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排列组合的应用(I)分堆问题



排列组合的应用(I)分堆问题
适用学科 适用区域 知识点 教学目标 教学重点 教学难点
高中数学 通用 分堆问题的解决方法 掌握分堆问题的方法,灵活运用分堆问题进行解题和运算 分堆问题中的排列与非排列问题 灵活区别各类型的特点并找到对应解决策略

适用年级 课时时长(分钟)

高中三年级 60

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教学过程
课堂导入
如果想将 7 本不同的书分给 7 个人,没人一本有多少种分配方法? 问题: 如果这 7 本书是相同的呢? 如果有不同的 4 本数学书和 4 本不同的外语书分给 4 个不同的人每人 2 本,那么有多少种不同的分配方法? 如果有相同的 4 本数学书和 4 本相同的外语书分给 4 个不同的人每人 2 本,那么有多少种不同的分配方法?

2

一、复习预习
排列、排列数 组合、组合数 排列组合的简单应用

3

二、知识讲解
考点 1
无序等分:将 n 个不同元素平均分成 m 份(可整除)的方法有
m m m Cn Cn?m ?Cm 其中平均分配必然除以 m! m Am

有序等分:在无序等分

m m m m m m Cn Cn?m ?Cm Cn Cn?m ?Cm m m m m 的基础上乘以排列数,即为 ? Am ? Cn Cn?m ?Cm m m Am Am

4

考点 2
m1 m 2 Cn - m1 ?Cm pp 无序不等分:是将 n 个不同元素,分为 p 推,其中每堆含有 m1,m2, ?mp , m1 ? m2 ? mp ? n 方法有 Cn m m1 m 2 p Cn - m1 ?Cm pp Ap 有序不等分:在无序不等分基础上进行排列, Cn m

5

考点 3
无序局部等分:将含 n 个不同元素的一部分平均分成 m 份 如:将 7 本不同的书分成三摞,要求一摞 3 本另两罗个 2 本
3 解:先在 7 本书中选出不等分的部分,再按等分处理 C7 2 2 C4 C2 2 A2
2 2 C4 C2 3 A3 2 A2

3 有序局部等分:在无序局部等分的基础上进行排列,如上例,分给 3 个人则有 C7

6

三、例题精析
考点一 例1 12 本不同的书

(1)按 4∶4∶4 平均分成三堆有多少种不同的分法? (2)按 4∶4∶4 平均分给三个学生有多少种不同的分法?

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【规范解答】 解: (1)根据等分的情况有
4 4 C12 C84C4 ? 5775 3 A3

4 4 (2)根据知识点讲解则有 C12 C84C4 ? 34650

【总结与反思】 注意等分的问题一定要对等分不分进行除以等分数的阶乘

8

考点二 例2 (1)6 本不同的书按 1∶2∶3 分成三堆有多少种不同的分法? (2)按 1∶2∶3 分给甲、乙、丙三个人有多少种不同的分法?

9

【规范解答】 (1)分堆问题解决,只需按步选出个数,再按分步乘法原理相乘
1 2 3 C6 C5 C3 ? 60 1 2 3 3 (2)在上一题的基础上进行排列 C6 C5 C3 A3 ? 360

【总结与反思】 不等分堆问题解决,只需按步选出个数,再按分步乘法原理相乘

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考点三 例3 9 支笔按 3:2:2:2

(1)分成 4 推有多少种不同的分法 (2)分给 A、B、C、D、四个人有多少种不同的分法
王新敞
奎屯 新疆

11

【规范解答】
3 2 2 2 (1)先选不等分部分 C9 C6 C4 C2 ? 7560 3 2 2 2 4 (2)进行排列 C9 C6 C4 C2 A4 ? 181440

【总结与反思】 对于排列组合问题,要先“组合”后“排列”

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课程小结
分堆问题有 无序等分 有序等分 无序不等分 有序不等分 无序局部等分 有序局部等分 依照先组合后排列进行计算

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