(1 ? b) b(1 ? b) c(1 ? c) 1 1 1 1 ? ? ? , a(1 ? a) b(1 ? b) a(1 ? b) b(1 ? a)

所以

所以只需证明

也就是证

a ?b a ?b ? , a(1 ? a)(1 ? b) b(1 ? a)(1 ? b)

只需证 b(a-b) ≤a(a-b),即(a-b)2≥0,显然成立。所以命题成立。 (3)数学归纳法。 例 5 对任意正整数 n(≥3),求证:nn+1>(n+1)n. 【证明】 1)当 n=3 时,因为 34=81>64=43,所以命题成立。 2) 设 n=k 时有 kk+1>(k+1)k, 当 n=k+1 时, 只需证(k+1)k+2>(k+2)k+1, 即

(k ? 1) k ? 2 >1. 因 (k ? 2) k ?1



k k ?1 (k ? 1) k ? 2 k k ?1 , 所以 只需证 , 即证 (k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1 , 只需证 ? 1 ? (k ? 1) k (k ? 2) k ?1 (k ? 1) k

(k+1)2>k(k+2),即证 k2+2k+1>k2+2k. 显然成立。 所以由数学归纳法,命题成立。 (4)反证法。 例 6 设实数 a0, a1,?,an 满足 a0=an=0,且 a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,?, an-2-2an-1+an≥0,求 证 ak≤0(k=1, 2,?, n-1). 【证明】 假设 ak(k=1, 2,?,n-1) 中至少有一个正数,不妨设 ar 是 a1, a2,?, an-1 中第一 个出现的正数,则 a1≤0, a2≤0,?, ar-1≤0, ar>0. 于是 ar-ar-1>0,依题设 ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, ?, n-1)。

所以从 k=r 起有 an-ak-1≥an-1-an-2 ≥?≥ar-ar-1>0. 因为 an≥ak-1≥?≥ar+1≥ar >0 与 an=0 矛盾。故命题获证。 (5)分类讨论法。 例 7 已知 x, y, z∈R+,求证: 【证明】 不妨设 x≥y, x≥z. ⅰ)x≥y≥z,则

x2 ? y2 y2 ? z 2 z 2 ? x2 ? ? ? 0. y?z z?x x? y

1 1 1 ,x2≥y2≥z2,由排序原理可得 ? ? x? y x?z y?z

x2 y2 z2 y2 z2 x2 ,原不等式成立。 ? ? ? ? ? y?z z?x x? y y?z z?x x? y
ⅱ)x≥z≥y,则

1 1 1 ? ? ,x2≥z2≥y2,由排序原理可得 x?z x? y y?z

x2 y2 z2 y2 z2 x2 ,原不等式成立。 ? ? ? ? ? y?z z?x x? y y?z z?x x? y
(6)放缩法,即要证 A>B,可证 A>C1, C1≥C2,?,Cn-1≥Cn, Cn>B(n∈N+). 例 8 求证: 1 ?

1 1 1 ? ??? n ? n(n ? 2). 2 3 2 ?1

【证明】

1?

1 1 1 1 ?1 1? 1 1 ? ? 1 ? ??? n ? 1? ? ? ? ? ??? ? n ? n ??? n ? 2 3 2 ?4 4? 2 ?1 2?? 2 2? ? ? ? ? ????
2 n ?1

?

1 n ?1 1 n ? 1? ? n ? ,得证。 n 2 2 2 2
例 9 已知 a, b, c 是△ABC 的三条边长,m>0,求证:

a b c ? ? . a?m b?m c?m a b a b a?b m ? ? ? ? ? 1? 【证明】 a?m b?m a?b?m a?b?m a?b?m a?b?m m c ? 1? ? (因为 a+b>c) ,得证。 c?m c?m
(7)引入参变量法。 例 10 已知 x, y∈R , l, a, b 为待定正数,求 f(x, y)=
+

a3 x2

?

b3 的最小值。 y2 ? 3 b3 ? ? ?a ? k 2 ? ?? ? ?

【解】 设

l kl y (1 ? k ) 2 ,y ? ? k ,则 x ? ,f(x,y)= 1? k 1? k x l2

? ? ? 1 1? 3 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 2 ? ? ? 2 (a3+b3+3a2b+3ab2)= a ? b ? a k ? a k ? b ? ? b ? ? b ? ? a k 2 k k l2 ? k l ???? ?? ??? ? ???? ? ???? ? ? ? ?

( a ? b) 3 l2

,等号当且仅当

( a ? b) 3 a b . ? 时成立。所以 f(x, y)min= x y l2
1 ≤k≤1, x3x4≥4 , 原 不 等 式 等 价 于 3

例 11 设 x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1,求证:(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4. 【证明】 设 x1=k(x2+x3+x4) , 依 题 设 有

(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4),即

(1 ? k ) 2 1 ?1 ? (x2+x3+x4) ≤x2x3x4,因为 f(k)=k+ 在 ? ,1? 上递减, k ?3 ? 4k
所以

(1 ? k ) 2 1 1 (x2+x3+x4)= (k ? ? 2) (x2+x3+x4) 4 k 4k

1 3? ? 2 3 ≤ ·3x2=4x2≤x2x3x4. 4
所以原不等式成立。 (8)局部不等式。 例 12 已知 x, y, z∈R+,且 x2+y2+z2=1,求证:

3 3 x y z ? . ? ? 2 2 2 2 1? x 1? y 1? z

【证明】 先证

x 3 3 2 ? x . 2 2 1? x
1 ?2? 2 ?? ? ? , 2 ?3? 3 3
3

1 ? 2 x 2 (1 ? x 2 ) 2 ? 因为 x(1-x )= 2
2

所以

x x2 x2 3 3 2 ? ? ? x . 2 2 2 2 1? x x(1 ? x ) 3 3

同理

y 3 3 2 ? y , 2 2 1? y

z 3 3 2 ? z , 2 2 1? z
所以

x y z 3 3 2 3 3 ? ? ? (x ? y 2 ? z 2 ) ? . 2 2 2 2 2 1? x 1? y 1? z

例 13 已知 0≤a, b, c≤1,求证: 【证明】 先证

a b c ? ? ≤2。 bc ? 1 ca ? 1 ab ? 1


a 2a ? . bc ? 1 a ? b ? c

即 a+b+c≤2bc+2. 即证(b-1)(c-1)+1+bc≥a. 因为 0≤a, b, c≤1,所以①式成立。 同理

b 2b c 2c ? , ? . ca ? 1 a ? b ? c ab ? 1 a ? b ? c

三个不等式相加即得原不等式成立。 (9)利用函数的思想。 例 14 已知非负实数 a, b, c 满足 ab+bc+ca=1,求 f(a, b, c)= 小值。 【解】 当 a, b, c 中有一个为 0,另两个为 1 时,f(a, b, c)=

1 1 1 ? ? 的最 a?b b?c c?a 5 5 ,以下证明 f(a, b, c) ≥ . 2 2

不妨设 a≥b≥c,则 0≤c≤

2c a?b 1 3 ? 2 ? . , f(a, b, c)= 2 c ?1 c ?1 a ? b 3

( a ? b) 2 因为 1=(a+b)c+ab≤ +(a+b)c, 4
解关于 a+b 的不等式得 a+b≥2( c 2 ? 1 -c). 考虑函数 g(t)=

t 1 ? , g(t)在[ c 2 ? 1,?? )上单调递增。 c ?1 t
2

又因为 0≤c≤

3 2 ,所以 3c2≤1. 所以 c2+a≥4c2. 所以 2 ( c 2 ? 1 ? c) ≥ c ? 1. 3
2c a?b 1 ? 2 ? c ?1 c ?1 a ? b
2

所以 f(a, b, c)=



2c 2( c 2 ? 1 ? c) 1 ? ? 2 2 c ?1 c ?1 2( c 2 ? 1 ? c)

=

2c c2 ?1 ? c ? c2 ?1 c2 ?1
? 1 ? c 3 c2 ?1 2 ?? ? ? c ? 1 ? 2 ? 2 2 c ? 1 ? ?

= 2?

≥4?

c 3 c 2 ? 1 5 3(1 ? c 2 ? 1) c ? ? ? ? . 2 2 2 2 2

下证 3(1 ? c 2 ? 1) ? c ? 0 ① ? 3 ? c ? 3 c 2 ? 1 ? c2+6c+9≥9c2+9 ? c?

?3 ? ? c ? ≥0 ?4 ?

3 3 3 ? c ? . 因为 c ? ? ,所以①式成立。 4 3 4
所以 f(a, b, c) ≥

5 5 ,所以 f(a, b, c)min= . 2 2

2.几个常用的不等式。 (1)柯西不等式:若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n,则 (

? ai2 )(? bi2 ) ? (? ai bi ) 2 .
i ?1 i ?1 i ?1

n

n

n

等号当且仅当存在 λ∈R,使得对任意 i=1, 2, , n, ai=λbi,
n

变式 1:若 ai∈R, bi∈R, i=1, 2, ?, n,则 (

?b
i ?1

a

2 i

)?

(? a i ) 2 (? bi )
i ?1 i ?1 n 2

n

.

i

等号成立条件为 ai=λbi,(i=1, 2, ?, n)。
n

变式 2:设 ai, bi 同号且不为 0(i=1, 2, ?, n),则

?b
i ?1

ai
i

?

(? a i ) 2

n

?a b
i ?1 i

i ?1 n

.

i

等号成立当且仅当 b1=b2=?=bn. (2)平均值不等式:设 a1, a2,?,an∈R+,记 Hn=

n 1 1 1 ? ??? a1 a 2 an

, Gn= n a1 a 2 ? a n ,

An=

2 2 a1 ? a2 ? ? ? an a 2 ? a2 ? ? ? an ,则 Hn≤Gn≤An≤Qn. 即调和平均≤几何平 , Qn ? 1 n n

均≤算术平均≤平方平均。 其中等号成立的条件均为 a1=a2=?=an. 【证明】 由柯西不等式得 An≤Qn,再由 Gn≤An 可得 Hn≤Gn,以下仅证 Gn≤An. 1)当 n=2 时,显然成立; 2)设 n=k 时有 Gk≤Ak,当 n=k+1 时,记 1? k a1 a 2 ? a k a k ?1 =Gk+1. 因为 a1+a2+?+ak+ak+1+(k-1)Gk+1≥ k k a1 a 2 ? a k ? k k a k ?1 ? Gk ?1 ≥ 2k 2 k a1 a 2 ? a k ?1Gk ?1 ? 2k 2 k Gk ?1 ? 2kGk+1,
2k k ?1 k ?1

所以 a1+a2+?+ak+1≥(k+1)Gk+1,即 Ak+1≥Gk+1. 所以由数学归纳法,结论成立。

(3)排序不等式:若两组实数 a1≤a2≤?≤an 且 b1≤b2≤?≤bn,则对于 b1, b2, ?, bn 的任意 排列 bi , bi , ? , bi ,有 a1bn+a2bn-1+?+anb1≤ a1 bi ? a 2 bi ? ? ? a n bi ≤a1b1+a2b2+?+anbn.
1 2 n 1 2 n

【 证 明 】

引 理 : 记

A0=0 , Ak=

?a
i ?1

k

i

(1 ? k ? n) , 则

?a b
i ?1 i

n

i

?

?
i ?1

n

( si ? si ?1 )bi =

?s
i ?1

n ?1

i

。 (bi ? bi ?1 ) ? s n bn (阿贝尔求和法)

证法一:因为 b1≤b2≤?≤bn,所以 bi ? bi ? ? ? bi ≥b1+b2+?+bk.
1 2 k

记 sk= bi ? bi ? ? ? bi -( b1+b2+?+bk),则 sk≥0(k=1, 2, ?, n)。
1 2 k





a1 bi ? a 2 bi ? ? ? a n bi
1 2

k

-(a1b1+a2b2+

?

+anbn)=

?a
j ?1

n

j

(bi ? b j ) ?
j

?s
j ?1

n

j

(a j ? a j ?1 ) +snan≤0.

最后一个不等式的理由是 aj-aj+1≤0(j=1, 2, ?, n-1, sn=0), 所以右侧不等式成立,同理可证左侧不等式。 证法二: (调整法)考察 a1 bi ? a 2 bi ? ? ? a n bi ,若 bi ? bn ,则存在。
1 2 k j

若 bi ? \bn (j≤n-1),则将 bi 与 bi 互换。
j
n

j

因为
b a n bn ? a j bi ? (a n bi ? a j bn ) ? (a n ? a j )bn ? (a j ? a n )bi ? (a n ? a j )( bn ? bi ) ≥0,
n n n n

所 调整后,和是不减的,接下来若 bi

n ?1

? bn ?1 ,则继续同样的调整。至多经 n-1 次调

整就可将乱序和调整为顺序和,而且每次调整后和是不减的,这说明右边不等式成立,同理 可得左边不等式。 例 15 已知 a1, a2,?,an∈R+,求证;
2 a2 a2 a12 a2 ? ? ? ? n?1 ? n ? a1+a2+?+an. a 2 a3 an a1

2 2 2 an an a12 a2 ?1 【证明】 证法一: 因为 ?, ? a1 ? 2a1 , ? a3 ? 2a2 , ? an ? 2an?1 , ? a1 a2 a3 an a1

≥2an. 上述不等式相加即得
2 a2 a2 a12 a2 ? ? ? ? n?1 ? n ≥a1+a2+?+an. a 2 a3 an a1

证法二:由柯西不等式 ?

2 2 2 ? a12 a2 ? an an ?1 ? (a1+a2+?+an)≥(a1+a2+?+an)2, ? ? ? ? ? ?a ? a a a 3 n 1 ? ? 2

因为 a1+a2+?+an >0,所以

2 a2 a2 a12 a2 ? ? ? ? n?1 ? n ≥a1+a2+?+an. a 2 a3 an a1

证法三: 设 a1, a2,?,an 从小到大排列为 ai ? ai ? ? ? ai ,则 ai2 ? ai2 ? ? ? ai2 ,
1 2 n 1 2 n

1 1 1 ,由排序原理可得 ? ??? ai ai ai
n n ?1 1

a i ? a i ? ? ? a i =a1+a2+?+an≥
1 2 n

2 a2 a2 a12 a2 ? ? ? ? n?1 ? n ,得证。 a 2 a3 an a1

注:本讲的每种方法、定理都有极广泛的应用,希望读者在解题中再加以总结。 第十章 直线与圆的方程 一、基础知识 1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过 映射建立曲线与方程的关系, 即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在 一一映射,则方程叫做这条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。如 x2+y2=1 是以原点为 圆心的单位圆的方程。 2.求曲线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条件的点的集合;(3) 用坐标表示条件,列出方程;(4)化简方程并确定未知数的取值范围; (5)证明适合方程的 解的对应点都在曲线上,且曲线上对应点都满足方程(实际应用常省略这一步) 。 0 3.直线的倾斜角和斜率:直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 180 的正角,叫做它的 倾斜角。规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00,倾斜角的正切值(如果存在的话)叫做该 直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4.直线方程的几种形式: (1)一般式:Ax+By+C=0; (2)点斜式:y-y0=k(x-x0); (3)斜截 式:y=kx+b; (4)截距式:

x ? x1 y ? y1 x y ? ? 1; (5)两点式: ; (6)法线式方 ? a b x2 ? x1 y 2 ? y1

程: xcos θ +ysinθ =p (其中 θ 为法线倾斜角, |p|为原点到直线的距离) ; ( 7 )参数式:

? ? x ? x0 ? t cos? (其中θ 为该直线倾斜角) ,t 的几何意义是定点 P0(x0, y0)到动点 P(x, ? ? ? y ? y 0 ? t sin ?
y)的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号,若 P0P 方向向上则取正,否则取负) 。 5.到角与夹角:若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,将 l1 绕它们的交点逆时针旋转到与 l2 重 合所转过的最小正角叫 l1 到 l2 的角;l1 与 l2 所成的角中不超过 900 的正角叫两者的夹角。若 记到角为θ ,夹角为α ,则 tanθ =

k 2 ? k1 k ? k1 ,tanα = 2 . 1 ? k1 k 2 1 ? k1 k 2

6.平行与垂直:若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合,则 l1//l2 的充要条件是 k1=k2;l1 ? l2 的充要条件是 k1k2=-1。
2 2 7.两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式:|P1P2|= ( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 ) 。

8.点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式: d ?

| Ax 0 ? By 0 ? C | A2 ? B 2



9.直线系的方程:若已知两直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0,则过 l1, l2 交点的直线方程为 A1x+B1y+C1+λ (A2x+B2y+C2=0 ;由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为 (A1x+B1y+C1) (A2x+B2y+C2)=0;与 l2 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( C ? C1 ). 10. 二元一次不等式表示的平面区域, 若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B>0, 则 Ax+By+C>0 表示的区域为 l 上方的部分,Ax+By+C<0 表示的区域为 l 下方的部分。 11.解决简单的线性规划问题的一般步骤: (1)确定各变量,并以 x 和 y 表示; (2)写出线 性约束条件和线性目标函数; (3)画出满足约束条件的可行域; (4)求出最优解。 12.圆的标准方程:圆心是点(a, b),半径为 r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,其参数方 程为 ?

? x ? a ? r cos? (θ 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?
? D E? ,? ? , 半 径 为 ? 2 2?

13 . 圆 的 一 般 方 程 : x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 。 其 圆 心 为 ? ?

1 D 2 ? E 2 ? 4 F 。若点 P(x0, y0)为圆上一点,则过点 P 的切线方程为 2

? x0 ? x ? ? y0 ? y ? x0 x ? y 0 y ? D? ? 2 ? ? ? E? ? 2 ? ? ? F ? 0. ? ? ? ?



14.根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部分) ,这条直线叫两圆 的根轴。 给定如下三个不同的圆: x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则它们两两的根轴方程分别 为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0; (D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。 不 难证明这三条直线交于一点或者互相平行,这就是著名的蒙日定理。 二、方法与例题 1.坐标系的选取:建立坐标系应讲究简单、对称,以便使方程容易化简。 例 1 在Δ ABC 中,AB=AC,∠A=900,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E,求证:∠ ADB=∠CDE。 [证明] 见图 10-1,以 A 为原点,AC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标系。设点 B,C 坐标分 别为(0,2a),(2a,0),则点 D 坐标为(a, 0) 。直线 BD 方程为 方程为 x+y=2a, k1k2=-1. 所以 k 2 ?

x y ? ? 1 , ①直线 BC a 2a ②设直线 BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2,则 k1=-2。因为 BD ? AE,所以

1 ? 1 1 ? y ? x, ,所以直线 AE 方程为 y ? x ,由 ? 解得点 E 坐标为 2 2 2 ? ? x ? y ? 2a

?4 2 ? ? a, a ? 。 ?3 3 ?

所以直线 DE 斜率为 k 3 ?
0

2 a 3 4 a?a 3

? 2. 因为 k1+k3=0.

所以∠BDC+∠EDC=180 ,即∠BDA=∠EDC。 例 2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。证明:三角形另两条边 0 截圆所得的弧所对的圆心角为 60 。 [证明] 以 A 为原点, 平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴, 建立直角坐标系见图 10-2, 设⊙D 的半径等于 BC 边上的高,并且在 B 能上能下滚动到某位置时与 AB,AC 的交点分别为 E,F,设半径为 r,则直线 AB,AC 的方程分别为 y ? 3x , y ? ? 3x .设⊙D 的方程为 (x-m) +y =r .①设点 E,F 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1 ? 3x1 , y2 ? ? 3x2 ,分别
2 2 2

代入①并消去 y 得
2 ( x1 ? m) 2 ? 3x12 ? r 2 ? 0.(x2 ? m) 2 ? 3x2 ? r 2 ? 0.

所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。

m ? x1 ? x 2 ? , ? 2 ? 由韦达定理 ? ? ,所以 2 2 m ? r ?x x ? 1 2 ? 4 ?
|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2 =4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2. 所以|EF|=r。所以∠EDF=600。 2.到角公式的使用。 例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1,C2,正Δ PQR 三顶点在此双曲线上,求证:P,Q,R 不 可能在双曲线的同一支上。 [证明] 假设 P,Q,R 在同一支上,不妨设在右侧一支 C1 上,并设 P,Q,R 三点的坐标分 别为 ? x1 ,

? ? ?

1 x1

?? 1 ? ? , x , 2 ?? x2 ??

?? 1 ? ? , x , 3 ?? x3 ??

? ?, 且 0<x1<x2<x3. 记∠RQP=θ ,它是直线 QR 到 PQ 的角,由 ? ?

1 1 1 1 ? ? x x2 x x2 1 1 假设知直线 QR,PQ 的斜率分别为 k1 ? 3 , k2 ? 1 ?? ?? . x3 ? x 2 x 2 x3 x1 ? x2 x1 x 2

由到角公式 tan? ?

k 2 ? k1 ? 1 ? k1 k 2

?

1 1 ? x1 x 2 x 2 x3 x ( x1 ? x3 ) ? 2 2 ? 0. 1 x1 x 2 x3 ? 1 1? 2 x1 x 2 x3

所以θ 为钝角,与Δ PQR 为等边三角形矛盾。所以命题成立。 3.代数形式的几何意义。 例 4 求函数 f ( x) ?

x 4 ? 3x 2 ? 6x ? 13 ? x 4 ? x 2 ? 1 的最大值。

[解 ]

因为 f ( x) ?

( x 2 ? 2) 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? ( x ? 0) 2 表示动点 P(x, x2)到两定

点 A(3, 2), B(0, 1)的距离之差, 见图 10-3, 当 AB 延长线与抛物线 y=x2 的交点 C 与点 P 重合 时,f(x)取最大值|AB|= 10. 4.最值问题。 例 5 已知三条直线 l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3: (m+1)x-y+m+1=0 围成Δ ABC,求 m 为何值时,Δ ABC 的面积有最大值、最小值。 [解]记 l1, l2, l3 的方程分别为①,②,③。在①,③中取 x=-1, y=0,知等式成立,所以 A(-1, 0) 为 l1 与 l3 的交点;在②,③中取 x=0, y=m+1,等式也成立,所以 B(0, m+1)为 l2 与 l3 的交点。 设 l1, l2 斜率分别为 k1, k2, 若 m ? 0, 则 k1?k2= m? ?

1 ? 1? 由点 ? ? ?1 , SΔ ABC= | AC | ? | BC | , 2 ? m?
,|BC|=

到直线距离公式|AC|=

| ?1 ? m 2 ? m | 1? m
2

?

| m2 ? m ? 1 | m ?1
2

| ?m ? 1 ? m | 1? m
2

?

1 1 ? m2



3 1 m2 ? m ? 1 1 ? m ? 2 所以 SΔ ABC= ? 因为 2m?m2+1, 所以 SΔ ABC? 。 又因为-m -1 ? ?1 ? 2 ?。 2 4 2 2 ? m ? 1? m ?1
1 m 1 ? 2 ,所以 SΔ ABC? . 4 2 m ?1 3 1 当 m=1 时, (SΔ ABC)max= ;当 m=-1 时, (SΔ ABC)min= . 4 4
?2m,所以 ? 5.线性规划。 例 6 设 x, y 满足不等式组 ?

?1 ? x ? y ? 4, ? y ? 2 ?| 2 x ? 3 | .

(1)求点(x, y)所在的平面区域; (2)设 a>-1,在(1)区域里,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。

?1 ? x ? y ? 4, ?1 ? x ? y ? 4, ? ? [解] (1)由已知得 ? y ? 2 ? 2 x ? 3, 或 ? y ? 2 ? 3 ? 2 x, ?2 x ? 3 ? 0, ? 2 x ? 3 ? 0. ? ?
解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示,其中各直线方程如图所示。AB:y=2x-5;CD: y=-2x+1;AD:x+y=1;BC:x+y=4. (2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距,直线 l 与阴影相交,因为 a>-1,所以它过顶点 C 时,f(x, y)最大,C 点坐标为(-3,7) ,于是 f(x, y)的最大值为 3a+7. 如果-1<a?2,则 l 通 过点 A(2,-1)时,f(x, y)最小,此时值为-2a-1;如果 a>2,则 l 通过 B(3,1)时,f(x, y) 取最小值为-3a+1. 6.参数方程的应用。 例 7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点,在该直线上取 P 点,使 P 到 直线 y=2 的距离等于|PQ|,求 P 点的轨迹方程。 [解] 设直线 OP 的参数方程为 ?

? x ? t cos? (t 参数) 。 ? y ? t sin ?

代入已知圆的方程得 t2-t?2sinα =0. 所以 t=0 或 t=2sinα 。所以|OQ|=2|sinα |,而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sinα |,而|PM|=|2-tsinα |. 所以|t-2sinα |=|2-tsinα |. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sinα =-1. 2 2 当 t=±2 时,轨迹方程为 x +y =4;当 sinα =1 时,轨迹方程为 x=0. 7.与圆有关的问题。 例 8 点 A,B,C 依次在直线 l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M 是这条垂线上的动点, 以 A 为圆心,AB 为半径作圆,MT1 与 MT2 是这个圆的切线,确定Δ AT1T2 垂心 的轨迹。 [解] 见图 10-6,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴建立坐标系,H 为 OM 与圆的交点,N 为 T1T2 与 OM 的交点,记 BC=1。 2 2 以 A 为圆心的圆方程为 x +y =16,连结 OT1,OT2。因为 OT2 ? MT2,T1H ? MT2,所以 OT2//HT1, 同理 OT1//HT2,又 OT1=OT2,所以 OT1HT2 是菱形。所以 2ON=OH。 又因为 OM ? T1T2,OT1 ? MT1,所以 OT1 ? ON?OM。设点 H 坐标为(x,y) 。
2

点 M 坐标为(5, b),则点 N 坐标为 ?

b y ?x y? , ? ,将坐标代入 OT12 =ON?OM,再由 ? 得 5 x ?2 2?

16 ? ? ? 16 ? 2 ?x ? ? ? y ? ? ? . 5? ? ?5?
在 AB 上取点 K,使 AK=

2

2

4 AB,所求轨迹是以 K 为圆心,AK 为半径的圆。 5

例 9 已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA,OB 与 x 轴正方向所成的角是 α 和β ,见图 10-7,求证:sin(α +β )是定值。 [ 证明 ] 2? tan 过 D 作 OD ? AB 于 D 。则直线 OD 的倾斜角为

? ??
2

,因为 OD ? AB ,所以

? ??
2

? ?1 ,

所以 tan

? ??
2

??

1 。所以 sin(? ? ? ) ? 2

4 2 ?? . 5 ?? ? ? ? 1 ? t an2 ? ? ? 2 ?

2 t an

? ??

例 10 已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定|OD|的最大值、最小 值。 [解] 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系,设点 A,B 的坐标分别 为 A(cosα ,sinα ),B(cosα ,-sinα ),由题设|AD|=|AB|=2sinα ,这里不妨设 A 在 x 轴上 方, 则α ∈(0,π ).由对称性可设点 D 在点 A 的右侧 (否则将整个图形关于 y 轴作对称即可) , 从而点 D 坐标为(cosα +2sinα ,sinα ),
2 2 所以|OD|= (cos ? ? 2 sin ? ) ? sin ? ?

4 sin 2 ? ? 4 sin ? cos ? ? 1

= 2(sin 2? ? cos 2? ) ? 3 ?

?? ? 3 ? 2 2 sin ? 2? ? ? . 4? ?

因为 ? 2 2 ? 2 2 sin ? 2? ? 当? ?

? ?

??

? ? 2 2 ,所以 2 ? 1 ?| OD |? 2 ? 1. 4?

3 7 ? 时,|OD|max= 2 +1;当 ? ? ? 时,|OD|min= 2 ? 1. 8 8

例 11 当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心在一条定直线上,并 求这一系列圆的公切线的方程。 [证明] 由 ?

?a ? 2m ? 1, 消去 m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 x-2y+1=0 上。设公切线 ?b ? m ? 1
| k (2m ? 1) ? (m ? 1) ? b | 1? k 2
,对一切 m ≠ 0 成立。即

方程为 y=kx+b ,则由相切有 2|m|=

3 ? k?? , ? ?? 4k ? 3 ? 0, ? 4 (-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0 对一切 m≠0 成立,所以 ? 即? ?k ? b ? 1 ? 0, ?b ? 7 . ? ? 4
当 k 不存在时直线为 x=1。所以公切线方程 y= ?

3 7 x ? 和 x=1. 4 4

第十一章 圆锥曲线 一、基础知识 1.椭圆的定义,第一定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长(大于两个定点之间的 距离)的点的轨迹,即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c). 第二定义: 平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数 e(0<e<1)的点 的轨迹(其中定点不在定直线上) ,即

| PF | ? e (0<e<1). d
第三定义:在直角坐标平面内给定两圆 c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且 a≠b。从原点出 发的射线交圆 c1 于 P,交圆 c2 于 Q,过 P 引 y 轴的平行线,过 Q 引 x 轴的平行线,两条线 的交点的轨迹即为椭圆。 2.椭圆的方程,如果以椭圆的中心为原点,焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系,由定义 可求得它的标准方程,若焦点在 x 轴上,列标准方程为

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0), a2 b2
参数方程为 ?

? x ? a cos? ( ? 为参数) 。 ? y ? b sin ?

若焦点在 y 轴上,列标准方程为

y2 y2 ? ? 1 (a>b>0)。 a2 b2

3.椭圆中的相关概念,对于中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
a 称半长轴长,b 称半短轴长,c 称为半焦距,长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别 为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0);与左焦点对应的准线(即第二定义中的定直线)为 x ? ?

a2 , c

a2 c 与右焦点对应的准线为 x ? ; 定义中的比 e 称为离心率, 且e ? , 由 c2+b2=a2 知 0<e<1. a c
椭圆有两条对称轴,分别是长轴、短轴。 4. 椭圆的焦半径公式: 对于椭圆

x2 y2 ? ? 1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的两焦点。 若 P(x, a2 b2

y)是椭圆上的任意一点,则|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex. 5.几个常用结论:1)过椭圆上一点 P(x0, y0)的切线方程为

x0 x y 0 y ? 2 ? 1; a2 b
2)斜率为 k 的切线方程为 y ? kx ? a 2 k 2 ? b 2 ; 3)过焦点 F2(c, 0)倾斜角为θ 的弦的长为

l?

2ab2 。 a 2 ? c 2 cos2 ?

6.双曲线的定义,第一定义: 满足||PF1|-|PF2||=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的点 P 的轨迹; 第二定义:到定点的距离与到定直线距离之比为常数 e(>1)的点的轨迹。 7.双曲线的方程:中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1, a2 b2
参数方程为 ?

? x ? a sec? ( ? 为参数) 。 ? y ? b tan?

焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为

y2 x2 ? ? 1。 a2 b2
8.双曲线的相关概念,中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a, b>0), a2 b2

a 称半实轴长,b 称为半虚轴长,c 为半焦距,实轴的两个端点为(-a, 0), (a, 0). 左、右焦点为 F1(-c,0), F2(c, 0), 对应的左、 右准线方程分别为 x ? ?

a2 a2 c ,x ? . 离心率 e ? , 由 a2+b2=c2 a c c

知 e>1。两条渐近线方程为 y ? ?

x2 y2 x2 y2 k x ,双曲线 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? ?1 有相同的渐近 a a b a b

线,它们的四个焦点在同一个圆上。若 a=b,则称为等轴双曲线。

x2 y2 9.双曲线的常用结论,1)焦半径公式,对于双曲线 2 ? 2 ? 1 ,F1(-c,0), F2(c, 0)是它 a b
的两个焦点。设 P(x,y)是双曲线上的任一点,若 P 在右支上,则|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a;若 P (x,y)在左支上,则|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a. 2) 过焦点的倾斜角为θ 的弦长是

2ab2 。 a 2 ? c 2 cos2 ?

10.抛物线:平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点 F 叫焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。若取经过焦点 F 且垂直于准线 l 的直线为 x 轴,x 轴与 l 相交于 K,以线段 KF 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系,设|KF|=p,则焦点 F 坐标 为(

p p ,0) ,准线方程为 x ? ? ,标准方程为 y2=2px(p>0),离心率 e=1. 2 2 p ; 2 2p 。 1 ? cos 2 ?

11.抛物线常用结论:若 P(x0, y0)为抛物线上任一点, 1)焦半径|PF|= x ?

2)过点 P 的切线方程为 y0y=p(x+x0); 3)过焦点倾斜角为θ 的弦长为

12.极坐标系,在平面内取一个定点为极点记为 O,从 O 出发的射线为极轴记为 Ox 轴,这 样就建立了极坐标系,对于平面内任意一点 P,记|OP|=ρ ,∠xOP=θ ,则由(ρ ,θ )唯一 确定点 P 的位置, (ρ ,θ )称为极坐标。 13.圆锥曲线的统一定义:到定点的距离与到定直线的距离的比为常数 e 的点 P,若 0<e<1, 则点 P 的轨迹为椭圆;若 e>1,则点 P 的轨迹为双曲线的一支;若 e=1,则点 P 的轨迹为抛 物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为 ? ? 二、方法与例题 1.与定义有关的问题。 例 1 已知定点 A(2,1) ,F 是椭圆

ep 。 1 ? e cos ?

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,点 P 为椭圆上的动点,当 25 16
c 3 ? . 椭圆左准线的方程为 a 5

3|PA|+5|PF|取最小值时,求点 P 的坐标。 [解] 见图 11-1 ,由题设 a=5, b=4, c= 5 ? 4 =3, e ?
2 2

x??

25 4 1 ? ? 1 ,所以点 A 在椭圆内部,又点 F 坐标为(-3,0) ,又因为 ,过 P 作 PQ 3 25 16

垂直于左准线,垂足为 Q。由定义知

| PF | 3 5 ? e ? ,则 |PF|=|PQ|。 3 | PQ | 5

所以 3|PA|+5|PF|=3(|PA|+

5 |PF|)=3(|PA|+|PQ|)?3|AM|(AM ? 左准线于 M)。 3

所以当且仅当 P 为 AM 与椭圆的交点时,3|PA|+5|PF|取最小值,把 y=1 代入椭圆方程得

x??

5 15 5 15 ,又 x<0,所以点 P 坐标为 (? ,1) 4 4

例 2 已知 P, P ' 为双曲线 C:

x2 y2 ? ? 1 右支上两点, PP' 延长线交右准线于 K,PF1 延 a2 b2

长线交双曲线于 Q, (F1 为右焦点) 。求证:∠ P ' F1K=∠KF1Q. [证明] 记右准线为 l,作 PD ? l 于 D, P' E ? l 于 E,因为 P ' E //PD,则

| PK | | P' K | ? , | PD | | P' E |

又由定义

| PF1 | | P' F1 | | PF1 | | PD | | PK | ,所以 ,由三角形外角平分线 ?e? ? ? | PD | | P' E | | P' F1 | | P' E | | P' K |

定理知,F1K 为∠PF1P 的外角平分线,所以∠ P' F1 K =∠KF1Q。 2.求轨迹问题。 例 3 已知一椭圆及焦点 F,点 A 为椭圆上一动点,求线段 FA 中点 P 的轨迹方程。 [解法一] 利用定义,以椭圆的中心为原点 O,焦点所在的直线为 x 轴,建立直角坐标系, 设椭圆方程: 则 OP //
?

x2 y2 ? =1(a>b>0).F 坐标为(-c, 0).设另一焦点为 F ' 。连结 AF ' ,OP, a2 b2

1 1 AF ' 。所以|FP|+|PO|= (|FA|+|A F ' |)=a. 2 2 c ,0)平 2

所以点 P 的轨迹是以 F,O 为两焦点的椭圆(因为 a>|FO|=c) ,将此椭圆按向量 m=(

移,得到中心在原点的椭圆:

x2 y2 ? ? 1 。由平移公式知,所求椭圆的方程为 a2 b2 4 4

c 4( x ? ) 2 2 2 ? 4 y ? 1. a2 b2
[解法二] 相关点法。设点 P(x,y), A(x1, y1),则 x ?

x1 ? c y , y ? 1 ,即 x1=2x+c, y1=2y. 又 2 2

因为点 A 在椭圆

x12 y12 x2 y2 ? ? 1. 代 入 得 关 于 点 P 的 方 程 为 ? ? 1 上 , 所 以 a2 b2 a2 b2

c? ? 4? x ? ? 4y2 2? ? c ? ? ? ? 1 。它表示中心为 ? ? ,0 ? ,焦点分别为 F 和 O 的椭圆。 2 2 a b ? 2 ?
例 4 长为 a, b 的线段 AB,CD 分别在 x 轴,y 轴上滑动,且 A,B,C,D 四点共圆,求此 动圆圆心 P 的轨迹。 [解] 设 P(x, y)为轨迹上任意一点, A, B, C, D 的坐标分别为 A(xD(0, y+

2

a a b ,0), B(x+ ,0), C(0, y- ), 2 2 2

b ), 记 O 为 原 点 , 由 圆 幂 定 理 知 |OA|?|OB|=|OC|?|OD| , 用 坐 标 表 示 为 2

x2 ?

a2 b2 a2 ? b2 2 2 ? y2 ? . ,即 x ? y ? 4 4 4

当 a=b 时,轨迹为两条直线 y=x 与 y=-x; 当 a>b 时,轨迹为焦点在 x 轴上的两条等轴双曲线; 当 a<b 时,轨迹为焦点在 y 轴上的两条等轴双曲线。 例 5 在坐标平面内,∠AOB= 迹方程。 [解] 设∠xOB=θ ,并且 B 在 A 的上方, 则点 A, B 坐标分别为 B(3, 3tanθ ),A(3,3tan(θ 设外心为 P(x,y),由中点公式知 OB 中点为 M ?

? ,AB 边在直线 l: x=3 上移动,求三角形 AOB 的外心的轨 3 ? )), 3

?3 3 ? , tan? ? 。 ?2 2 ?

由外心性质知 y ?

3? ? ?? ? ? tan? ? tan?? ? ? ? . 再由 PM ? OB 得 ? 2? 3 ?? ? ?

3 y ? tan? 2 ×tanθ =-1。结合上式有 3 x? 2
tan( ? ?


?

2?3 ? ) ?tanθ = ? ? x ?. 3 3?2 ?



tanθ + tan( ? ?

?
3

)=

2 y. 3





3 ? tan

?

? ? ? ?? ? tan?? ? ?? ? ??. 3 3 ?? ? ?

所 以 tan θ - tan( ? ?

?

? ? ?? ? ) = 3 ?1 ? tan? ? tan?? ? ?? 两 边 平 方 , 再 将 ① , ② 代 入 得 3 3 ?? ? ?

( x ? 4) 2 y 2 ? ? 1 。即为所求。 4 12

3.定值问题。 例 6 过双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0, b>0)的右焦点 F 作 B1B2 ? x 轴,交双曲线于 B1,B2 两点, a2 b2

B2 与左焦点 F1 连线交双曲线于 B 点,连结 B1B 交 x 轴于 H 点。求证:H 的横坐标为定值。 [证明] 设点 B,H,F 的坐标分别为(asecα ,btanα ), (x0, 0), (c, 0),则 F1,B1,B2 的坐标分 别为(-c, 0), (c, ?

b2 b2 ), (c, ),因为 F1,H 分别是直线 B2F,BB1 与 x 轴的交点,所以 a a


c?

ab ab ? ac sin ? , x0 ? . 2a sin ? ? b cos ? a sin ? ? b cos ?

所以

cx0 ?

a 2 b(b ? c sin ? ) 2a 2 sin 2 ? ? absin ? cos? ? b 2 cos2 ? a 2 b(b ? c sin ? ) a 2 sin 2 ? ? ab sin ? cos? ? b 2 ? c 2 sin 2 ?

?

a 2 b(b ? c sin ? ) 。 ? a sin ? (a sin ? ? b cos? ) ? (c sin ? ? b)(c sin ? ? b)
由①得 a sin ? ? b cos? ?

a(b ? c sin ? ) , x0

代入上式得 cx0 ?

a 2b a 2 sin ? (c sin ? ? b) x0

,



x??

a2 (定值) 。 c

注:本例也可借助梅涅劳斯定理证明,读者不妨一试。 2 例 7 设抛物线 y =2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两点,点 C 在准 线上,且 BC//x 轴。证明:直线 AC 经过定点。 [证明] 设 A? ?
2 ? y12 ? ? y2 ? ? p ? ?p ? ? , 则 C ? ? , y 2 ? , 焦 点 为 F ? ,0 ? , 所 以 , y1 ? , B , y2 ? ? ? ? ? 2 ? ?2 ? ? 2p ? ? 2p ?

2 ? y2 ? y12 y12 p p ? p ? ? OA ? ( , y1 ) , OC ? ? ? , y 2 ? , FA ? ( ? , y1 ) , FB ? ? ? , y2 ? ? 。由于 2p 2p 2 ? 2 ? ? 2p 2 ?

FA // FB , 所 以

? y1 y2 p ? y12 y2 p p ?y2- y 2 ? 2 y1 ? y1=0 , 即 ( y1 ? y 2 )? ? 2p ? 2 ? ? =0 。 因 为 2p 2 2p 2 ? ?

y1 ? y2 ,所以

? y1 y 2 p ? y1 y 2 p y12 ? p? ? ,即 ? ? 0 。所以 ? y 2 ? ? ? ? y1 ? 0 。所 ? y ? 0 1 ? ? 2p 2 2p 2? ? 2? ? 2p

以 OA // OC ,即直线 AC 经过原点。 例 8 椭圆 定值。 [证明] 设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ ,∠xOB=

x2 y2 1 1 ? 2 ? 1 上有两点 A,B,满足 OA ? OB,O 为原点,求证: 为 ? 2 2 a b | OA | | OB | 2

?
2

? ? ,则点 A,B 的坐标分别为 A(r1cos

θ , r1sinθ ),B(-r2sinθ ,r2cosθ )。由 A,B 在椭圆上有

r12 cos2 ? r12 sin 2 ? r22 sin 2 ? r22 cos2 ? ? ? 1, ? ? 1. a2 b2 a2 b2


1 cos2 ? sin 2 ? ? ? r12 a2 b2 1 sin 2 ? cos2 ? ? ? . r22 a2 b2




①+②得

1 1 1 1 。 ? ? 2 ? 2 (定值) 2 2 | OA | | OB | a b

4.最值问题。 2 2 例 9 设 A,B 是椭圆 x +3y =1 上的两个动点,且 OA ? OB(O 为原点) ,求|AB|的最大值与最 小值。 [解] 由题设 a=1 , b=

r 3 1 1 , 记 |OA|=r1,|OB|=r2, 1 ? t ,参考例 8 可得 2 ? 2 =4 。设 3 r1 r2 r2

m=|AB| = r12 ? r22 ?
2

1 2 1 1 1 1 (r1 ? r22 )( 2 ? 2 ) ? (2 ? t 2 ? 2 ) , 4 4 r1 r2 t

因为

1 cos2 ? sin 2 ? 1 a2 ? b2 1 1 1 ? ? ? ? 2 2 sin 2 ? ,且 a2>b2,所以 2 ? 2 ? 2 ,所以 b 2 2 2 2 a r1 b r1 a b a a b
b a 1 ?b2 ?t? 。 又函数 f(x)=x+ 在 ? 2 a b x ?a

?r1?a, 同理 b?r2?a.所以

? ? a2 ? 在 ?1, 2 ? ,1? 上单调递减, ? ? b ?
b a 或 时,|AB|取最大 a b

上单调递增,所以当 t=1 即|OA|=|OB|时,|AB|取最小值 1;当 t ?



2 3 。 3
3 2 3 2 ,若圆 C: x ? ( y ? ) ? 1 2 2

例 10 设一椭圆中心为原点,长轴在 x 轴上,离心率为

上点与这椭圆上点的最大距离为 1 ? 7 ,试求这个椭圆的方程。 [解] 设 A,B 分别为圆 C 和椭圆上动点。由题设圆心 C 坐标为 ? 0, ? ,半径|CA|=1,因为 |AB|?|BC|+|CA|=|BC|+1,所以当且仅当 A,B,C 共线,且|BC|取最大值时,|AB|取最大值

? ?

3? 2?

1 ? 7 ,所以|BC|最大值为 7 .
因为 e ?

3 ;所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为 2t, 3t ,t,椭圆方程为 2

x2 y2 ? ? 1 , 并 设 点 B 坐 标 为 B(2tcos θ ,tsin θ ) , 则 |BC|2=(2tcos 2 2 4t t
9 1 2 3? ? 2 2 2 2 θ ) + ? t sin ? ? ? =3t sin θ -3tsinθ + +4t =-3(tsinθ + ) +3+4t . 4 2 2 ? ?
2

2

1 9 2 2 ,则当 sinθ =-1 时,|BC| 取最大值 t +3t+ ? 7 ,与题设不符。 2 4 1 1 2 2 2 若 t> ,则当 sinθ = ? 时,|BC| 取最大值 3+4t ,由 3+4t =7 得 t=1. 2 2t
若t ? 所以椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1。 4

5.直线与二次曲线。 2 例 11 若抛物线 y=ax -1 上存在关于直线 x+y=0 成轴对称的两点,试求 a 的取值范围。 2 [解] 抛物线 y=ax -1 的顶点为(0,-1),对称轴为 y 轴,存在关于直线 x+y=0 对称两点的条
2 2 件 是 存 在 一 对 点 P(x1,y1) , P ' (-y1,-x1) , 满 足 y1=a x1 ? 1 且 -x1=a(-y1) -1 , 相 减 得

x1+y1=a( x1 ? y1 ),因为 P 不在直线 x+y=0 上,所以 x1+y1≠0,所以 1=a(x1-y1),即 x1=y1+
2 2
2 所以 ay1 ? y1 ?

1 . a

1 1 3 ? 1 ? 0. 此方程有不等实根,所以 ? ? 1 ? 4a ( ? 1) ? 0 ,求得 a ? , 4 a a

即为所求。 例 12 若直线 y=2x+b 与椭圆 求 b 的值。 [ 解 ] 二 方 程 联 立 得 17x +16bx+4(b -1)=0. 由 Δ >0 , 得 ? 17 <b< 17 ; 设 两 交 点 为
2 2

x2 ? y 2 ? 1 相交, (1)求 b 的范围; (2)当截得弦长最大时, 4

P(x1,y1),Q(x2,y2),由韦达定理得|PQ|= 1 ? k | x1 ? x2 |?
2

5?

4 17 ? b 2 。所以当 b=0 17

时,|PQ|最大。

第十二章 立体几何 一、基础知识 公理 1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内.则这条直线在这个平面内,记作: a ? a. 公理 2 两个平面如果有一个公共点,则有且只有一条通过这个点的公共直线,即若 P∈α ∩β ,则存在唯一的直线 m,使得α ∩β =m,且 P∈m。 公理 3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面. 推论 l 直线与直线外一点确定一个平面. 推论 2 两条相交直线确定一个平面. 推论 3 两条平行直线确定一个平面. 公理 4 在空间内,平行于同一直线的两条直线平行. 定义 1 异面直线及成角:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线.过空间任意一 点分别作两条异面直线的平行线,这两条直线所成的角中,不超过 900 的角叫做两条异面直 线成角. 与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线, 公垂线夹在两条异面直 线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离. 定义 2 直线与平面的位置关系有两种;直线在平面内和直线在平面外.直线与平面相交和 直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外. 定义 3 直线与平面垂直: 如果直线与平面内的每一条直线都垂直, 则直线与这个平面垂直. 定理 1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直,则直线与平面垂直. 定理 2 两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行. 定理 3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直,则另一条也和这个平面垂直. 定理 4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离,若一条直线与平面平行, 则直线上每一点到平面的距离都相等,这个距离叫做直线与平面的距离. 定义 5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线. 由斜线上每一点向平面引垂 线,垂足叫这个点在平面上的射影.所有这样的射影在一条直线上,这条直线叫做斜线在平 面内的射影.斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角. 结论 1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角. 定理 4 (三垂线定理)若 d 为平面。的一条斜线,b 为它在平面 a 内的射影,c 为平面 a 内的 一条直线,若 c ? b,则 c ? a.逆定理:若 c ? a,则 c ? b. 定理 5 直线 d 是平面 a 外一条直线,若它与平面内一条直线 b 平行,则它与平面 a 平行 定理 6 若直线。与平面α 平行,平面β 经过直线 a 且与平面 a 交于直线 6,则 a//b. 结论 2 若直线。与平面α 和平面β 都平行,且平面α 与平面β 相交于 b,则 a//b. 定理 7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同,则两个角相 等. 定义 6 平面与平面的位置关系有两种:平行或相交.没有公共点即平行,否则即相交. 定理 8 平面 a 内有两条相交直线 a,b 都与平面β 平行,则α //β . 定理 9 平面α 与平面β 平行,平面γ ∩α =a,γ ∩β =b,则 a//b. 定义 7 (二面角),经过同一条直线 m 的两个半平面α ,β (包括直线 m,称为二面角的棱) 所组成的图形叫二面角,记作α —m—β ,也可记为 A—m 一 B,α —AB—β 等.过棱上任 意一点 P 在两个半平面内分别作棱的垂线 AP,BP,则∠APB(?900)叫做二面角的平面角. 它的取值范围是[0,π ]. 特别地, 若∠APB=900, 则称为直二面角, 此时平面与平面的位置关系称为垂直, 即α ? β . 定理 10 如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.

定理 11 如果两个平面垂直,过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内. 定理 12 如果两个平面垂直,过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直. 定义 8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形,并且每相邻两个平行四边形的公共 边(称为侧棱)都互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做底 面.如果底面是平行四边形则叫做平行六面体;侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱;底面是正 多边形的直棱柱叫做正棱柱. 底面是矩形的直棱柱叫做长方体. 棱长都相等的正四棱柱叫正 方体. 定义 9 有一个面是多边形(这个面称为底面),其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面 体叫棱锥.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥. 定理 13 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为 V,棱数为 E,面数为 F,则 V+F-E=2. 定义 10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面.球面所围成的几何体 叫做球.定长叫做球的半径,定点叫做球心. 定理 14 如果球心到平面的距离 d 小于半径 R,那么平面与球相交所得的截面是圆面,圆 心与球心的连线与截面垂直.设截面半径为 r,则 d2+r2=R2.过球心的截面圆周叫做球大 圆.经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离. 定义 11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线. 纬线 上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度. 用经过南极和北极的平面去 截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线,经线所在的平面与本初子午线所在的 半平面所成的二面角叫做经度,根据位置不同又分东经和西经. 定理 15 (祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面 所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等. 定理 16 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角. 其中 0 任意两个角之和大于另一个,三个角之和小于 360 . 定理 17 (面积公式)若一个球的半径为 R,则它的表面积为 S 球面=4π R2。若一个圆锥的 母线长为 l,底面半径为 r,则它的侧面积 S 侧=π rl.
3 定理 18 (体积公式)半径为 R 的球的体积为 V 球= ?R ;若棱柱(或圆柱)的底面积为 s,

4 3

高 h,则它的体积为 V=sh;若棱锥(或圆锥)的底面积为 s,高为 h,则它的体积为 V= sh. 定理 19 如图 12-1 所示,四面体 ABCD 中,记∠BDC=α ,∠ADC=β ,∠ADB=γ ,∠BAC=A, ∠ABC=B,∠ACB=C。DH ? 平面 ABC 于 H。 (1)射影定理:SΔ ABD?cosФ =SΔ ABH,其中二面角 D—AB—H 为Ф 。 (2)正弦定理:

1 3

sin ? sin ? sin ? ? ? . sin A sin B sin C

(3)余弦定理:cosα =cosβ cosγ +sinβ sinγ cosA. cosA=-cosBcosC+sinBsinCcosα . (4)四面体的体积公式 V ? =

1 DH?SΔ ABC 3

1 abc 1 ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 2 cos ? cos ? cos ? 6 1 ? aa1 d sin ? (其中 d 是 a1, a 之间的距离, ? 是它们的夹角) 6

?

2 SΔ ABD?SΔ ACD?sinθ (其中θ 为二面角 B—AD—C 的平面角)。 3a

二、方法与例题 1.公理的应用。 例 1 直线 a,b,c 都与直线 d 相交,且 a//b,c//b,求证:a,b,c,d 共面。 [证明] 设 d 与 a,b,c 分别交于 A,B,C,因为 b 与 d 相交,两者确定一个平面,设为 a.又因 为 a//b,所以两者也确定一个平面,记为β 。因为 A∈α ,所以 A∈β ,因为 B∈b,所以 B ∈β ,所以 d ? β .又过 b,d 的平面是唯一的,所以α ,β 是同一个平面,所以 a ? α .同理 c ? α .即 a,b,c,d 共面。 例 2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件? [解] 充要条件。 先证充分性, 设图 12-2 中 PQRSTK 是长方体 ABCD-A1B1C1D1 的正六边形 截面,延长 PQ,SR 设交点为 O,因为直线 SR ? 平面 CC1D1D,又 O∈直线 SR,所以 O∈ 平面 CC1D1D,又因为直线 PQ ? 平面 A1B1C1D1,又 O∈直线 PQ,所以 O∈平面 A1B1C1D1。所 0 以 O∈直线 C1D1, 由正六边形性质知, ∠ORQ=∠OQR=60 , 所以Δ ORQ 为正三角形, 因为 CD//C1D1, 所以

CR SR =1。 所以 R 是 CC1 中点, 同理 Q 是 B1C1 的中点, 又Δ ORC1≌Δ OQC1, 所以 C1R=C1Q, ? C1 R RO

所以 CC1=C1B1,同理 CD=CC1,所以该长方体为正方体。充分性得证。必要性留给读者自己证 明。 2.异面直线的相关问题。 例 3 正方体的 12 条棱互为异面直线的有多少对? [解] 每条棱与另外的四条棱成异面直线,重复计数一共有异面直线 12×4=48 对,而每一 对异面直线被计算两次,因此一共有

48 ? 24 对。 2

例 4 见图 12-3,正方体,ABCD—A1B1C1D1 棱长为 1,求面对角线 A1C1 与 AB1 所成的角。 [解] 连结 AC,B1C,因为 A1A // B1B // C1C,所以 A1A // C1C,所以 A1ACC1 为平行四边形,所以
? ? ?

A1C1 // AC。
?

所以 AC 与 AB1 所成的角即为 A1C1 与 AB1 所成的角,由正方体的性质 AB1=B1C=AC,所以 ∠B1AC=600。所以 A1C1 与 AB1 所成角为 600。 3.平行与垂直的论证。 例 5 A,B,C,D 是空间四点,且四边形 ABCD 四个角都是直角,求证:四边形 ABCD 是矩形。 [证明] 若 ABCD 是平行四边形,则它是矩形;若 ABCD 不共面,设过 A,B,C 的平面为 α ,过 D 作 DD1 ? α 于 D1,见图 12-4,连结 AD1,CD1,因为 AB ? AD1,又因为 DD1 ? 平面α , 又 AB ? α ,所以 DD1 ? AB,所以 AB ? 平面 ADD1,所以 AB ? AD1。同理 BC ? CD1,所以 ABCD1 为 矩 形 , 所 以 ∠ AD1C=90 , 但 AD1<AD,CD1<CD , 所 以 AD +CD =AC = AD1 ? CD1 , 与
0 2 2 2

2

2

AD12 ? CD12 <AD2+CD2 矛盾。所以 ABCD 是平面四边形,所以它是矩形。
例 6 一个四面体有两个底面上的高线相交。证明:它的另两条高线也相交。 [证明] 见图 12-5,设四面体 ABCD 的高线 AE 与 BF 相交于 O,因为 AE ? 平面 BCD,所以 AE ? CD,BF ? 平面 ACD,所以 BF ? CD,所以 CD ? 平面 ABO,所以 CD ? AB。设四面体另两条

高分别为 CM,DN,连结 CN,因为 DN ? 平面 ABC,所以 DN ? AB,又 AB ? CD,所以 AB ? 平面 CDN,所以 AB ? CN。设 CN 交 AB 于 P,连结 PD,作 CM ' ? PD 于 M ' ,因为 AB ? 平面 CDN, 所以 AB ? CM ' ,所以 CM ' ? 平面 ABD,即 CM ' 为四面体的高,所以 CM ' 与 CM 重合,所 以 CM,DN 为Δ PCD 的两条高,所以两者相交。 例 7 在矩形 ABCD 中,AD=2AB,E 是 AD 中点,沿 BE 将Δ ABE 折起,并使 AC=AD,见图 12-6。 求证:平面 ABE ? 平面 BCDE。 [证明] 取 BE 中点 O, CD 中点 M, 连结 AO, OM, OD, OC, 则 OM//BC, 又 CD ? BC, 所以 OM ? CD。 又因为 AC=AD, 所以 AM ? CD, 所以 CD ? 平面 AOM, 所以 AO ? CD。 又因为 AB=AE, 所以 AO ? BE。 因为 ED≠BC,所以 BE 与 CD 不平行,所以 BE 与 CD 是两条相交直线。所以 AO ? 平面 BC-DE。 又直线 AO ? 平面 ABE。所以平面 ABE ? 平面 BCDE。 4.直线与平面成角问题。 例 8 见图 12-7,正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,CD 的中点,G 为 BF 的中点,将正方形 0 沿 EF 折成 120 的二面角,求 AG 和平面 EBCF 所成的角。 [解]设边长 AB=2, 因为 EF // AD, 又 AD ? AB。 所以 EF ? AB, 所以 BG=
?

1 1 BF ? 5, 又 AE ? EF, 2 2

BE ? EF, 所以∠AEB=120 。 过 A 作 AM ? BE 于 M, 则∠AEM=60 , ME=
0 0

1 1 3 0 AE ? , AM=AEsin60 = . 2 2 2

2 5? 3 5 1 9 5 3 ?3? ? ? ? 2? ? 由余弦定理 MG =BM +BG -2BM?BGcos ∠ MBG= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 5 4 4 2 ?2? ? 2 ?
2 2 2

2

=2,所以 MG= 2 . 因为 EF ? AE,EF ? BE,所以 EF ? 平面 AEB,所以 EF ? AM,又 AM ? BE,

3 6 所以 AM ? 平面 BCE。所以∠AGM 为 AG 与平面 EBCF 所成的角。而 tan∠AGM= 2 ? 。所 4 2
以 AG 与平面 EBCF 所成的角为 arctan

6 . 4

例 9 见图 12-8,OA 是平面α 的一条斜角,AB ? α 于 B,C 在α 内,且 AC ? OC,∠AOC=α , ∠AOB=β ,∠BOC=γ 。证明:cosα =cosβ ?cosγ . [证明] 因为 AB ? α , AC ? OC, 所以由三垂线定理, BC ? OC, 所以 OAcosβ =OB,OBcosγ =OC, 又 RtΔ OAC 中,OAcosα =OC,所以 OAcosβ cosγ =OAcosα ,所以 cosα =cosβ ?cosγ . 5.二面角问题。 0 0 例 10 见图 12-9,设 S 为平面 ABC 外一点,∠ASB=45 ,∠CSB=60 ,二面角 A—SB—C 为直 角二面角,求∠ASC 的余弦值。 [解] 作 CM ? SB 于 M,MN ? AS 于 N,连结 CN,因为二面角 A—SB—C 为直二面角,所以平 面 ASB ? 平面 BSC。又 CM ? SB,所以 CM ? 平面 ASB,又 MN ? AS,所以由三垂线定理的逆定 理 有 CN ? AS , 所 以 SC?cos ∠ CSN=SN=SC?cos ∠ CSM?cos ∠ ASB , 所 以 cos ∠ ASC=cos45 cos60 =
0 0

2 。 4

例 11 见图 12-10,已知直角Δ ABC 的两条直角边 AC=2,BC=3,P 为斜边 AB 上一点,沿 CP

将此三角形折成直二面角 A—CP—B,当 AB= 7 时,求二面角 P—AC—B 的大小。 [解] 过 P 作 PD ? AC 于 D,作 PE ? CP 交 BC 于 E,连结 DE,因为 A—CP—B 为直二面角,即 平面 ACP ? 平面 CPB,所以 PE ? 平面 ACP,又 PD ? CA,所以由三垂线定理知 DE ? AC,所以 0 ∠PDE 为二面角 P—AC—B 的平面角。设∠BCP=θ ,则 cos∠ECD=cosθ ?cos(90 -θ )=sinθ

1 2 2 ? 32 ? 7 1 cosθ ,由余弦定理 cos∠ACB= ? ,所以 sinθ cosθ = ,所以 sin2θ =1. 2 2? 2?3 2
又 0<2θ <π ,所以θ =

2

? PE 2 ? 2. ,设 CP=a,则 PD= a,PE=a.所以 tan∠PDE= 4 PD 2

所以二面角 P—AC—B 的大小为 arctan 2 。 6.距离问题。 例 12 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,求对角线 AC 与 BC1 的距离。 [解] 以 B 为原点,建立直角坐标系如图 12-11 所示。设 P,Q 分别是 BC1,CA 上的点,且

1 1 BC 1 , CQ ? CA ,各点、各向量的坐标分别为 A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0) , 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 PQ ? BQ ? BP ? BC ? CA ? BC1 ? BC ? BA ? BC ? BC ? BB1 ? BC ? BA ? BB1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 BP ? 1 1 1 1 1 3 ? ( a, a,? a ) , 所 以 | PQ |? a × a=0, a , 所 以 PQ ? BC 1 ? ? a × a+ 3 3 3 3 3 3 PQ ? CA ? 1 1 a×a- a×a=0.所以 PQ ? BC1 , PQ ? CA 。 所以 PQ 为 AC 与 BC1 的公垂线段, 3 3

所以两者距离为

3 a. 3

例 13 如图 12-12 所示,在三棱维 S—ABC 中,底面是边长为 4 2 的正三角形,棱 SC 的长 为 2,且垂直于底面,E,D 分别是 BC,AB 的中点,求 CD 与 SE 间的距离。 [分析] 取 BD 中点 F,则 EF//CD,从而 CD//平面 SEF,要求 CD 与 SE 间的距离就转化为求 点 C 到平面 SEF 间的距离。 [解] 设此距离为 h,则由体积公式

1 1 ? SC ? S ?CEF ? VS ?CEF ? h ? S ?SEF . 3 3
计算可得 SΔ SEF=3, S ?CEF ? 3. 所以 h ?

2 3 . 3

7.凸多面体的欧拉公式。 例 14 一个凸多面体有 32 个面, 每个面或是三角形或是五边形, 对于 V 个顶点每个顶点均 有 T 个三角形面和 P 个五边形面相交,求 100P+10T+V。 [解] 因 F=32,所以 32-E+V=2,所以 E=V+30。因为 T+P 个面相交于每个顶点,每个顶点 出发有 T+P 条棱,所以 2E=V(T+P). 由此得 V(T+P)=2(V+30),即 V(T+P-2)=60. 由于每个三

角形面有三条棱,故三角形面有 角形或者是五边形, 所以 V ?

VT VP 个,类似地,五边形有 个,又因为每个面或者是三 3 5

?T P ? 由此可得 3T+5P=16, 它的唯一正整数解为 T=P=2, ? ? =32, ?3 5?

代入 V(T+P-2)=60 得 V=30,所以 100P+10T+V250。 8.与球有关的问题。 例 15 圆柱直径为 4R,高为 22R,问圆柱内最多能装半径为 R 的球多少个? [解] 最底层恰好能放两个球,设为球 O1 和球 O2,两者相切,同时与圆柱相切,在球 O1 与球 O2 上放球 O3 与球 O4,使 O1O2 与 O3O4 相垂直,且这 4 个球任两个相外切,同样在球 O3 与球 O4 上放球 O5 与球 O6,??直到不能再放为止。 先计算过 O3O4 与过 O1O2 的两平行面与圆柱底面的截面间距离为 ( 3R) ? R ?
2 2

2R 。

设共装 K 层,则(22- 2 )R< 2 R(K-1)+2R?22R,解得 K=15,因此最多装 30 个。 9.四面体中的问题。 例 16 已知三棱锥 S—ABC 的底面是正三角形,A 点在侧面 SBC 上的射影 H 是Δ SBC 的 垂心,二面角 H—AB—C 的平面角等于 300,SA= 2 3 。求三棱锥 S—ABC 的体积。 [解] 由题设, AH ? 平面 SBC, 作 BH ? SC 于 E, 由三垂线定理可知 SC ? AE, SC ? AB, 故 SC ? 平面 ABE。 设 S 在平面 ABC 内射影为 O, 则 SO ? 平面 ABC, 由三垂线定理的逆定理知, CO ? AB 于 F。同理,BO ? AC,所以 O 为Δ ABC 垂心。又因为Δ ABC 是等边三角形,故 O 为Δ ABC 的 中心,从而 SA=SB=SC= 2 3 ,因为 CF ? AB,CF 是 EF 在平面 ABC 上的射影,又由三垂线定 理 知 , EF ? AB , 所 以 ∠ EFC 是 二 面 角 H—AB—C 的 平 面 角 , 故 ∠ EFC=30 , 所 以
0

OC=SCcos60 = 2 3 ?
0

1 3 ? 3 ,SO= 3 tan600=3 ,又 OC= AB ,所以 AB= 3 OC=3 。所以 2 3

VS—ABC= ?

1 3

9 3 2 3。 ×3 ×3= 4 4

例 17 设 d 是任意四面体的相对棱间距离的最小值, h 是四面体的最小高的长, 求证: 2d>h. [证明] 不妨设 A 到面 BCD 的高线长 AH=h, AC 与 BD 间的距离为 d, 作 AF ? BD 于点 F, CN ? BD 于点 N,则 CN//HF,在面 BCD 内作矩形 CNFE,连 AE,因为 BD//CE,所以 BD//平面 ACE,所 以 BD 到面 ACE 的距离为 BD 与 AC 间的距离 d。在Δ AEF 中,AH 为边 EF 上的高,AE 边上的高 FG=d,作 EM ? AF 于 M,则由 EC//平面 ABD 知,EM 为点 C 到面 ABD 的距离(因 EM ? 面 ABD) , 于是 EM?AH=h。在 RtΔ EMF 与 RtΔ AHF 中,由 EM?AH 得 EF?AF。又因为Δ AEH∽Δ FEG,所 以

h AH AE AF ? EF ? ? ? ?2。所以 2d>h. d FG EF EF

注:在前面例题中除用到教材中的公理、定理外,还用到了向量法、体积法、射影法,请读 者在解题中认真总结。 第十三章 排列组合与概率 一、基础知识

1.加法原理:做一件事有 n 类办法,在第 1 类办法中有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中 有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事一共有 N=m1+m2+?+mn 种不同的方法。 2.乘法原理:做一件事,完成它需要分 n 个步骤,第 1 步有 m1 种不同的方法,第 2 步有 m2 种不同的方法,??,第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1×m2×?×mn 种不同的方法。 3.排列与排列数:从 n 个不同元素中,任取 m(m?n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫 做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列, 从 n 个不同元素中取出 m 个(m?n)元素的所
m m 有排列个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 An 表示, An =n(n-1)?

(n-m+1)=

n! ,其中 m,n∈N,m?n, (n ? m)!

0 n 注:一般地 An =1,0!=1, An =n!。

4.N 个不同元素的圆周排列数为

Ann =(n-1)!。 n

5.组合与组合数:一般地,从 n 个不同元素中,任取 m(m?n)个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合, 即从 n 个不同元素中不计顺序地取出 m 个构成原集 合的一个子集。从 n 个不同元素中取出 m(m?n)个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同
m 元素中取出 m 个元素的组合数,用 C n 表示:

m Cn ?

n(n ? 1) ?(n ? m ? 1) n! ? . m! m!(n ? m)!
n k ?1 k C n ?1 ? C n ; (4) k

m n?m m m n?1 6.组合数的基本性质: (1) Cn ; (2) Cn (3) ? Cn ?1 ? Cn ? Cn ;
n

0 1 n k ?1 Cn ? Cn ? ? ? Cn ? ? Cn ? 2 n ;( 5 ) Ckk ? Ckk?1 ? ? ? Ckk?m ? Ckk? m?1 ;( 6 ) k ?0

k n?k Cn Ckm ? Cn ?m 。

7.定理 1:不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整数解的个数为 Cr ?1 。 [证明]将 r 个相同的小球装入 n 个不同的盒子的装法构成的集合为 A, 不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整数解构成的集合为 B,A 的每个装法对应 B 的唯一一个解,因而构成映射,不同的装 法对应的解也不同,因此为单射。反之 B 中每一个解(x1,x2,?,xn),将 xi 作为第 i 个盒子中 球的个数,i=1,2,?,n,便得到 A 的一个装法,因此为满射,所以是一一映射,将 r 个小球 从左到右排成一列,每种装法相当于从 r-1 个空格中选 n-1 个,将球分 n 份,共有 Cr ?1 种。 故定理得证。
r 推论 1 不定方程 x1+x2+?+xn=r 的非负整数解的个数为 Cn ? r ?1 .

n ?1

n ?1

推论 2 从 n 个不同元素中任取 m 个允许元素重复出现的组合叫做 n 个不同元素的 m 可重组
m 合,其组合数为 Cn ? m ?1 .

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 8. 二项式定理: 若 n∈N+,则(a+b) = Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ?Cn b .
n

r n ?r r r 其中第 r+1 项 Tr+1= Cn 叫二项式系数。 a b , Cn

9.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。在大量重复进行同 一试验时,事件 A 发生的频率

m 总是接近于某个常数,在它附近摆动,这个常数叫做事件 n

A 发生的概率,记作 p(A),0?p(A)?1. 10.等可能事件的概率,如果一次试验中共有 n 种等可能出现的结果,其中事件 A 包含的结 果有 m 种,那么事件 A 的概率为 p(A)=

m . n

11.互斥事件:不可能同时发生的两个事件,叫做互斥事件,也叫不相容事件。如果事件 A1, A2,?,An 彼此互斥,那么 A1,A2,?,An 中至少有一个发生的概率为 p(A1+A2+?+An)= p(A1)+p(A2)+?+p(An). 12.对立事件:事件 A,B 为互斥事件,且必有一个发生,则 A,B 叫对立事件,记 A 的对立 事件为 A 。由定义知 p(A)+p( A )=1. 13.相互独立事件:事件 A(或 B)是否发生对事件 B(或 A)发生的概率没有影响,这样的 两个事件叫做相互独立事件。 14.相互独立事件同时发生的概率:两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生 的概率的积。即 p(A?B)=p(A)?p(B).若事件 A1,A2,?,An 相互独立,那么这 n 个事件同时发 生的概率为 p(A1?A2? ? ?An)=p(A1)?p(A2)? ? ?p(An). 15.独立重复试验:若 n 次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果, 则称这 n 次试验是独立的. 16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为 p,那么在 n 次独立重复试
k 验中,这个事件恰好发生 k 次的概率为 pn(k)= C n ?p (1-p) .
k n-k

17.离散型随机为量的分布列:如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变 量叫随机变量,例如一次射击命中的环数ξ 就是一个随机变量,ξ 可以取的值有 0,1,2,?,10。 如果随机变量的可能取值可以一一列出, 这样的随机变量叫离散型随机变量。 一般地, 设离散型随机变量ξ 可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,ξ 取每一个值 xi(i=1,2,?)的概 率 p(ξ =xi)=pi,则称表 ξ p x1 p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xi pi ? ?

为随机变量ξ 的概率分布,简称ξ 的分布列,称 Eξ =x1p1+x2p2+?+xnpn+?为ξ 的数学期望或 平均值、均值、简称期望,称 Dξ =(x1-Eξ )2?p1+(x2-Eξ )2?p2+?+(xn-Eξ )2pn+?为ξ 的均方 差,简称方差。 D? 叫随机变量ξ 的标准差。 18.二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中,这
k k n?k 个事件恰好发生 k 次的概率为 p(ξ =k)= Cn p q , ξ 的分布列为

ξ p

0
0 0 n Cn p q

1
1 1 n ?1 Cn pq

? ?

xi
k k n?k Cn p q

? ?

N
n n Cn p

此时称ξ 服从二项分布,记作ξ ~B(n,p).若ξ ~B(n,p),则 Eξ =np,Dξ =npq,以上 q=1-p. 19.几何分布:在独立重复试验中,某事件第一次发生时所做试验的次数ξ 也是一个随机变 k-1 量,若在一次试验中该事件发生的概率为 p,则 p(ξ =k)=q p(k=1,2,?),ξ 的分布服从几 何分布,Eξ =

1 q ,Dξ = 2 (q=1-p). p p

二、方法与例题 1.乘法原理。 例 1 有 2n 个人参加收发电报培训,每两个人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方 式? [解] 将整个结对过程分 n 步,第一步,考虑其中任意一个人的配对者,有 2n-1 种选则; 这一对结好后,再从余下的 2n-2 人中任意确定一个。第二步考虑他的配对者,有 2n-3 种选 择,??这样一直进行下去,经 n 步恰好结 n 对,由乘法原理,不同的结对方式有 (2n-1)×(2n-3)×?×3×1=

(2n)! . 2 n ? (n!)

2.加法原理。 例 2 图 13-1 所示中没有电流通过电流表,其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种? [解] 断路共分 4 类:1)一个电阻断路,有 1 种可能,只能是 R4;2)有 2 个电阻断路,有
2 3 -1=5 种可能;3)3 个电阻断路,有 C 4 =4 种;4)有 4 个电阻断路,有 1 种。从而一共 C4

有 1+5+4+1=11 种可能。 3.插空法。 例 3 10 个节目中有 6 个演唱 4 个舞蹈, 要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱, 有多少种 不同的安排节目演出顺序的方式?
6 [解] 先将 6 个演唱节目任意排成一列有 A6 种排法,再从演唱节目之间和前后一共 7 个位 4 6 4 置中选出 4 个安排舞蹈有 A7 种方法,故共有 A6 =604800 种方式。 ? A7

4.映射法。 例 4 如果从 1,2,?,14 中,按从小到大的顺序取出 a1,a2,a3 使同时满足:a2-a1?3,a3-a2 ?3,那么所有符合要求的不同取法有多少种? [解] 设 S={1,2,?,14}, S ' ={1,2,?,10};T={(a1,a2,a3)| a1,a2,a3∈S,a2-a1?3,a3-a2
' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ? 3}, T ' ={( a1 ) ∈ S '| a1 }, 若 (a1 , a2 , a3 , a2 , a3 ? S ' , a1 ? a2 ? a3 , a2 , a3 ) ?T ' , 令 ' ' ' a1 ? a1 , a2 ? a2 ? 2, a3 ? a3 ? 4 ,则(a1,a2,a3)∈T,这样就建立了从 T ' 到 T 的映射,它显 ' ' ' ' ' ' 然是单射,其次若(a1,a2,a3)∈T,令 a1 ? a1 , a2 ? a2 ? 2, a3 ? a3 ? 4 ,则 (a1 , a2 , a3 ) ?T ' , 3 从而此映射也是满射,因此是一一映射,所以|T|= | T ' |? C10 =120,所以不同取法有 120 种。

5.贡献法。 例 5 已知集合 A={1,2,3,?,10},求 A 的所有非空子集的元素个数之和。 9 [解] 设所求的和为 x,因为 A 的每个元素 a,含 a 的 A 的子集有 2 个,所以 a 对 x 的贡献 9 9 为 2 ,又|A|=10。所以 x=10×2 . [ 另解 ]
k A 的 k 元子集共有 C10 个, k=1,2, ? ,10 ,因此, A 的子集的元素个数之和为

1 2 10 0 1 9 C10 ? 2C10 ? ? ? 10C10 ? 10(C9 ? C9 ? ? ? C9 ) ? 10×29。

6.容斥原理。 例 6 由数字 1,2,3 组成 n 位数(n?3),且在 n 位数中,1,2,3 每一个至少出现 1 次, 问:这样的 n 位数有多少个? n 1 2 3 [解] 用 I 表示由 1,2,3 组成的 n 位数集合,则|I|=3 ,用 A ,A ,A 分别表示不含 1, n 不 含 2 , 不 含 3 的 由 1 , 2 , 3 组 成 的 n 位 数 的 集 合 , 则 |A1|=|A2|=|A3|=2 , |A1 ? A2|=|A2 ? A3|=|A1 ? A3|=1。|A1 ? A2 ? A3|=0。 所以由容斥原理|A1 ? A2 ? A3|=

?| A
i ?1

3

i

| ? ? | Ai ? A j |? | A1 ? A2 ? A3 | =3×2n-3.所以满
i? j
n n

足条件的 n 位数有|I|-|A1 ? A2 ? A3|=3 -3×2 +3 个。 7.递推方法。 例 7 用 1,2,3 三个数字来构造 n 位数,但不允许有两个紧挨着的 1 出现在 n 位数中,问: 能构造出多少个这样的 n 位数? [解] 设能构造 an 个符合要求的 n 位数,则 a1=3,由乘法原理知 a2=3×3-1=8.当 n?3 时: 1)如果 n 位数的第一个数字是 2 或 3,那么这样的 n 位数有 2an-1;2)如果 n 位数的第一个 数字是 1,那么第二位只能是 2 或 3,这样的 n 位数有 2an-2,所以 an=2(an-1+an-2)(n?3).这 里数列 {an} 的特征方程为 x =2x+2 ,它的两根为 x1=1+ 3 ,x2=1- 3 , 故 an=c1(1+ 3 ) +
2 n

c2(1+

3
1 4 3

),

n



a1=3,a2=8



c1 ?

2? 3 2 3

, c2 ?

3?2 2 3







an ?

[(1 ? 3 ) n? 2 ? (1 ? 3 ) n ? 2 ].

8.算两次。 例 8 m,n,r∈N+,证明: C n? m ? Cn Cm ? Cn Cm ? Cn Cm
r 0 r 1 2 r ?1 r ?2 r 0 ? ? ? Cn Cm .



r [证明] 从 n 位太太与 m 位先生中选出 r 位的方法有 C n ? m 种;另一方面,从这 n+m 人中选

k r ?k 出 k 位太太与 r-k 位先生的方法有 Cn 种,k=0,1,?,r。所以从这 n+m 人中选出 r 位的 Cm 0 r 1 r ?1 r 0 方法有 Cn Cm ? Cn Cm ? ? ? Cn Cm 种。综合两个方面,即得①式。

9.母函数。 例 9 一副三色牌共有 32 张,红、黄、蓝各 10 张,编号为 1,2,?,10,另有大、小王各 一张,编号均为 0。从这副牌中任取若干张牌,按如下规则计算分值:每张编号为 k 的牌计

为 2 分,若它们的分值之和为 2004,则称这些牌为一个“好牌”组,求好牌组的个数。 [ 解] 对于 n∈ {1,2,? ,2004}, 用 an 表示分值之和为 n 的牌组的数目,则 an 等于函数 f(x)=(1+ x 2 ) ?(1+ x 2 ) ???? ? ?(1+ x 2 ) 的 展 开 式 中 x 的 系 数 ( 约 定 |x|<1 ) ,由于
2 3 3 n
0 1 10

k

f(x)=

1 [ 1? x

(1+ x 2

0

)(1+ x 2

1

)? ? ?(1+ x 2

10

)] =

3

1 211 ( 1 ? x ) (1 ? x)(1 ? x) 3

3

=

11 1 (1 ? x 2 ) 3。 2 (1 ? x )(1 ? x)

2

而 0 ? 2004<2 , 所 以 an 等 于

11

1 n 的展开式中 x 的系数,又由于 2 (1 ? x )(1 ? x)
2

1 1 1 2 3 2 2k = ? =(1+x +x +?+x2k+?)[1+2x+3x +?+(2k+1)x +?],所以 2 2 2 (1 ? x )(1 ? x) 1 ? x (1 ? x)
2

x 在展开式中的系数为 a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1) ,k=1,2,?,从而,所求的“好牌”组的个 2 数为 a2004=1003 =1006009.
k 10.组合数 C n 的性质。

2k

2

例 10

证明: C2m ?1 是奇数(k?1).
k = C2 m ?1

k

[证明]

(2 m ? 1)(2 m ? 2) ?(2 m ? 1 ? k ? 1) 2 m ? 1 2 m ? 2 2m ? k ? ? ??? ?令 1? 2 ??? k 1 2 k

2 m ?ti ? p i 2 m ? i 2m ? 2 ti p i i= 2 ?pi(1?i?k),pi 为奇数,则 ,它的分子、分母均 ? ? i pi 2 ti p i
ti

为奇数,因 C2m ?1 是整数,所以它只能是若干奇数的积,即为奇数。
n n 例 11 对 n?2,证明: 2 n ? C2 n ? 4 .
k [证明] 1)当 n=2 时,2 < C 4 =6<4 ;2)假设 n=k 时,有 2 < C 2 k <4 ,当 n=k+1 时,因为
2 2 k k

k

2

k ?1 C2 ( k ?1) ?

[2(k ? 1)]! 2 ? (2k ? 1)! 2(2k ? 1) k ? ? ? C2k . (k ? 1)!(k ? 1)! (k ? 1)!?k! k ?1

又2 ?

2(2k ? 1) k+1 k k ?1 k k ?1 <4,所以 2 < 2C2k ? C2( k ?1) ? 4C2k ? 4 . k ?1

所以结论对一切 n?2 成立。 11.二项式定理的应用。 例 12 若 n∈N, n?2,求证: 2 ? ?1 ?

? ?

1? ? ? 3. n?

n

[ 证 明 ]

首 先 ?1 ?

? ?

1? 1 1 0 1 1 2 n ? ? Cn ? Cn ? ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ? n ? 2, 其 次 因 为 n? n n n
n

n

k Cn ?

1 n(n ? 1) ?(n ? k ? 1) 1 1 1 1 ? 1? ? ? ? ? ? (k ? 2) , 所 以 ?1 ? ? ? k k k! k (k ? 1) k ? 1 k n n ? k! ? n?
1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ? ? ? Cn ? n ? 2 ? ? ? ? ??? ? ? 3 ? ? 3. 得证。 2 1 2 2 3 n ?1 n n n n

2 2+ C n ?

例 13 证明:

?C
k ?0

n

m?h n?k

m ?1 ? C kh ? C n ?1 ( h ? m ? n).

m?h [证明] 首先, 对于每个确定的 k, 等式左边的每一项都是两个组合数的乘积, 其中 C n ?k 是

(1+x)

n-k

的展开式中 x
k

m-h

h m?h h 的系数。 C k 是(1+y) 的展开式中 y 的系数。从而 C n ? k ? C k 就是
k k m-h h

(1+x) ?(1+y) 的展开式中 x y 的系数。 于是,

n-k

?C
k ?0

n

m?h n?k

?C

h k 就是

? (1 ? x)
k ?0

n

n?k

(1 ? y) k 展开式中 xm-hyh 的系数。

另一方面,

? (1 ? x) n?k (1 ? y) k =
k ?0

n

(1 ? x) n ?1 ? (1 ? y ) n ?1 ? (1 ? x) ? (1 ? y )

? Cnk?1 x k ? ? Cnk?1 y k
k ?0 k ?0

n ?1

n ?1

x? y

=

? Cnk?1x k ?
k ?0

n ?1

x k ? y k n?1 k m?1 = ? C n ?1 (xk-1+xk-2y+?+yk-1),上式中,xm-hyh 项的系数恰为 Cn ?1 。 x ? y k ?0
m ?1 ? C kh ? C n ?1 .

所以

?C
k ?0

n

m?h n?k

12.概率问题的解法。 例 14 如果某批产品中有 a 件次品和 b 件正品,采用有放回的抽样方式从中抽取 n 件产品, 问:恰好有 k 件是次品的概率是多少? [解] 把 k 件产品进行编号, 有放回抽 n 次, 把可能的重复排列作为基本事件, 总数为(a+b)n (即所有的可能结果) 。 设事件 A 表示取出的 n 件产品中恰好有 k 件是次品, 则事件 A 所包
k k n?k Cn a b 含的基本事件总数为 C ?a b ,故所求的概率为 p(A)= . ( a ? b) n
k n

k n-k

例 15 将一枚硬币掷 5 次, 正面朝上恰好一次的概率不为 0, 而且与正面朝上恰好两次的概 率相同,求恰好三次正面朝上的概率。 [ 解 ] 设每次抛硬币正面朝上的概率为 p ,则掷 5 次恰好有 k 次正面朝上的概率为
k k 2 2 1 由题设 C5 且 0<p<1, 化简得 p ? C5 p (1-p)5-k(k=0,1,2,?,5), p (1 ? p) 3 ? C5 p(1 ? p) 4 ,

1 , 3

3 所以恰好有 3 次正面朝上的概率为 C5 ? ? ?? ? ?

?1? ? 3?

3

?2? ?3?

2

40 . 343

例 16 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球比赛,已知每一局甲胜的概率为 0.6,乙胜的概 率为 0.4,比赛时可以用三局二胜或五局三胜制,问:在哪一种比赛制度下,甲获胜的可能 性大? [解] (1)如果采用三局两胜制,则甲在下列两种情况下获胜:A1—2:0(甲净胜二局) ,
1 A2—2:1(前二局甲一胜一负,第三局甲胜). p(A1)=0.6×0.6=0.36,p(A2)= C 2 ×0.6×0.4

×0.6=0.288. 因为 A1 与 A2 互斥,所以甲胜概率为 p(A1+A2)=0.648. 2 (2)如果采用五局三胜制,则甲在下列三种情况下获胜:B1—3:0(甲净胜 3 局) ,B —3:1 (前 3 局甲 2 胜 1 负,第四局甲胜) ,B3—3:2(前四局各胜 2 局,第五局甲胜) 。因为 B1,
2 2 B2, B2 互斥, 所以甲胜概率为 p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.6 + C3 ×0.6 ×0.4×0.6+ C 4
3 2

×0.6 ×0.4 ×0.6=0.68256. 由(1) , (2)可知在五局三胜制下,甲获胜的可能性大。 例 17 有 A,B 两个口袋,A 袋中有 6 张卡片,其中 1 张写有 0,2 张写有 1,3 张写有 2;B 袋中有 7 张卡片,其中 4 张写有 0,1 张写有 1,2 张写有 2。从 A 袋中取出 1 张卡片,B 袋 中取 2 张卡片,共 3 张卡片。求: (1)取出 3 张卡片都写 0 的概率; (2)取出的 3 张卡片数 字之积是 4 的概率; (3)取出的 3 张卡片数字之积的数学期望。 [解](1) p ?
1 2 1 1 1 1 2 C2 ? C2 ? C3 ? C1 ? C2 C1 ? C4 1 4 ; ( 2 ) (3)记ξ 为取出的 3 ? p ? ? ; 1 2 1 2 63 C6 ? C7 21 C6 ? C7

2

2

张卡片的数字之积,则ξ 的分布为 ξ p 0 2 4 8

37 42

2 63

4 63

1 42

所以 E? ? 0 ?

37 2 4 1 32 ? 2? ? 4? ? 8? ? . 42 63 63 42 63

第十四章 极限与导数 一、基础知识 1.极限定义: (1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε ,总存在正数 m,当 n>m 且 n∈N 时,恒有|un-A|<ε 成立(A 为常数) ,则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限,记为
x ? ??

lim f ( x), lim f ( x) ,另外 lim f ( x) =A 表示 x 大于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)极限为 A,称右 ?
x ? ??

x ? x0

f ( x) 表示 x 小于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)的左极限。 极限。类似地 lim ?
x ? x0

2 . 极 限 的 四 则 运 算 : 如 果 lim f(x)=a, lim g(x)=b , 那 么 lim [f(x) ± g(x)]=a ± b,
x ? x0 x ? x0 x ? x0

x ? x0

lim [f(x)?g(x)]=ab, lim
x ? x0

f ( x) a ? (b ? 0). g ( x) b
x ? x0 x ? x0

3.连续: 如果函数 f(x)在 x=x0 处有定义, 且 lim f(x)存在, 并且 lim f(x)=f(x0), 则称 f(x)

在 x=x0 处连续。 4.最大值最小值定理:如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在[a,b]上有最大值 和最小值。 5.导数:若函数 f(x)在 x0 附近有定义,当自变量 x 在 x0 处取得一个增量Δ x 时(Δ x 充分 小) ,因变量 y 也随之取得增量Δ y(Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)).若 lim

?y 存在,则称 f(x)在 x0 ?x ?0 ?x

处可导, 此极限值称为 f(x)在点 x0 处的导数 (或变化率) , 记作 f ' (x0)或 y ' x ? x 0 或

dy dx


x0

即 f ' ( x0 ) ? lim
x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) 。由定义知 f(x)在点 x0 连续是 f(x)在 x0 可导的必要条件。 x ? x0

若 f(x)在区间 I 上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是: f(x)在点 x0 处导数 f ' (x0)等于曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。 6.几个常用函数的导数: (1) (c )' =0(c 为常数) ; (2) ( xa )' ? axa?1 (a 为任意常数) ; (3)

(sin x)' ? cos x; (4) (cos x)' ? ? sin x ;(5) (a x )' ? a x ln a ;(6) (e x )' ? e x ; ( 7 )

(loga x)' ?

1 1 log a x ; (8) (ln x )' ? . x x

7.导数的运算法则:若 u(x),v(x)在 x 处可导,且 u(x)≠0,则 ( 1 ) [u( x) ? v( x)]'? u' ( x) ? v' ( x) ; ( 2 ) [u( x)v( x)]'? u' ( x)v( x) ? u( x)v' ( x) ; (3) (c 为常数) ; (4) [cu( x)]'? c ? u' ( x) [

1 ? u ' ( x) u ( x) u ( x)v' ( x) ? u ' ( x)v( x) ; (5) 。 ]' ? 2 [ ]' ? u ( x) u ( x) u ( x) u 2 ( x)

8.复合函数求导法:设函数 y=f(u),u= ? (x),已知 ? (x)在 x 处可导,f(u)在对应的点 u(u= ? (x))处可导, 则复合函数 y=f[ ? (x)]在点 x 处可导, 且 (f[ ? (x)] )' = f '[? ( x)]? ' ( x) . 9.导数与函数的性质: (1)若 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上连续; (2)若对一切 x ∈(a,b)有 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在(a,b)单调递增; (3)若对一切 x∈(a,b)有 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在(a,b)单调递减。 10.极值的必要条件:若函数 f(x)在 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则 f ' ( x0 ) ? 0. 11.极值的第一充分条件:设 f(x)在 x0 处连续,在 x0 邻域(x0-δ ,x0+δ )内可导, (1)若当 x∈(x-δ ,x0)时 f ' ( x) ? 0 ,当 x∈(x0,x0+δ )时 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极小值; (2) 若当 x∈(x0-δ ,x0)时 f ' ( x) ? 0 ,当 x∈(x0,x0+δ )时 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极大 值。 12.极值的第二充分条件:设 f(x)在 x0 的某领域(x0-δ ,x0+δ )内一阶可导,在 x=x0 处二阶 可导,且 f ' ( x0 ) ? 0, f ' ' ( x0 ) ? 0 。 (1)若 f ' ' ( x0 ) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极小值; (2)

若 f ' ' ( x0 ) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极大值。 13.罗尔中值定理:若函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且 f(a)=f(b),则存在ξ ∈(a,b),使 f ' (? ) ? 0. [证明] 若当 x∈(a,b),f(x)≡f(a),则对任意 x∈(a,b), f ' ( x) ? 0 .若当 x∈(a,b)时, f(x)≠f(a),因为 f(x)在[a,b]上连续,所以 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有一个 不等于 f(a), 不妨设最大值 m>f(a)且 f(c)=m, 则 c∈(a,b), 且 f(c)为最大值, 故 f ' (c) ? 0 , 综上得证。 14.Lagrange 中值定理:若 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,则存在ξ ∈(a,b),使

f ' (? ) ?

f (b) ? f (a ) . b?a

f (b) ? f (a ) ( x ? a ) ,则 F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且 b?a f (b) ? f (a ) . F(a)=F(b),所以由 13 知存在ξ ∈(a,b)使 F ' (? ) =0,即 f ' (? ) ? b?a
[证明] 令 F(x)=f(x)15.曲线凸性的充分条件:设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导数, (1)如果对任意 x∈ I, f ' ' ( x) ? 0 ,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的; (2) 如果对任意 x∈I, f ' ' ( x) ? 0 ,则 y=f(x) 在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。 + 16.琴生不等式:设α 1,α 2,?,α n∈R ,α 1+α 2+?+α n=1。 (1)若 f(x)是[a,b]上的凸函 数,则 x1,x2,?,xn∈[a,b]有 f(a1x1+a2x2+?+anxn)?a1f(x1)+a2f(x2)+?+anf(xn). 二、方法与例题 1.极限的求法。 例 1

an 2 n ? ? 1 (a ? 0) ; 求下列极限: ( 1 ) lim? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ; ( 2 ) lim (3) n ?? 1 ? a n n ?? n n n ? ?

? 1 ? 1 1 ?; n ( n ? 1 ? n ). lim? ? ? ? ? ? (4) lim 2 n ?? n ??? n2 ? 2 n2 ? n ? ? n ?1
[解](1) lim?

n(n ? 1) 2 n ? ? 1 ?1 2 ? 1 ? lim? ? ? 2 ? ? ? 2 ? = lim ?? ; 2 2 n ?? n n ?? 2 2n ? 2 n n ? n ?? 2n ? ?

(2)当 a>1 时, lim

an 1 1 ? lim ? ? 1. n n n n?? 1 ? a n?? ?1? ?1? ? ? ? 1 lim? ? ? 1 n?? a ?a? ? ?
n

lim a an 0 n?? 当 0<a<1 时, lim ? ? ? 0. n n n?? 1 ? a 1? 0 1 ? lim a
n ??

当 a=1 时, lim

an 1 1 ? lim ? . n n ?? 1 ? a n ?? 1 ? 1 2

(3)因为

n n ?n
2

?

1 n ?1
2

?

1 n ?2
2

???

1 n ?n
2

?

n n ?1
2

.

而 lim
n ??

n n ?n
2

? lim
n ??

1 1 1? n

? 1, lim
n ??

1 n ?1
2

? lim
n ??

1 1 1? 2 n

? 1,

所以 lim?

? 1 ? 1 1 ? ? 1. ? ? ? ? ? 2 2 2 n ??? n ? 1 n ? 2 n ? n ? ?

(4) lim n ( n ? 1 ? n ) ? lim
n?? n ??

n n ?1 ? n
22

? lim
n ??

1 1?
2n

1 ?1 n

1 ? . 2

例 2 求下列极限: (1) lim (1+x)(1+x2)(1+ x )?(1+ x )(|x|<1);
n??

x2 ?1 1 ? ? 3 (2) lim? (3) lim 。 ? ?; x ?1 1 ? x 3 x ?1 1? x ? 3 ? x ? 1? x ?
[解] (1) lim (1+x)(1+x2)(1+ x )?(1+ x )
n??

22

2n

= lim

(1 ? x)(1 ? x)(1 ? x 2 ) ?(1 ? x 2 ) 1? x2 1 ? lim ? . n?? n ? ? 1? x 1? x 1? x

n

n ?1

? 3 ?1? x ? x2 ? ?1? x ?1? x2 ? 1 ? ? 3 ? ? ? (2) lim? ? ? ? lim? 3 3 ? ? lim ? ? x ?1 1 ? x 3 1 ? x ? x?1 ? ? ? 1? x ? x?1 ? 1 ? x ?
= lim?
x ?1

2? x ? (1 ? x)(2 ? x) ? ? 1. ? ? lim 3 x ? 1 1? x 1? x ? x2 ? ?

(3) lim
x ?1

x2 ?1 3 ? x ? 1? x

? lim
x ?1

( x 2 ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x ) ( 3 ? x ? 1 ? x )( 3 ? x ? 1 ? x )

= lim

( x ? 1)(x ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x ) ? ( x ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x ) ? lim x ?1 x ?1 2(1 ? x) 2

? ?2 2.
2.连续性的讨论。 例 3 设 f(x) 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 内有定义,且恒满足 f(x+1)=2f(x) ,又当 x ∈ [0,1) 时, 2 f(x)=x(1-x) ,试讨论 f(x)在 x=2 处的连续性。 2 [解] 当 x∈[0,1)时,有 f(x)=x(1-x) ,在 f(x+1)=2f(x)中令 x+1=t,则 x=t-1,当 x∈ 2 [1,2)时,利用 f(x+1)=2f(x)有 f(t)=2f(t-1),因为 t-1∈[0,1),再由 f(x)=x(1-x) 得 2 2 f(t-1)=(t-1)(2-t) ,从而 t∈[1,2)时,有 f(t)=2(t-1)?(2-t) ;同理,当 x∈[1,2)时,令

x+1=t , 则 当

t ∈ [2,3) 时 , 有

f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t) . 从 而

2

2 ? ?2( x ? 1)(2 ? x) , x ? ?1,2 ?; f(x)= ? 所以 2 ? ?4( x ? 2)(3 ? x) , x ? ?2,3?.

x ?2?

lim f ( x) ? lim 2( x ? 1)( 2 ? x) 2 ? 0, lim f ( x) ? lim 4( x ? 2)( 3 ? x) 2 ? 0
x ?2? x ?2? x ?2?







x?2?

l

i f(x)= m lim f(x)=f(2)=0,所以 f(x)在 x=2 处连续。
x?2?

3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 [解] 因 为点 (2,0) 不在曲线 上,设切点 坐标为 (x0,y0) ,则 y 0 ?

1 ,切 线的斜率为 x0

x' | x ? ?
0

1 1 1 1 ,所以切线方程为 y-y0= ? 2 ( x ? x0 ) ,即 y ? ? ? 2 ( x ? x0 ) 。又因为此 2 x0 x0 x0 x0

切线过点 (2,0) , 所以 ? 即 x+y-2=0. 4.导数的计算。

1 1 ? ? 2 (2 ? x0 ) ,所以 x0=1,所以所求的切线方程为 y=-(x-2), x0 x0

5 x 2 ? 3x ? x cos2x 例 5 求下列函数的导数: (1)y=sin(3x+1); (2) y ? ; (3)y=e ; (4) x
x (5)y=(1-2x) (x>0 且 x ? y ? ln(x ? x 2 ? 1) ;

1 )。 2

[解] (1) y' ? cos(3x ? 1) ? (3x ? 1)' ? 3cos(3x+1).

(2) y ' ?

(5 x 2 ? 3x ? x )'?x ? (5 x 2 ? 3x ? x ) ? ( x)' x2

? 1 ? 2 ? ? ?10x ? 3 ? ? x ? 5 x ? 3x ? x 2 x? ?? x2

? 5?

1 2 x3

.

(3) y' ? e (4) y ' ?

cos 2 x

? (cos2x)' ? e cos2x ? (? sin 2x) ? (2x)' ? ?2e cos 2 x ? sin 2x.
1 ? ( x ? x 2 ? 1)' ? ? ? x ? ?? ? 1 ? ? x ? x2 ?1 ? x2 ?1 ? 1

x ? x2 ?1

?

1 x2 ?1

.

(5) y' ? [(1 ? 2x) x ]' ? [e x ln(1?2 x) ]' ? e x ln(1?2 x) ( x ln( 1 ? 2x))'

2x ? ? ? (1 ? 2 x) x ?ln(1 ? 2 x) ? . 1 ? 2x ? ? ?
5.用导数讨论函数的单调性。 例 6 设 a>0,求函数 f(x)= x -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。 [解]

f ' ( x) ?

1 2 x

?

1 ( x ? 0) ,因为 x>0,a>0,所以 f ' ( x) ? 0 ? x2+(2a-4)x+a2>0; x?a

f ' ( x) ? 0 ? x2+(2a-4)x+a+<0.
(1)当 a>1 时,对所有 x>0,有 x +(2a-4)x+a >0,即 f ' (x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)当 a=1 时,对 x≠1,有 x +(2a-4)x+a >0,即 f ' ( x) ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)内单调
2 2 2 2

递增,在(1,+∞)内递增,又 f(x)在 x=1 处连续,因此 f(x)在(0,+∞)内递增; (3)当 0<a<1 时,令 f ' ( x) ? 0 ,即 x +(2a-4)x+a >0,解得 x<2-a- 2 1 ? a 或 x>2-a+ 2 1 ? a ,因
2 2

此, f(x) 在 (0,2-a- 2 1 ? a ) 内单调递增,在 (2-a+ 2 1 ? a ,+ ∞ ) 内也单调递增,而当 2-a- 2 1 ? a <x<2-a+ 2 1 ? a 时 , x +(2a-4)x+a2<0 , 即 f ' ( x) ? 0 , 所 以 f(x) 在
2

(2-a- 2 1 ? a ,2-a+ 2 1 ? a )内单调递减。 6.利用导数证明不等式。 例 7 设 x ? (0, [证明]

?
2

) ,求证:sinx+tanx>2x.
2

设 f(x)=sinx+tanx-2x , 则 f ' ( x) =cosx+sec x-2 , 当 x ? (0,

?
2

) 时,

c ox s?

1 1 2 ?2 c ox s? ? ?2 ( 因 为 2 2 c o sx c o sx c ox s

0<cosx<1 ) , 所 以

f ' ( x) =cosx+sec2x-2=cosx+

1 ? ?? ? ?? ? 2 ? 0 .又 f(x)在 ? 0, ? 上连续,所以 f(x)在 ? 0, ? 2 cos x ? 2? ? 2?

上单调递增,所以当 x∈ ? 0,

? ?? ? 时,f(x)>f(0)=0,即 sinx+tanx>2x. ? 2?

7.利用导数讨论极值。 2 例 8 设 f(x)=alnx+bx +x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值, 试求 a 与 b 的值, 并指出这时 f(x) 在 x1 与 x2 处是取得极大值还是极小值。 [ 解 ] 因为 f(x) 在 (0,+ ∞ ) 上连续,可导,又 f(x) 在 x1=1 , x2=2 处取得极值,所以

2 ? a?? , ?a ? 2b ? 1 ? 0, ? a ? ? 3 解得 ? f ' (1) ? f ' (2) ? 0 ,又 f ' ( x) ? +2bx+1,所以 ? a x ? 4b ? 1 ? 0, ?b ? ? 1 . ? ?2 ? 6 ?
所以 f ( x) ? ?

2 1 2 1 ( x ? 1)( 2 ? x) ln x ? x 2 ? x, f ' ( x) ? ? ? x ? 1 ? . 3 6 3x 3 3x

所以当 x∈(0,1)时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f(x)在(0,1]上递减; 当 x∈(1,2)时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f(x)在[1,2]上递增; 当 x∈(2,+∞)时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f(x)在[2,+∞)上递减。 综上可知 f(x)在 x1=1 处取得极小值,在 x2=2 处取得极大值。 例 9 设 x∈[0,π ],y∈[0,1],试求函数 f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。 [解] 首先,当 x∈[0,π ],y∈[0,1]时, f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y) x
2

? sin(1 ? y) x 2 y ? 1 sin x ? ? ? ? ? x ? (1 ? y) 2 ? (1 ? y) x

=(1-y) x

2

? sin(1 ? y) x sin x sin x y2 sin x ? ? ? ? ? ? ,令 g(x)= x , 2 x x ? (1 ? y) ? (1 ? y) x
g ' ( x) ? cos x( x ? tan x) ? ( x ? ), 2 2 x

当 x ? ? 0,

? ?? ? 时,因为 cosx>0,tanx>x,所以 g ' ( x) ? 0 ; ? 2?

当 x ??

?? ? , ? ? 时,因为 cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以 g ' ( x) ? 0 ; ?2 ?

又因为 g(x)在(0,π )上连续,所以 g(x)在(0,π )上单调递减。 又因为 0<(1-y)x<x<π ,所以 g[(1-y)x]>g(x),即

sin(1 ? y ) x sin x ? ? 0, (1 ? y ) x x

y2 sin x 又因为 ? ? 0 ,所以当 x∈(0,π ),y∈(0,1)时,f(x,y)>0. 2 x (1 ? y)
其次,当 x=0 时,f(x,y)=0;当 x=π 时,f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π ?0. 当 y=1 时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当 y=1 时,f(x,y)=sinx?0. 综上,当且仅当 x=0 或 y=0 或 x=π 且 y=1 时,f(x,y)取最小值 0。 第十五章 复数 一、基础知识 2 1.复数的定义:设 i 为方程 x =-1 的根,i 称为虚数单位,由 i 与实数进行加、减、乘、除

等运算。便产生形如 a+bi(a,b∈R)的数,称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通 常用 C 来表示。 2. 复数的几种形式。 对任意复数 z=a+bi (a,b∈R) , a 称实部记作 Re(z),b 称虚部记作 Im(z). z=ai 称为代数形式,它由实部、虚部两部分构成;若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标,那 么 z 与坐标平面唯一一个点相对应, 从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合 之间的一一映射。因此复数可以用点来表示,表示复数的平面称为复平面,x 轴称为实轴, y 轴去掉原点称为虚轴,点称为复数的几何形式;如果将(a,b)作为向量的坐标,复数 z 又 对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式,称为向量形式;另外 设 z 对应复平面内的点 Z,见图 15-1,连接 OZ,设∠xOZ=θ ,|OZ|=r,则 a=rcosθ ,b=rsin θ ,所以 z=r(cosθ +isinθ ),这种形式叫做三角形式。若 z=r(cosθ +isinθ ),则θ 称为 z 的辐角。 若 0?θ <2π , 则θ 称为 z 的辐角主值, 记作θ =Arg(z). r 称为 z 的模, 也记作|z|, 由勾股定理知|z|= a 2 ? b 2 .如果用 e 表示 cosθ +isinθ , 则 z=re , 称为复数的指数形
iθ iθ

式。 3.共轭与模,若 z=a+bi, (a,b∈R),则 z ? a-bi 称为 z 的共轭复数。模与共轭的性质有: (1) z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; (2) z1 ? z 2 ? z1 ? z 2 ; (3) z ? z ?| z | 2 ; (4) ? ?

? z 1 ? z1 ? ; (5) ?? z ? 2 ? z2

(6) | | z1 ? z 2 |?| z1 | ? | z 2 | ;
2 2 2 2

z1 | z1 | ; ( 7 ) ||z1|-|z2|| ? |z1 ± z2| ? |z1|+|z2| ; (8) |? z2 | z2 |
1 。 z

|z1+z2| +|z1-z2| =2|z1| +2|z2| ; (9)若|z|=1,则 z ?

4.复数的运算法则: (1)按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致,运 算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数; (2)按向量形式,加、减法满足平行四边形 和三角形法则; ( 3)按三角形式,若 z1=r1(cos θ 1+isin θ 1), z2=r2(cosθ 2+isin θ 2) ,则 z1??z2=r1r2[cos( θ 1+ θ 2)+isin( θ 1+ θ 2)] ;若 z 2 ? 0,

z1 r1 [cos( θ 1- θ 2)+isin( θ 1- θ ? z 2 r2

2

)],用指数形式记为 z1z2=r1r2e

i(θ 1+θ 2)

,

z1 r1 i (?1 ??2 ) ? e . z 2 r2
n

5.棣莫弗定理:[r(cosθ +isinθ )] =r (cosnθ +isinnθ ).
n 6. 开 方 : 若 w ? r(cos θ +isin θ ) , 则 w ?

n

n

r( c o s

? ? 2k?
n

? is i n

? ? 2k?
n

) ,

k=0,1,2,?,n-1。 7. 单位根: 若 w =1, 则称 w 为 1 的一个 n 次单位根, 简称单位根, 记 Z1= cos 则全部单位根可表示为 1, Z1 , Z1 ,?, Z1
2 n?1
n

2? 2? ? i sin , n n

. 单位根的基本性质有(这里记 Z k ? Z1k ,

k=1,2,?,n-1) : (1)对任意整数 k,若 k=nq+r,q∈Z,0?r?n-1,有 Znq+r=Zr; (2)对任意
m m 整数 m,当 n?2 时,有 1 ? Z1m ? Z 2 ? ?? Zn ?1 = ?

?0,当n | m, 特别 1+Z1+Z2+?+Zn-1=0; (3) ?n,当n | m,

x +x +?+x+1=(x-Z1)(x-Z2)?(x-Zn-1)=(x-Z1)(x- Z 12 )?(x- Z1n?1 ).
n-1 n-2

8.复数相等的充要条件: (1)两个复数实部和虚部分别对应相等; (2)两个复数的模和辐角 主值分别相等。 9.复数 z 是实数的充要条件是 z= z ;z 是纯虚数的充要条件是:z+ z =0(且 z≠0). 10.代数基本定理:在复数范围内,一元 n 次方程至少有一个根。 11.实系数方程虚根成对定理:实系数一元 n 次方程的虚根成对出现,即若 z=a+bi(b≠0) 是方程的一个根,则 z =a-bi 也是一个根。 2 2 12 .若 a,b,c ∈ R,a ≠ 0 ,则关于 x 的方程 ax +bx+c=0 ,当 Δ =b -4ac<0 时方程的根为

x1, 2 ?

? b ? ? ?i . 2a

二、方法与例题 1.模的应用。 2n 2n 例 1 求证:当 n∈N+时,方程(z+1) +(z-1) =0 只有纯虚根。 2n 2n 2n 2n 2 2 [证明] 若 z 是方程的根, 则(z+1) =-(z-1) , 所以|(z+1) |=|-(z-1) |,即|z+1| =|z-1| , 即(z+1)( z +1)=(z-1)( z -1),化简得 z+ z =0,又 z=0 不是方程的根,所以 z 是纯虚数。 2 例 2 设 f(z)=z +az+b,a,b 为复数,对一切|z|=1,有|f(z)|=1,求 a,b 的值。 [解] 因为 4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b) =|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)| ?|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4,其中等号成立。 所以 f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同,且模相等。 所以 f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i),解得 a=b=0. 2.复数相等。 2 例 3 设λ ∈R,若二次方程(1-i)x +(λ +i)x+1+λ i=0 有两个虚根,求λ 满足的充要条件。 [解] 若方程有实根,则方程组 ?
2

2 ? ? x ? ?x ? 1 ? 0 有实根, 由方程组得(λ +1)x+λ +1=0.若λ 2 ? x ? x ? ? ? 0 ?

=-1,则方程 x -x+1=0 中Δ <0 无实根,所以λ ≠-1。所以 x=-1, λ =2.所以当λ ≠2 时,方 程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为λ ≠2。 3.三角形式的应用。 n 例 4 设 n?2000,n∈N,且存在θ 满足(sinθ +icosθ ) =sinnθ +icosnθ ,那么这样的 n 有 多少个? [解] 由题设得

[cos(

?
2

? ? ) ? i sin(

?
2

? ? )] n ? cos n(

?
2

? ? ) ? i sin(

?
2

? ? ) ? cos(

?
2

? n? ) ? i sin(

?
2

? n? )

,所以 n=4k+1.又因为 0?n?2000,所以 1?k?500,所以这样的 n 有 500 个。 4.二项式定理的应用。
0 2 4 100 1 3 5 99 例 5 计算: (1) C100 ; (2) C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100

[



]

(1+i) =[(1+i) ] =(2i) =-2 , =

100

2 50

50

50













(1+i) = )+(

100

0 1 2 2 99 99 100 100 C100 ? C100 i ? C100 i ? ? ? C100 i ? C100 i

0 2 4 100 (C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100

50 1 3 5 99 0 2 4 100 )i,比较实部和虚部,得 C100 =-2 , C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100

1 3 5 99 =0。 C100 ? C100 ? C100 ? ? ? C100

5.复数乘法的几何意义。 例 6 以定长线段 BC 为一边任作Δ ABC,分别以 AB,AC 为腰,B,C 为直角顶点向外作等腰 直角Δ ABM、等腰直角Δ ACN。求证:MN 的中点为定点。 [证明] 设|BC|=2a, 以 BC 中点 O 为原点, BC 为 x 轴,建立直角坐标系, 确定复平面,则 B, C 对应的复数为-a,a,点 A,M,N 对应的复数为 z1,z2,z3, CA ? z1 ? a, BA ? z1 ? a ,由复数 乘法的几何意义得: CN ? z3 ? a ? ?i( z1 ? a) ,① BM ? z 2 ? a ? ?i( z1 ? a) ,②由①+ ②得 z2+z3=i(z1+a)-i(z1-a)=2ai.设 MN 的中点为 P,对应的复数 z=

z 2 ? z3 ? ai ,为定值, 2

所以 MN 的中点 P 为定点。 例 7 设 A,B,C,D 为平面上任意四点,求证:AB?AD+BC?AD?AC?BD。 [证明] 用 A,B,C,D 表示它们对应的复数,则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D),因 为|A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D|?(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D). 所 以 |A-B|?|C-D|+|B-C|?|A-D| ? |A-C|?|B-D|, “ = ” 成 立 当 且 仅 当

Arg (

B?A B?C D? A B?C ) ? Arg ( ) ,即 Arg ( ) ? Arg ( ) =π ,即 A,B,C,D 共圆时 D?A C?D B?A D?C

成立。不等式得证。 6.复数与轨迹。 例 8 Δ ABC 的顶点 A 表示的复数为 3i,底边 BC 在实轴上滑动,且|BC|=2,求Δ ABC 的外心 轨迹。 [解]设外心 M 对应的复数为 z=x+yi(x,y∈R),B,C 点对应的复数分别是 b,b+2.因为外心 M 是三边垂直平分线的交点,而 AB 的垂直平分线方程为|z-b|=|z-3i|,BC 的垂直平分线的方 程为|z-b|=|z-b-2|,所以点 M 对应的复数 z 满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|,消去 b 解得

4 x 2 ? 6( y ? ). 3
所以Δ ABC 的外心轨迹是轨物线。 7.复数与三角。 例 9 已知 cosα +cosβ +cosγ =sinα +sinβ +sinγ =0,求证:cos2α +cos2β +cos2γ =0。 [证明] 令 z1=cosα +isinα ,z2=cosβ +isinβ ,z3=cosγ +isinγ ,则 z1+z2+z3=0。所以 z1 ? z2 ? z3 ? z1 ? z2 ? z3 ? 0. 又因为|zi|=1,i=1,2,3. 所以 zi? zi =1,即 z i ?

1 . zi


2 2 2 由 z1+z2+z3=0 得 x1 ? x2 ? x3 ? 2z1 z 2 ? 2z 2 z3 ? 2z3 z1 ? 0.

又 z1 z 2 ? z 3 z 2 ? z 3 z1 ? z1 z 2 z 3 ? ?

?1 1 1? ? ? ? ? ? z1 z 2 z 3 ( z1 ? z 2 ? z 3 ) ? 0. ? z1 z 2 z 3 ?

2 2 2 所以 z1 ? z2 ? z3 ? 0.

所以 cos2α +cos2β +cos2γ +i(sin2α +sin2β +sin2γ )=0. 所以 cos2α +cos2β +cos2γ =0。 0 0 0 例 10 求和:S=cos20 +2cos40 +?+18cos18×20 . 0 0 18 0 0 0 [解] 令 w=cos20 +isin20 , 则 w =1 , 令 P=sin20 +2sin40 + ? +18sin18 × 20 , 则 2 18 2 3 18 19 S+iP=w+2w + ? +18w . ① 由 ① × w 得 w(S+iP)=w +2w + ? +17w +18w , ② 由 ① - ② 得 (1-w)(S+iP)=w+w +?+w -18w = 所以 S ? ? . 8.复数与多项式。 n n-1 例 11 已知 f(z)=c0z +c1z +?+cn-1z+cn 是 n 次复系数多项式(c0≠0). 求证:一定存在一个复数 z0,|z0|?1,并且|f(z0)|?|c0|+|cn|. n n-1 iθ [证明] 记 c0z +c1z +?+cn-1z=g(z),令 ? =Arg(cn)-Arg(z0),则方程 g(Z)-c0e =0 为 n 次方 iθ 程,其必有 n 个根,设为 z1,z2,?,zn,从而 g(z)-c0e =(z-z1)(z-z2)???(z-zn)c0,令 z=0 iθ n 得-c0e =(-1) z1z2?znc0,取模得|z1z2?zn|=1。所以 z1,z2,?,zn 中必有一个 zi 使得|zi|? iθ iθ 1,从而 f(zi)=g(zi)+cn=c0e =cn,所以|f(zi)|=|c0e +cn|=|c0|+|cn|. 9.单位根的应用。 例 12 证明:自⊙O 上任意一点 p 到正多边形 A1A2?An 各个顶点的距离的平方和为定值。 [证明] 取此圆为单位圆,O 为原点,射线 OAn 为实轴正半轴,建立复平面,顶点 A1 对应复 数设为 ? ? e
2? i n
2 18 19

?1 w(1 ? w18 ) ? 18w 3 ? ? ? 18w19 ,所以 S+iP= ? ?9? ? ? 2 2 i? , 1? w 1? w ? ?

9 2

,则顶点 A2A3?An 对应复数分别为ε ,ε ,?,ε .设点 p 对应复数 z,则

2

3

n

|z|=1,且=2n-

?| pA
k ?1

n

k

| 2 ? ? | z ? ? k | 2 ? ? ( z ? ? k )(z ? ? k ) ? ? (2 ? ? k z ? ? k z )
k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

=2n- z

??
k ?1

n

k

? z ? ? ? 2n ? z ? ? k ? z ? ? k ? 2n. 命题得证。
k k ?1 k ?1 k ?1

n

n

n

10.复数与几何。 例 13 如图 15-2 所示,在四边形 ABCD 内存在一点 P,使得Δ PAB,Δ PCD 都是以 P 为直角 顶点的等腰直角三角形。求证:必存在另一点 Q,使得Δ QBC,Δ QDA 也都是以 Q 为直角顶点 的等腰直角三角形。 [证明] 以 P 为原点建立复平面,并用 A,B,C,D,P,Q 表示它们对应的复数,由题设及 复数乘法的几何意义知 D=iC,B=iA;取 Q ? 三角形;又由 C-Q=i(B-Q)得

C ? iB ,则 C-Q=i(B-Q),则Δ BCQ 为等腰直角 1? i

D A ? Q ? i ( ? Q) ,即 A-Q=i(D-Q),所以Δ ADQ 也为等腰直角 i i

三角形且以 Q 为直角顶点。综上命题得证。 例 14 平面上给定Δ A1A2A3 及点 p0,定义 As=As-3,s?4,构造点列 p0,p1,p2,?,使得 pk+1 为绕 0 中心 Ak+1 顺时针旋转 120 时 pk 所到达的位置,k=0,1,2,?,若 p1986=p0.证明:Δ A1A2A3 为等边 三角形。

[证明] 令 u= e

i

? 3

,由题设,约定用点同时表示它们对应的复数,取给定平面为复平面,则

p1=(1+u)A1-up0, p2=(1+u)A2-up1, p3=(1+u)A3-up2, 2 2 ① × u + ② × (-u) 得 p3=(1+u)(A3-uA2+u A1)+p0=w+p0,w 为 与 p0 无 关 的 常 数 。 同 理 得 2 2 p6=w+p3=2w+p0,?,p1986=662w+p0=p0,所以 w=0,从而 A3-uA2+u A1=0.由 u =u-1 得 A3-A1=(A2-A1) u,这说明Δ A1A2A3 为正三角形。 第十六章 平面几何 一、常用定理(仅给出定理,证明请读者完成) 梅涅劳斯定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC, CA, AB 或其延长线上的点, 若 A' , B' , C ' 三点共线,则

BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. A' C B' A C ' B BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. 则 A' , B' , C ' 三点共线。 A' C B' A C ' B

梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上,若

塞瓦定理 设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC, CA, AB 或其延长线上的点, 若 AA' , BB' , CC ' 三线平行或共点,则 塞瓦定理的逆定理

BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. A' C B' A C ' B
设 A' , B' , C ' 分别是Δ ABC 的三边 BC,CA,AB 或其延长线上的点,若

BA' CB ' AC ' ? ? ? 1. 则 AA' , BB' , CC ' 三线共点或互相平行。 A' C B' A C ' B
角元形式的塞瓦定理

A' , B' , C ' 分别是 Δ ABC 的三边 BC , CA , AB 所在直线上的点,则

AA' , BB' , CC ' 平行或共点的充要条件是

sin ?BAA ' sin ?ACC ' sin ?CBB ' ? ? ? 1. sin ?A' AC sin ?C ' CB sin ?B ' BA

广义托勒密定理 设 ABCD 为任意凸四边形,则 AB?CD+BC?AD?AC?BD,当且仅当 A,B,C,D 四点共圆时取等号。 斯特瓦特定理 设 P 为Δ ABC 的边 BC 上任意一点,P 不同于 B,C,则有 AP =AB ?
2 2

PC 2 BP +AC ? -BP?PC. BC BC

西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线, 则该点在三角形的外接 圆上。 九点圆定理 三角形三条高的垂足、 三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点, 这九 点共圆。 蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。 (到两圆的幂(即切线长)相等的点构成集合为 一条直线,这条直线称根轴) 欧拉定理 Δ ABC 的外心 O,垂心 H,重心 G 三点共线,且 OG ? 二、方法与例题

1 GH . 2

1.同一法。即不直接去证明,而是作出满足条件的图形或点,然后证明它与已知图形或点 重合。 0 0 0 例 1 在Δ ABC 中,∠ABC=70 ,∠ACB=30 ,P,Q 为Δ ABC 内部两点,∠QBC=∠QCB=10 ,∠ 0 PBQ=∠PCB=20 ,求证:A,P,Q 三点共线。 [证明] 设直线 CP 交 AQ 于 P1, 直线 BP 交 AQ 于 P2, 因为∠ACP=∠PCQ=10 , 所以 ①在Δ ABP,Δ BPQ,Δ ABC 中由正弦定理有
0

AP AC , ? CQ QP 1

QP2 AP2 AB AC AB BQ ? .④ ,② ,③ ? ? 0 0 0 sin 30 sin 70 sin 20 sin ? BP Q sin ?AP2 B sin ?ABP 2 2
由②,③,④得

AP AP 1 ? 2 。又因为 P1,P2 同在线段 AQ 上,所以 P1,P2 重合,又 BP 与 QP QP2 1

CP 仅有一个交点,所以 P1,P2 即为 P,所以 A,P,Q 共线。 2.面积法。 例 2 见图 16-1,◇ABCD 中,E,F 分别是 CD,BC 上的点,且 BE=DF,BE 交 DF 于 P,求证: AP 为∠BPD 的平分线。 [证明] 设 A 点到 BE,DF 距离分别为 h1,h2,则

1 1 BE ? h1 , S ?ADF ? DF ? h2 , 2 2 1 又因为 S ?ABE ? S◇ABCD=SΔ ADF,又 BE=DF。 2 S ?ABE ?
所以 h1=h2,所以 PA 为∠BPD 的平分线。 3.几何变换。 例 3 (蝴蝶定理)见图 16-2,AB 是⊙O 的一条弦,M 为 AB 中点,CD,EF 为过 M 的任意弦, CF,DE 分别交 AB 于 P,Q。求证:PM=MQ。 [证明] 由题设 OM ? AB。不妨设 AF ? BD 。作 D 关于直线 OM 的对称点 D' 。 连 结 PD' , D' M , DD' , D' F , 则 D' M ? DM .?P M D ' ? ?D M Q . 要 证 PM=MQ , 只 需 证

?PD' M ? ?MDQ ,又∠MDQ=∠PFM,所以只需证 F,P,M, D' 共圆。
因为∠ PFD ' =180 - MDD ' =180 -∠ MD ' D =180 -∠ PMD ' 。 (因为 DD ' ? OM。AB// DD ' ) 所以 F,P,M, D' 四点共圆。所以Δ PD ' M ≌Δ MDQ。所以 MP=MQ。 例 4 平面上每一点都以红、蓝两色之一染色,证明:存在这样的两个相似三角形,它们的 相似比为 1995,而且每个三角形三个顶点同色。 [证明] 在平面上作两个同心圆,半径分别为 1 和 1995,因为小圆上每一点都染以红、蓝 两色之一,所以小圆上必有五个点同色,设此五点为 A,B,C,D,E,过这两点作半径并将 半径延长分别交大圆于 A1,B1,C1,D1,E1,由抽屉原理知这五点中必有三点同色,不妨设 为 A1,B1,C1,则Δ ABC 与Δ A1B1C1 都是顶点同色的三角形,且相似比为 1995。 4.三角法。 0 例 5 设 AD,BE 与 CF 为Δ ABC 的内角平分线,D,E,F 在Δ ABC 的边上,如果∠EDF=90 , 求∠BAC 的所有可能的值。 [解] 见图 16-3,记∠ADE=α ,∠EDC=β ,
0 0 0

? ? -α ,∠BDF= -β , 2 2 AE DE CE DE 由正弦定理: , ? , ? A sin ? sin C sin ? sin 2 AE sin ? sin C 得 , ? ? A CE sin ? sin 2 AE AB AB BC sin ? sin C sin C ? ? 又由角平分线定理有 ,又 ,所以 , ? ? A sin A EC BC sin C sin A sin ? sin 2 sin ? A sin ?BDF A cos ? A ? 2 cos ,同理 ? 2 cos ,即 ? 2 cos . 化简得 sin ? 2 sin ?ADF 2 cos ? 2 sin ? cos ? ? 所以 ,所以 sinβ cosα -cosβ sinα =sin(β -α )=0. sin ? cos ? A 1 2 又-π <β -α <π ,所以β =α 。所以 cos ? ,所以 A= π 。 3 2 2
由题设∠FDA= 5.向量法。 例 6 设 P 是Δ ABC 所在平面上的一点,G 是Δ ABC 的重心,求证:PA+PB+PC>3PG. [证明] 因为

PA ? PB ? PC ? PG ? GA ? PG ? GB ? PG ? GC ? 3PG ? GA ? GB ? GC ,又 G 为Δ
ABC 重心,所以 GA ? GB ? GC ? 0. (事实上设 AG 交 BC 于 E,则 AG ? 2GE ? GB ? GC ,所以 GA ? GB ? GC ? 0 ) 所以 PA ? PB ? PC ? 3PG ,所以 | PA | ? | PB | ? | PC |?| PA ? PB ? PC |? 3 | PG | . 又因为 PA, PB, PC 不全共线,上式“=”不能成立,所以 PA+PB+PC>3PG。 6.解析法。 例 7 H 是Δ ABC 的垂心,P 是任意一点,HL ? PA,交 PA 于 L,交 BC 于 X,HM ? PB,交 PB 于 M,交 CA 于 Y,HN ? PC 交 PC 于 N,交 AB 于 Z,求证:X,Y,Z 三点共线。 [解] 以 H 为原点, 取不与条件中任何直线垂直的两条直线为 x 轴和 y 轴, 建立直角坐标系, 用(xk,yk)表示点 k 对应的坐标,则直线 PA 的斜率为 直线 HL 的方程为 x(xP-xA)+y(yP-yA)=0. 又直线 HA 的斜率为

yP ? y A x ? xA ,直线 HL 斜率为 P , xP ? x A y A ? yP

yA x ,所以直线 BC 的斜率为 ? A ,直线 BC 的方程为 xxA+yyA=xAxB+yAyB, yA xA

②又点 C 在直线 BC 上,所以 xCxA+yCyA=xAxB+yAyB. 同理可得 xBxC+yByC=xAxB+yAyB=xAxC+yAyC. 又因为 X 是 BC 与 HL 的交点,所以点 X 坐标满足①式和②式,所以点 X 坐标满足

xxP+yyP=xAxB+yAyB.④同理点 Y 坐标满足 xxP+yyP=xBxC+yByC.⑤点 Z 坐标满足 xxP+yyP=xCxA+yCyA. 由③知④,⑤,⑥表示同一直线方程,故 X,Y,Z 三点共线。 7.四点共圆。 例 8 见图 16-5,直线 l 与⊙O 相离,P 为 l 上任意一点,PA,PB 为圆的两条切线,A,B 为切点,求证:直线 AB 过定点。 [证明] 过 O 作 OC ? l 于 C,连结 OA,OB,BC,OP,设 OP 交 AB 于 M,则 OP ? AB,又因为 OA ? PA,OB ? PB,OC ? PC。 所以 A,B,C 都在以 OP 为直径的圆上,即 O,A,P,C,B 五点共圆。 AB 与 OC 是此圆两条相交弦,设交点为 Q, 又因为 OP ? AB,OC ? CP, 所以 P,M,Q,C 四点共圆,所以 OM?OP=OQ?OC。 由射影定理 OA =OM?OP,所以 OA =OQ?OC,所以 OQ= 所以 Q 为定点,即直线 AB 过定点。 第十七章 整数问题 一、常用定义定理 1.整除:设 a,b∈Z,a≠0,如果存在 q∈Z 使得 b=aq,那么称 b 可被 a 整除,记作 a|b,且 称 b 是 a 的倍数,a 是 b 的约数。b 不能被 a 整除,记作 a b. 2.带余数除法:设 a,b 是两个给定的整数,a≠0,那么,一定存在唯一一对整数 q 与 r,满 足 b=aq+r,0?r<|a|,当 r=0 时 a|b。 3.辗转相除法:设 u0,u1 是给定的两个整数,u1≠0,u1 u0,由 2 可得下面 k+1 个等式: u0=q0u1+u2,0<u2<|u1|; u1=q1u2+u3,0<u3<u2; u2=q2u3+u4,0<u4<u3; ? uk-2=qk-2u1+uk-1+uk,0<uk<uk-1; uk-1=qk-1uk+1,0<uk+1<uk; uk=qkuk+1. 4.由 3 可得: (1)uk+1=(u0,u1); (2)d|u0 且 d|u1 的充要条件是 d|uk+1; (3)存在整数 x 0,x1,使 uk+1=x0u0+x1u1. 5.算术基本定理:若 n>1 且 n 为整数,则 n ? p1 1 p 2 2 ? p k k ,其中 pj(j=1,2,?,k)是质数
a a a
2 2

OA 2 (定值) 。 OC

(或称素数) ,且在不计次序的意义下,表示是唯一的。 6.同余:设 m≠0,若 m|(a-b),即 a-b=km,则称 a 与 b 模同 m 同余,记为 a≡b(modm),也 称 b 是 a 对模 m 的剩余。 7. 完全剩余系: 一组数 y1,y2,?,ys 满足: 对任意整数 a 有且仅有一个 yj 是 a 对模 m 的剩余, 即 a≡yj(modm),则 y1,y2,?,ys 称为模 m 的完全剩余系。 p-1 p 8.Fermat 小定理:若 p 为素数,p>a,(a,p)=1,则 a ≡1(modp),且对任意整数 a,有 a ≡ a(modp). 9.若(a,m)=1,则 a
? (m)

≡1(modm), ? (m)称欧拉函数。

10. (欧拉函数值的计算公式)若 m ? p1 1 p 2 2 ? p k k ,则 ? (m)= m
a a a

? (1 ? p
i ?1

k

1
i

).

11. (孙子定理)设 m1,m2,?,mk 是 k 个两两互质的正整数,则同余组: x≡b1(modm1),x≡b2(modm2),?,x≡bk(modmk)有唯一解,
' ' x≡ M 1' M1b1+ M 2 M2b2+?+ M k Mkbk(modM),

其中 M=m1m2mk; M i =

M ,i=1,2,?,k; M i' M i ≡1(modmi),i=1,2,?,k. mi

二、方法与例题 1.奇偶分析法。 例 1 有 n 个整数,它们的和为 0,乘积为 n, (n>1) ,求证:4|n。 [证明] 设这 n 个整数为 a1,a2,?,an,则 a1,a2,?,an=n, ① a1+a2+?+an=0。 ② 首先 n 为偶数,否则 a1,a2,?,an 均为奇数,奇数个奇数的和应为奇数且不为 0,与②矛盾, 所以 n 为偶数。 所以 a1,a2,?,an 中必有偶数, 如果 a1,a2,?,an 中仅有一个偶数, 则 a1,a2,?,an 中还有奇数个奇数,从而 a1+a2+?+an 也为奇数与②矛盾,所以 a1,a2,?,an 中必有至少 2 个 偶数。所以 4|n. 2.不等分析法。 3 3 3 2 2 2 例 2 试求所有的正整数 n,使方程 x +y +z =nx y z 有正整数解。 2 3 3 2 3 3 3 解 设 x,y,z 为其正整数解,不妨设 x?y?z,则由题设 z |(x +y ),所以 z ?x +y ,但 x ?xz ,y ?yz ,因而 z=nx y 2 3 2 2 2

x3 ? y3 2 2 3 3 2 2 2 2 ?nx y -(x+y),故 x +y ?z ?[nx y -(x+y)] ,所以 2 z

n x y ? 2nx y (x+y)+x +y , 所 以 nxy< 2? ?x ? y? ? ? nx3 ? ny3 。 若 x ? 2 , 则 4 ? ? ?
2 4 4 2 2 3 3

?1

1?

1

1

nxy< 2? ?

?1 1? 1 1 2 1 1 ? ? ? 3 ? 3 ?3,矛盾。所以 x=1,所以 ny< 2 ? ? ? 3 ,此式当且 ? y n ny ny ? x y ? nx
2 3 3 2 3

仅当 y?3 时成立。又 z |(x +y ),即 z |(1+y ),所以只有 y=1,z=1 或 y=2,z=3,代入原方 程得 n=1 或 3。 3.无穷递降法。 2 2 2 2 2 例 3 确定并证明方程 a +b +c =a b 的所有整数解。 解 首先(a,b,c)=(0,0,0)是方程的整数解,下证该方程只有这一组整数解。假设


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