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2012年12月上海市高三年级十三校联考数学(理)试卷



2012 年高三年级十三校联考数学(理)试卷
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格 4 分。 1.已知集合 M ? { x | ?1 ? x ? 2}, N ? { y | y ? 2.不等式

1 2 x ? 1 , x ? M } ,则 M ? N ? __________。 2

1 ? 1 的解

集是_________________。 x ?1

3.设 f ( x) 的反函数为 f ?1 ( x) ,若函数 f ( x) 的图像过点 (1, 2) ,且 f ?1 (2 x ?1) ?1 ,则 x ? ______。

cos? 3 4.若 sin ? ? ? ,则行列式 5 sin ?

sin ? ? __________。 cos?

5.已知函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? a ? cos ? x ,若 f (1) ? 2 ,则实数 a ? _____。 6.若函数 f (x) ? (x ? a)(bx ? a) (常数 a , b ? R )是偶函数,且它的值域为 [?4 , ? ?) ,则该函数 的解析式为______________。

4 4a 4a n ?1 ? ??? ) ? 9 ,则实数 a 的值等于________。 7.若 lim( n ?? 1 ? a 1? a 1? a
??? 1 ???? 2 ??? ? ? 8.已知 P 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 AP ? AC ? AB ,则 ?APB 的面积与 ?PAC 的面 5 5
积之比为________。 9.一个等差数列 { an } 中,

an 是一个与 n 无关的常数,则此常数的集合为__________。 a2n

10.若函数 f ( x) ? ? x2 ? (2a ? 1) | x | 有四个不同的单调区间,则实数 a 的取值范围是_________。

a 11.已知正项等比数列 { an } 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,如果存在两项 am 、 n ,使得 am ? an ? 4 a1 ,则

1 4 ? 的最小值为__________。 m n
12.已知等比数列 { an } 的首项为 2,公比为 2,则 13.设函数 f ( x) ? x2013 ? x , x ? R ,若当 ? ? [0 , 取值范围是__________。 14.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4x ? c 的值域为 [0 , ? ?) ,且 f (1) ? 4 ,则 u ? 值为__________。 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每小题 4 分。 1 15.已知 A ? { x | y ? lg(x ?1) , x ? R}, B ? { x | ? 1 , x ? R } ,则 ( ) x (A) x ? B ”是“ x ? A ”的充分不必要条件(B) x ? B ”是“ x ? A ”的必要不充分条件 “ “ (C) x ? B ”是“ x ? A ”的充分必要条件 (D) x ? B ”是“ x ? A ”的既不充分又必要条件 “ “
1

aan?1 aa1 ? aa2 ? ? ? aan

? __________。

?
2

) 时, f (msin? ) ? f (1? m) ? 0 恒成立,则 m 的

a c ? 2 的最大 c ?4 a ?4
2

??? ? ??? ??? ? ? ? 16.若在直线 l 上存在不同的三点 A 、 、 ,使得关于 x 的方程 x 2 OA ? xOB ? BC ? 0 有解(点 O B C
不在直线 l 上) ,则此方程的解集为 (A) { ? 1} (B) ? (C) { ( )

?1 ? 5 ?1 ? 5 , } (D) {?1, 0} 2 2

17.已知函数 f (x) , x ? R 是偶函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x?[0 , 2] 时, f (x) ? 1 ? x ,则方 1 程 f ( x) ? 在区间 [?10 ,10] 上的解的个数是 ( ) 1? | x | (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 18.数列 { an } 满足: a1 ? 1 ,

t 1 1 2 2 ,记 Sn ? a12 ? a2 ? ? ? an ,若 S 2 n ?1 ? S n ? 对任意 ?4 ? 2 30 an an?1
( (D)7 )

的 n ? N * 恒成立, 则正整数 t 的最小值为 (A)10 (B)9 (C)8 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分) ax ? 1 ? 0 ( a ? 0) 。 解关于 x 的不等式: x?2

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分。

?log (1 ? x) , x ? 0 , 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? 2 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) , x ? 0 .
(1)计算: f (?1) 、 (0) 、 (1) 、 (2) ,并求出 f (n ? 3) 与 f (n) , n ? N * 满足的关系式; f f f (2)对于数列 { an } ,若存在正整数 T ,使得 an ?T ? an ,则称数列 { an } 为周期数列, T 为数列的 周期,令 an ? f (n) , n ? N * ,证明: { an } 为周期数列,指出它的周期 T ,并求 a 2012 的值。

2

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分。 如图所示,有一块边长为 1km 的正方形区域 ABCD ,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照

? 弧度(其中点 P 、 分别在边 BC 、 上运动) ,设 ?PAB ? ? , tan ? ? t 。 Q CD 4 Q C D (1)试用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)求探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 的最大值。
射角 ?PAQ 始终为
?

P B

A

4 ?

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分。 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意的 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 | f (x) | ? M 成 立,则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x) 的上界。

1 1 1 ? m ? 3x 已知函数 f ( x) ? 1 ? a ? ( ) x ? ( ) x , g ( x) ? 。 3 9 1 ? m ? 3x (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 (?? , 0) 上的值域,并判断函数 f ( x) 在 (?? , 0) 上是否为有界函 数,请说明理由; (2)若函数 f ( x) 在 [0 , ? ?) 上是以 4 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 m ? 0 ,函数 g( x) 在 [0,1] 上的上界为 T (m) ,求 T (m) 的取值范围。

3

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分。 已知集合 A ? { a1 , a2 , ? , an } 中的元素都是正整数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ,对任意的 x , y ? A ,

xy 。 36 1 1 n ?1 (1)求证: ? ? ; a1 an 36
且 x ? y ,都有 | x ? y | ? (提示:可先求证

1 1 1 ) (i ?1, 2, ?, n ?1) ,然后再完成所要证的结论。 ? ? ai ai ?1 36

(2)求证: n ? 11 ; (3)对于 n ? 11 ,试给出一个满足条件的集合 A 。

,

4

2012 年高三年级十三校联考数学(理科)试卷
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,每个空格 4 分。 1.已知集合 M ? { x | ?1 ? x ? 2}, N ? { y | y ? 2.不等式

1 2 x ? 1 , x ? M } ,则 M ? N ? ( ? 1,1) 。 2

1 ? 1 的解集是 (0 ,1) ? (1, 2) 。 x ?1
1 。 2

3.设 f ( x) 的反函数为 f ?1 ( x) ,若函数 f ( x) 的图像过点 (1, 2) ,且 f ?1 (2 x ? 1) ? 1,则 x ?

cos? 3 4.若 sin ? ? ? ,则行列式 5 sin ?

sin ? 7 ? 。 25 cos?

5.已知函数 f ( x) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? a ? cos ? x ,若 f (1) ? 2 ,则实数 a ? 3 。 6.若函数 f (x) ? (x ? a)(bx ? a) (常数 a , b ? R )是偶函数,且它的值域为 [?4 , ? ?) ,则该函数 的解析式为 f ( x) ? x2 ? 4 。

4 4a 4a n ?1 1 ? ??? ) ? 9 ,则实数 a 的值等于 。 7.若 lim( n ?? 1 ? a 3 1? a 1? a ??? 1 ???? 2 ??? ? ? 8.已知 P 为 ?ABC 所在平面内一点,且满足 AP ? AC ? AB ,则 ?APB 的面积与 ?PAC 的面 5 5
积之比为 。 9.一个等差数列 { an } 中,
1 2

an 1 是一个与 n 无关的常数,则此常数的集合为 {1, } 。 2 a2n
1 2

10.若函数 f ( x) ? ? x2 ? (2a ? 1) | x | 有四个不同的单调区间,则实数 a 的取值范围是 ( , ? ? ) 。

a 11.已知正项等比数列 { an } 满足: a7 ? a6 ? 2a5 ,如果存在两项 am 、 n ,使得 am ? an ? 4 a1 ,则

1 4 ? 的最小值为 3 。 2 m n
12.已知等比数列 { an } 的首项为 2,公比为 2,则 13.设函数 f ( x) ? x2013 ? x , x ? R ,若当 ? ? [0 , 取值范围是 ( ? ? ,1) 。 14.设二次函数 f ( x) ? ax2 ? 4x ? c 的值域为 [0 , ? ?) ,且 f (1) ? 4 ,则 u ? 值为 。 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每小题 4 分。 1 15.已知 A ? { x | y ? lg(x ?1) , x ? R}, B ? { x | ? 1 , x ? R } ,则 ( B ) x (A) x ? B ”是“ x ? A ”的充分不必要条件(B) x ? B ”是“ x ? A ”的必要不充分条件 “ “ (C) x ? B ”是“ x ? A ”的充分必要条件 (D) x ? B ”是“ x ? A ”的既不充分又必要条件 “ “
5

aan?1 aa1 ? aa2 ? ? ? aan

? 4 。

?
2

) 时, f (msin? ) ? f (1? m) ? 0 恒成立,则 m 的

a c ? 2 的最大 c ?4 a ?4
2

7 4

??? ? ??? ??? ? ? ? 16.若在直线 l 上存在不同的三点 A 、 、 ,使得关于 x 的方程 x 2 OA ? xOB ? BC ? 0 有解(点 O B C
不在直线 l 上) ,则此方程的解集为 (A) { ? 1} (B) ? (C) { (
A



?1 ? 5 ?1 ? 5 , } (D) {?1, 0} 2 2

17.已知函数 f (x) , x ? R 是偶函数,且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) ,当 x?[0 , 2] 时, f (x) ? 1 ? x ,则方 1 程 f ( x) ? 在区间 [?10 ,10] 上的解的个数是 ( B ) 1? | x | (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 18.数列 { an } 满足: a1 ? 1 ,

t 1 1 2 2 ,记 Sn ? a12 ? a2 ? ? ? an ,若 S 2 n ?1 ? S n ? 对任意 ?4 ? 2 30 an an?1
( A ) (D)7

的 n ? N * 恒成立, 则正整数 t 的最小值为 (A)10 (B)9 (C)8 三、解答题(本大题共 5 小题,满分 74 分) 19. (本题满分 12 分) ax ? 1 ? 0 ( a ? 0) 。 解关于 x 的不等式: x?2

1 19.∵ a ? 0 ,∴原不等式等价于 ( x ? 2)( x ? ) ? 0 。???????????????????????(3 分) a 1 时,不等式的解集为 ( ? ? , 2) ? (2 , ? ? ) ;??????????????????????(6 分) 2 1 1 当 a ? 时,不等式的解集为 ( ? ? , ) ? (2 , ? ? ) ;??????????????????????(9 分) 2 a 1 1 当 0 ? a ? 时,不等式的解集为 ( ? ? , 2) ? ( , ? ? ) 。????????????????????(12 分) 2 a
当a?

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分。

?log (1 ? x) , x ? 0 , 定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? 2 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2) , x ? 0 . (1)计算: f (?1) 、 (0) 、 (1) 、 (2) ,并求出 f (n ? 3) 与 f (n) , n ? N * 满足的关系式; f f f
(2)对于数列 { an } ,若存在正整数 T ,使得 an ?T ? an ,则称数列 { an } 为周期数列, T 为数列的 周期,令 an ? f (n) , n ? N * ,证明: { an } 为周期数列,指出它的周期 T ,并求 a 2012 的值。
20. (1) f (?1) ? log2 2 ? 1 , f (0) ? 0 , f (1) ? f (0) ? f (?1) ? ?1 , f (2) ? f (1) ? f (0) ? ?1 。???????(4 分) 当 n ? N * 时,由已知可得: f (n ? 2) ? f (n ? 1) ? f (n) , f (n ? 3) ? f (n ? 2) ? f (n ? 1) ,?????(6 分) 两式相加: f (n ? 3) ? ? f (n) 。?????????????????????????????(7 分) (2)由(1)得: an?3 ? ?an ,∴ an?6 ? ?an?3 ? an 。??????????????????????(10 分) ∴ {an} 是周期为 6 的周期数列。 ???????????????????????????? (11 分) ∴ a2012 ? a335?6?2 ? a2 ? f (2) ? ?1 。???????????????????????????(14 分)

6

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分。 如图所示,有一块边长为 1km 的正方形区域 ABCD ,在点 A 处有一个可转动的探照灯,其照

? 弧度(其中点 P 、 分别在边 BC 、 上运动) ,设 ?PAB ? ? , tan ? ? t 。 Q CD 4 Q C D (1)试用 t 表示出 PQ 的长度,并探求 ?CPQ 的周长 l 是否为定值; (2)求探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 的最大值。
射角 ?PAQ 始终为
21. (1)设 BP ? t , CP ? 1 ? t , 0 ? t ? 1 , ?DAQ ?

?
4

? 1? t , ? ? , DQ ? tan( ? ? ) ? 4 1? t

1? t 2t 4 ? 。?????????????????????(2 分) CQ ? 1 ? ? 1? t 1? t A B 2 2t 1 ? t 2 2t 2 1 ? t ? ? 1 为定值。 分) ) ? ∴ PQ ? CP2 ? CQ2 ? (1 ? t )2 ? ( ,l ? CP ? CQ ? PQ ? 1 ? t ? (6 1? t 1? t 1? t 1? t 1 2 (2) S ? S正方形 ABCD ? S?ABP ? S?ADQ ? 2 ? (1 ? t ? ) (0 ? t ? 1) 。????????????????(8 分) 2 1? t 2 又函数 y ? 1 ? t ? 在 [0 , 2 ? 1] 上是减函数,在 [ 2 ? 1 , 1] 上是增函数,?????????(10 分) 1? t 2 1 1 2 ∴ 2 2 ?1? t ? ? 3 ,∴ ? 2 ? (1 ? t ? ) ? 2 ? 2 。????????????????(13 分) 1? t 2 2 1? t 所以探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 的最大值为 2 ? 2 ( km2 ) 。????????(14 分)

?

P

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分。 定义在 D 上的函数 f ( x) ,如果满足:对任意的 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有 | f (x) | ? M 成 立,则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x) 的上界。

1 1 1 ? m ? 3x 已知函数 f ( x) ? 1 ? a ? ( ) x ? ( ) x , g ( x) ? 。 3 9 1 ? m ? 3x (1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 (?? , 0) 上的值域,并判断函数 f ( x) 在 (?? , 0) 上是否为有界函 数,请说明理由; (2)若函数 f ( x) 在 [0 , ? ?) 上是以 4 为上界的有界函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 m ? 0 ,函数 g( x) 在 [0,1] 上的上界为 T (m) ,求 T (m) 的取值范围。
1 1 22. (1) a ? 1 时, f ( x) ? 1 ? ( ) x ? ( ) x , f ( x ) 在 ( ? ? , 0) 上递减 ? f ( x) ? f (0) ? 3 ,∴ f ( x) ?(3, ? ? 。 (2 分) ) 3 9 故不存在常数 M ? 0 ,使得 | f ( x) | ? M 成立。∴函数 f ( x ) 在 ( ? ? , 0) 上不是有界函数。????(4 分) 1 1 1 (2)由题意可知 | f ( x) | ? 4 在 [0 , ? ? ) 上恒成立, ?4 ? f ( x) ? 4 ,即 ?5 ? ( ) x ? a? ( ) x ? 3 ? ( ) x 。??(5 分) 9 3 9 1 x 1 x 1 x 1 x x x x ∴ ?5 ? 3 ? ( ) ? a ? 3 ? 3 ? ( ) 在 [0 , ? ? ) 上恒成立, [ ? 5 ? 3 ? ( ) ] max ? a ? [3 ? 3 ? ( ) x ] min 。 (7 分) ∴ ? 3 3 3 3 1 1 设 3x ? t , h(t ) ? ?5t ? , p(t ) ? 3t ? ,由 x ?[0 , ? ? ) ,得 t ? 1 。 t t (t2 ? t1 )(5t1t2 ? 1) (t ? t )(3t1t2 ? 1) ? 0 , p(t1 ) ? p(t2 ) ? 1 2 ? 0, 设 1 ? t1 ? t2 ,则 h(t1 ) ? h(t2 ) ? t1t2 t1t2
∴ h (t ) 在 [1, ? ?) 上单调递减, p(t ) 在 [1, ? ?) 上单调递增。????????????????(9 分) ∴在 [1, ? ?) 上, h(t )max ? h(1) ? ?6 , p(t )min ? p(1) ? 2 。∴实数 a 的取值范围是 [ ? 6 , 2] 。???(10 分) (3) g ( x) ? ?1 ?

2 1 ? 3m 1? m ,∵ m ? 0 , x?[0 ,1] ,∴ g ( x ) 在 [0 , 1] 上递减,∴ 。 (12 分) ? g ( x) ? x m ? 3 ?1 1 ? 3m 1? m 3 1? m 1 ? 3m 1? m 1? m ] 时,| g ( x) | ? | ①若 | |?| | ,即 m ? (0, | ;此时 T (m) ? | | ;??????(13 分) 3 1? m 1 ? 3m 1? m 1? m 3 1? m 1 ? 3m 1 ? 3m 1 ? 3m , ?? ) 时,| g ( x) | ? | ②若 | |?| | ,即 m ? ( | ;此时 T (m) ? | | 。????(14 分) 3 1? m 1 ? 3m 1 ? 3m 1 ? 3m 3 3 1? m 1 ? 3m ] 时, T (m) ?[| , ? ? ) 时, T (m) ?[| 综上,当 m ? (0 , (16 分) | , ? ? ) ;当 m ? ( | , ? ?) 。 3 3 1? m 1 ? 3m
7

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分。 已知集合 A ? { a1 , a2 , ? , an } 中的元素都是正整数,且 a1 ? a2 ? ? ? an ,对任意的 x , y ? A ,

xy 。 36 1 1 n ?1 (1)求证: ? ? ; a1 an 36
且 x ? y ,都有 | x ? y | ? (提示:可先求证

1 1 1 ) (i ?1, 2, ?, n ?1) ,然后再完成所要证的结论。 ? ? ai ai ?1 36

(2)求证: n ? 11 ; (3)对于 n ? 11 ,试给出一个满足条件的集合 A 。
23. (1)依题意有 | ai ? ai ?1 | ?

ai ai ?1 ( i ? 1, 2 , ? , n ?1) ,又 a1 ? a2 ? ? ? an , 36 aa a ?a 1 1 1 1 ? ∴ ai ?1 ? ai ? i i ?1 ? i ?1 i ? ,可得 ? ( i ? 1, 2 , ? , n ?1) 。??????????(2 分) 36 ai ai ?1 36 ai ai ?1 36

1 1 1 1 1 1 n ?1 1 1 n ?1 ? ? ? ??? ? ? ,即 ? ? 。???????????????(4 分) a1 a2 a2 a3 an ?1 an 36 a1 an 36 1 n ?1 n ?1 ? ,又 a1 ? 1 ,可得 1 ? ,因此 n ? 37 。??????????????(5 分) a1 36 36

(2)由(1)可得 同理,

1 n?i 1 1 n?i 1 n?i ? ? ,可知 ? 。又 ai ? i ,可得 ? 。?????????????(7 分) ai 36 ai an 36 i 36

∴ i ( n ? i ) ? 36 ( i ? 1, 2 , ? , n ?1) 都成立。 ???????????????????????? (8 分) 当 n ? 12 时,取 i ? 6 ,则 i ( n ?i ) ? 6( n ? 6) ?36 ,与 i ( n ? i ) ? 36 不符,∴ n ? 12 。??????(9 分) 又当 n ? 11 时,i ( n ? i ) ? ( (3)由(1)可知, ∵1?

i ? n ?i 2 n ) ? ( )2 ? 36 ,符合题意,∴ n ? 11 。???????????(10 分) 2 2

1 1 1 ? ? , ai ai ?1 36

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ? ? , ? ? , ? ? , ? ? , ? 2 36 2 3 36 3 4 36 4 5 36 5 6 36

∴可设 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 , a4 ? 4 , a5 ? 5 , a6 ? 6 。????????????????(12 分) 由 由 由 由 由
1 1 1 36 ? ? ,可得 a7 ? ,取 a7 ? 8 ;???????????????????????(13 分) a6 a7 36 5 1 1 1 72 ? ? ,可得 a8 ? ,取 a8 ? 11 ;???????????????????????(14 分) a7 a8 36 7 1 1 1 396 ? ? ,可得 a9 ? ,取 a9 ? 16 ;??????????????????????(15 分) a8 a9 36 25 1 1 1 144 ? ? ,可得 a10 ? ,取 a10 ? 29 ;?????????????????????(16 分) a9 a10 36 5 1 1 1 1044 ? ? ,可得 a11 ? ,取 a11 ? 150 ;????????????????????(17 分) a10 a11 36 7

∴满足条件的一个集合 A ? {1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 ,11,16 , 29 ,150} (答案不唯一) 。???????(18 分) 说明: 也有同学在第 (2) 小题的证明过程中, 先逐一求得 a1 ? 1 ,a2 ? 2 ,a3 ? 3 ,a4 ? 4 ,a5 ? 5 ,a6 ? 6 ,

a7 ? 8 , a8 ? 11 , a9 ? 16 , a10 ? 29 , a11 ? 150 ,
然后由
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? 0 ,∴ a12 不存在,即 n ? 11 。 ,可得 a11 a12 36 a12 a11 36 150 36

8



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