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自贡市2011-2012学年高二年级下学期期末考试数学试题参考答案及评分标准



2011—2012 学年高二年级下学期期末考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题 理科 ABBDA BDACC CC 二、填空题 文科 ABBDA BDACA CC

13、3 14、 (理)90° (文)19:20 15、 (0,2) 三、解答题 17、解: (Ⅰ) tan C ? 由

16、 n -n+5

r />
2

sin C ?3 7 ?0 cos C

而 得

0?C ??



cos ? 0 C
……6 分 ……8 分

sin 2 C ? cos2 C ? 1
???????? 5 2

cos ? C

1 8

(Ⅱ) ∵ CA ? CB ? ∴ a ? b ? 20
2 2 2

∴ ab cos C ?

5 2
c?6



a?b ?9
……12 分

∴ c ? a ? b ? 2ab cos C ? 36 18、解:(Ⅰ)茎叶图 甲 7 8 9 9 8 8 9 3 2 1 10 11 0 0 5 5 5 5 0 乙

……4 分

(Ⅱ) ;
24 7

; ……6 分


1600 7 .



,故甲车间产品比较稳定. ……………8 分

(3)所有可能的情况有: (102,90),(102,85),(102,75),(101,90),(101,85),(101,75),(103,90),(103,85), (103,75),不满足条件的有:(102,75),(101,75),(103,75) 所以 P( | x ? y |? 20 )=1-

1 2 ? 3 3

……………12 分

19、解: (Ⅰ)

? b ? r (n ? 1 ) ……2 分 Sn ? bn ? r (b ? 1 ) ∴ an ? ? ) n?r ( ?(b ? 1 b n ? 2 )
高二数学答案 第1页 (共 4 页)



?an ? 为等比数列
b ? 2时



a2 (b ? 1)b ? ?b a1 b?r n ?1 n ?1 ? n?1 4an 2



r ? ?1

……4 分

(Ⅱ)当

bn ?

Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

2 3 n ?1 ? 3 ? ? ? n ?1 2 2 2 2



1 2 3 n a ?1 Tn ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2
①-② 得



1 2 1 1 1 n ?1 1 n ?1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ∴ Tn ? 2 ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2

……10 分

20、解:(Ⅰ)∵底面 ABCD 是菱形,∴ AC ? BD , ∵ BB1 ? 底面 ABCD ,∴ BB1 ? AC , ∴ AC ? 平面 BDD1 B1 .------------------------(文)6 分(理)----4 分 (Ⅱ)设 AC , BD 交于点 O ,取 B1 D 的中点 F ,连接 OF , EF ,
1 1 则 OF ∥ BB1 ,且 OF ? BB1 ,又 EC ? CC1 , 2 2 BB1 ∥ CC1 , BB1 ? CC1 ,所以 OF ∥ CC1 ,
D1

C1

A1

B1

F

E

1 且 OF ? CC1 ,所以 OF ∥ EC ,且 D 2 O A OF ? EC ,∴ 四边形 OCEF 为平行四边形, 20 题图 B OC ∥ EF , 又 AC ? 平面 B1 DE , EF ? 平面 B1 DE , ∴ AC ∥平面 B1 DE .------------------------(文)12 分(理)8 分

C

理(3)顶点 B 到平面 B1DE 的距离为 d 由 VB? B1DE ? VD?BB1E



1 1 S ?B1DEd = S ?BB1E ? 3 ∴ d ? ? 3? ? 2 1 3 3 s?B1DE ?2 2? 3 2

s?BB1E

1 ? 2? 2 2

…(理)12 分

(理科)21、解: (Ⅰ)因为椭圆 C 的一个焦点是(1,0) ,所以半焦距 c =1. 因为椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形. 所以

c 1 x2 y 2 ? ,解得 a ? 2 , b ? 3 .所以椭圆的标准方程为 ? ? 1 . ……………4 分 a 2 4 3

(Ⅱ) 设直线 l :x ? my ? 4 与 (i)

x2 y 2 ? ? 1 联立并消去 x 得: 4 3

(3m2 ? 4) y 2 ? 24my ? 36 ? 0 . ( 记 A x1 , y1) B x2 , y2) y1 ? y2 ? ,( ,
---------------6 分
高二数学答案 第2页 (共 4 页)

?24m 36 ,y1 y2 ? . 2 3m ? 4 3m 2 ? 4

由 A 关于 x 轴的对称点为 A ,得 A1 ( x1 , ? y1 ) , 1 根据题设条件设定点为 T ( t ,0) ,得 kTB ? kTA1 ,即

y2 y ? 1 . x2 ? t t ? x1



t?

x2 y1 ? y2 x1 (4 ? my2 ) y1 ? (4 ? my1 ) y2 2my1 y2 ? ? 4? ? 4 ?3 ?1 y1 ? y2 y1 ? y2 y1 ? y2
……………8 分 可知直线 A B 过定点 T (1,0). 1

即定点 T (1 , 0).

(ii)由(i)中判别式 ? ? 0 ,解得 m ? 2 . 所以 S ?OA1B ?

1 1 OT | y2 ? (? y1 ) |? | y2 ? y1 | 2 2
--------------10 分

S?OA1B ?

1 24m 4 | |? 2 4 , 2 4 ? 3m m? 3m
4 3t

令 t ?| m | 记 ? (t ) ? t ?

? (t ) ? t ?

4 4 2 8 ? 2? ? 在 (2 , ? ?) 上为增函数. 所以 m ? -------12 分 3m 3t 3 3
3 3 3 ? .故△OA1B 的面积取值范围是 (0 , ) . ……………14 分 8 2 2

得 0 ? S ?OA1B ? 4 ?

(文)21、解:(Ⅰ)由 f(x)的图象经过 P(0,2)知 d=2, 3 2 ∴f(x)=x +bx +cx+2, 2 f′(x)=3x +2bx+c. 由在点 M(-1,f(-1))处的切线方程是 6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0, 即 f(-1)=1,f′(-1)=6. --------------------------------2 分 ?3-2b+c=6, ?b-c=0, ? ? ∴? 即? ? ? ?-1+b-c+2=1, ?2b-c=-3, 解得 b=c=-3. 3 2 故所求的解析式是 f(x)=x -3x -3x+2. -------------------------------6 分 2 2 (Ⅱ)f′(x)=3x -6x-3,令 3x -6x-3=0, 2 即 x -2x-1=0. 解得 x1=1- 2,x2=1+ 2. 当 x<1- 2或 x>1+ 2时,f′(x)>0. ----------------------------8 分 当 1- 2<x<1+ 2时,f′(x)<0. ------------------------------------10 分 3 2 故 f(x)=x -3x -3x+2 在(-∞,1- 2)和(1+ 2,+∞)内是增函数, 在(1- 2,1+ 2)内是减函数 -------------------------------------------12 分 ?y=kx-2, ? 2 (文)22、解 (Ⅰ)由? 2 得 x +2pkx-4p=0. ? ?x =-2py, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-2pk, y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4. --------------------------------2 分 因为 +=(x1+x2,y1+y2)
高二数学答案 第3页 (共 4 页)

=(-2pk,-2pk -4)=(-4,-12), ? ? ?-2pk=-4, ?p=1, 所以? 解得? 2 ?-2pk -4=-12. ?k=2. ? ?

2

-------------------------4 分
2

所以直线 l 的方程为 y=2x-2,抛物线 C 的方程为 x =-2y.------------------6 分 (Ⅱ)设 P(x0,y0),依题意,抛物线过点 P 的切线与 l 平行时, △ABP 的面积最大 -----------------------8 分 1 由 y′=-x,所以-x0=2? x0=-2,y0=- x2=-2, 0 2 所以 P(-2,-2). ---------------------------10 分 此时点 P 到直线 l 的距离 |2×(-2)-(-2)-2| 4 4 5 d = = = , ---------------------------------11 分 2 2 5 2 +(-1) 5 由?
? ?y=2x-2, ?x =-2y, ?
2 2

得 x +4x-4=0,
2

2

|AB|= 1+k · (x1+x2) -4x1x2 2 2 = 1+2 · (-4) -4×(-4)=4 10. 4 5 4 10× 5 ∴△ABP 面积的最大值为 =8 2. 2 (理)选做题 22、解:(Ⅰ)由 | 2 x ? 1|? 1 得 ?1 ? 2 x ? 1 ? 1 ,

--------------------------13 分

-----------------------------14 分

{ 解得 0 ? x ? 1 ,∴ M= x | 0 ? x ? 1}.
(Ⅱ)由(I)和 a, b ? M 可知 0 ? a ? 1,0 ? b ? 1. 所以 (ab ? 1) ? (a ? b) ? (a ? 1)(b ? 1) ? 0 ,故 ab ? 1 ? a ? b . 23、解:(Ⅰ)把极坐标系下的点 P (4, ? ) 化为直角坐标得点 (0, 4) . 2 ∵点 P 的直角坐标 (0, 4) 满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , ∴点 P 在直线 l 上.

………………6 分

…………12 分

------------------------------4 分

(Ⅱ)∵点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,从而点 Q 到直 线 l 的距离为

2 cos(? ? ) ? 4 | 3 cos ? ? sin ? ? 4 | ? 6 d? ? ? 2 cos(? ? ) ? 2 2, 6 2 2
由此得,当 cos(? +

?

-------8 分

?
6

) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 2.

---12 分

高二数学答案

第4页

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