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2014年高考复习二次函数 函数图象



二次函数
知识点归纳: 1.二次函数的图象及性质:二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的图象的对称轴方程是
x??

? b 4ac ? b 2 b ,顶点坐标是 ? ? , ? 2a 4a 2a ?

? ? ? ?

2.二次函数的解析式的三种形式:用待定系数法求二次函数的解析式时,解

析 式 的 设 法 有 三 种 形 式 , 即
f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(一般式) ,

f ( x) ? a( x ? x1 ) ? ( x ? x2(零点式) 和 f ( x) ? a( x ? m) 2 ? n (顶点式) )
3. 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的实根分 布问题,用图象求解,有如下结论:令 f(x)=ax2+bx+c (a>0)
?? ? 0 ? (1)x1<α,x2<α ,则 ?? b /(2a ) ? ? ; ?af (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? (2)x1>α,x2>α,则 ?? b /(2a ) ? ? ?af (? ) ? 0 ?

?? ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ? (3)α<x1<?,α<x2<?,则 ? (4)x1<α,x2>? (α<?),则 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 ? ?? ? ?b /(2a ) ? ? ?

(5)若 f(x)=0 在区间(α,?)内只有一个实根,则有 f (? ) f ? ? ) ? 0 4. 最值问题:二次函数 f(x)=ax2+bx+c 在区间*α,?]上的最值一般分为三种情 况讨论,即:(1)对称轴?b/(2a)在区间左边,函数在此区间上具有单调性;;(2)对 称轴?b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数 a 的符号对抛物线开口 的影响 1.讨论二次函数的区间最值问题:①注意对称轴与区间的相对位置;② 2.讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑:①判别式;②区间端 点的函数值的符号;③对称轴与区间的相对位置 5.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系: ① ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的 图 像 与 x 轴 无 交 点 ? ax2+bx+c=0 无 实 根 ? ax2+bx+c>0(<0)的解集为 ? 或者是 R; ② ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴相切 ? ax2+bx+c=0 有两个相等的实根 ?

ax2+bx+c>0(<0)的解集为 ? 或者是 R; ③ ? ? 0 ? f(x)=ax2+bx+c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 ? ax2+bx+c=0 有两个不 等的实根 ? ax2+bx+c>0(<0)的解集为 (? , ? ) (? ? ? ) 或者是 (??, ? ) ? (? , ??) 题型讲解: 例 1 函数 y ? x 2 ? bx ? c ( x ?[0, ??)) 是单调函数的充要条件是( A. b ? 0 B. b ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0 )

例 2 已知函数 f ( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? a 2 ? 2 与非负 x 轴至少有一个交点,求 a 的取值范围 课堂练习: 1.函数 f(x)=2x2?mx+3,当 x?(??,?1]时是减函数, x?[?1,+?)时是增函数, f(2)= 当 则 2.如果方程 x2+2ax+a+1=0 的两个根中,一个比 2 大,另一个比 2 小,则实数 a 的 取值范围是 3.已知 f(x)=(m?2)x2?4mx+2m?6=0 的图象与 x 轴的负半轴有交点,求实数 m 的取 值范围
4.函数 y ? x 2 ? bx ? c( x ?[0, ??)) 是单调函数的充要条件的是 5.已知 a 是实数,函数 f ( x) ? 2ax2 ? 2 x ? 3 ? a ,如果函数 y ? f ( x) 在区间 ? ?1,1? 上有零点, 求 a 的取值范围.

函数图像与变换
一、 图像变换 1.平移变换: (1)水平平移:函数 y ? f ( x ? a) 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向左 (a ? 0) 或 向右 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到; (2)竖直平移:函数 y ? f ( x) ? a 的图像可以把函数 y ? f ( x) 的图像沿 x 轴方向向上 (a ? 0) 或 向下 (a ? 0) 平移 | a | 个单位即可得到. 2.对称变换: (1)函数 y ? f (? x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 y 轴对称即可得到; (2)函数 y ? ? f ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于 x 轴对称即可得到; (3) 函数 y ? ? f (?x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于原点对称即可得到; (4)函数 y ? f ?1 ( x) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称得到. 3.翻折变换: (1) 函数 y ?| f ( x) | 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的 x 轴下方部分沿 x 轴翻折到 x 轴上方,

去掉原 x 轴下方部分,并保留 y ? f ( x) 的 x 轴上方部分即可得到; (2)函数 y ? f (| x |) 的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像右边沿 y 轴翻折到 y 轴左边替代原 y 轴 左边部分并保留 y ? f ( x) 在 y 轴右边部 分即可得到. 4.伸缩变换: (1)函数 y ? af ( x) ( a ? 0 )的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的纵坐标伸长到原来的 得到。 k (k ? 0) 倍(横坐标不变) (2)函数 y ? af ( x) ( a ? 0 )的图像可以将函数 y ? f ( x) 的图像的横坐标伸长到原来的 得到。 k (k ? 0) 倍(纵坐标不变) 二、典型例题 1、 函数的图象变换 例 1、 (1)设 f ( x) ? 2 , g ( x) 的图像与 f ( x) 的图像关于直线 y ? x 对称, h( x ) 的图像由
?x

g ( x) 的图像右平移 1 个单位得到,则 h( x) 为__________
(2)要得到 y ? lg(3 ? x) 的图像,只需作 y ? lg x 关于_____轴对称的图像,再向____平移 3 个单位而得到 例 2、已知 f(x+199)=4x +4x+3(x∈R),那么函数 f(x)的最小值为____. 例 3、设函数 y=f(x)的定义域为R,则函数 y=f(x-1)与 y=(1-x)的图象关系为( ) A、直线 y=0 对称 B、直线 x=0 对称 C、直线 y=1 对称 D、直线 x=1 对称 2 、函数图象的画法 以解析式表示的函数作图象的方法有两种, 即列表描点法和图象变换法, 运用描点法作图象 应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把表列在关键处,要把线连在恰当 处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究.而这个 研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段。用图象变换法作函数图象要确定以哪 一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换。 例 4 画出下列函数的图象
2

?1? (1) y ? ? ? ?2?

| x ? 2|

(2) y ?| 2 x ? 2 x ? 1 |
2

(3) y ? f ? x ? ? lg x ? 1 ;

(4) g ?x ? ? lg( x ? 1)

3 、函数图象的识别 通过对函数解析式的形式了解函数的图象的特点, 在识别上可以采用特殊的原则, 去寻找特 殊点和特殊位置等方法; 在图象变换的问题上, 需要依据变换的方法对函数的图象进行变换, 而得到函数的图象; 现在有一类很常见的的题型是和实际的生活相联系的问题, 比如例题 6, 对于这样的问题首先需要我们把它转化成数学问题去进行思考 例 5、(1) 已知 y=f(x)的图象如图(A), y=f(-x)的图象是_______; 则 y=-f(x)的图象是_______; y=f(?x?)的图象是______;y=?f(x)?的图象是_______。

4 、函数图象的应用 有关函数图象的应用在前面的几个知识点当中有适当的涉及,函数的图象在我们函数有 关问题的解决中是有着相当重要的作用,起着直观,简洁,化繁为简的作用。 例 7、 (1)方程 x ? lg x ? 2 的实根共有_______个。 课堂作业: 1.(2006 年山东卷)函数 y=1+ax(0<a<1)的反函数的图象大致是 ( D )

(A) (A)

(B) (B)

(C) (C)

(D) (D)

2. (2006 年全国卷 II)函数 y=f(x)的图像与函数 g(x)=log2x(x>0)的图像关于原点 对称,则 f(x)的表达式为 ( ) 1 (A)f(x)=log x(x>0) (B)f(x)=log2(-x)(x<0) (C)f(x)=-log2x(x>0) (D)f(x)=-log2(-x)(x<0) 2 3.[05 山东,文 2]函数 y ?
y

1? x ? x ? 0 ? 的反函数图像大致是 x
y
y





y

1

o

x

?1

o

x

1

o

x

?1

o

x

(A)
4.已知函数

(B)

(C)

(D)

y ? f ( x)( x ? R) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,且当 x ? ?? 1,1? 时, f ( x) ? x 2 ,则
( ) C4 D5

y ? f (x) 与 y ? log 5 x 的图象的交点个数为
A2 B3

? 2x ? 5 若函数 f ( x) ? ?log x ? 1 ? 2

x ≤ 1, x ? 1, 则 y=f(1-x)的图象可以是(


(A)

(B)

(C)

(D)



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