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2017年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)word版



2017 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
(5 月 14 日下午 14:30—16:30) 题目 得分 评卷人 复核人 一 二 13 14 三 15 16 总成绩

A.2

B.4

C.6

D.8

二,填空题(本大题共 6 个小题,每条题 5 分,共 30 分) 7. 已知函数 f ?x ? ?

25x 25x ? 5

2016 ? k ? , 则? f ? ? =_________. k ?1 ? 2017?

8. 设 a ? R, 复数 z1 ? a ? i, z2 ? 2a ? 2i, z3 ? 3a ? 4i , 其中 i 是虚数单位, 若 z1 , 列,则实数 a 的值是___________.

z2 ,

z3 成等比数

考生注意:1.本试卷共有三大题(16 个小题) ,全卷满分 140 分 2.用黑(蓝)色圆珠笔或钢笔作答。 3.计算器,通讯工具不准待入考场。 4.解题书写不要超过封线 一,单项选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1. 已知函数 f ?x? ? a ln x ? x 在x ? 1 处有极值,则实数 a 的值是(
2

x2 y2 ? 1 上的点,则 x ? y 的最小值是_________. 9.若 P?x, y ?是双曲线 ? 8 4

10. 如图,设正方体 ABCD? A1B1C1D1 的棱长为 1,α 为过直线 BD1 的平面,则 α 截该正方体的截 ) D. 2 )
2 2 11.已知实数 x1 , x2 , x3 满足: x12 ? x2 ? x3 ? x1x2 ? x2 x3 ? 2, 则 x2 的最大值是____.

面面积的取值范围是_________.

A. -2

B.

-1

C.

1

2.已知 ?,? ? ?0,? ?, tan? , tan?是方程x 2 ? 3x ? 1 ? 0 的两个根,则 cos?? ? ? ?的值是 ( A.
1 3

B.

2 3

C.

5 3

D.

5 2

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10?, 12. 设 集 合 M ? ?
合 A 中元素的个数是___________

A ? ?x, y, z ? 丨x, y, z ? M , 且9 丨 x3 ? y 3 ? z 3 则 集

?

?

??

3.在 ?x ? y ? z ? 的展开式。所有形如 x 2 y a z b ?a.b ? N ?的项的系数之和是(
8

) 14336 三,解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分) 13.已知数列 ?an ?满足: a1 ? a , an ?1 ?
5an ? 8 n? N* an ? 1

A.

112

B.

448

C.

1792

D.

4.已知 F1,F2为椭圆

x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0? 的左,右焦点,该椭圆上存在两点 A,B,使得 F1 A ? 3F2 B ,则该 a 2 b2

?

?

椭圆的离心率的取值范围是( 1 1 A. (0. ) B.(0. ) 2 3

) C.(
1 ,1) 2 1 D.( ,1) 3

?a ? 2? (1)若 a=3,求证:数列 ? n ? 成等比数列,并求出数列 ?an ?的通项公式; ? an ? 4 ?
(2)若对任意的正整数 n,都有 an ? 3 ,求实数 a 的取值范围。

5.已知△ABC 中, AB ? BC ? 3CA ? AB
5 2

,则

AC ? AB BC
C.2

的最大值时(



A.

B. 3

D. 5

6.已知数列 ?an ?满足:an ? 个位数是( )

?

2 ?1 ?

? ?
n

2 ? 1 ?n ? N ? , 用 ?x ? 表示不超过实数 x 的最大整数, 则 ?a2017 ? 的
n

?

14.1993 年,美国数学家 F.Smarandache 提出许多数论问题,引起国内外相关学者的关注,其中之一 便是著名的 Smarandache 函数。正整数 n 的 Smarandache 函数定义为 S ?n? ? min m 丨 m ? N *, n 丨 m! , 比如: S ?2? ? 2,S ?3? ? 3,S ?6? ? 3 (1)求数 S(16)和 S(2016)的值; (2)若 S(n)=7,求正整数 n 的最大值; (3)证明:存在无穷多个合数 n,使得 S ?n ? ? p ,其中 p为n 的最大质因数.

?

?

M ? x 2 ? xy ? y 2 ? y 2 ? yz ? z 2 ? y 2 ? yz ? z 2 ? z 2 ? zx ? x 2 ? z 2 ? zx ? x 2 ? x 2 ? xy ? y 2 ?

求 ? 的最大值和 ? 的最小值

15. 如图, 点A与点A? 在x 轴上,且关于 y 轴对称,过点 A? 垂直于 x 轴的直线与抛物线 y 2 ? 2x 交于 B,C,点 D 为线段 AB 上的动点,点 E 在线段 AC 上,满足 (1)求证:直线 DE 与此抛物线有且只有一个公共点; (2)设直线 DE 与此抛物线的公共点 F,记△BCF 与△ADE 的面积分别为 S1 ,S2 ,求
S1 的值. S2

CE CA

?

AD AB

16.设 ? ,? 为实数,若对任意的实数 x, y, z, 有? ?xy ? yz ? zx ? ? M ? ? x2 ? y 2 ? z 2 恒成立,其中

?

?

2017 年全国高中数学联赛 (四川初赛)试题 草考答案及评分标准
一,选择题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.A 2.B 3.C 4.C 5.B 6.A

③ 当a ? 4时,a ? 2 ? a ? 4 ? 0 , 则b ? 1 注意到 an ? 3 ?
b ? 3n ?1 ? 1 , 而b ? 3n ?1 ? 0, 故an ? 3 ,满足条件 n ?1 b ? 3 ?1

二,填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7.1008 8.0 9.2
? 6 ? 10. ? ,2 ? ? 2 ?

11.2

12.243

三,解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分)
5an ? 8 ?2 an ?1 ? 2 an ? 1 a ?2 ? ? 3? n 13. 证明: (1)因为 an ?1 ? 4 5an ? 8 ? 4 an ? 4 an ? 1

?a ? 2? 所以,数列 ? n ? 成等比数列 ? an ? 4 ?
an ? 2 a1 ? 2 n?1 4 ? 3n?1 ? 2 于是 ? ? 3 , 解得an ? n?1 an ? 4 a1 ? 4 3 ?1
即数列 ?an ?的通项公式

……5 分

an ?

4 ? 3n ?1 ? 2 3n ?1 ? 1

……10 分

(2)法 1:因为 an ? 3 对任意的正整数 n 都成立,故 a ? a1 ? 3 由(1)知

an ? 2 a1 ? 2 n?1 4 ? 3n?1 ? 2 ? ? 3 ? ?3n?1 , 解得an ? n?1 an ? 4 a1 ? 4 3 ?1

①当 3<a<4 时,则 b<0,注意到 0 ? b ? 3n?1 ? b ? 3n ? 1 则
2 2 ? , 于是 an ?1 ? an ,即数列 ?an ?单调递增 n n ?1 b ? 3 ?1 b ? 3 ?1

从而 an ? 3,因此3 ? a ? 4 ②当 a=4 时,由条件可知 an ? 4 满足条件:

……15 分

于是 x1 ? 2a 2 , y1 ? ? 4a 2 ,2a , 故D的坐标为 ?4? ? 2?a 2 ,2?a

?

? ?

?

?

?

设 E?x2 , y2 ? , 由CE ? ?CA得 , x2 ? 2a2 , y2 ? 2a ? ? ? 4a2 ,2a

?

? ?

?

综上,所求实数 a 的取值范围 ?3, ? ?? 法 2:因为 an ? 3 对任意的正整数 n 都成立,故 a ? a1 ? 3

所以 E 的坐标为 ?2 ? 4? ?a 2 , ?2? ? 2?a

?

?
……5 分

……20 分
因此直线 DE 的斜率为: k DE ?

2a 1 , ? 2 ?8? ? 4?a ?4? ? 2?a 1 x ? ?4? ? 2?a 2 , ?4? ? 2?a

下面用数学归纳法证明:当 a ? 3 时,对任意的正整数 n,都有 an ? 3 当 n ? 1 时,结论成立: 假设 n ? k ?k ? 1?时,结论成立 当 n ? k ? 1时,注意到ak ?1 ?
于是结论对 n ? k ? 1 也成立. 由归纳原理知,对任意的正整数 n,都有 an ? 3

所以直线 DE 的方程是 y ? 2?a ?

?

?

化简得, ?4? ? 2?ay ? 2?a?4? ? 2?a ? x ? ?4? ? 2?a2 即, x ? 2a?2? ?1?y ? 2a2 ?2? ?1?

2

5ak ? 8 2a ? 5 , ? 3? k ak ? 1 ak ? 1

……15 分

与抛物线方程联立,得

y 2 ? 2 2a?2? ?1?y ? 2a2 ?2? ?1? ,
2
2

?

?



即 y 2 ? 4a?2? ?1?y ? 4a 2 ?2? ?1? ? 0 此时,方程②有两个相等的根: y ? 2a?2? ? 1?



综上,所求实数 a 的取值范围 ?3, ? ??
14.解:因为 16 ? 24 ,故S ?16? ? 6 由 2016? 25 ? 32 ? 7知S ?2016 ? ? max S 25 , S 32 , S ?7? 又 S ?7? ? 7 ,S 32 ? 6 ,S 25 ? 8 ,故S ?2016 ??8 (2)由 S ?n? ? 7知n丨 7!,从而n ? 7!

……20 分

代入①,得 x ? 2a 2 ?2? ?1?

2

……5 分

所以直线 DE 与此抛物线有且只有一个公共点 F 2a 2 ?2? ?1? , 2a?2? ?1?
2

?

?
2

……10 分 ……15 分

?? ? ? ?

?
……10 分

(2) S1 ? S ?BCF ?

1 1 BC ? h ? ? 4a ? 2a 2 ? xF ? 4a 3 4? ? 4?2 2 2

?

?

?

?

? ?

? ?

设直线 DE 与 x 轴交于点 G,令 y ? 0.代入方程①, x ? 2a?2? ?1?y ? 2a2 ?2? ?1? 解得 x ? ?a 2 ?2? ? 1? , 故 AG ? 2a 2 ? 2a 2 ?2? ? 1? ? 2a 2 4? ? 4?2
2 2

?

?

n的最大值是 7 ! ? 5040 又 S ? 7 ! ? ? 7.所以,正整数
(3)因为对任意奇质数 ?,取n ? 2? , 都有S ?n? ? ?

……15 分

于是 S 2 ? S ?ADE ? S ?ADG ? S ?AEG ?

1 ? AG ? y D ? y E ? a 2 4? ? 4?2 ? 2?a ? ?2? ? 2?a ? 2a 3 4? ? 4?2 2
……20 分

?

?

?

?

所以,存在无穷多个合数 n,使得 S ?n? ? ? , 其中?为n的最大质因数 ……20 分

所以

S1 ?2 S2

15,解: (1)设 A ? 2a ,0 , A? 2a ,0
2 2

?

?

?

? ?

16.解:取 x ? y ? z ? 1 , 有3? ? 9 ? 3? ,则

? ? 3 ,? ? 3

所以可得 B 2a ,2a

?

2

?

, C 2a ,?2a ,
2

?

x, y, z成立 (1)先证: M ? 3?xy ? yz ? zx ?对任意的实数
2 2 ?? y ? 3 2 ? ?? y ? 3 2? x ? xy ? y ? y ? yz ? z ? ?? x ? ? ? y ? ? ?? z ? ? ? y ? 2? 4 ? 2? 4 ? ?? ? ? ?? ? ? 2 2 2 2

设 D?x1 , y1 ? , AD ? ? AB , 则 CE ? ?CA

因为

? xz ?

1 1 xy ? yz ? y 2 2 2

……5 分

1 1 ? ? 所以 , M ? ? ? xz ? xy ? yz ? y 2 ? ? 2?xy ? yz ? zx ? ? x 2 ? y 2 ? z 2 2 2 ? ? ? 2?xy ? yz ? zx ? ? ?xy ? yz ? zx ? ? 3?xy ? yz ? zx ?
(2)再证: M ? 3 x 2 ? y 2 ? z 2 对任意的实数 x, y, z成立

?

?
??10分

?

?

因为M ?

? 2 x 2 ? y 2 ? z 2 ? ?xy ? yz ? zx ? ? 3 x 2 ? y 2 ? z 2
综上可知,α 的最大值是 3,β 的最小值是 3

? x ? xy ? y ? ? ?
2 2 2

?

?

y 2 ? yz ? z 2 ?

? ?z
2

2

?

? zx ? x 2

?

?

2

??15分
……20 分



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