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直线与双曲线位置关系1



复习:

椭圆与直线的位置关系及判断方法

相离
判断方法
(1)联立方程组

相切

相交

(2)消去一个未知数 (3)

?<0

?=0

?>0

一 .点与双曲线的位置关系
x2 y2 点P( x0 , y0 )与双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0)的位置关系 a b
x y 点P( x0 , y0 )在双曲线上 ? 02 ? 02 ? 1; a b
x0 y0 点P( x0 , y0 )在双曲线内 ? 2 ? 2 ? 1; (含焦点) a b
2 2

2

2

y
B2 A1 O A2 B1

点P( x0 , y0 )在双曲线外 ?

x0 y ? 02 ? 1; a2 b

2

2

x

初步感知

二、直线与双曲线位置关系:
Y

O

X

分类: 相离;相切;相交。

图象法:

根据交点个数判定
Y

相交:两个交点 相切:一个交点 相离:0个交点 相交:一个交点
Y

O

X

O

X

3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序
把直线方程代入双曲线方程

得到一元一次方程 直线与双曲线的 渐进线平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

?y = kx + m ? 2 消去y,得 : (b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=0 ? x y2 ? 2 - 2 =1 ?a b

1.二次项系数为0时,L与双曲线的渐近线平行 或重合。

重合:无交点;平行:有一个交点。
2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程, Δ>0 Δ=0 Δ<0 直线与双曲线相交(两个交点) 直线与双曲线相切 直线与双曲线相离

注:
①相交两点: △>0 同侧:x1 ? x2>0 异侧: x1 ? x2 <0 一点: 直线与渐进线平行 △=0
△<0

②相切一点:
③相 离:

特别注意直线与双曲线的 位置关系中: 一解不一定相切,相交不一定 两解,两解不一定同支

有两个公共点 直线与双 曲线相交 有一个公共点, 直线与渐近线平行

方程有两个不 同的根Δ>0 方程二次项 系数为0 直线和双曲线都 只有一个公共点 方程有两个 等根Δ=0

直线与双 ——只有一个公共点 曲线相切 直线与双 ——没有公共点 曲线相离

方程没有实 根Δ<0

例1.已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1,
求k为何值时,直线与双曲线只有一个公共点? ?y ? kx ? 1 2 ? 3x2 ? (kx ? 1) ? 1 解: 2 y ? 2 ?3x ? y ? 1 P ? (3 ? k2 ) 2 ? 2kx ? 2 ? 0 x B A 若3-k2 ? 0,即k ? ? 3 0
此时直线与双曲线相交于一个公共点

x

若3-k2 ? 0 ?=4k2 ? 4 ? 2 ? (3 ? k2 ) ? ?4k2 ? 24=0
即k= ? 6,
此时直线与双曲线相切于一点

? k ? ? 3,或k ? ? 6 时,直线与双曲线只有一个公共点

? (3 ? k2 ) 2 ? 2kx ? 2 ? 0 x

想一想 K为何值时,有两个交点,没有交点?


? 6 ? k ? 6且k ? ? 3



k?? 6

y

k ? 6

直线L与双曲线C有两个公共点 A 当 k ? 6 或 k?? 6 或
0

P

B

k 不存在时,

x

直线L与双曲线C无公共点。 当 k ? ? 6 或k ? ? 3时, 直线L与双曲线C只有一个公共点;

x2 y2 练习.过点P(1,1)与双曲线 ? ? 1只有 一个 Y 9 16 4 交点的直线 共有_______条. (1,1)


变题:将点P(1,1)改为

O

X

1.A(3,4)
2.B(3,0)

3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的? 1.两条;2.三条;3.两条;4.零条.

x2 y2 探究1:已知双曲线 a 2 ? b 2 ? 1 ,过点P(m,n)与

双曲线只有一个公共点的直线有几条?与该点的 位置有何关系? 点 P(m,n) 的位置 直线 条数 双 曲 线 上

双曲线外(不含焦点) 双 曲含 除渐近线 在渐近线 在 线焦 原 点 及原点 上(除原点) 点 内
( )

三 条

两 条

四条

两条

不 存 在

课堂练习

x y ? ? 1 的右焦点 F2 ,倾斜角为30?的 过双曲线 3 6
直线交双曲线于A,B两点,求|AB|。

2

2

分析:求弦长问题有两种方法: 法一:如果交点坐标易求,可直接用两点间距离公 式代入求弦长; 法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达 定理来处理.

例4、已知双曲线x 2 ? y 2 ? 1及直线y ? kx ? 1,
y

()若直线与双曲线有交点,求k的范围; 1

6 (2)若 | k |? ,求S?OAB 2 ? y ? kx ? 1 解:(1 )联立 ? 2 x ? y2 ? 1 ?

F1

.

O

. .

F2

x

? (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 (| x |? 1)

当k ? ?1时, x ? ?1 直线与双曲线有交点
? ? 4k 2 ? 8(1 ? k 2 ) ? 0 ? ? 2 ? k ? 2且k ? ?1 当k ? ?1时,

综上,当? 2 ? k ? 2时,直线与双曲线有交 点

思考:什么情况下只有一个交点?

y

思考:什么情况下只有一个交点? 当k ? ? 2或k ? ?1时,
直线与双曲线只有一交 点 ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0

F1

.

O

. .

F2

思考:什么情况下两个交点? 当? 2 ? k ? 2且k ? ?1时,直线与双曲线有两 个交点

思考:什么情况下两个交点在右支?
当 ? k ? 2时,直线与双曲线有两 1 个交点都在右支

思考:什么情况下两个交点在两支上?
当 ? 1 ? k ? 1时,直线与双曲线有两 个交点在两支上

y

1 (2) S ?OAB ? | AB | d , (d是O到直线 AB 的距离 ) 2 1 d? 1? k 2

?

A

F1

.

O

?

B .

F2

? ? 1? k 2 由弦长公式: |? 1 ? k | AB |a|
2

? y ? kx ? 1 ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 联立? 2 x ? y2 ? 1 ?

8 ? 4k 2 |1? k 2 |

1 2 2? k2 ?S ? 1? k 2 2 k 2 ?1

1 1? k 2

2? k2 ? 2 ? 2 k ?1

y

思考:什么情况下只有一个交点? 当k ? ? 2或k ? ?1时,
直线与双曲线只有一交 点 ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 2 ? 0

F1

.

O

. .

F2

思考:什么情况下两个交点? 当? 2 ? k ? 2且k ? ?1时,直线与双曲线有两 个交点

思考:什么情况下两个交点在右支?
当 ? k ? 2时,直线与双曲线有两 1 个交点都在右支

思考:什么情况下两个交点在两支上?
当 ? 1 ? k ? 1时,直线与双曲线有两 个交点在两支上

x2 y2 已知双曲线方程: ? ?1 例5、 4 2 ( )过 M( ,)的直线交双曲线于A、B 两点,若 M 为弦 AB 的中点, 1 1 1
求直线 AB 的方程;

? 1? (2)是否存在直线 ,使 N ?1, ? 为 l 被双曲线所截弦的中点 l ,若存在, ? 2? y 求出直线 l 的方程,若不存在,请 说明理由。

设 y B y 解: A( x1 ,1) , ( x2 ,2) ,则 ( x1 ? x2)
x y12 ? ? 1 相减 4 2 y1 ? y2 1 x1 ? x2 ? x ?x ? 2? y ? y 2 2 x2 y2 1 2 1 2 ? ?1 4 2 1 xM ? k AB ? ? ? 1 即 kAB ? 1 , 2 2 2 yM
2 1

2
M

?2

o

. .N

2

x

? 2

? 直线 AB 的方程为:y ? 1 ? 1 ( x ? 1) 即 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2

y

设 解法二: l AB : y ? 1 ? k ( x ? 1)
? y ? kx ? 1 ? k ?2 联立? 2 x ? 2 y2 ? 4 ? ? (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k (1 ? k ) x ? 2(1 ? k )2 ? 4 ? 0
? x1 ? x2 2k (1 ? k ) 1 ? ?1 ? k ? , 2 2 1 ? 2k 2

2
M

o

. .N

2

x

? 2

? 直线 AB 的方程为:y ? 1 ? 1 ( x ? 1) 即 x ? 2 y ? 1 ? 0 . 2

(2) 假设过 N 的直线交双曲线于 ( x1 ,1 ) , ( x2 , 2 ) ,则 C y D y 2 x1 y12 ? ? 1 相减 4 2 y1 ? y2 1 x1 ? x2 1 xN ? x1 ? x2 ? 2 ? y1 ? y2 ? 2 ? y ? 1 即 kCD ? 1, 2 N x2 y2 2 ? ?1 y 4 2 ? 双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2 x : 2 2 ? kCD ? 2 M. 2 .N ?2 2 o ? 直线l 与双曲线没有交点 x ? 2 1 ? 以 N (1, ) 为弦的中点的直线不存 . 在 2

y 2 x2 在双曲线 ? ? 1 的一支上有不同的三点A( x1 , y1 ), 例6、 12 13 B ( 26, C x3,y3)且与点F 0 ,) 6), ( ( 5 的距离成等差数列。 y ()求y ? y ; 1
1 3

(2)求证AC的垂直平分线必过定点。
y x2 ? 1 得 解:由双曲线 12 ? 13
2

F1

. .F

?
?

A

?

B

C
x

点 F (0 ,) 是此双曲线的一焦点 5 .
()由题意 A、B、C三点在双曲线上支上, 1

O

2

由双曲线第二定义得:

AF

dA 同理 BF ? dBe,CF ? dC e ? AF 、 、 成等差数列 ? d A , d B , dC 成等差数列 BF CF a2 a2 a2 即2( yB ? ) ? ( y A ? ) ? ( yC ? ) ? y1 ? y3 ? 12 . c c c

? e ? | AF | ? d Ae

y
F1

. .F

?
?

A

(2)设AC的中点坐标为 x0 ,6) (
? y2 x2 ? ? ?1 ? 12 13 y1 ? y3 12 x1 ? x3 ? 2 相减 : x ? x ? 13 ? y ? y y x2 ? ? ?1 1 3 1 3 ? 12 13 ? 2 x0
O

?

B

C
x

2

? k AC ?

13

? AC的中垂线方程为: ? 6 ? ? y

13 13 25 ( x ? x0 ) 即 x? y? ?0 2 x0 2 x0 2

此直线过定点 0 ,25) ( . 2

1. 注意直线和双曲线相切与相交只有一个公 共点(直线与渐近线平行,方程退化为一次方 程)的区别. 2.注意二次曲线、二次方程、二次函数三者 之间的内在联系, 直线与双曲线的位置关系 通常转化为二次方程, 运用判别式, 根与系数 的关系以及二次方程实根分布原理来解决.

y2 已知双曲线C:x 2 ? ? 1与点P(m,2) 4

设经过点P且与双曲线C只有一个公共点的直线L 只有两条, 求实数m的范围;

x2 y2 探究1:已知双曲线 a 2 ? b 2 ? 1 ,过点P(m,n)与

双曲线只有一个公共点的直线有几条?与该点的 位置有何关系? 点 P(m,n) 的位置 直线 条数 双 曲 线 上

双曲线外(不含焦点) 双 曲含 除渐近线 在渐近线 在 线焦 原 点 及原点 上(除原点) 点 内
( )

三 条

两 条

四条

两条

不 存 在

x2 y2 探究2:已知双曲线 2 ? 2 ? 1 过点P(m,n)能否 a b 存在直线L,使L与此双曲线交于A、B两点,且点P
是线段AB的中点?

点的 区 是否 位置 存在 域 方程
2 2



区 域 Ⅱ 存 在

区 域 Ⅲ 存 在

渐近 原 双曲 线上 点 线上 (除原点) 存 在

不 x y ? 2 ?1 存 2 a b 在

不 存 在

不 存 在

y2 例:已知双曲线 2 ? x ? 1, 过点M (1,1)能否作直线l与双曲线 2 交于A,B两点,且M为线段AB的中点?

若可以,设截得的弦的 端点A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),
2 2 则2x1 ? y12 ? 2,2x2 ? y2 ? 2, 且x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? 2 2

y2 ? y1 2( x1 ? x2 ) 4 则k ? ? ? ?2 x2 ? x1 ( y1 ? y2 ) 2
?l : y ? 1 ? 2( x ? 1)
? y ? 2x ?1 ? 但此时? 2 y 2 无解 ?x ? 2 ? 1 ?

?不存在直线

例、(1)若直线y ? kx ? 1与 曲线C: y ? x ? 1有两个交点
2

y
M

求实数k的取值范围

o

x

例6(2)若直线y ? kx ? 2与 曲线C: y ? x ? 1有一个交点
2

M

y

求实数k的取值范围

o

x

ex3.当k取不同实数时,讨论方 程 2 2 kx ? y ? 4所表示的曲线类型.

k ? 0, 直线y ? ?2 2 2 x y k ? 0时, ? ? 1. 4 4 k k ? 1, 表示圆

k ? 0且k ? 1表示椭圆 k ? 0表示双曲线



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